Bài 2. Chứng minh rằng Bài 2. Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có: a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3; b) 4n + 15n - 1 chia hết cho 9; c) n3 + 11n chia hết cho 6. Hướng dẫn giải: a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3 Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) 3 Ta phải chứng minh rằng Sk+1 3 Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5 = k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9 hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3) Theo giả thiết quy nạp thì Sk 3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3) 3 nên Sk+1 3. Vậy (n3 + 3n2 + 5n) 3 với mọi n ε N* . b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1 Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 9 Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k - 1 chia hết cho 9. Ta phải chứng minh Sk+1 9. Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1 = 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2) Theo giả thiết quy nạp thì Sk 9 nên 4S1 9, mặt khác 9(5k - 2) 9, nên Sk+1 9 Vậy (4n + 15n - 1) 9 với mọi n ε N* c) Đặt Sn = n3 + 11n Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 6 Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có Sk = k3 + 11k 6 Ta phải chứng minh Sk+1 6 Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11 = ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4) THeo giả thiết quy nạp thì Sk 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k + 4) 6, do đó Sk+1 6 Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N* .
Bài 2. Chứng minh rằng Bài 2. Chứng minh rằng với n ε N* ta luôn có: a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3; b) 4n + 15n - 1 chia hết cho 9; c) n3 + 11n chia hết cho 6. Hướng dẫn giải: a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3 Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) Ta phải chứng minh rằng Sk+1 3 3 Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5 = k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9 hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3) 3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3) Theo giả thiết quy nạp thì Sk 3. Vậy (n3 + 3n2 + 5n) 3 với mọi n ε N* . b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1 Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 9 3 nên Sk+1 Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k - 1 chia hết cho 9. Ta phải chứng minh Sk+1 9. Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1 = 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2) Theo giả thiết quy nạp thì Sk nên Sk+1 9 nên 4S1 9, mặt khác 9(5k - 2) 9, 9 Vậy (4n + 15n - 1) 9 với mọi n ε N* c) Đặt Sn = n3 + 11n Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 6 Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có Sk = k3 + 11k Ta phải chứng minh Sk+1 6 6 Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11 = ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4) THeo giả thiết quy nạp thì Sk 4) 6, do đó Sk+1 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k + 6 Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N* . ... n = k ≥ ,ta có Sk = k3 + 11k Ta phải chứng minh Sk+1 6 Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11( k + 1) = k3 + 3k + 3k + + 11k + 11 = ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4) THeo giả thiết... 18 = 4Sk – 9(5k – 2) Theo giả thiết quy nạp Sk nên Sk+1 nên 4S1 9, mặt khác 9(5k - 2) 9, Vậy (4n + 15n - 1) với n ε N* c) Đặt Sn = n3 + 11n Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 Giả sử với... Sk + 3(k2 + k + 4) THeo giả thiết quy nạp Sk 4) 6, Sk+1 6, mặt khác k2 + k + = k(k + 1) + số chẵn nên 3(k2 + k + Vậy n3 + 11n chia hết cho với n ε N*