63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 1 I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I. (2 đi m) Cho hàm s y = x3 3x2 + mx + 4, trong đó m là tham s th c. 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s đã cho, v i m = 0. 2. Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ hàm s đã cho ngh ch bi n trên kho ng (0 ; + ). Câu II. (2 đi m) 1. Gi i ph 2. Gi i ph ng trình: 3 (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0 ng trình: log 2 (x 2) log 4 (x 5) 2 log 1 8 0 2 Câu III. (1 đi m) Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y = e x 1 , tr c hoành và hai đ ng th ng x = ln3, x = ln8. Câu VI. (1 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA = SB = a, m t ph ng (SAB) vuông góc v i m t ph ng (ABCD). Tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD. Câu V. (1 đi m) Xét các s th c d ng x, y, z th a mãn đi u ki n x + y + z = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P x 2 (y z) y 2 (z x) z 2 (x y) yz zx xy II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ A.Theo ch ng trình Chu n: c làm m t trong hai ph n: A ho c B. Câu VIa. (2 đi m) 1.Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ ng tròn (C) có ph ng trình: x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm đi m M thu c tr c tung sao cho qua M k đ c hai ti p tuy n v i (C) mà góc gi a hai ti p tuy n đó b ng 600. 2.Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m M(2 ; 1 ; 0) và đ ng th ng d có ph Vi t ph ng trình tham s c a đ ng th ng đi qua đi m M, c t và vuông góc v i đ Câu VIIa. (1 đi m) Tìm h s c a x2 trong khai tri n thành đa th c c a bi u th c P = (x2 + x – 1) 6 B.Theo ch ng trình Nâng cao x 1 2t ng trình: y 1 t z t ng th ng d. Câu VIb. (2 đi m) 1.Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ ng tròn (C) có ph ng trình: x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm đi m M thu c tr c tung sao cho qua M k đ c hai ti p tuy n v i (C) mà góc gi a hai ti p tuy n đó b ng 600. 2.Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m M(2 ; 1 ; 0) và đ ng th ng d có ph Vi t ph ng trình chính t c c a đ ng th ng đi qua đi m M, c t và vuông góc v i đ Câu VIIb. (1 đi m) Tìm h s c a x3 trong khai tri n thành đa th c c a bi u th c P = (x2 + x – 1)5 ng trình: x 1 y 1 z . 2 1 1 ng th ng d. -----------------------------------------H t --------------------------------------------- --11- http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 2 . I. PH N B T BU C CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I. (2,0 đi m) Cho hàm s y x2 , có đ th là (C) x2 1. Kh o sát và v (C) 2. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C), bi t ti p tuy n đi qua đi m A(– 6 ; 5) Câu II. (2,0 đi m) 1. Gi i ph ng trình: cos x cos3x 1 2 sin 2x . 4 3 3 x y 1 2. Gi i h ph ng trình: 2 2 3 x y 2xy y 2 Câu III. (1,0 đi m) Tính tích phân I ln 3 e 2 x dx ln 2 ex 1 ex 2 Câu VI. (1,0 đi m) Hình chóp t giác đ u SABCD có kho ng cách t A đ n m t ph ng SBC b ng 2. V i giá tr nào c a góc gi a m t bên và m t đáy c a chóp thì th tích c a chóp nh nh t? Câu V. (1,0 đi m) Cho a, b,c 0 : abc 1. Ch ng minh r ng: II . PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ A. Theo ch ng trình Chu n: 1 1 1 1 a b 1 b c 1 c a 1 c làm m t trong hai ph n: A ho c B. Câu VIa. (2,0 đi m) 1. Trong m t ph ng Oxy cho các đi m A(1;0) ; B(–2;4) ;C(–1; 4) ; D(3 ; 5) và đ đi m M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có di n tích b ng nhau. 2. Vi t ph ng trình đ ng vuông góc chung c a hai đ ng th ng sau: x y 1 z 2 d1 : ; 1 2 1 ng th ng d: 3x – y – 5 = 0. Tìm x 1 2t d2 : y 1 t z 3 Câu VIIa. (1,0 đi m) Tìm s th c x, y th a mãn đ ng th c : x(3 + 5i) + y(1 – 2i)3 = 7 + 32i B. Theo ch ng trình Nâng cao Câu VIb. (2,0 đi m) 1.Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho đ ng th ng d: x - 2y -2 = 0 và đi m A(0;1) ; B(3; 4). Tìm to đ đi m M trên đ ng th ng d sao cho 2MA2 + MB2 là nh nh t. 2.Trong không gian v i h to đ Oxyz cho hai đi m A(1;7;-1), B(4;2;0) và m t ph ng (P): x + 2y - 2z + 1 = 0. Viêt ph ng trình hình chi u c a đ ng th ng AB trên m t ph ng (P) Câu VIIb. (1,0 đi m) Cho s ph c z = 1 + 3 i. Hãy vi t d ng l ng giác c a s ph c z5. -----------------------------------------H t --------------------------------------------- --22- http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 3 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m) Cho hàm s y = x 3 - 3x 2 + 4 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s . 2. G i d là đ ng th ng đi qua đi m A(3; 4) và có h s góc là m. Tìm m đ d c t (C) t i 3 đi m phân bi t A, M, N sao cho hai ti p tuy n c a (C) t i M và N vuông góc v i nhau. Câu II (2đi m) 2 x +1 + y(x + y) = 4y (x, y R ) 1. Gi i h ph ng trình: 2 (x +1)(x + y - 2) = y 2. Gi i ph ng trình: 2 2 sin(x ).cos x 1 12 1 Câu III (1 đi m) Tính tích phân I = xln(x 2 + x +1)dx 0 Câu IV (1 đi m) Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đ u c nh a, hình chi u vuông góc c a A’ lên m t ph ng (ABC) trùng v i tâm O c a tam giác ABC. M t m t ph ng (P) ch a BC và vuông góc v i AA’, c t l ng tr theo a2 3 . Tính th tích kh i l ng tr ABC.A’B’C’. 8 CâuV (1 đi m) Cho a, b, c là ba s th c d ng th a mãn abc = 1. Tìm GTLN c a bi u th c 1 1 1 P= 2 + 2 + 2 . 2 2 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a 2 + 3 II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B. A. Theo ch ng trình Chu n: Câu VIa (2 đi m): x2 1. Trong mp v i h tr c t a đ Oxy cho parabol (P): y = x 2 - 2x và elip (E): + y 2 = 1 .Ch ng minh r ng (P) giao 9 (E) t i 4 đi m phân bi t cùng n m trên m t đ ng tròn. Vi t ph ng trình đ ng tròn đi qua 4 đi m đó. 2. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz cho m t c u (S) có ph ng trình x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y - 6z -11 = 0 và m t ph ng () có ph ng trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Vi t ph ng trình m t ph ng () song song v i () và c t (S) theo giao tuy n là đ ng tròn có chu vi b ng 6. n 1 2 Câu VIIa (1 đi m): Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n nh th c Niut n c a x + 4 , bi t r ng n là 2 x m t thi t di n có di n tích b ng s nguyên d ng th a mãn: 2C0n + 2 2 1 23 2 2n+1 n 6560 C n + Cn + .......... + Cn = 2 3 n +1 n +1 B. Theo ch ng trình Nâng cao: Câu VIb (2 đi m): 1. Trong m t ph ng Oxy cho hai đ ng th ng d1: x + y + 5 = 0, d2: x + 2y – 7 = 0 và tam giác ABC có A(2 ; 3), tr ng tâm là đi m G(2; 0), đi m B thu c d1 và đi m C thu c d2 . Vi t ph ng trình đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC. 2. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz cho tam giác ABC v i A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và m t ph ng (P): x – y – z – 3 = 0. G i M là m t đi m thay đ i trên m t ph ng (P). Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c MA 2 + MB2 + MC2 . Câu VIIb (1 đi m): Tìm các giá tr c a tham s th c m sao cho ph ng trình (m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0 có nghi m th c --33- http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 4 I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): Cho hàm s y = 2 x 3 có đ th là (C) x 2 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s trên. 2. Tìm trên (C) nh ng đi m M sao cho ti p tuy n t i M c a (C) c t 2 ti m c n c a (C) t i A, B sao cho AB ng n nh t. Câu II (2 đi m): sin 3 x.sin3x + cos3 xcos3x 1 1. Gi i ph ng trình: =8 tan x - tan x + 3 6 3 3 3 8x y 27 18y (1) 2. Gi i h ph ng trình: 2 2 4x y 6x y (2) 2 1 2 Câu III (1 đi m): Tính tích phân I = sin x sin x dx 6 2 Câu IV (1 đi m): Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là các tam giác đ u c nh a. Tính theo a kho ng cách t B đ n m t ph ng (SAC). Câu V (1 đi m): Cho x, y, z là các s th c d ng .Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c x y z A= x (x y)(x z) y (y x)(y z) z (z x)(z y) II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B. A. Theo ch ng trình Chu n: Câu VIa (2 đi m): 1. Cho ABC có B(1; 2), phân giác trong góc A có ph ng trình (): 2x + y – 1 = 0; kho ng cách t C đ n () b ng 2 l n kho ng cách t B đ n (). Tìm A, C bi t C thu c tr c tung. 2. Trong không gian Oxyz cho mp (P): x – 2y + z – 2 = 0 và hai đ ng th ng : x 1 2t x 1 3 y z 2 (d1) ; (d2) y 2 t (t ) . Vi t ph ng trình tham s c a đ ng th ng n m trong mp (P) 1 1 2 z 1 t và c t c 2 đ ng th ng (d1), (d2). Câu VIIa (1đi m): T các s 0 , 1 , 2 , 3, 4, 5, 6. L p đ c bao nhiêu s có 5 ch s khác nhau mà nh t thi t ph i có ch s 5 B. Theo ch ng trình Nâng cao: Câu Vb (2đi m): 1. Cho ABC có di n tích b ng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), tr ng tâm G (d) 3x – y –8 =0. Tìm bán kính đ ng tròn n i ti p ABC. 2. Trong không gian Oxyz cho đ ng th ng (d) là giao tuy n c a 2 m t ph ng: (P): 2x – 2y – z +1 = 0, (Q): x + 2y – 2z – 4 = 0 và m t c u (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 6y +m = 0. Tìm t t c các giá tr c a m đ (S) c t (d) t i 2 đi m MN sao cho MN = 8. e x -y + e x + y = 2(x +1) (x, y R ) Câu VIIb (1 đi m): Gi i h ph ng trình x + y e = x - y +1 -----------------------------------------H t -------------------------------------------- --44- http://www.VNMATH.com 63 B thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O ( THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 5 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) 2x 1 (C) Câu I (2 đi m): Cho hàm s y x 1 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s . 2. Tìm m đ đ ng th ng d: y = x + m c t (C) t i hai đi m phân bi t A, B sao cho OAB vuông t i O. Câu II (2 đi m) 1. Gi i ph cos 2 x.cos x 1 21 sin x sin x cos x x 2 y 2 xy 3 ng trình: x 2 1 y 2 1 4 ng trình: 2. Gi i h ph Câu III (1 đi m): Tính tích phân: e 2 cos x sin x . sin 2 xdx 0 Câu IV (1đi m): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a. SA (ABCD) và SA = a. G i M, N l n l t là trung đi m AD, SC. 1. Tính th tích t di n BDMN và kho ng cách t D đ n mp (BMN). 2. Tính góc gi a hai đ ng th ng MN và BD Câu V (1 đi m): Ch ng minh r ng: e x cos x 2 x x2 , x R 2 II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B. A. Theo ch ng trình Chu n: Câu VIa (2 đi m): 1. L p ph ng trình đ ng th ng d đi qua đi m A(1; 2) và c t đ ng tròn (C) có ph x 22 y 12 25 ng trình theo m t dây cung có đ dài b ng 8. 2. Ch ng t r ng ph ng trình x 2 y 2 z 2 2cos .x 2sin . y 4 z 4 4sin 2 0 luôn là ph ng trình c a m t m t c u. Tìm đ bán kính m t c u là l n nh t. Câu VIIa (1 đi m): L p s t nhiên có 5 ch s khác nhau t các ch s {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Hãy tính xác su t đ l p đ c s t nhiên chia h t cho 5. B. Theo ch ng trình Nâng cao: Câu VIb (2 đi m): 1. Cho ABC bi t: B(2; -1), đ ph ng cao qua A có ph ng trình d1: 3x - 4y + 27 = 0, phân giác trong góc C có ng trình d2: x + 2y - 5 = 0. Tìm to đ đi m A. 2. Trong không gian Oxyz , cho đi m A( 3 ; 4 ; 2) ; (d) x = y z -1 và m.ph ng (P): 4x +2y + z – 1 = 0 = 2 3 a) Tìm t a đ đi m H là hình chi u vuông góc c a đi m A lên m t ph ng (P) . b) Vi t ph ng trình m t ph ng () ch a (d) và vuông góc v i m t ph ng (P) . 0 1 2 1004 Câu VIIb (1 đi m): Tính t ng: S C 2009 C 2009 C 2009 ... C 2009 . -----------------------------------------H t ----------------------------------------------55- http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 6 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I. (2,0 đi m) Cho hàm s y x 3 3(m 1) x 2 9 x m , v i m là tham s th c. 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s đã cho ng v i m 1 . 2. Xác đ nh m đ hàm s đã cho đ t c c tr t i x1 , x 2 sao cho x1 x 2 2 . Câu II. (2,0 đi m) 1. Gi i ph 2. Gi i ph sin 2 x 2 sin( x ) . sin x cos x 2 2 ng trình: 2 log 5 (3 x 1) 1 log 3 5 (2 x 1) . ng trình: 1 cot x 5 Câu III. (1,0 đi m) Tính tích phân I 1 x2 1 x 3x 1 dx . Câu IV. (1,0 đi m) Cho hình l ng tr tam giác đ u ABC. A' B ' C ' có AB 1, CC ' m (m 0). Tìm m bi t r ng góc gi a hai đ ng th ng AB' và BC ' b ng 60 0 . Câu V. (1,0 đi m) Cho các s th c không âm x, y, z tho mãn x 2 y 2 z 2 3 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c 5 A xy yz zx . x yz II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ A. Theo ch ng trình Chu n: c làm m t trong hai ph n: A ho c B. Câu VIa. (2,0 đi m) 1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6) , ph ng trình các đ th ng ch a đ ng cao và trung tuy n k t đ nh C l n l t là 2 x y 13 0 và 6 x 13 y 29 0 . Vi t ph trình đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC . ng ng 2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5; 3; 1), P (2; 3; 4) . Tìm to đ đ nh Q bi t r ng đ nh N n m trong m t ph ng ( ) : x y z 6 0. Câu VIIa. (1,0 đi m) Cho t p E 0,1, 2, 3, 4, 5, 6. T các ch s c a t p E l p đ g m 4 ch s đôi m t khác nhau? B. Theo ch ng trình Nâng cao: c bao nhiêu s t nhiên ch n Câu VIb. (2,0 đi m) 1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, xét elíp ( E ) đi qua đi m M (2; 3) và có ph trình m t đ ng chu n là x 8 0. Vi t ph ng trình chính t c c a ( E ). ng 2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho các đi m A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C (0; 3; 2) và m t ph ng ( ) : x 2 y 2 0. Tìm to đ c a đi m M bi t r ng M cách đ u các đi m A, B, C và m t ph ng ( ). Câu VIIb. (1,0 đi m) Khai tri n và rút g n bi u th c 1 x 2(1 x) 2 ... n(1 x) n thu đ 1 7 1 P ( x) a 0 a1 x ... a n x n . Tính h s a8 bi t r ng n là s nguyên d ng tho mãn 2 3 . Cn Cn n c đa th c -----------------------------------------H t --------------------------------------------- --66- http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 7 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m). 1. Kh o sát và v đ th hàm s y = x4 – 4x2 + 3 2. Tìm m đ ph ng trình x 4 4 x 2 3 log 2 m có đúng 4 nghi m. Câu II (2 đi m). 1. Gi i b t ph ng trình: x 5 1 x 5 1 2 x 3 2 0 2. Gi i ph ng trình: x 2 ( x 2) x 1 x 2 Câu III (1 đi m) e x 1 tan( x 2 1) 1 Tính gi i h n sau: lim 3 x 1 x 1 Câu IV (1 đi m). = . Hai m t bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc v i m t Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi , BAD đáy, hai m t bên còn l i h p v i đáy m t góc . C nh SA = a. Tính di n tích xung quanh và th tích kh i chóp S.ABCD. Câu V (1 đi m). Cho tam giác ABC v i các c nh là a, b, c. Ch ng minh r ng: a 3 b3 c 3 3abc a(b 2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) c(a 2 b 2 ) II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ A. Theo ch ng trình Chu n c làm m t trong hai ph n: A ho c B. Câu VIa.( 2 đi m) 1.Trong m t ph ng t a đ Oxy cho đ đ ng th ng : x 2 y 3 0 và hai đi m A(1; 0), B(3; - 4). Hãy tìm trên ng th ng m t đi m M sao cho MA 3MB nh nh t. 2.Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho hai đ x 1 t x t ng th ng: d1 : y 2t và d 2 : y 1 3t . L p ph z 1 t z 2 t ng trình đ ng th ng đi qua M(1; 0; 1) và c t c hai đ ng th ng d1 và d2. 2 Câu VIIa. (1 đi m) Tìm s ph c z th a mãn: z 2 z 0 B. Theo ch ng trình Nâng cao Câu VIb.(2đi m) 1.Trong m t ph ng t a đ cho hai đ ng tròn (C1): x2 + y2 = 13 và (C2): (x - 6)2 + y2 = 25 c t nhau t i A(2; 3). Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua A và c t (C1), (C2) theo hai dây cung có đ dài b ng nhau. x 1 t x t và d 2 : y 1 3t . L p ph ng trình 2.Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho hai đ ng th ng: d1 : y 2t z 1 t z 2 t m t c u có đ ng kính là đo n vuông góc chung c a d1 và d2. Câu VIIb. (1 đi m) Trong các s ph c z th a mãn đi u ki n z 1 2i 1 , tìm s ph c z có modun nh nh t. -----------------------------------------H t --------------------------------------------- --77- http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 8 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): x3 11 Cho hàm s y = + x2 + 3x 3 3 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho. 2. Tìm trên đ th (C) hai đi m phân bi t M, N đ i x ng nhau qua tr c tung Câu II (2 đi m): 1. Gi i ph ng trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 2. Gi i h ph 2 2 ng trình x 91 y 2 y (1) y 2 91 x 2 x 2 (2) Câu III (1 đi m): ex dx ln10 và tìm lim J. bln 2 ex 2 Câu IV (1 đi m): Cho hình l ng tr đ ng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là m t hình thoi c nh a, góc BAD = 600. G i M là trung đi m AA’ và N là trung đi m c a CC’. Ch ng minh r ng b n đi m B’, M, N, D đ ng ph ng. Hãy tính đ dài c nh AA’ theo a đ t giác B’MDN là hình vuông. 1 1 1 Câu V (1 đi m) Cho x, y, z là các s d ng tho mãn 2010 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: x y z 1 1 1 P= . 2x y z x 2 y z x y 2z Cho s th c b ln2. Tính J = b 3 II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B. A. Theo ch ng trình Chu n: Câu VIa (2 đi m): 1. Ph ng trình hai c nh c a m t tam giác trong mp t a đ là 5x - 2y + 6 = 0; 4x + 7y – 21 = 0. Vi t ph ng trình c nh th ba c a tam giác đó, bi t r ng tr c tâm c a nó trùng v i g c t a đ O. x 1 y z 2 2. Trong không gian Oxyz, tìm trên Ox đi m cách đ u đ.th ng (d) : và mp (P): 2x – y – 2z = 0. 1 2 2 Câu VIIa(1 đi m): Cho t p h p X = 0,1,2,3,4,5,6,7 . Có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên g m 5 ch s khác nhau đôi m t t X sao cho 1 trong 3 ch s đ u tiên ph i b ng 1. B. Theo ch ng trình Nâng cao: Câu VIb(2 đi m): 1. Trong m t ph ng t a đ cho hai đ ng tròn (C1): x2 + y2 = 13 và (C2): (x - 6)2 + y2 = 25 c t nhau t i A(2; 3). Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua A và c t (C1), (C2) theo hai dây cung có đ dài b ng nhau. x 3t x 2 t 2. Trong không gian Oxyz cho hai đ ng th ng: (d1): y t ; (d2) : y t . z0 z 4 Ch ng minh (d1) và (d2) chéo nhau. Vi t pt m t c u (S) có đ ng kính là đo n vuông góc chung c a (d1) và (d2). Câu VIIb (1 đi m): Gi i pt sau trong C: z4 – z3 + 6z2 – 8z – 16 = 0. -----------------------------------------H t -------------------------------------------- --88- http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 9 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): Cho hàm s : y x 4 4x 2 m (C) 1. Kh o sát hàm s v i m = 3. 2. Gi s đ th (C) c t tr c hoành t i 4 đi m phân bi t. Tìm m đ hình ph ng gi i h n b i đ th (C) và tr c hoành có di n tích ph n phía trên và ph n phía d i tr c hoành b ng nhau. Câu II (2 đi m): x 2 3x 2 2x 2 3x 1 x 1 2. Gi i ph ng trình: cos3 x cos3x sin 3 x sin 3x 2 4 Câu III (1 đi m): 1. Gi i b t ph ng trình: 2 Tính tích phân: I = 7 sin x 5cos x (sin x cos x) 3 dx 0 Câu IV (1 đi m): Cho hình chóp đ u S.ABCD có đ dài c nh đáy b ng a, m t bên t o v i m t đáy góc 60o. M t ph ng (P) ch a AB và đi qua tr ng tâm tam giác SAC c t SC, SD l n l t t i M, N. Tính th tích hình chóp S.ABMN theo a. 96 2 Câu V (1 đi m) Cho 4 s th c a, b, c, d tho mãn: a2 + b2 = 1;c – d = 3. Cmr: F ac bd cd . 4 II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B. A. Theo ch ng trình Chu n: Câu VIa (2 đi m): 1. Tìm ph ng trình chính t c c a elip (E), bi t tiêu c là 8 và (E) qua đi m M(– 15 ; 1). x 1 2t x y z 2. Trong không gian v i h to đ Oxyz cho 2 đ ng th ng d1 : và d 2 : y t . 1 1 2 z 1 t Xét v trí t ng đ i c a d1 và d2. Vi t ph ng trình đ ng th ng qua O, c t d2 và vuông góc v i d1. Câu VIIa (1 đi m): M t h p đ ng 5 viên bi đ , 6 viên bi tr ng và 7 viên bi vàng. Ng i ta ch n ra 4 viên bi. H i có bao nhiêu cách ch n đ trong s bi l y ra không có đ c 3 màu? B. Theo ch ng trình Nâng cao: Câu VIb (2 đi m): 1.Trong m t ph ng v i h tr c to đ Oxy cho Hypebol (H) có ph ng trình: x2 y2 1 . Vi t ph 16 9 ng trình chính t c c a elip (E) có tiêu đi m trùng v i tiêu đi m c a (H) và ngo i ti p hình ch nh t c s c a (H). 2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho P : x 2 y z 5 0 và (d ) : x3 y 1 z 3 , 2 đi m A( -2; 3; 4). G i là đ ng th ng n m trên (P) đi qua giao đi m c a ( d) và (P) đ ng th i vuông góc v i d Tìm trên đi m M sao cho kho ng cách AM ng n nh t. n 2 1 223 . Câu VIIb (1 đi m): Tìm h s c a x trong khai tri n x 2 bi t n tho mãn: C12n C32n ... C 2n 2n x 3 -----------------------------------------H t -------------------------------------------- --99- http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 10 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) 2x 1 Câu I (2 đi m) Cho hàm s y có đ th (C). x 1 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s . 2. V i đi m M b t k thu c đ th (C) ti p tuy n t i M c t 2 ti m c n t i Avà B . G i I là giao hai ti m c n , tìm v trí c a M đ chu vi tam giác IAB đ t giá tr nh nh t. Câu II (2 đi m) 3sin 2x - 2sin x 1. Gi i ph ng trình: 2 sin 2 x. cos x x 4 4x 2 y 2 6 y 9 0 ng trình : 2 . 2 2. Gi i h ph x y x 2 y 22 0 2 Câu III (1 đi m) Tính tích phân sau: I= e sin x . sin x. cos 3 x. dx. 2 0 Câu IV (1 đi m) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh bên b ng a , m t bên h p v i đáy góc . Tìm đ th tích c a hình chóp đ t giá tr l n nh t. Câu V (1 đi m) Cho 3 s d ng x, y, z tho mãn : x +3y+5z 3 .Ch ng minh r ng: 3xy 625 z 4 4 + 15 yz x 4 4 + 5 zx 81y 4 4 45 5 xyz. II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ A.Theo ch ng trình Chu n: c làm m t trong hai ph n: A ho c B. Câu VIa (2 đi m) 1 ; 0) . ng th ng ch a c nh AB có 2 ph ng trình x – 2y + 2 = 0 , AB = 2AD. Tìm to đ các đ nh A, B, C, D, bi t A có hoành đ âm . 2.Trong không gian v i h to đ Oxyz cho 2 đ ng th ng (d1 ) và (d 2 ) có ph ng trình . 1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho hình ch nh t ABCD có tâm I( (d1 ); L p ph x 1 y 1 z - 2 ; 2 3 1 x - 4 y 1 z 3 6 9 3 ng trình m t ph ng ch a (d 1 ) và (d 2 ) . Câu VIIa (1 đi m) Tìm m đ ph B.Theo ch (d 2 ) : ng trình 10 x 2 8 x 4 m(2 x 1). x 2 1 .có 2 nghi m phân bi t ng trình Nâng cao Câu VIb (2 đi m) 1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho hình vuông ABCD bi t M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2) l n l t thu c c nh AB, BC, CD, AD. Hãy l p ph ng trình các c nh c a hình vuông. 2. Trong không gian v i h to đ Oxyz cho 2 đ ng th ng ( ) và ( ' ) có ph ng trình . x -2 2 t' x 3 t ' Vi t ph ng trình đ ng vuông góc chung c a ( ) và ( ' ) : y -1 2t ; : y 2 t' z 2 4t' z 4 Câu VIIb (1 đi m) Gi i và bi n lu n ph ng trình : mx 1 ( m 2 x 2 2mx 2) x 3 3x 2 4 x 2. --1010 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 11 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) 2x 3 Câu I: (2 đi m) Cho hàm s y x 2 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s . 2. Cho M là đi m b t kì trên (C). Ti p tuy n c a (C) t i M c t các đ ng ti m c n c a (C) t i A và B. G i I là giao đi m c a các đ ng ti m c n.Tìm đi m M sao cho đ ng tròn ngo i ti p ∆ IAB có di n tích nh nh t. Câu II (2 đi m) x x x 1. Gi i ph ng trình : 1 sin sin x cos sin 2 x 2 cos 2 2 2 4 2 2. Gi i b t ph ng trình : log 2 (4 x 2 4 x 1) 2 x 2 ( x 2) log 1 1 x 2 2 ln x Câu III (1 đi m) Tính tích phân I 3 x 2 ln x dx 1 x 1 ln x Câu IV (1 đi m) e Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC = ng tho mãn : a + b + c = 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c Câu V (1 đi m) Cho a, b, c là ba s d P 1 3 a 3b 3 1 b 3c 3 a SAC 300 . Tính th tích kh i chóp S.ABC. . SA a 3 , SAB 2 4 1 c 3a II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B. A.Theo ch ng trình Chu n Câu VIa (2 đi m) 1. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho đi m A(-1;1) và B(3;3), đ ng th ng (D): 3x – 4y + 8 = 0. L p ph ng trình đ ng tròn qua A, B và ti p xúc v i đ ng th ng(D). 2. Trong không gian v i h to đ Oxyz cho hai đi m A(0; 0; -3), B(2; 0; -1) và mp (P) có pt: 3x 8y 7z 1 0 . Vi t pt chính t c đ ng th ng d n m trên mp (P) và d vuông góc v i AB t i giao đi m c a đ ng th ng AB và (P). Câu VIIa (1 đi m) Tìm s nguyên d ng n bi t: 2C22n1 3.2.2C23n1 .... (1)k k(k 1)2k2 C2kn1 .... 2n(2n 1)22n1 C22nn11 40200 B. Theo ch ng trình Nâng cao Câu VIb (2 đi m) 1. Trong m t ph ng v i h tr c to đ Oxy cho cho hai đ ng th ng d1 : 2 x y 5 0 . d2: 3x + 6y – 7 = 0. L p ph ng trình đ ng th ng đi qua đi m P( 2; -1) sao cho đ ng th ng đó c t hai đ ng th ng d1 và d2 t o ra m t tam giác cân có đ nh là giao đi m c a hai đ ng th ng d1, d2. 2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho 4 đi m A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) và m t ph ng (P) có ph ng trình: x y z 2 0 . G i A’là hình chiêú c a A lên m t ph ng Oxy. G i ( S) là m t c u đi qua 4 đi m A’, B, C, D. Xác đ nh to đ tâm và bán kính c a đ Câu VIIb (1 đi m): Gi i h ph 2 ng trình 3 x 1 ng tròn (C) là giao c a (P) và (S). 2 y 2 3.2 y 3 x 3 x 2 1 xy x 1 --1111 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 12 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) 2x 1 có đ th là (C) Câu I (2 đi m): Cho hàm s y x2 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s 2. Ch ng minh đ ng th ng d: y = -x + m luôn luôn c t đ th (C) t i hai đi m phân bi t A, B. Tìm m đ đo n AB có đ dài nh nh t. Câu II (2 đi m): 1. Gi i ph ng trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 2. Gi i b t ph ng trình: Câu III (1 đi m): Tìm nguyên hàm I log 22 x log 2 x 2 3 5 (log 4 x 2 3) dx sin x. cos 5 x 3 Câu IV (1 đi m): Cho l ng tr tam giác ABC.A1B1C1 có t t c các c nh b ng a, góc t o b i c nh bên và m t ph ng đáy b ng 300. Hình chi u H c a đi m A trên m t ph ng (A1B1C1) thu c đ ng th ng B1C1. Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AA1 và B1C1 theo a. Câu V (1 đi m) Xét ba s th c không âm a, b, c th a mãn a2010 + b2010 + c2010 = 3. Tìm GTLN c a bi u th c P = a4 + b4 + c4. II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B. A. Theo ch ng trình Chu n: Câu VIa (2 đi m): 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho đ ng tròn (C) có ph ng trình (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đ ng th ng d: x + y + m = 0. Tìm m đ trên đ ng th ng d có duy nh t m t đi m A mà t đó k đ c hai ti p tuy n AB, AC t i đ ng tròn (C) (B, C là hai ti p đi m) sao cho tam giác ABC vuông. x 1 2t 2. Trong h t a đ Oxyz cho đi m A(10; 2; -1) và đ ng th ng d có ph ng trình y t . L p pt m t ph ng (P) đi z 1 3t qua A, song song v i d và kho ng cách t d t i (P) là l n nh t. Câu VIIa(1 đi m): Có bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s khác nhau và khác 0 mà trong m i s luôn luôn có m t hai ch s ch n và hai ch s l . B. Theo ch ng trình Nâng cao: Câu VIb(2 đi m): 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho đ ng tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 và đ ng th ng d có ph ng trình x + y + m = 0. Tìm m đ trên đ ng th ng d có duy nh t m t đi m A mà t đó k đ c hai ti p tuy n AB, AC t i đ ng tròn (C) (B, C là hai ti p đi m) sao cho tam giác ABC vuông. x 1 y z 1 . L p ph ng 2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho đi m A(10; 2; -1) và đ ng th ng d : 2 1 3 trình m t ph ng (P) đi qua A, song song v i d và kho ng cách t d t i (P) là l n nh t. Câu VIIb (1 đi m): Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s khác nhau mà trong m i s luôn luôn có m t hai ch s ch n và ba ch s l . -----------------------------------------H t -------------------------------------------- --1212 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 13 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): Cho hàm s y = x3 – 3(m+1)x2 + 9x – m (1), m là tham s th c 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 1. 2. Xác đ nh các giá tr m đ hàm s (1) ngh ch bi n trên m t kho ng có đ dài b ng 2. Câu II (2 đi m): x ng trình: 3x 2 2 x1 6 2. Gi i ph ng trình: tan x tan x .sin 3 x s inx + sin2x 6 3 Câu III (1 đi m): 2 1. Gi i ph 2 Tính tích phân 0 s inxdx sinx + 3cosx 3 Câu IV (1 đi m): 600 , BSC 900 , CSA 1200 . Tính th tích hình chóp S.ABC bi t SA = a,SB = b, SC = c, ASB Câu V (1 đi m): Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = log 22 x 1 log 22 y 1 log 22 z 4 trong đó x, y, z là các s d ng tho mãn đi u ki n xyz = 8. II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B. A. Theo ch ng trình Chu n: Câu VIa (2 đi m): 1. Trong mp v i h tr c to đ Oxy cho hai đ ng th ng (d1): x + y + 1 = 0, (d2): 2x – y – 1 = 0. L p ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua M(1;-1) c t (d1) và (d2) t ng ng t i A và B sao cho 2MA MB 0 . 2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho m t ph ng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai đi m A(1;7;-1), B(4;2;0). L p ph ng trình đ ng th ng (D) là hình chi u vuông góc c a đ ng th ng AB trên (P). Câu VIIa(1 đi m): Ký hi u x1 và x2 là hai nghi m ph c c a ph ng trình 2x2 – 2x + 1 = 0. Tính giá tr các s ph c: 1 1 và 2 . 2 x1 x2 B. Theo ch ng trình Nâng cao: Câu VIb(2 đi m): x2 y2 1 . Gi s (d) là m t ti p 1. Trong m t ph ng v i h tr c to đ Oxy, cho hypebol (H) có ph ng trình 9 4 tuy n thay đ i và F là m t trong hai tiêu đi m c a (H), k FM (D). Ch ng minh r ng M luôn n m trên m t đ ng tròn c đ nh, vi t ph ng trình đ ng tròn đó. 2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz, cho ba đi m A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Tìm t a đ tr c tâm c a tam giác ABC. Câu VIIb (1 đi m): Ng i ta s d ng 5 cu n sách Toán, 6 cu n V t lý, 7 cu n Hoá h c (các cu n sách cùng lo i gi ng nhau) đ làm gi i th ng cho 9 h c sinh, m i h c sinh đ c 2 cu n sách khác lo i. Trong 9 h c sinh trên có hai b n Ng c và Th o. Tìm sác xu t đ hai b n Ng c và Th o có ph n th ng gi ng nhau. -----------------------------------------H t -------------------------------------------- --1313 - http://www.VNMATH.com 63 B thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O ( THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 14 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): Cho hàm s y x 3 2mx 2 (m 3) x 4 có đ th là (Cm) 1.Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C1) c a hàm s trên khi m = 1. 2. Cho (d) là đ ng th ng có ph ng trình y = x + 4 và đi m K(1; 3). Tìm các giá tr c a tham s m sao cho (d) c t (Cm) t i ba đi m phân bi t A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có di n tích b ng 8 2 . Câu II (2 đi m): 1. Gi i ph ng trình: cos 2 x 5 2(2 - cos x )(sin x - cos x ) log 2 x 1 log 3 x 1 ng trình : 0 x 2 3x 4 2 2. Gi i b t ph Câu III (1 đi m): Tính tích phân I = 4 sin 6 x cos 6 x 4 6x 1 3 dx Câu IV (1 đi m): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a , tâm O . Hai m t bên SAB và SAD cùng vuông góc v i m t ph ng đáy và SA = 2a . G i H , K l n l t là hình chi u c a A lên SB ,SD . Tính th tích kh i chóp OAHK. Câu V (1 đi m): Cho ba s th c d ng a, b, c th a mãn abc = 1. Ch ng minh r ng: 4 a3 4b3 4c 3 3 (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ A.Theo ch ng trình Chu n: c làm m t trong hai ph n: A ho c B. Câu VIa (2 đi m): 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho ba đi m I(2; 4) ; B(1;1) ; C(5;5) . Tìm đi m A sao cho I là tâm đ ng tròn n i ti p ABC. 2. Trong không gian v i h to đ Oxyz cho ba đi m A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và m t ph ng (P): x + y + z - 2 = 0. Vi t ph ng trình m t c u đi qua ba đi m A, B, C và có tâm thu c m t ph ng (P) Câu VIIa (1 đi m): Gi i ph B.Theo ch ng trình: x 4 x 2 2 3x 4 x 2 ng trình Nâng cao Câu VIb (2 đi m): 1.Trong m t ph ng Oxy , cho hình thang ABCD có AB //CD và A( 10;5) ; B(15;-5 ) ; D (-20;0 ) Tìm to đ C 2. Trong không gian Oxyz cho đ x t ng th ng ( ): y 1 2t ( t R ) và m t ph ng (P): 2x – y - 2z – 2 = 0 z 2 t Vi t ph ng trình m t c u(S) có tâm I và kho ng cách t I đ n mp(P) là 2 và m t c u(S) c t mp(P) theo giao tuy n đ ng tròn (C) có bán kính r = 3 Câu VIIb (1 đi m): Tìm các giá tr c a tham s th c m sao cho ph ng trình sau có nghi m th c: 2 2 91 1 x (m 2)31 1 x 2 m 1 0 -----------------------------------------H t ---------------------------------------------1414 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 15 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m) x3 Cho hàm s y = x 1 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho. 2. Cho đi m Mo(xo;yo) thu c đ th (C). Ti p tuy n c a (C) t i Mo c t các ti m c n c a (C) t i các đi m A và B. Ch ng minh Mo là trung đi m c a đo n th ng AB. Câu II (2 đi m) 1. Gi i ph ng trình: 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 2. Gi i ph ng trình: x + 2 7 x = 2 x 1 + x 2 8x 7 1 ( x R) 2 Câu III (1 đi m) Tính tích phân: I ( x 2) ln xdx Câu IV (1 đi m) Cho hình l p ph 1 2 a. M t ph ng () 3 ng thành hai kh i đa di n. Tính th tích c a hai kh i đa di n đó. ng ABCD. A'B'C'D' có c nh b ng a và đi m K thu c c nh CC' sao cho CK = đi qua A, K và song song BD chia kh i l p ph Câu V (1 đi m) Cho a, b, c là ba s d ng. Ch ng minh r ng a3 b3 c3 a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 9 2 2abc c ab a 2 bc b 2 ac 2 II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B. A. Theo ch ng trình Chu n: Câu VIa. (2 đi m) 1.Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, l p ph ng trình chính t c c a elip (E) có đ dài tr c l n b ng 4 2 , các đ nh trên tr c nh và các tiêu đi m c a (E) cùng n m trên m t đ ng tròn. 2.Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3). a) Vi t ph ng trình đ ng th ng qua O và vuông góc v i m t ph ng (ABC). b) Vi t ph ng trình (P) ch a OA, sao cho kho ng cách t B đ n (P) b ng kho ng cách t C đ n (P). Câu VIIa. (1 đi m) 1 Gi i ph ng trình : 2(log2x + 1)log4x + log2 = 0 4 B. Theo ch ng trình Nâng cao: Câu VIb. (2 đi m) 1. Trong m t ph ng t a đ (Oxy), cho đ ng th ng d : 2 x y 4 0 . L p ph ng trình đ ng tròn ti p xúc v i các tr c t a đ và có tâm trên đ ng th ng (d). 2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz , cho : x y 2 z 5 0 và m t c u (S) ( x 1) 2 ( y 1) 2 ( z 2) 2 25 a) L p ph ng trình ti p di n c a m t c u song song v i Ox và vuông góc v i ng trình m t ph ng đi qua hai A(1;– 4;4) đi m B(3; – 5; – 1) và h p v i m t góc 600 Câu VIIb. (1 đi m) T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên ch n có 5 ch s khác nhau mà m i s l p đ đ u nh h n 25000? -----------------------------------------H t -------------------------------------------b) L p ph --1515 - http://www.VNMATH.com c 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 16 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I: (2 đi m): x Cho hàm s y (C) x 1 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho 2. Vi t ph ng trình ti p tuy n v i đ th (C) , bi t r ng kho ng cách t tâm đ i x ng c a (C) đ n ti p tuy n là l n nh t. Câu II: (2 đi m): 1 1. Gi i ph ng trình: cos3x cos2x cosx 2 x4 x4 2. Gi i b t ph ng trình : x x 2 16 3 2 e 2 Câu III: (1 đi m): Tính tích phân: I x ln xdx . x 1 Câu IV: (1 đi m): Cho hình chóp l c giác đ u S.ABCDEF v i SA = a, AB = b. Tính th tích c a hình chóp đó và kho ng cách gi a các đ ng th ng SA, BE. Câu V: (1 đi m): Cho x, y là các s th c thõa mãn đi u ki n: x 2 xy y 2 3. Ch ng minh r ng : (4 3 3) x 2 xy 3y 2 4 3 3. II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ A.Theo ch ng trình Chu n: c làm m t trong hai ph n: A ho c B. Câu VIa: (2 đi m): 1.Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho ∆ABC v i B(2; -7), ph ng trình đ ng cao AA’: 3x + y + 11 = 0 ; ph ng trình trung tuy n CM : x + 2y + 7 = 0 . Vi t ph ng trình t ng quát c a đ ng th ng AB và AC 2.Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho (P): 3x + 2y – z + 4 = 0 và đi m A(4;0;0), B(0; 4; 0). G i I là trung đi m c a đo n th ng AB. a) Tìm t a đ giao đi m E c a đ ng th ng AB v i m t ph ng (P). b) Xác đ nh t a đ đi m K sao cho KI vuông góc v i m t ph ng (P) đ ng th i K cách đ u g c t a đ O và m t ph ng (P). 3log x 3 2 log x 2 Câu VIIa: (1 đi m): Gi i b t ph ng trình: 3 log x 3 log x 2 B.Theo ch ng trình Nâng cao Câu VIb: (2 đi m): 1. Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua M(1 ; 4 ) và c t hai tia Ox,Oy t i hai đi m A,B sao cho đ dài OA + OB đ t giá tr nh nh t. 2.Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho A(-1 ; 0 ; 2) ; B( 3 ; 1 ; 0) ; C(0 ; 1 ; 1) và đ ng th ng (d) là giao tuy n c a hai m t ph ng (P) : 3x –z + 5 = 0 ; (Q) : 4x + y – 2z + 1 = 0 a) Vi t ph ng trình tham s c a (d) và ph ng trình m t ph ng ( ) qua A ; B; C . b) Tìm giao đi m H c a (d) và ( ) . Ch ng minh H là tr c tâm c a tam giác ABC . Câu VIIb: (1 đi m): Cho t p A= { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s khác nhau ch n trong A sao cho s đó chia h t cho 15. -----------------------------------------H t -------------------------------------------- --1616 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 17 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): G i (Cm) là đ th c a hàm s y x3 (2m 1) x 2 m 1 (1) m là tham s 1.Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 1. 2.Tìm đ đ th (Cm) ti p xúc v i đ ng th ng y 2mx m 1 Câu II (2 đi m): 1. Tìm nghi m x 0; c a ph ng trình: (1 cos x) (sin x 1)(1 cos x) (1 cos x) (sin x 1)(1 cos x) sin x 2 2 x 2 2 x y 2 3 y 5 . 2. Gi i h ph ng trình: x 2 2 x y 2 3 y 2 Câu III (1 đi m): 4 sin 4x Tính tích phân I dx . cos x. tan 4 x 1 Câu IV (1 đi m): Cho kh i l ng tr tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đ u c nh a và đ nh A’ cách đ u các đ nh A, B, C. C nh bên AA’ t o v i đáy góc 600. Tính th tích c a kh i l ng tr theo a. Câu V (1 đi m) Cho 4 s th c x, y, z, t 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 2 0 1 1 1 1 P (xyzt 1) 4 4 4 4 x 1 y 1 z 1 t 1 II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B. A. Theo ch ng trình Chu n: Câu VIa (2 đi m): 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho D ABC có c nh AC đi qua đi m M(0;– 1). Bi t AB = 2AM, pt đ phân giác trong (AD): x – y = 0, đ ng cao (CH): 2x + y + 3 = 0. Tìm t a đ các đ nh c a D ABC . 2. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz cho 4 đi m A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2), D(-1;-3;1). Ch ng t A,B,C,D là 4 đ nh c a m t t di n và tìm tr c tâm c a tam giác ABC. Câu VIIa (1 đi m): Cho t p h p X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. T các ch s c a t p X có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s khác nhau và ph i có m t ch s 1 và 2. B. Theo ch ng trình Nâng cao: Câu VIb(2 đi m): 1. Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) qua A(1 ; 2) và t o v i đ ng th ng (D): x +3 1 = y-5 2 ng m t góc 450 . 2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho đ ng th ng d là giao tuy n c a 2 mp: (P) : x - my + z - m = 0 và Q) : mx + y - mz -1 = 0, m là tham s . a) L p ph ng trình hình chi u c a (d) lên m t ph ng Oxy. b) Ch ng minh r ng khi m thay đ i, đ ng th ng luôn ti p xúc v i m t đ ng tròn c đ nh trong m t ph ng Oxy. Câu VIIb (1 đi m): Gi i ph ng trình sau trên t p C : (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = 0 -----------------------------------------H t -------------------------------------------- --1717 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 18 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): 2x 4 . 1. Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s y = x 1 2. Tìm trên (C) hai đi m đ i x ng nhau qua đ ng th ng MN bi t M(- 3;0) và N(- 1; - 1). Câu II (2 đi m): 1 3x 7 = 1. Gi i ph ng trình: 4cos4x – cos2x cos4x + cos 2 4 2 x x 2. Gi i ph ng trình: 3 .2x = 3 + 2x + 1 Câu III (1 đi m): 2 1 s inx x Tính tích phân: K = e dx 1+cosx 0 Câu IV (1 đi m) Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC đ dài c nh bên b ng 1. Các m t bên h p v i m t ph ng đáy m t góc . Tính th tích hình c u n i ti p hình chóp S.ABC. 52 Câu V (1 đi m) G i a, b, c là ba c nh c a m t tam giác có chu vi b ng 2. CMR: a 2 b 2 c 2 2abc 2 27 II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B. A. Theo ch ng trình Chu n: Câu VIa (2 đi m): 1. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho elip (E) : x2 + 4y2 = 16 a) ng th ng d qua tiêu đi m trái , vuông góc v i tr c l n , c t (E) t i M và N . Tính đ dài MN b) Cmr : OM2 + MF1.MF2 luôn là h ng s v i M tùy ý trên (E) x2 y z4 2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho đ ng th ng (d): và hai đi m A(1;2; - 1), B(7;3 2 2 2;3). Tìm trên (d) nh ng đi m M sao cho kho ng cách t đó đ n A và B là nh nh t. Câu VIIa(1 đi m) Tính giá tr bi u th c sau : M = 1 + i + i2 + i3 + …………….. + i2010 B. Theo ch ng trình Nâng cao: Câu VIb(2 đi m): 1. Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua A(- 4 ; 6 ) và t o v i hai tr c t a đ m t tam giác có di n tích là 6 x2 y 2 z 3 2. Trong không gian Oxyz , cho đi m A(1 ; 2 ; 3) và hai đ ng th ng :(d1) : 2 1 1 x 1 y 1 z 1 và (d2) : 2 1 1 a) Tìm to đ đi m A’ đ i x ng đi m A qua đ ng th ng (d1) . b) Ch ng t (d1) và (d2) chéo nhau . Vi t ph ng trình đ ng vuông góc chung c a (d1) và (d2) . x x 8 y x y y Câu VIIb (1 đi m): Gi i h ph ng trình: x y 5 -----------------------------------------H t -------------------------------------------- --1818 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 19 I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): Cho hàm s y x 4 mx 3 2x 2 3mx 1 (1) . 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s (1) khi m = 0. 2. nh m đ hàm s (1) có hai c c ti u. Câu II (2 đi m): 23 2 8 1. Gi i ph ng trình: cos3x.cos3x – sin3x.sin3x = 2. Gi i ph ng trình: 2x +1 + x x 2 2 x 1 x 2 2x 3 0 Câu III (2 đi m): 2 Tính tích phân: I x 1 sin 2xdx . 0 Câu IV (1 đi m) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a 2 . áy là tam giác ABC cân BAC 1200 , c nh BC = 2a. G i M là trung đi m c a SA, tính kho ng cách t M đ n m t ph ng (SBC). Câu V (1 đi m) Cho x, y, z là các s th c d ng tho mãn: x + y + z = xyz.Tìm GTNN c a A xy yz zx . z (1 xy ) x(1 yz ) y (1 zx) II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B. A. Theo ch ng trình Chu n: Câu VIa (2 đi m): 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đi m M (–2 ; 5) và hai đ ng th ng (d1) : 4x – 2y –1 = 0 ; x = -2 + 3t (d2) : y = t a) Tính góc gi a (d1) và (d2) . b) Tìm đi m N trên (d2) cách đi m M m t kho ng là 5 2. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho 3 đi m A(3;1;1), B(0;1;4), C(-1;-3;1). L p ph ng trình c a m t c u (S) đi qua A, B, C và có tâm n m trên m t ph ng (P): x +y – 2z + 4 = 0. 2010 2008 2006 Câu VIIa(1 đi m): Ch ng minh 3 1 i 4i 1 i 4 1 i B. Theo ch ng trình Nâng cao: Câu VIb (2 đi m): 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho ∆ABC v i C(2; 3) , ph ng trình đ ng th ng (AB): 3x – 4 y + 1 = 0 ph ng trình trung tuy n (AM) : 2x – 3y + 2 = 0 . Vi t ph ng trình t ng quát c a đ ng th ng AC và BC. 2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho các đi m A(-1; -1; 0), B(1; -1; 2), C(2; -2; 1), D(-1; 1; 1). a) Vi t ph ng trình c a m t ph ng ch a AB và song song v i CD. Tính góc gi a AB, CD. b) Gi s m t ph ng ( ) đi qua D và c t ba tr c t a đ t i các đi m M, N, P khác g c O sao cho D là tr c tâm c a tam giác MNP. Hãy vi t ph ng trình c a ( ). Câu VIIb(1 đi m): Gi i ph ng trình: 4 x 2 x 1 2 2 x 1 sin 2 x y 1 2 0 . -----------------------------------------H t -------------------------------------------- --1919 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 20 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m) Cho hàm s y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (m là tham s ) (1) 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 2 2. Tìm các giá tr c a m đ đ th hàm s (1) có đi m c c đ i, đi m c c ti u, đ ng th i hoành đ c a đi m c c ti u nh h n 1. Câu II (2 đi m) 1. Gi i ph ng trình: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0 ( x y)( x 2 y 2 ) 13 2. Gi i h ph ng trình: (x, y ) ( x y)( x 2 y 2 ) 25 Câu III (1 đi m) Tính tích phân: I e x 1 3 2 ln x 1 2 ln x dx Câu IV (1 đi m) Cho l ng tr ABC.A'B'C' có A'.ABC là h.chóp tam giác đ u c nh đáy AB = a, c nh bên AA' = b. G i là góc gi a hai mp (ABC) và (A'BC). Tính tan và th tích c a kh i chóp A'.BB'C'C Câu V (1 đi m) Cho hai s d ng x, y thay đ i th a mãn đi u ki n x + y 4. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 3x 2 4 2 y 3 A= 4x y2 II. PH N T CH N (3,0 đi m). T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B. A.Theo ch ng trình Chu n Câu VIa. (2 đi m) 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có đ nh A(2;1), đ ng cao qua đ nh B có ph ng trình là x – 3y – 7 = 0 và đ ng trung tuy n qua đ nh C có ph ng trình là x + y + 1 = 0. Xác đ nh t a đ các đ nh B và C c a tam giác. 2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho đi m G(1 ; 1 ; 1) . a) Vi t ph ng trình m t ph ng ( ) qua G và vuông góc v i đ ng th ng OG . b) ( ) c t Ox, Oy ,Oz t i A, B,C . Ch ng minh tam giác ABC đ u và G là tr c tâm tam giác ABC. Câu VIIa. (1 đi m) Cho hai đ ng th ng song song d1 và d2. Trên đ ng th ng d1 có 10 đi m phân bi t, trên đ ng th ng d2 có n đi m phân bi t (n 2). Bi t r ng có 2800 tam giác có đ nh là các đi m đã cho. Tìm n. B.Theo ch ng trình Nâng cao Câu VIb. (2 đi m) 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho (E): 9x2 + 16y2 = 144 Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua M(2 ; 1) và c t elip (E) t i A và B sao cho M là trung đi m c a AB 2.Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho m t ph ng (P): 2x – y + 2z + 5 = 0 và các đi m A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) a)Vi t ph ng trình hình chi u vuông góc c a đ ng th ng AB trên m t ph ng (P) b)Vi t ph ng trình m t c u đi qua O, A, B và ti p xúc v i m t ph ng (P). Câu VIIb. (1 đi m) Tìm các giá tr x trong khai tri n nh th c Newton 2lg(103 ) 5 2(x 2)lg3 x n bi t r ng s h ng th 6 c a khai tri n b ng 21 và C1n C3n 2C2n . -----------------------------------------H t ---------------------------------------------2020 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 21 . I. PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): 1 Cho hàm s y = x3 – mx2 +(m2 – 1)x + 1 ( có đ th (Cm) ) 3 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s khi m = 2. 2. Tìm m, đ hàm s (Cm) có c c đ i, c c ti u và yC + yCT > 2 . Câu II (2 đi m): ng trình: 15.2 x 1 1 2 x 1 2 x 1 1. Gi i b t ph 2. Tìm m đ ph ng trình: 4(log 2 x )2 log 0,5 x m 0 có nghi m thu c (0, 1). Câu III (2 đi m):Tính tích phân: I = 3 dx x 1 x . 6 2 1 Câu IV (1 đi m): Tính th tích c a hình chóp S.ABC, bi t đáy ABC là m t tam giác đ u c nh a, m t bên (SAB) vuông góc v i đáy, hai m t bên còn l i cùng t o v i đáy góc . cos x v i0 0 và a b c 1 nên a, b, c 0;1 2 2 2 2 a 5 2a 3 a a a 1 a3 a Ta có: 2 2 2 b c 1 a 2 0,25 B T thành: a 3 a b3 b c 3 c Xét hàm s f x x 3 x, x 0;1 Ta có: Max f x = 0;1 2 3 3 2 3 9 0,25 0,25 2 3 đpcm 3 1 ng th c x y ra a b c 3 f a f b f c VI.a 0,25 1 1,0 9 3 I ; , M 3; 0 2 3 0,25 Gi s M là trung đi m c nh AD. Ta có: AB = 2IM = 3 2 S ABCD AB. AD 12 AD 2 2 AD qua M và vuông góc v i d1 AD: x + y – 3 = 0 L i có MA = MB = 2 x y 3 0 x 2 x 4 ho c T a đ A, D là nghi m c a h : 2 2 y 1 y 1 x 3 y 2 Ch n A(2 ; 1) D 4; 1 C 7; 2 và B 5; 4 2 0,25 0,25 0,25 G i H là trung đi m đo n AB HA 8 IH2 = 17 IA2 = 81 R 9 1,0 0,25 0,25 0,25 C : x 1 y 1 z 1 0,25 2 2 2 81 VII.a 1,0 -42- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 2 2 1 23 2 2n 1 n n Cn 1 x dx 2C Cn Cn ... n 1 2 3 0 2 0 n 0,25 3n 1 1 6560 3n 1 6561 n 7 n 1 n 1 0,25 7 1 1 k 14 43k x C7 x k 24 x 0 2 14 3k S h ng ch a x2 ng v i k th a: 2k 7 4 21 V y h s c n tìm là: 4 7 VI.b 1 0,25 0,25 1,0 0,25 G i A(-4; 8) BD: 7x – y + 8 = 0 AC: x + 7y – 31 = 0 G i D là đ ng th ng qua A có vtpt (a ; b) D: ax + by + 4a – 5b = 0, D h p v i AC m t góc 450 a = 3, b = -4 ho c a = 4, b = 3 AB: 3x 4 y 32 0; AD : 4 x 3 y 1 0 0,25 1 9 2 2 BC : 4 x 3 y 24 0; CD : 3 x 4 y 7 0 G i I là tâm hình vuông I( ; ) C 3; 4 0,25 KL: 2 Ta có: A, B n m khác phía so v i (P).G i B’ là đi m đ i x ng v i B qua (P) B’(-1; -3; 4) MA MB MA MB ' AB ' ng th c x y ra khi M, A, B’ th ng hàng M là giao đi m c a (P) và AB’ x 1 t AB’: y 3 z 2t 0,25 0,25 0,25 M(-2; -3; 6) VII.b 0,25 1,0 k: x 0, y > 0 1 2 2 log 3 x log 3 y 0 log 3 x log 3 y 3 2 x 3 y 2 my 0 x y ay 0 0,25 1,0 0,25 y x y x , 1 3 2 2 y y a, 2 y y ay 0 H có nghi m khi (2) có nghi m y > 0 Ta có : f(y) = y 2 y >0 , y > 0 Do đó pt f(y) = a có nghi m d ng khi a>0 V y h có nghi m khi a > 0 -43- 0,25 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 B thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O K THI TUY N SINH NG N M 2011 Môn: Toán. Kh i A, B. thi th l n 1 Câu I. (2 đi m). I H C, CAO Th i gian làm bài: 180 phút (Không k th i gian giao đ ) y Cho hàm s 2x 1 x 1 (1). 1) Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s (1). 2) Tìm đi m M thu c đ th (C) đ ti p tuy n c a (C) t i M v i đ M và giao đi m hai đ ng ti m c n có tích h s góc b ng - 9. ng th ng đi qua Câu II. (2 đi m) 1) Gi i ph 2) Gi i ph 1 x ng trình sau: ng trình l 1 2 x2 sin 4 2 x c os 4 2 x ng giác: tan( Câu III. (1 đi m) Tính gi i h n sau: L lim 2. 4 x ). tan( 4 x) c os 4 4 x . 3 ln(2 e e.c os2 x ) 1 x 2 x2 x 0 Câu IV. (2 đi m) Cho hình nón đ nh S có đ dài đ ng sinh là l, bán kính đ ng tròn đáy là r. G i I là tâm m t c u n i ti p hình nón (m t c u bên trong hình nón, ti p xúc v i t t c các đ ng sinh và đ ng tròn đáy c a nón g i là m t c u n i ti p hình nón). 1. Tính theo r, l di n tích m t c u tâm I; 2. Gi s đ dài đ ng sinh c a nón không đ i. V i đi u ki n nào c a bán kính đáy thì di n tích m t c u tâm I đ t giá tr l n nh t? Câu V (1 đi m) Cho các s th c x, y, z th a mãn: x2 + y2 + z2 = 2. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c: P = x3 + y3 + z3 – 3xyz. 1 2 Câu VI. (1 đi m) Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình ch nh t ABCD có tâm I ( ; 0) ng th ng AB có ph ng trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành đ đi m A âm. Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t đó. Câu VII. (1 đi m) Gi i h ph ng trình : 2 2 x 2 2010 2009 y x y 2 2010 3 log 3 ( x 2 y 6) 2 log 2 ( x y 2) 1 --------------- H T --------------- Thí sinh không đ c s d ng b t c tài li u gì! - Cán b coi thi không gi i thích gì thêm! H và tên thí sinh: ……….………………………………….……. S báo danh: ………………... Ghi chú: -44- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 H CÂU I.1 NG D N N I DUNG I M 2x 1 3 2 x 1 x 1 +) Gi i h n, ti m c n: lim y 2; lim y 2; lim y ; lim y Hàm s : y x x ( 1) x x ( 1) - TC đ ng: x = -1; TCN: y = 2. 3 0, x D +) y ' 2 x 1 +) BBT: - x y' y + -1 || + + 2 || 2 1 đi m +) T: 8 6 4 2 -10 -5 10 5 -2 -4 -6 I.2 +) Ta có I(- 1; 2). G i M (C ) M ( x0 ; 2 y yI 3 3 ) k IM M x0 1 xM xI ( x0 1) 2 +) H s góc c a ti p tuy n t i M: k M y '( x0 ) II.1 x0 1 1 đi m 2 +) ycbt kM .kIM 9 +) Gi i đ c x 0 = 0; x 0 = -2. Suy ra có 2 đi m M th a mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5) +) K: x ( 2; 2) \ {0} +) t y x y 2 xy 2 x 2 , y 0 Ta có h : 2 2 x y 2 +) Gi i h đx ta đ 1 3 1 3 x x 2 2 ; c x = y = 1 và 1 3 1 3 y y 2 2 +) K t h p đi u ki n ta đ II.2 3 +) K: x 4 k 2 c: x = 1 và x 1 đi m 1 3 2 ,k Z ) tan( x) tan( x) tan( x) cot( x) 1 4 4 4 4 1 1 1 sin 4 2 x cos 4 2 x 1 sin 2 4 x cos 2 4 x 2 2 2 4 2 pt 2 cos 4 x cos 4 x 1 0 -45- 1 đi m http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 +) Gi i pt đ c cos24x = 1 cos8x = 1 x k +) K t h p K ta đ III L lim c nghi m c a ph 3 ln(2 e e.c os2 x ) 1 x 2 x2 x 0 lim 4 và cos24x = -1/2 (VN) ng trình là x k 2 ,k Z 3 ln(1 1 c os2 x ) 1 1 x 2 x2 x 0 3 2 2 2 ln(1 2 sin 2 x ) 1 1 x ln(1 2 sin 2 x ) 1 lim lim x 0 2 2 2 3 2 2 2 3 x0 x (1 x ) 1 x 1 x x 2 sin 2 x 2 sin 2 x 2 sin 2 x 2 sin 2 x 1 5 2 3 3 IV.1 +) G i rC là bán kính m t c u n i ti p nón, và c ng là bán kính đ ng tròn n i ti p tam giác SAB. S SAB prC (l r ).rC Ta có: rC IV.2 +) S 1 SM . AB 2 l 1 đi m l 2 r 2 .2r lr r lr 2(l r ) 2 2 +) S c u = 4 r C 4 r 1 đi m I l r lr A M r B t: y (r ) lr 2 r 3 ,0 r l lr 5 1 r l 2r (r rl l ) 2 0 ) y '(r ) (l r ) 2 5 1 l r 2 2 2 +) BBT: r 0 y'(r) y(r) 5 1 l 2 y max +) Ta có max S c u đ t y(r) đ t max r V l 1 đi m 5 1 l 2 +) Ta có P ( x y z )( x 2 y 2 z 2 xy yz zx) x2 y 2 z 2 ( x y z)2 P ( x y z) x2 y 2 z 2 2 ( x y z )2 2 ( x y z )2 P ( x y z) 2 ( x y z ) 3 2 2 +) t x +y + z = t, t 6( Bunhia cov xki) , ta đ 1 đi m 1 2 3 c: P (t ) 3t t +) P '(t ) 0 t 2 , P( 6 ) = 0; P( 2) 2 2 ; P( 2) 2 2 +) KL: MaxP 2 2; MinP 2 2 -46- http://www.VNMATH.com 63 VI thi th i h c 2011 +) d ( I , AB) +) PT đ 5 AD = 2 5 AB = 2 5 BD = 5. ng tròn K BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4 +) T a đ A, B là nghi m c a h x 2 1 2 25 2 y2 A(2; 0), B(2; 2) : ( x 2 ) y 4 x 2 x 2 y 2 0 y 0 C (3;0), D(1; 2) VII 2 y 2 x 2 x 2010 (1) 2009 y 2 2010 3 log 3 ( x 2 y 6) 2 log 2 ( x y 2) 1(2) +) K: x + 2y = 6 > 0 và x + y + 2 > 0 +) L y loga c s 2009 và đ a v pt: x 2 log 2009 ( x 2 2010) y 2 log 2009 ( y 2 2010) +) Xét và CM HS f (t ) t log 2009 (t 2010), t 0 đ ng bi n, t đó suy ra x2 = y2 x= y, x = - y +) V i x = y th vào (2) và đ a v pt: 3log 3 (x +2) = 2log 2 (x + 1) = 6t t t 1 8 a pt v d ng 9 9 1 , cm pt này có nghi m duy nh t t = 1 x = y =7 +) V i x = - y th vào (2) đ c pt: log 3 (y + 6) = 1 y = - 3 x = 3 Ghi chú: - Các cách gi i khác v i cách gi i trong đáp án mà v n đúng, đ thì c ng cho đi m t i đa. - Ng i ch m có th chia nh thang đi m theo g i ý các b c gi i. -47- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Ð THI thö I H C lÇn ii N M häc: 2010-2011 Môn thi : TOÁN lμm bμi:180 phótThêi gian (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I:(2 đi m) Cho hàm s y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đ th là (C m ); ( m là tham s ) 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s khi m = 3. 2. Xác đ nh m đ (C m ) c t đ ng th ng: y = 1 t i ba đi m phân bi t C(0;1), D, E sao cho các ti p tuy n c a (C m ) t i D và E vuông góc v i nhau. Câu II:(2 đi m) 1. Gi i h ph x 2 y xy 0 x 1 2 y 1 1 ng trình: 2. T×m x (0; ) tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh: cotx – 1 = cos 2 x 1 sin 2 x sin 2 x . 1 tan x 2 Câu III: (2 đi m) 1. Trên c nh AD c a hình vuông ABCD có đ dài là a, l y đi m M sao cho AM = x (0 < x a). Trên đ ng th ng vuông góc v i m t ph ng (ABCD) t i A, l y đi m S sao cho SA = 2a. a) Tính kho ng cách t đi m M đ n m t ph ng (SAC). b) KÎ MH vu«ng gãc víi AC t¹i H . T×m vÞ trÝ cña M ®Ó thÓ tÝch khèi chãp SMCH lín nhÊt 2. Tính tích phân: I = 4 0 ( x sin 2 2 x) cos 2 xdx . Câu IV: (1 đi m) : Cho c¸c sè thùc d−¬ng a,b,c thay ®æi lu«n tho¶ m·n : a+b+c=1. a b2 b c2 c a2 Ch ng minh r ng : 2. bc ca ab PH N RIÊNG (3 đi m) ( A. Theo ch ng trình chu n Chó ý!:ThÝ sinh chØ ®−îc chän bμi lμm ë mét phÇn) Câu Va :1.Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng träng t©m thuéc ®−êng th¼ng : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C. 2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®iÓm A(1;4;2),B(-1;2;4) vμ ®−êng th¼ng : x 1 y 2 z .T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn 1 2 1 Câu VIa : Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: ( 2 3) x 2 2 x 1 (2 3) x 2 2 x 1 3 vμ 2 sao cho: MA2 MB2 28 4 2 3 B. Theo ch ng trình Nâng cao Câu Vb: 1. Trong mpOxy, cho đ ng tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0. Tìm M thu c tr c tung sao cho qua M k đ c hai ti p tuy n c a (C) mà góc gi a hai ti p tuy n đó b ng 600. 2.Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m M(2 ; 1 ; 0) và đ ng th ng d víi d: x 1 y 1 z .Vi t ph 2 1 1 c t và vuông góc v i đ ng trình chính t c c a đ ng th ng đi qua đi m M, ng th ng d vμ t×m to¹ ®é cña ®iÓm M’ ®èi xøng víi M qua d 4 log 3 xy 2 ( xy ) log 3 2 Câu VIb: Gi i h ph ng trình 2 2 log 4 ( x y ) 1 log 4 2 x log 4 ( x 3 y ) ………………… …..………………..H t……………………………………. (C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm) -48- http://www.VNMATH.com 63 C©u thi th i h c 2011 H−íng dÉn chÊm m«n to¸n Néi Dung ý §iÓm 2 1 I 1 Kh¶o s¸t hμm sè (1 ®iÓm) y = x3 + 3x2 + mx + 1 (C m ) 3 2 1. m = 3 : y = x + 3x + 3x + 1 (C 3 ) + TXÑ: D = R + Gi i h n: lim y , lim y x 0,25 x 2 + y’ = 3x + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2 0; x hμm sè ®ång biÕn trªn R Baûng bieán thieân: 0,25 0,25 + y” = 6x + 6 = 6(x + 1) y” = 0 x = –1 tâm đ i x ng U(-1;0) * Ñoà thò (C 3 ): Qua A(-2 ;-1) ; U(-1 ;0) ; A’(0 ;1) 0,25 1 2 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C m ) vaø ñöôøng thaúng y = 1 laø: x 0 x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 x(x2 + 3x + m) = 0 2 (2) x 3x m 0 * (C m ) caét ñöôøng thaúng y = 1 taïi C(0;1), D, E phaân bieät: Phöông trình (2) coù 2 nghieäm x D , x E 0. m 0 9 4m 0 2 4 (*) 0 3 0 m 0 m 9 0,25 0,25 Luùc ñoù tieáp tuyeán taïi D, E coù heä soá goùc laàn löôït laø: k D =y’(x D )= 3x 2D 6x D m (3x D 2m); -49- 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 k E =y’(x E )= 3x 2E 6x E m (3x E 2m). Caùc tieáp tuyeán taïi D, E vuoâng goùc khi vaø chæ khi: k D k E = –1 (3x D + 2m)(3x E + 2m) =-1 0,25 9x D x E +6m(x D + x E ) + 4m2 = –1 9m + 6m(–3) + 4m2 = –1 (vì x D + x E = –3; x D x E = m theo ñònh lý Vi 9 65 m 8 ét). 4m2 – 9m + 1 = 0 9 65 m 8 1 So s¸nhÑk (*): m = 9 65 8 2 1 II 1 x 1 1. §k: 1 y 2 (1) 0,5 x y ( y xy) 0 ( x y)( x 2 y ) 0 x 2 y 0 x 2 y x y 0(voly) x = 4y Thay vμo (2) cã 4 y 1 2 y 1 1 4 y 1 2 y 1 1 0,25 4 y 1 2 y 1 2 2 y 1 1 2 y 1 2 2 y 1 2 y 1 0 y y 2 y 1 2 1 (tm) x 2 2 5 x 10 (tm) 2 V©y hÖ cã hai nghiÖm (x;y) = (2;1/2) vμ (x;y) = (10;5/2) 0,25 1 2 sin 2 x 0 sin 2 x 0 sin x cos x 0 tan x 1 cos x sin x cos 2 x. cos x PT sin 2 x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos 2 x sin x cos x sin 2 x sin x cos x sin x ®K: -50- 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 cos x sin x sin x(1 sin 2 x) 0,25 (cos x sin x)(sin x cos x sin 2 x 1) 0 0,25 (cosx sin x)(sin2x cos2x 3) 0 cos x sinx 0 (cos x sinx)( 2sin(2x ) 3) 0 2 sin(2 x ) 3( voly ) 4 4 cos x sin x 0 tanx = 1 x Do x 0; k 0 x 4 k (k Z ) (tm®k) 0,25 4 III 2 1 1 SA ( ABCD) ( SAC ) ( ABCD) SA ( SAC ) Do 0,25 Lai cã MH AC ( SAC ) ( ABCD ) MH ( SAC ) d ( M , SAC ) MH AM .sin 45o x 2 Ta cã x x HC AC AH a 2 2 2 x 1 1 x (a 2 ) MH .MC 2 2 2 2 x x 1 1 (a 2 ) SA.S MCH 2a 3 6 2 2 AH AM .cos 450 S MHC VSMCH O,5 Tõ biÓu thøc trªn ta cã: x x a 2 1 2 VSMCH a 2 3 2 x x a 2 2 2 xa 0,25 2 a3 6 M trïng víi D -51- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 2 1 4 4 4 0,25 2 2 I = ( x sin 2x)cos2xdx xcos2xdx sin 2xcos2xdx I1 I 2 0 0 0 TÝnh I1 du dx u x 14 x 1 I1 sin 2x 4 sin 2xdx ®Æt 2 20 v cos2xdx v 2 sin 2x 0 0,25 1 1 cos 2 x 4 8 4 8 4 0 TÝnh I2 1 1 1 I 2 sin 2 2xd(sin2x) sin3 2x 4 20 6 6 0 4 VËy I= IV 0,25 1 1 1 8 4 6 8 12 0,25 1 1 2 .Ta cã :VT = ( A3 2 2 a b c b c a )( ) A B bc ca ab bc ca ab 1 1 1 1 (a b) (b c) (c a) 2 a b b c c a 1 1 1 1 9 3 3 (a b)(b c)(c a)3 3 2 ab bc ca 2 3 A 2 a2 b2 c2 12 (a b c) 2 ( )(a b b c c a ) ab bc ca 1 1 B.2 B 2 -52- 0,25 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 3 2 1 2 Tõ ®ã tacã VT 2 VP 0,25 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=c=1/3 V.a 2 1 0,25 1 Ta cã: AB = 2 , trung ®iÓm M ( 5 5 ; ), 2 2 pt (AB): x – y – 5 = 0 3 1 3 S ABC = d(C, AB).AB = d(C, AB)= 2 2 2 0,25 Gäi G(t;3t-8) lμ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)= d(G, AB)= t (3t 8) 5 = 2 G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2) 1 2 Mμ CM 3GM C = (-2; -10) hoÆc C = (1; -1) 0,25 2 1 x 1 t ptts : y 2 t M (1 t ; 2 t ; 2t ) z 2t 0,5 Ta cã: MA2 MB 2 28 12t 2 48t 48 0 t 2 0,25 Tõ ®ã suy ra : M (-1 ;0 ;4) VI.a 0,25 1 t = 1 hoÆc t = 2 2 1 Bpt 2 3 t 2 3 x2 2x x 2x 2 0,25 2 3 (t 0) x 2x 2 1 0,25 4 BPTTT : 1 t 4 t 0,25 t 2 4t 1 0 2 3 t 2 3 (tm) Khi ®ã : 2 3 2 3 0,25 x 2 2 x 2 3 1 x 2 2 x 1 x2 2x 1 0 1 2 x 1 2 V.b 0,25 2 1 1 -53- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 . (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2; M Oy M(0;m) Qua M k hai ti p tuy n MA và MB ( A và B là hai ti p đi m) AMB 600 (1) AMB V y Vì MI là phân giác c a 0 AMB 120 (2) 0,5 AMI = 300 MI (1) IA MI = 2R m 2 9 4 m 7 0 sin 30 AMI = 600 MI (2) IA 2 3 4 3 MI = R m2 9 Vô 0 3 sin 60 3 0,5 nghi m V y có hai đi m M 1 (0; 7 ) và M 2 (0;- 7 ) 2 1 G i H là hình chi u vuông góc c a M trên d, ta có MH là đ c t và vuông góc v i d. d có ph x 1 2t ng trình tham s là: y 1 t z t ng th ng đi qua M, 0,25 Vì H d nên t a đ H (1 + 2t ; 1 + t ; t).Suy ra : MH = (2t 1 ; 2 + t ; t) Vì MH d và d có m t vect ch ph ng là u = (2 ; 1 ; 1), nên : 2 2.(2t – 1) + 1.( 2 + t) + ( 1).(t) = 0 t = . Vì th , MH = 1 ; 4 ; 2 3 3 3 3 0,25 uMH 3MH (1; 4; 2) Suy ra, ph ng trình chính t c c a đ 7 3 1 3 ng th ng MH là: x 2 y 1 z 4 2 1 2 3 Theo trªn cã H ( ; ; ) mμ H lμ trung ®iÓm cña MM’ nªn to¹ ®é 0,25 0,25 8 5 4 ; ) 3 3 3 K: x>0 , y>0 M’ ( ; VIb (1) 22log3 xy 2log3 xy 2 0 0,5 0,25 3 x (2) log 4 (4x2+4y2) = log 4 (2x2 +6xy) x2+ 2y2 = 9 log 3 xy = 1 xy = 3y= K t h p (1), (2) ta đ c nghi m c a h : ( -54- 3 ; 3 ) ho c ( 6 ; 6 ) 2 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 S M A D H C B -55- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 S GIÁO D C – ÀO T O H I PHÒNG TR NG THPT CHUYÊN TR N PHÚ THI TH I H C L N 2 – THÁNG 12/2010 Môn thi: TOÁN H C – Kh i A, B Th i gian: 180 phút CHÍNH TH C Câu I: x2 C. x2 1. Kh o sát và v C . Cho hàm s y ng trình ti p tuy n c a C , bi t ti p tuy n đi qua đi m A 6;5 . 2. Vi t ph Câu II: ng trình: cos x cos3x 1 2 sin 2x . 4 x 3 y3 1 2. Gi i h ph ng trình: 2 2 3 x y 2xy y 2 Câu III: 1. Gi i ph Tính I 4 dx cos x 1 e 4 2 3x Câu IV: Hình chóp t giác đ u SABCD có kho ng cách t A đ n m t ph ng SBC b ng 2. V i giá tr nào c a góc gi a m t bên và m t đáy c a chóp thì th tích c a chóp nh nh t? Câu V: Cho a, b,c 0 : abc 1. Ch ng minh r ng: 1 1 1 1 a b 1 b c 1 c a 1 Câu VI: 1. Trong m t ph ng Oxy cho các đi m A 1;0 , B 2; 4 ,C 1; 4 , D 3;5 và đ ng th ng d : 3x y 5 0 . Tìm đi m M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có di n tích b ng nhau. 2. Vi t ph ng trình đ ng vuông góc chung c a hai đ ng th ng sau: x 1 2 t x y 1 z 2 d1 : ; d2 : y 1 t 2 1 1 z 3 Câu VII: 20 C02010 21 C12010 22 C 22010 23 C32010 22010 C 2010 2010 A ... Tính: 1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012 -56- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 ÁP ÁN THI TH HL N2 Câu I: 1. a) TX : \ 2 b) S bi n thiên c a hàm s : -) Gi i h n, ti m c n: +) lim y , lim y x 2 là ti m c n đ ng. x 2 x 2 +) lim y lim y 1 y 1 là ti m c n ngang. x x -) B ng bi n thiên : 4 y' 0 x 2 2 x 2 c) th : -) th c t Ox t i 2;0 , c t Oy t i 0; 1 , nh n I 2;1 là tâm đ i x ng. 2. Ph ng trình đ ng th ng đi qua A 6;5 là d : y k x 6 5 . (d) ti p xúc (C) khi và ch khi h sau có nghi m : 4 x2 x2 x 6 5 k x 6 5 2 x2 x2 x 2 4 4 k k 2 2 x 2 x 2 Suy ra có 4 x 6 5 x 2 2 x 2 x 2 4x 2 24x 0 x 0;k 1 4 4 k x 6;k 1 k 2 2 x 2 4 x 2 x 7 2 ti p tuy n là : d1 : y x 1; d 2 : y 4 2 Câu II: -57- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 1. cos x cos3x 1 2 sin 2x 4 2cos x cos 2x 1 sin 2x cos2x 2cos 2 x 2sin x cos x 2cos x cos 2x 0 cos x cos x sinx cos2x 0 cos x cos x sinx 1 sinx cosx 0 x k 2 cos x 0 cos x sinx 0 x k 4 1 sinx cosx 0 1 sin x 4 2 x k 2 x k 2 x k 4 x k 4 x k2 x k2 4 4 5 x k2 4 4 1 3 1 1 3 3 2 x y 2x y x y x x y 2. 2y 1 3 2x 1 3 x y y x x y 4 x y 2 x y xy xy 2 2x 1 3 2x 1 3 y x y x x y x y 1 2x 1 3 x y 1 x x 2 x 2, y 2 y x x 2, y 2 x 3 2x 2 x Câu III: -58- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 d x2 xdx 11 1 1 dt I 4 2 2 2 0 x 2 x 2 1 2 0 t 2 t 1 0 x x 1 1 1 3 2 1 dt 1 du 2 2 2 0 1 2 3 21 2 3 2 u t 2 2 2 3 3 dy tan y, y ; du t u 2 2 cos 2 y 2 2 1 3 u y ;u y 2 6 2 3 3 dy 3 1 1 3 2 dy I 2 cos 2 y 3 1 tan 2 y 3 6 3 6 6 4 Câu IV: G i M, N là trung đi m BC, AD, g i H là hình chi u vuông góc t N xu ng SM. Ta có: SMN ,d A; SBC d N; SBC NH 2 NH 2 4 SABCD MN 2 sin sin sin 2 tan 1 SI MI.tan sin cos 1 4 1 4 VSABCD 2 2 3 sin cos 3.sin .cos sin 2 sin 2 2cos 2 2 2 2 2 sin .sin .2cos 3 3 1 sin 2 .cos 3 2 VSABCD min sin .cos max S MN sin 2 2cos 2 cos H C D N M I A B 1 3 Câu V: Ta có: -59- http://www.VNMATH.com 63 thi th ab 3 i h c 2011 ab a3b a b 1 3 1 a b 1 3 ab 3 a 2 3 ab 3 b 2 3 ab 3 a 3 b 1 3 ab 1 3 a b c 3 3 3 3 a3b a 3 b 3 abc 3 ab 3 a3b3c T ng t 3 3 c a b3c 3 suy ra OK! Câu VI: 1. Gi s M x; y d 3x y 5 0. AB 5,CD 17 AB 3; 4 n AB 4;3 PT AB : 4x 3y 4 0 CD 4;1 n CD 1; 4 PT CD : x 4y 17 0 SMAB SMCD AB.d M; AB CD.d M;CD 5 4x 3y 4 x 4y 17 17 4x 3y 4 x 4y 17 5 17 3x y 5 0 4x 3y 4 x 4y 17 3x y 5 0 3x 7y 21 0 7 M1 ;2 , M 2 9; 32 3x y 5 0 3 5x y 13 0 2. G i M d1 M 2t;1 t; 2 t , N d 2 N 1 2t ';1 t ';3 MN 2t 2t ' 1; t t '; t 5 MN.u1 0 2 2t 2t ' 1 t t ' t 5 0 2 2t 2t ' 1 t t ' 0 MN.u1 0 6t 3t ' 3 0 t t' 1 3t 5t ' 2 0 M 2;0; 1 , N 1; 2;3 , MN 1; 2;4 PT MN : x 2 y z 1 2 4 1 Câu VII: 2010 20 C02010 21 C12010 22 C22010 23 C32010 22010 C 2010 A ... 1 2 3 4 2011 -60- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Ta có: 2 2010! 2 2010! 2k C k2010 1 k 1 k! 2010 k ! k 1 k 1! 2010 k ! k k k 2 2011! 1 1 k 1 1 2 C k2011 2011 k 1! 2011 k 1! 4022 k 1 1 2 2011 2 C12011 2 C 22011 ... 2 C 2011 2011 4022 1 1 2011 0 2 1 2 C02011 2011 4022 A -61- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 KÌ THI TH I H C N M H C 2010-2011 MÔN TOÁN (Th i gian làm bài: 180 phút) A. PH N DÀNH CHO T T C THÍ SINH Câu I (2 đi m) Cho hàm s y 2 x3 3(2m 1) x2 6m(m 1) x 1 có đ th (C m ). 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s khi m = 0. 2. Tìm m đ hàm s đ ng bi n trên kho ng 2; Câu II (2 đi m) Câu III (1 đi m) a) Gi i ph ng trình: 2 cos 3x(2 cos 2 x 1) 1 b) Gi i ph ng trình : (3x 1) 2 x 2 1 5 x 2 3 ln 2 Tính tích phân I 0 3 x3 2 dx ( e 2) 2 3 x Câu IV (1 đi m) Cho hình l ng tr ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đ u c nh a, hình chi u vuông góc c a A’ lên m t ph ng (ABC) trùng v i tâm O c a tam giác ABC. Tính th tích kh i l ng tr ABC.A’B’C’ bi t kho ng cách gi a AA’ a 3 4 Câu V (1 đi m) và BC là Cho x,y,z tho mãn là các s th c: x 2 xy y 2 1 .Tìm giá tr l n nh t ,nh nh t c a bi u th c x4 y4 1 x2 y2 1 B. PH N DÀNH CHO T NG LO I THÍ SINH Dành cho thí sinh thi theo ch ng trình chu n Câu VIa (2 đi m) a) Cho hình tam giác ABC có di n tích b ng 2. Bi t A(1;0), B(0;2) và trung đi m I c a AC n m trên đ ng th ng y = x. Tìm to đ đ nh C. b) Trong không gian Oxyz, cho các đi m A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm t a đ đi m O’ đ i x ng v i O qua (ABC). Câu VIIa(1 đi m) Gi i ph ng trình: ( z 2 z )( z 3)( z 2) 10 , z C. Dành cho thí sinh thi theo ch ng trình nâng cao Câu VIb (2 đi m) a. Trong mp(Oxy) cho 4 đi m A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5). Tìm to đ đi m M thu c đ ng th ng () : 3x y 5 0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có di n tích b ng nhau P b.Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai đ d1 : ng th ng: x 4 y 1 z 5 x2 y3 z d2 : 1 2 3 1 3 1 Vi t ph ng trình m t c u có bán kính nh nh t ti p xúc v i c hai đ Câu VIIb (1 đi m) Gi i b t ph ng trình: x(3 log 2 x 2) 9 log 2 x 2 ng th ng d 1 và d 2 ……...H T........... -62- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 ÁP ÁN Câu I a) H c sinh t làm 0,25 y 2 x3 3(2m 1) x2 6m(m 1) x 1 y ' 6 x 2 6(2m 1) x 6m(m 1) b) 0,5 y’ có (2m 1) 2 4(m 2 m) 1 0 x m y' 0 x m 1 Hàm s đ ng bi n trên 2; y ' 0 x 2 m 1 2 m 1 Câu II a) Gi i ph 0,25 0,25 1 đi m ng trình: 2 cos 3 x(2 cos 2 x 1) 1 PT 2 cos 3 x(4 cos 2 x 1) 1 2 cos 3x(3 4 sin 2 x) 1 0,25 Nh n xét x k , k Z không là nghi m c a ph 0,25 ng trình đã cho nên ta có: 2 cos 3x(3 4 sin x) 1 2 cos 3x(3 sin x 4 sin x) sin x 2 3 2 cos 3 x sin 3 x sin x sin 6 x sin x 2m x 6 x x m2 5 6 x x m2 x 2m 7 7 0,25 ;mZ 2m k 2m=5k m 5t , t Z 5 2m Xét khi = k 1+2m=7k k=2(m-3k)+1 hay k=2l+1& m=7l+3, 7 7 lZ 2m 2m ( m 5t ); x ( m 7l 3 ) V y ph ng trình có nghi m: x 5 7 7 trong đó m, t , l Z Xét khi b) Gi i ph ng trình : (3 x 1) 2 x 2 1 5 x 2 1 đi m 3 x3 2 0,25 PT 2(3 x 1) 2 x 2 1 10 x 2 3 x 6 2(3 x 1) 2 x 2 1 4(2 x 2 1) 2 x 2 3x 2 . 0,25 t t 2 x 2 1(t 0) Pt tr thành 4t 2 2(3x 1)t 2 x 2 3 x 2 0 Ta có: ' (3 x 1) 2 4(2 x 2 3 x 2) ( x 3) 2 Pt tr thành 4t 2 2(3x 1)t 2 x 2 3 x 2 0 0,25 Ta có: ' (3 x 1) 2 4(2 x 2 3 x 2) ( x 3) 2 -63- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 T đó ta có ph Thay vào x2 2x 1 ;t 2 2 ta đ c ph ng ng trình có nghi m : t đ t cách gi i ra trình có các 0,5 1 6 2 60 ; nghi m: x 7 2 Câu III 3 ln 2 Tính tích phân I 0 (3 e x 2) 2 x 3 3 ln 2 Ta c ó I 0,25 e dx x 3 = x 3 e ( e 2) 0 1 đi m dx x 3 2 x 3 t u= e 3du e dx ; x 0 u 1; x 3 ln 2 u 2 2 1 3du 1 1 =3 2 4u 4(u 2) 2(u 2) 2 1 1 u (u 2) 2 Ta đ c: I du 0,25 0,25 2 1 1 1 =3 ln u ln u 2 2(u 2) 1 4 4 3 3 1 ln( ) 4 2 8 3 3 1 V y I ln( ) 4 2 8 0,25 Câu IV C’ A’ B’ H A C O M B AM BC G i M là trung đi m BC ta th y: BC ( A' AM ) A' O BC K MH AA' , (do A nh n nên H thu c trong đo n AA’.) BC ( A' AM ) Do HM BC .V y HM là đ an vông góc chung c a HM ( A' AM ) -64- 0,5 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 AA’và BC, do đó d ( AA' , BC) HM a 3 . 4 Xét 2 tam giác đ ng d ng AA’O và AMH, ta có: A' O HM AH AO AO.HM a 3 a 3 4 a AH 3 4 3a 3 1 1aa 3 a3 3 a Th tích kh i l ng tr : V A' O.S ABC A' O.AM.BC 2 23 2 12 1.Cho a, b, c là các s th c d ng tho mãn a b c 3 .Ch ng minh r ng: 3(a 2 b 2 c 2 ) 4abc 13 0,5 suy ra A' O Câu V bc 2 c h t ta ch ng minh: f (a, b, c) f (a, t , t ) :Th t v y 0,5 t f (a, b, c) 3(a 2 b 2 c 2 ) 4abc 13; t *Tr 1 đi m Do vai trò c a a,b,c nh nhau nên ta có th gi thi t a b c 3a a b c 3 hay a 1 f ( a , b, c ) f ( a , t , t ) 3( a 2 b 2 c 2 ) 4 abc 13 3( a 2 t 2 t 2 ) 4 at 2 13 = 3(b 2 c 2 2t 2 ) 4a (bc t 2 ) 2 2 2 (b c) 3(b c) 2 2(b c) 2 = 3b c a (b c) 2 = 4a bc 4 2 4 = (3 2a )(b c) 2 0 do a 1 2 *Bây gi ta ch c n ch ng minh: f (a, t , t ) 0 v i a+2t=3 0,5 Ta có f (a, t , t ) 3(a t t ) 4at 13 2 2 2 2 = 3((3 2t ) 2 t 2 t 2 ) 4(3 2t )t 2 13 = 2(t 1) 2 (7 4t ) 0 do 2t=b+c < 3 D u “=” x y ra t 1 & b c 0 a b c 1 ( PCM) 2. Cho x,y,z tho mãn là các s th c: x 2 xy y 2 1 .Tìm giá tr l n nh t ,nh nh t c a bi u th c x4 y4 1 P 2 x y2 1 Tõ gi¶ thiÕt suy ra: 1 x 2 xy y 2 2 xy xy xy 1 ( x y ) 2 3 xy 3 xy -65- 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 1 Tõ ®ã ta cã xy 1 . 3 M¨t kh¸c x 2 xy y 2 1 x 2 y 2 1 xy nªn x 4 y 4 x 2 y 2 2 xy 1 .®¨t t=xy Vëy bμi to¸n trë thμnh t×m GTLN,GTNN cña t 2 2t 2 1 ; t 1 P f (t ) 3 t2 TÝnh f ' (t ) 0 1 t 6 2 6 0 (t 2) 2 t 6 2(l ) Do hμm sè liªn tôc trªn f( 0.25 0.25 1 ;1 nªn so s¸nh gi¸ trÞ cña 3 1 ) , f ( 6 2) , f (1) cho ra kÕt qu¶: 3 0.25 1 11 MaxP f ( 6 2) 6 2 6 , min P f ( ) 3 15 Câu VIa (H c sinh t v hình) a) Ta có: AB 1; 2 AB 5 . Ph 1 đi m ng trình c a AB là: 2 x y 2 0 . I d : y x I t ; t . I là trung đi m c a AC: C (2t 1;2t ) Theo bài ra: S ABC 0,5 t 0 1 AB.d (C , AB) 2 . 6t 4 4 4 t 2 3 0,5 5 8 T đó ta có 2 đi m C(-1;0) ho c C( ; ) tho mãn . 3 3 b) *T ph ng trình đo n ch n suy ra pt t ng quát c a mp(ABC) là:2x+y-z-2=0 *G i H là hình chi u vuông góc c a O l ên (ABC), OH vuông góc v i (ABC) nên OH // n(2;1;1) ; H ABC Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào ph ng trình( ABC) có t= Gi i ph ng trình: ( z 2 z )( z 3)( z 2) 10 , z C. PT z ( z 2)( z 1)( z 3) 10 ( z 2 2 z )( z 2 2 z 3) 0 t t z 2 2 z . Khi đó ph 0,25 1 2 1 1 suy ra H ( ; ; ) 3 3 3 3 4 2 2 *O’ đ i x ng v i O qua (ABC) H là trung đi m c a OO’ O' ( ; ; ) 3 3 3 CâuVIIa 1 đi m 0.25 0,5 1 đi m 0,25 ng trình (8) tr thành: -66- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 t t z 2 2 z . Khi đó ph t 2 3t 10 0 0,25 ng trình (8) tr thành t 2 z 1 i 5 t z 1 6 V y ph 0,5 ng trình có các nghi m: z 1 6 ; z 1 i 1 đi m Câu VIb a) Vi t ph ng trình đ ng AB: 4 x 3 y 4 0 và AB 5 Vi t ph ng trình đ ng CD: x 4 y 17 0 và CD 17 i m M thu c có to đ d ng: M (t;3t 5) Ta tính đ 13t 19 11t 37 d ( M , AB ) ; d ( M , CD) 5 17 0,25 c: T đó: S MAB S MCD d ( M , AB). AB d ( M , CD).CD 7 7 t 9 t Có 2 đi m c n tìm là: M (9; 32), M ( ; 2) 3 3 0,25 0,5 1 đi m b) Gi s m t m t c u S(I, R) ti p xúc v i hai đ ng th ng d 1 , d 2 t i hai đi m A và B khi đó ta luôn có IA + IB ≥ AB và AB ≥ d d1 , d 2 d u b ng x y ra khi I là trung đi m AB và AB là đo n vuông góc chung c a hai đ ng th ng d 1 , d 2 Ta tìm A, B : AB u Ad 1 , Bd 2 nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’) AB u ' AB (….)… A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1) I(2; 1; -1) 0, 25 0,25 0,25 M t c u (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R= 6 Nên có ph CâuVIIb Gi i b t ph ng trình là: x 2 ( y 1) 2 ( z 1) 2 6 ng trình 2 x(3 log 2 x 2) 9 log 2 x 2 i u ki n: x 0 B t ph ng trình 3( x 3) log 2 x 2( x 1) Nh n th y x=3 không là nghi m c a b t ph x 1 3 TH1 N u x 3 BPT log 2 x x 3 2 -67- 0,25 1 đi m 0.25 ng trình. 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 3 log 2 x đ ng bi n trên kho ng 0; 2 x 1 ngh ch bi n trên kho ng 3; g ( x) x3 f ( x) f (4) 3 *V i x 4 :Ta có Bpt có nghi m x 4 g ( x) g (4) 3 Xét hàm s : f ( x) * V i x 4 :Ta có f ( x) f (4) 3 Bpt vô nghi m g ( x) g (4) 3 TH 2 :N u 0 x 3 BPT x 1 3 log 2 x x3 2 0,25 3 log 2 x đ ng bi n trên kho ng 0; 2 x 1 ngh ch bi n trên kho ng 0;3 g ( x) x3 f ( x) f (1) 0 *V i x 1 :Ta có Bpt vô nghi m g ( x) g (1) 0 f ( x) * V i x 1 :Ta có f ( x) f (1) 0 Bpt có nghi m 0 x 1 g ( x) g (1) 0 x 4 V y Bpt có nghi m 0 x 1 Chú ý:Các cách gi i khác cho k t qu đúng v n đ 0,25 c đi m t i đa. -68- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Tr−êng L−¬ng thÕ Vinh –Hμ néi. §Ò thi thö §H lÇn I . M«n To¸n (180’) PhÇn b¾t buéc. 2x 1 x 1 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vμ vÏ ®å thÞ (C) cña hμm sè . 2. T×m täa ®é ®iÓm M sao cho kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm I (1; 2) tíi tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M lμ lín nhÊt . C¢U 2. (2 ®iÓm). 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 2 sin 2 x sin 2 x sin x cos x 1 0 . 2. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm duy nhÊt : log 0,5 (m 6 x) log 2 (3 2 x x 2 ) 0 C©u 1.(2 ®iÓm) Cho hμm sè y 4 x2 C¢U 3 . (1®iÓm) TÝnh tÝch ph©n: I dx . x2 1 C¢U 4. (1 ®iÓm). Cho tø diÖn ABCD cã ba c¹nh AB, BC, CD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau vμ AB BC CD a . Gäi C’ vμ D’ lÇn l−ît lμ h×nh chiÕu cña ®iÓm B trªn AC vμ AD. TÝnh thÓ tÝch tÝch tø diÖn ABC D’. C¢U 5. (1 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC , t×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña biÓu thøc: S cos 3 A 2 cos A cos 2 B cos 2C . 2 PhÇn tù chän (thÝ sinh chØ lμm mét trong hai phÇn : A hoÆc B ) PhÇn A C¢U 6A. (2 ®iÓm). 1. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(1;1) , B(2; 5) , ®Ønh C n»m trªn ®−êng th¼ng x 4 0 , vμ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng 2 x 3 y 6 0 . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. 2. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho hai ®−êng th¼ng d vμ d’ lÇn l−ît cã ph−¬ng tr×nh : d : y2 x2 z5 x z vμ d’ : y 3 . 1 2 1 Chøng minh r»ng hai ®−êng th¼ng ®ã vu«ng gãc víi nhau. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua d vμ vu«ng gãc víi d’ C¢U7A. (1 ®iÓm) TÝnh tæng : S Cn0 2Cn1 3Cn2 4Cn3 (1) n (n 1)Cnn PhÇn B. C¢U 6B. (2 ®iÓm) 1. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2;1) , B(1; 2) , träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng x y 2 0 . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 . 2. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho hai ®−êng th¼ng d vμ d’ lÇn l−ît cã ph−¬ng tr×nh : d : y2 x2 z5 x z vμ d’ : y 3 . 2 1 1 ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua d vμ t¹o víi d’ mét gãc 300 C¢U7B. (1 ®iÓm) TÝnh tæng : S Cn0 2Cn1 3Cn2 (n 1)Cnn 1 -69- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 §¸p ¸n m«n To¸n. C©u 1. 1. TËp x¸c ®Þnh : x 1 . y 3 3 2x 1 2 , , y' ( x 1) 2 x 1 x 1 B¶ng biÕn thiªn: TiÖm cËn ®øng : x 1 , tiÖm cËn ngang y 2 2. NÕu M x0 ; 2 3 3 3 (C ) th× tiÕp tuyÕn t¹i M cã ph−¬ng tr×nh y 2 ( x x0 ) x0 1 x0 1 ( x0 1) 2 hay 3( x x0 ) ( x0 1) 2 ( y 2) 3( x0 1) 0 . Kho¶ng c¸ch tõ I (1;2) tíi tiÕp tuyÕn lμ 3(1 x0 ) 3( x0 1) 6 x0 1 d 4 9 ( x0 1) 4 9 x0 1 6 9 ( x0 1) 2 2 ( x0 1) . Theo bÊt ®¼ng thøc C«si 9 ( x0 1) 2 2 9 6 , v©y d 6 . Kho¶ng c¸ch d lín nhÊt b»ng ( x0 1) 2 9 2 ( x0 1) 2 x0 1 3 x0 1 3 . 2 ( x0 1) 6 khi VËy cã hai ®iÓm M : M 1 3 ;2 3 hoÆc M 1 3 ;2 3 C¢U 2. 1) 2 sin 2 x sin 2 x sin x cos x 1 0 2 sin 2 x (2 cos x 1) sin x cos x 1 0 . (2 cos x 1) 2 8(cos x 1) (2 cos x 3) 2 . VËy sin x 0,5 hoÆc sin x cos x 1 . 5 2k Víi sin x 0,5 ta cã x 2k hoÆc x 6 6 2 Víi sin x cos x 1 ta cã sin x cos x 1 sin x sin , suy ra 4 2 4 3 x 2k hoÆc x 2k 2 2) log 0,5 (m 6 x) log 2 (3 2 x x 2 ) 0 log 2 (m 6 x) log 2 (3 2 x x 2 ) 3 2 x x 2 0 3 x 1 2 2 m 6 x 3 2 x x m x 8 x 3 XÐt hμm sè f ( x) x 2 8 x 3 , 3 x 1 ta cã f ' ( x) 2 x 8 , f ' ( x) 0 khi x 4 , do ®ã f (x) nghÞch biÕn trong kho¶ng (3; 1) , f ( 3) 18 , f (1) 6 . VËy hÖ ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm duy nhÊt khi 6 m 18 C¢U 3. §Æt x 2 sin t th× dx 2 cos tdt , khi x 1 th× t 2 I 1 6 , khi x 2 th× t 2 6 2 2 , vËy: 2 4x cos t 1 dt dt 1 dx sin 2 t sin 2 t d (cot t ) t 62 x2 2 2 3 3 6 6 C¢U 4. V× CD BC , CD AB nªn CD mp( ABC ) vμ do ®ã mp( ABC ) mp( ACD) .V× BC ' AC nªn BC mp( ACD) . Suy ra nÕu V lμ thÓ tÝch tø diÖn ABC’D’ th× V 1 dt ( AC ' D' ).BC ' . 3 2 -70- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 a 2 . 2 Ta cã AD 2 AB 2 BD 2 AB 2 BC 2 CD 2 3a 2 nªn AD a 3 . V× BD’ lμ ®−êng cao cña tam gi¸c a vu«ng ABD nªn AD'.AD AB 2 , VËy AD' . Ta cã 3 V× tam gi¸c ABC vu«ng c©n nªn AC ' CC ' BC ' dt ( AC ' D' ) CD 1 a 2 a 3 1 a2 2 1 1 . VËy AC '.AD' sin CAˆ D AC '.AD'. AD 2 2 3 12 2 2 3 1 a 2 2 a 2 a3 . 36 2 3 12 C¢U 5. S cos 3 A 2 cos A cos 2 B cos 2C = cos 3 A 2 cos A 2 cos( B C ) cos( B C ) . cos 3 A 2 cos A1 cos( B C ) . V× cos A 0 , 1 cos( B C ) 0 nªn S cos 3 A , dÊu b»ng xÈy ra khi cos( B C ) 1 hay V BC 1800 A . Nh−ng cos 3 A 1 , dÊu b»ng xÈy ra khi 3 A 1800 hay A = 600 2 Tãm l¹i : S cã gi¸ trÞ bÐ nhÊt b»ng -1 khi ABC lμ tam gi¸c ®Òu. PhÇn A (tù chän) C¢U 6A. y 1 5 yC 1 2 4 1, yG 2 C . §iÓm G n»m trªn 3 3 3 ®−êng th¼ng 2 x 3 y 6 0 nªn 2 6 yC 6 0 , vËy yC 2 , tøc lμ 1. Ta cã C (4; yC ) . Khi ®ã täa ®é G lμ xG C (4; 2) . Ta cã AB (3; 4) , AC (3;1) , vËy AB 5 , AC 10 , AB. AC 5 . 2 15 1 1 DiÖn tÝch tam gi¸c ABC lμ S AB 2 . AC 2 AB. AC 25.10 25 = 2 2 2 2.§−êng th¼ng d ®i qua ®iÓm M (0;2;0) vμ cã vect¬ chØ ph−¬ng u (1;1;1) §−êng th¼ng d’ ®i qua ®iÓm M ' (2;3;5) vμ cã vect¬ chØ ph−¬ng u '(2;1;1) Ta cã MM (2;1;5) , u ; u ' (0; 3; 3) , do ®ã u; u ' .MM ' 12 0 vËy d vμ d’ chÐo nhau. MÆt ph¼ng ( ) ®i qua ®iÓm M (0;2;0) vμ cã vect¬ ph¸p tuyÕn lμ u '(2;1;1) nªn cã ph−¬ng tr×nh: 2 x ( y 2) z 0 hay 2 x y z 2 0 C¢U 7A. Ta cã (1 x) n Cn0 Cn1 x Cn2 x 2 Cnn x n , suy ra x(1 x) n Cn0 x Cn1 x 2 Cn2 x 3 Cnn x n 1 . LÊy ®¹o hμm c¶ hai vÕ ta cã : (1 x) n nx(1 x) n 1 Cn0 2Cn1 x 3Cn2 x 2 (n 1)Cnn x n Thay x 1 vμo ®¼ng thøc trªn ta ®−îc S. PhÇn B (tù chän) C¢U 6B. 1. V× G n»m trªn ®−êng th¼ng x y 2 0 nªn G cã täa ®é G (t ; 2 t ) . Khi ®ã AG (t 2;3 t ) , AB (1;1) VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lμ S 2 2t 3 1 1 AG 2 . AB 2 AG. AB 2 (t 2) 2 (3 t ) 2 1 = 2 2 2 NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng 13,5 : 3 4,5 . VËy 2t 3 4,5 , suy 2 ra t 6 hoÆc t 3 . VËy cã hai ®iÓm G : G1 (6;4) , G 2 ( 3;1) . V× G lμ träng t©m tam gi¸c ABC nªn xC 3xG ( xa xB ) vμ yC 3 yG ( ya yB ) . 3 -71- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Víi G1 (6;4) ta cã C1 (15;9) , víi G 2 ( 3;1) ta cã C2 (12;18) 2.§−êng th¼ng d ®i qua ®iÓm M (0;2;0) vμ cã vect¬ chØ ph−¬ng u (1;1;1) §−êng th¼ng d’ ®i qua ®iÓm M ' (2;3;5) vμ cã vect¬ chØ ph−¬ng u '(2; 1;1) . Mp ( ) ph¶i ®i qua ®iÓm M vμ cã vect¬ ph¸p tuyÕn n vu«ng gãc víi u vμ cos(n; u ' ) cos 600 1 . Bëi vËy 2 nÕu ®Æt n ( A; B; C ) th× ta ph¶i cã : A B C 0 B A C B A C 1 2 2A B C 2 2 2 2 2 3 6 ( ) A A A C C 2 A AC C 0 2 2 2 2 6 A B C Ta cã 2 A2 AC C 2 0 ( A C )(2 A C ) 0 . VËy A C hoÆc 2 A C . NÕu A C ,ta cã thÓ chän A=C=1, khi ®ã B 2 , tøc lμ n (1;2;1) vμ mp( ) cã ph−¬ng tr×nh x 2( y 2) z 0 hay x 2 y z 4 0 NÕu 2 A C ta cã thÓ chän A 1, C 2 , khi ®ã B 1 , tøc lμ n (1;1;2) vμ mp( ) cã ph−¬ng tr×nh x ( y 2) 2 z 0 hay x y 2 z 2 0 C¢U 7B. Ta cã (1 x) n Cn0 Cn1 x Cn2 x 2 Cnn x n , suy ra x(1 x) n Cn0 x Cn1 x 2 Cn2 x 3 Cnn x n 1 . LÊy ®¹o hμm c¶ hai vÕ ta cã : (1 x) n nx(1 x) n 1 Cn0 2Cn1 x 3Cn2 x 2 (n 1)Cnn x n Thay x 1 vμo ®¼ng thøc trªn ta ®−îc S. 4 -72- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 kú thi thö ®¹i häc n¨m 2011 A /phÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh. ( 8 đi m ) Câu I : ( 2 đi m ). Cho hàm s y = x3 + ( 1 – 2m)x2 + (2 – m )x + m + 2 . (C m ) 1.Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s khi m = 2. 2. Tìm m đ đ th hàm s (C m ) có c c tr đ ng th i hoành đ c c ti u nh h n 1. Câu II : ( 2 đi m ). 1. Gi i ph ng trình: 2. Tìm m đ ph Câu III : ( 2 đi m ). sin 2 x 2 2(s inx+cosx)=5 . ng trình sau có nghi m duy nh t : 2 x 2 mx 3 x. 1 x2 dx. 1. Tính tích phân sau : I 3 x x 1 2 2. Cho h ph ng trình : x 3 y 3 m( x y ) x y 1 Tìm m đ h có 3 nghi m phân bi t (x 1 ;y 1 );(x 2 ;y 2 );(x 3 ;y 3 ) sao cho x 1 ;x 2 ;x 3 l p thành c p s c ng d 0 . ng th i có hai s x i th a mãn xi > 1 Câu IV : ( 2 đi m ). x 1 2t x y z Trong không gian oxyz cho hai đ ng th ng d 1 : ; d 2 y t 1 1 2 z 1 t và đi m M(1;2;3). 1.Vi t ph ng trình m t ph ng ch a M và d 1 ; Tìm M’ đ i x ng v i M qua d 2 . 2.Tìm A d1 ; B d 2 sao cho AB ng n nh t . B. PH N T CH N: ( 2 đi m ). ( Thí sinh ch đ c làm 1 trong 2 câu V a ho c V b sau đây.) Câu V a . 1. Trong m t ph ng oxy cho ABC có A(2;1) . ng cao qua đ nh B có ph ng trình x- 3y - 7 = 0 . ng trung tuy n qua đ nh C có ph ng trình x + y +1 = 0 . Xác đ nh t a đ B và C . Tính di n tích ABC . 2.Tìm h s x6 trong khai tri n 1 3 x x n bi t t ng các h s khai tri n b ng 1024. Câu V b . 1 x 2 1 x 2 5 1. Gi i b t ph ng trình : 5 > 24. 2.Cho l ng tr ABC.A’B’C’đáy ABC là tam giác đ u c nh a. .A’ cách đ u các đi m A,B,C. C nh bên AA’ t o v i đáy góc 600. Tính th tích kh i l ng tr . ______________ H t ____________ -73- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 kú thi thö ®¹i häc n¨m 2011 ÁP ÁN Câ Ý N i dung u . I 1 .Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s khi m = 2. V i m = 2 ta đ c y = x3 – 3x2 + 4 a ;T p xác đ nh : D = R. i m 200 1,00 0,25 b ; S bi n thiên. Tính đ n đi u …… Nhánh vô c c…… x - y' + + 2 0 0 0 - 0,25 + j + 4 y - o c; th : + L y thêm đi m . + V đúng h ng lõm và v b ng m c cùng màu m c v i ph n trình b y 0,25 8 6 4 2 -15 -10 -5 5 10 15 0,25 -2 -4 -6 -8 -74- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 2 . Tìm m đ đ th hàm s (C m ) có c c tr đ ng th i hoành đ c c ti u nh h n 1. Hàm s có c c tr theo yêu c u đ u bài khi và ch khi th a mãn 2 K sau : + y’ =0 có 2 nghi m pbi t x 1 < x 2 ' 4m 2 m 5 0 m < - 1 ho c m > 5 4 ' 4 2m ….. m K t h p 2 K trên ta đ c… áp s ng ) 21 15 0,25 5 7 m ; 1 ; 4 5 II 1 1.Gi i ph ng trình: 2 sin2x = t - 1 ( I ) 0,25 t 2 2 2t 6 0 t 2 ) c ph 0,25 ng trình sinx + cosx = 2 … cos( x ) 1 4 + L y nghi m K t lu n : x 2 Tìm m đ ph 0,25 2,00 1,00 sin 2 x 2 2(s inx+cosx)=5 . ( I ) t sinx + cosx = t ( t 2 ). +Gi i đ 0,25 0,25 + x 1 < x 2 < 1 ( Vì h s c a x2 c a y’ mang d u d …. 1,00 5 k 2 ( k Z ) ho c d 4 i d ng đúng khác . ng trình sau có nghi m duy nh t : 2 x 2 mx 3 x. 2x 2 mx 9 x 2 6x h có nghi m duy nh t x 3 2 x + 6x – 9 = -mx (1) 0,25 0,25 1,00 0,25 +; Ta th y x = 0 không ph i là nghi m. 0,25 x 2 6x 9 m . Xét hàm s : x x 2 6x 9 x2 9 trên ;3 \ 0 có f’(x) = 2 > 0 x 0 f(x) = x x + , x = 3 f(3) = 6 , có nghi m duy nh t khi – m > 6 m < - 6 + ; V i x 0 (1) III -75- 0,25 0,25 2,00 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 1 x2 dx. 3 x x 1 1 2 1. Tính tích phân sau : I 1,00 1 x2 I dx. = x x3 1 2 1 1 x2 1 1 dx = x x 1 2 d (x ) x = - ln( x 1 ) 2 = 1 x 1 1 x x 4 …. = ln 5 2 0,25 0,50 0,25 2 1 x2 2x 1 dx . ( Ho c I = 2 dx =……) 3 xx x x 1 1 1 2 2 x 3 y 3 m( x y ) 2.Cho h ph ng trình : 1,00 x y 1 ----------------------------------------------------------------------------------------------Tìm m đ h có 3 nghi m phân bi t (x 1 ;y 1 );(x 2 ;y 2 );(x 3 ;y 3 ) sao cho x 1 ;x 2 ;x 3 l p thành c p s c ng d 0 . ng th i có hai s x i th a mãn xi >1 x 3 y 3 m( x y ) x y 1 ( x y )( x 2 y 2 xy m) 0 x y 1 0,25 1 x y 2 y x 1 2 ( x) x x 1 m 0 Tr c h t ( x) ph i có 2 nghi m pbi t x 1 ; x 2 4m 3 0 m Có th x y ra ba tr +Tr ng h p 1 : +Tr ng h p 2 : +Tr ng h p 3 : Xét th y Tr 3 4 0,25 ng h p sau đây theo th t l p thành c p s c ng. 1 ; x1 ; x2 2 1 x1 ; x2 ; 2 x1 ; 0,25 1 ; x2 2 ng h p 1 ;2 không th a mãn. Tr -76- ng h p 3 ta có http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 x1 x2 1 x1 x2 1 m đúng v i m i m > 3 4 0,25 ng th i có hai s x i th a mãn xi > 1 ta c n có thêm đi u ki n sau x2 IV 1 4 m 3 1 4m 3 3 m 3 2 Trong không gian oxyz cho hai đ áp s : m > 3 x 1 ng th ng d 1 : y z ; d2 1 2 2,00 x 1 2t y t z 1 t và đi m M(1;2;3). 1.Vi t ph ng trình m t ph ng ch a M và d 1 ; Tìm M’ đ i x ng v i M qua d 2 . . + Ph ng trình m t ph ng ch a M và d 1 …. Là (P) x + y – z = 0 + Mp(Q) qua M và vuông góc v i d 2 có pt 2x – y - z + 3 = 0 + Tìm đ c giao c a d 2 v i mp(Q) là H(-1 ;0 ;1) 2.Tìm A d1 ; B d 2 sao cho AB ng n nh t . G i A(t;t;2t) và B(-1-2t 1 ;-t 1 ;1+t 1 ) AB ng n nh t khi nó là đo n vuông góc chung c a hai đ ng th ng d 1 và d 2 . 3 3 6 1 17 18 AB.v1 0 ; ……. t a đ c a A ; ; và B ; 35 35 35 35 35 35 AB.v2 0 1 0,25 0,25 … i m đ i x ng M’ c a M qua d 2 là M’(-3 ;-2 ;-1) Va 0,25 1. Trong m t ph ng oxy cho ABC có A(2;1) . ng cao qua đ nh B có ph ng trình x- 3y - 7 = 0 . ng trung tuy n qua đ nh C có ph ng trình x + y +1 = 0 . Xác đ nh t a đ B và C . 0,25 0,50 0,50 2,00 B M A C H +AC qua A và vuông góc v i BH do đó có VTPT là n (3;1) AC có ph ng trình 3x + y - 7 = 0 -77- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 AC …… C(4;- 5) CM 2 xB 1 y B ; M thu c CM ta đ c 1 0 2 2 + T a đ C là nghi m c a h 2 xB 1 yB xM ; yM 2 2 2 xB 1 y B 1 0 ta đ + Gi i h 2 2 xB 3 yB 7 0 + 0,25 c B(-2 ;-3) 0,25 Tính di n tích ABC . 14 x 5 x 3y 7 0 3x y 7 0 y 7 5 + T a đ H là nghi m c a h …. Tính đ c - Di n tích S = 2 8 10 ; AC = 2 10 5 8 10 1 1 AC.BH .2 10. 16 ( đvdt) 2 2 5 0,25 BH = 0,25 n 1 3 2.Tìm h s x6 trong khai tri n x bi t t ng các h s khai tri n x b ng 1024. + ; Cn0 Cn1 ... Cnn 1024 0,25 1 1 1024 2 = 1024 n = 10 n n 10 k 10 10 1 1 + ; x3 C10k x x k o . x3 k 0,25 0,25 ; ……. H ng t ch a x6 ng v i k = 4 và h s c n tìm b ng 210 . Vb 1 1 x 2 1 x 2 5 > 24. (2) 1. Gi i b t ph ng trình : 5 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ (2) 5 5x 2 2 24 5x 5 0 2 2 x 1 2 5x 5 x > 1 x 1 -78- 0,25 2,00 1,00 -----0,5 0,5 http://www.VNMATH.com 63 thi th 2 i h c 2011 2.Cho l ng tr ABC.A’B’C’đáy ABC là tam giác đ u c nh a. .A’ cách đ u các đi m A,B,C. C nh bên AA’ t o v i đáy góc 600. Tính th tích kh i 1,00 -----l ng tr . ----------------------------------------------------------------------------------------- A' C' 0,25 B' A C G N M B T gi thi t ta đ c chop A’.ABC là chop tam giác đ u . A' AG là góc gi a c nh bên và đáy . a 3 0 A' AG = 60 , ….. AG = ; 3 ng cao A’G c a chop A’.ABC c ng là đ ng cao c a l ng tr . V y a 3 a 3 .tan600 = . 3 = a. AG= 3 3 0,25 ’ 1 a 3 a3 3 …….. V y Th tích kh i l ng tr đã cho là V = .a. .a 2 2 4 0,25 0,25 Ghi chú : + M i ph ng pháp gi i đúng khác đ u đ c công nh n và cho đi m nh nhau . + i m c a bài thi là t ng các đi m thành ph n và làm tròn ( lên ) đ n 0,5 đi m. -79- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 -80- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 K THI KH O SÁT CH T L NG ÔN THI I H C KH I A - B – D. N m 2010. Môn thi: Toán. Th i gian làm bài: 180 phút. Ngày 20 tháng 12 n m 2010. A. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 đi m) Câu I. (2 đi m) Cho hàm s y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đ th là (C m ); ( m là tham s ) 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s khi m = 3. 2. Xác đ nh m đ (C m ) c t đ ng th ng y = 1 t i ba đi m phân bi t C(0;1), D, E sao cho các ti p tuy n c a (C m ) t i D và E vuông góc v i nhau. Câu II (2 đi m) cos 2 x cos 3 x 1 1.Gi i ph ng trình: cos 2 x tan 2 x . cos 2 x x 2 y 2 xy 1 4 y , ( x, y R ) . 2. Gi i h ph ng trình: 2 2 y( x y) 2 x 7 y 2 Câu III (1 đi m) e Tính tích phân: I 1 log 32 x x 1 3ln 2 x dx . Câu IV. (1 đi m) a 3 vμ gãc BAD = 600. Gäi M vμ N 2 lÇn l−ît lμ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh A'D' vμ A'B'. Chøng minh AC' vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (BDMN). TÝnh thÓ tÝch khèi chãp A.BDMN. Câu V. (1 đi m) 7 . Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn a b c 1 . Ch ng minh r ng: ab bc ca 2abc 27 Cho h×nh hép ®øng ABCD.A'B'C'D' cã c¸c c¹nh AB = AD = a, AA' = B. PH N RIÊNG (3 đi m). Thí sinh ch đ 1.Theo ch ng trình Chu n Câu VIa. ( 2 đi m) c làm m t trong hai ph n (ph n 1 ho c 2) 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho tam giác ABC bi t A(5; 2). Ph ng trình đ ng trung tr c c nh BC, đ ng trung tuy n CC’ l n l t là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC. 2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, hãy xác đ nh to đ tâm và bán kính đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC, bi t A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3). Câu VIIa. (1 đi m) 2 Cho z1 , z2 là các nghi m ph c c a ph 2. Theo ch ng trình Nâng cao Câu VIb. ( 2 đi m) 2 z z2 ng trình 2 z 4 z 11 0 . Tính giá tr c a bi u th c 1 . ( z1 z2 ) 2 2 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho hai đ ng th ng : x 3 y 8 0 , ' :3x 4 y 10 0 và đi m A(-2 ; 1). Vi t ph ng trình đ ng tròn có tâm thu c đ ng th ng , đi qua đi m A và ti p xúc v i đ ng th ng ’. 2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, Cho ba đi m A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). Vi t ph ng trình m t ph ng (ABC) và tìm đi m M thu c m t ph ng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC. Câu VIIb. (1 đi m) 2 log1 x ( xy 2 x y 2) log 2 y ( x 2 2 x 1) 6 Gi i h ph ng trình : , ( x, y R ) . =1 log1 x ( y 5) log 2 y ( x 4) -----------------------------------------------------------81- tavi -----------------------------------------------------http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 ÁP ÁN K THI KH O SÁT CH T L NG ÔN THI I H C KH I A - B – D. N m 2010 Câu Ý N i dung i m I 1 1 3 2 2 2 PT hoành đ giao đi m x + 3x + mx + 1 = 1 x(x + 3x + m) = 0 m = 0, f(x) = 0 0.25 ê th a mãn yc ta ph i có pt f(x) = 0 có 2 nghi m phân bi t x 1 , x 2 khác 0 và 0.25 y’(x 1 ).y’(x 2 ) = -1. 9 4m 0, f (0) m 0 Hay 2 2 (3x1 6 x1 m)(3x2 6 x2 m) 1. 9 9 m , m 0 m , m 0 4 4 9( x x ) 2 18 x x ( x x ) 3m( x 2 x 2 ) 36 x x 6m( x x ) m2 1 4m 2 9m 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9 65 8 K cosx ≠ 0, pt đ c đ a v cos 2 x tan 2 x 1 cos x (1 tan 2 x) 2cos 2 x cos x -1 0 Gi i ti p đ c cosx = 1 và cosx = 0,5 r i đ i chi u đk đ đ a ra S: 2 2 x k 2 , x k 2 ; hay x k . Gi i ra ta có S: m = II 1 3 2 0.25 0.25 0.5 0.5 3 x2 1 x y 4 y x 2 y 2 xy 1 4 y y 0 , ta có: . 2 2 2 1 x y( x y) 2 x 7 y 2 2 ( x y ) 2 7 y uv 4 u 4v v 3, u 1 x2 1 , v x y ta có h : 2 t u 2 y v 2u 7 v 2v 15 0 v 5, u 9 0.25 0.25 +) V i v 3, u 1 ta có III x2 1 y x2 1 y x2 x 2 0 x 1, y 2 . h : x 2, y 5 x y 3 y 3 x y 3 x 0.25 x2 1 9 y x2 1 9 y x 2 9 x 46 0 +) V i v 5, u 9 ta có h : , h này x y 5 y 5 x y 5 x vô nghi m. KL: V y h đã cho có hai nghi m: ( x; y ) {(1; 2), (2; 5)}. 0.25 3 ln x e e e 3 log 2 x 1 ln 2 x. ln xdx ln 2 . I dx dx 3 2 2 ln 2 1 1 3ln 2 x x 1 x 1 3ln x 1 x 1 3ln x 1 dx 1 t 1 3ln 2 x t ln 2 x (t 2 1) ln x. tdt . ic n… x 3 3 1 2 2 2 e t 1 1 log 32 x 1 1 Suy ra I dx 3 3 . tdt t 2 1 dt 3 2 t ln 2 3 9 ln 2 1 1 x 1 3ln x 1 0.25 0.25 0.25 2 1 1 3 4 t t 3 3 9 ln 2 3 1 27 ln 2 IV 0.25 Ch ng t AC’ BD 0.25 C/m AC’ PQ, v i P,Q là trung đi m c a BD, MN. Suy ra AC’ (BDMN) 0.25 Tính đúng chi u cao AH , v i H là giao c a PQ và AC’. N u dùng cách hi u các th 0.25 tích thì ph i ch ra cách tính. -82http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 0.25 3a 3 Tính đúng di n tích hình thang BDMN . Suy ra th tích c n tìm là: . 16 Ta có ab bc ca 2abc a (b c) (1 2a )bc a(1 a ) (1 2a)bc . V có 0 t bc Có f(0) = a(1 – a) VIa. 1. 2. t t= bc thì ta (1 a) 2 (b c) (1 a) .Xét hs f(t) = a(1- a) + (1 – 2a)t trên đo n 0; 4 4 4 2 2 (a 1 a)2 1 7 và 4 4 27 2 (1 a)2 7 1 1 1 7 f v i m i a 0;1 (2a ) a 4 27 4 27 3 3 7 V y ab bc ca 2abc . ng th c x y ra khi a = b = c = 1/3 27 Gäi C = (c; 2c+3) vμ I = (m; 6-m) lμ trung ®iÓm cña BC Suy ra: B= (2m-c; 9-2m-2c). V× C’ lμ trung ®iÓm cña AB nªn: 2m c 5 11 2m 2c 2m c 5 11 2m 2c 5 C' ; ) 3 0 m CC ' nªn 2( 2 2 2 2 6 5 41 I ( ; ) . Ph−¬ng tr×nh BC: 3x – 3y + 23=0 6 6 2 x y 3 0 14 37 Täa ®é cña C lμ nghiÖm cña hÖ: C ; 3 3 3 x 3 y 23 0 19 4 Täa ®é cña B = ; 3 3 Ta có: AB (2; 2; 2), AC (0; 2; 2). Suy ra ph ng trình m t ph ng trung tr c c a AB, AC là: x y z 1 0, y z 3 0. Vect pháp tuy n c a mp(ABC) là n AB, AC (8; 4; 4). Suy ra (ABC): 2x y z 1 0 . x y z 1 0 x 0 Gi i h : y z 3 0 y 2 . Suy ra tâm đ 2 x y z 1 0 z 1 ng tròn là I (0; 2;1). Bán kính là R IA (1 0) 2 (0 2) 2 (1 1) 2 5. VII a Gi i pt đã cho ta đ 0.5 c các nghi m: z1 1 0,25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 3 2 3 2 i, z2 1 i 2 2 0.5 2 3 2 22 ; z1 z2 2 Suy ra | z1 || z2 | 1 2 2 2 2 o đó VIb 1. 2. z1 z2 2 2 ... 11 4 0.25 ( z1 z2 ) Tâm I c a đ ng tròn thu c nên I(-3t – 8; t) Theo yc thì k/c t I đ n ’ b ng k/c IA nên ta có 3(3t 8) 4t 10 (3t 8 2) 2 (t 1) 2 2 2 3 4 Gi i ti p đ c t = -3 Khi đó I(1; -3), R = 5 và pt c n tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25. Ta có AB (2; 3; 1), AC ( 2; 1; 1) n (2; 4; 8) là 1 vtpt c a (ABC) -83- 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 http://www.VNMATH.com 63 VII b thi th i h c 2011 Suy ra pt (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay x + 2y – 4z + 6 = 0 M(x; y; z) MA = MB = MC …. M thu c mp: 2x + 2y + z – 3 = 0 nên ta có h , gi i h đ c x = 2, y = 3, z = -7 xy 2 x y 2 0, x 2 2 x 1 0, y 5 0, x 4 0 + i u ki n: (I ) . 0 1 x 1, 0 2 y 1 0.25 0.25 0.25 0.25 log1 x ( y 2) log 2 y (1 x) 2 0 (1) 2log1 x [(1 x)( y 2)] 2log 2 y (1 x) 6 (I ) = 1 log1 x ( y 5) log 2 y ( x 4) = 1 (2). log1 x ( y 5) log 2 y ( x 4) 1 t log 2 y (1 x) t thì (1) tr thành: t 2 0 (t 1) 2 0 t 1. t V i t 1 ta có: 1 x y 2 y x 1 (3). Th vào (2) ta có: x 4 x 4 log1 x ( x 4) log1 x ( x 4) = 1 log1 x 1 1 x x2 2x 0 x4 x4 x0 y 1 . Suy ra: . x 2 y 1 + Ki m tra th y ch có x 2, y 1 tho mãn đi u ki n trên. V y h có nghi m duy nh t x 2, y 1 . B 0.25 0.25 0.25 A P D N Q M -84- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 THI TH I H C N M 2010-2011 Môn: Toán A. Th i gian: 180 phút ( Không k giao đ ). I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 đi m). 2x 4 Câu I (2 đi m): Cho hàm s y . 1 x 1) Kh o sát và v đ th C c a hàm s trên. 2) G i (d) là đ ng th ng qua A( 1; 1 ) và có h s góc k. Tìm k sao cho (d) c t ( C ) t i hai đi m M, N và MN 3 10 . Câu II (2 đi m): 1) Gi i ph ng trình: sin 3 x 3sin 2 x cos 2 x 3sin x 3cos x 2 0 . x 2 y 2 xy 1 4 y . 2) Gi i h ph ng trình: 2 2 y( x y) 2 x 7 y 2 3sin x 2 cos x dx (sin x cos x)3 0 2 Câu III (1 đi m): Tính tích phân: I Câu IV (1 đi m): Cho hình chóp t giác S.ABCD có đáy là hình ch nh t v i SA vuông góc v i đáy, G là tr ng tâm tam giác SAC, m t ph ng (ABG) c t SC t i M, c t SD t i N. Tính th tích c a kh i đa di n MNABCD bi t SA=AB=a và góc h p b i đ ng th ng AN và mp(ABCD) b ng 300 . Câu V (1 đi m): Cho các s d ng a, b, c : ab bc ca 3. 1 1 1 1 Ch ng minh r ng: . 2 2 2 1 a (b c) 1 b (c a ) 1 c ( a b) abc II. PH N RIÊNG (3 đi m) (Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n 1 ho c ph n 2)). 1. Theo ch ng trình Chu n : Câu VI.a (2 đi m): 1) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho đ ng tròn hai đ ng tròn (C ) : x 2 y 2 – 2 x – 2 y 1 0, (C ') : x 2 y 2 4 x – 5 0 cùng đi qua M(1; 0). Vi t ph ng trình đ ng th ng qua M c t hai đ ng tròn (C ), (C ') l n l t t i A, B sao cho MA= 2MB. 2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, hãy xác đ nh to đ tâm và bán kính đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC, bi t A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3). Câu VII.a (1 đi m): Khai tri n đa th c: (1 3x) 20 a0 a1 x a2 x 2 ... a20 x 20 . Tính t ng: S a0 2 a1 3 a2 ... 21 a20 . 2. Theo ch ng trình Nâng cao : Câu VI.b (2 đi m) 1) Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, hãy vi t ph H (1;0) , chân đ ng trình các c nh c a tam giác ABC bi t tr c tâm ng cao h t đ nh B là K (0; 2) , trung đi m c nh AB là M (3;1) . 2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai đ ng th ng: (d1 ) : Tìm t a đ các đi m M thu c (d1 ) và N thu c (d 2 ) sao cho đ P : x – y z 2010 0 đ dài đo n MN b ng Câu VII.b (1 đi m): Gi i h ph x y z x 1 y z 1 . và (d 2 ) : 2 1 1 1 1 2 ng th ng MN song song v i m t ph ng 2. 2 log1 x ( xy 2 x y 2) log 2 y ( x 2 2 x 1) 6 ng trình =1 log1 x ( y 5) log 2 y ( x 4) ………………………………….....................H T…………………………………………………… -85- http://www.VNMATH.com 63 Ph thinth i h c 2011 Câu N i dung I Làm đúng, đ các b c theo S đ kh o sát hàm s cho đi m t i đa. (2,0) 1(1,0) 2(1,0) T gi thi t ta có: (d ) : y k ( x 1) 1. Bài toán tr thành: Tìm k đ h ph i m 1,0 ng trình sau có hai nghi m ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y2 ) phân bi t sao cho x2 x1 y2 y1 90(*) 2 0,25 2 2x 4 kx 2 (2k 3) x k 3 0 k ( x 1) 1 I ( ) I ( ) . Ta có: x 1 y k ( x 1) 1 y k ( x 1) 1 D có (I) có hai nghi m phân bi t khi và ch khi ph ng trình 3 c k 0, k . 8 2 2 90 (1 k )[ x2 x1 4 x2 x1 ] 90(***) kx 2 (2k 3) x k 3 0(**) có hai nghi m phân bi t. Khi đó d có đ Ta bi n đ i (*) tr thành: (1 k 2 ) x2 x1 2 Theo đ nh lí Viet cho (**) ta có: x1 x2 ph 2k 3 k 3 , x1 x2 , th vào (***) ta có k k 0,5 ng trình: 8k 3 27k 2 8k 3 0 (k 3)(8k 2 3k 1) 0 k 3, k 3 41 3 41 . , k 16 16 0,25 KL: V y có 3 giá tr c a k tho mãn nh trên. Câu Ph n II (2,0) 1(1,0) N i dung sin 3 x 3sin 2 x cos 2 x 3sin x 3cos x 2 0 (sin 3x sin x) 2sin x 3sin 2 x (cos 2 x 2 3cos x) 0 2sin 2 x.cos x 2sin x 6.sin .cos x (2 cos 2 x 3cos x 1) 0 2sin x.cos 2 x 2sin x 6.sin .cos x (2 cos 2 x 3cos x 1) 0 1 sin x 2 (2sin x 1)(2 cos 2 x 3cos x 1) 0 cos x 1 1 cos x 2 x k 2 1 6 , (k Z ). +) sin x 2 x 5 k 2 6 x k 2 1 3 , (k Z ). +) cos x 2 x k 2 3 +) cos x 1 x k 2 , (k Z ). KL:V y ph ng trình có 5 h nghi m nh trên. 2(1,0) x2 1 x y 4 x 2 y 2 xy 1 4 y y D th y y 0 , ta có: . 2 2 2 y( x y) 2 x 7 y 2 ( x y ) 2 2 x 1 7 y uv 4 u 4v v 3, u 1 x2 1 , v x y ta có h : 2 t u 2 y v 2u 7 v 2v 15 0 v 5, u 9 -86- i m 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 +) V i v 3, u 1 ta có h : x2 1 y x2 1 y x2 x 2 0 x 1, y 2 . x 2, y 5 x y 3 y 3 x y 3 x x2 1 9 y x2 1 9 y x 2 9 x 46 0 +) V i v 5, u 9 ta có h : ,h x y y x y x 5 5 5 này vô nghi m. KL: V y h đã cho có hai nghi m: ( x; y ) {(1; 2), (2; 5)}. Câu Ph n III (1,0) t x 2 t dx dt , x 0 t 2 0,25 0,25 N i dung ,x 2 i m 0,25 t 0. 2 3sin x 2 cos x 3cos t 2sin t 3cos x 2sin x dx dt dx (Do tích phân 3 3 (sin x cos x) (cos t sin t ) (cos x sin x)3 0 0 0 không ph thu c vào kí hi u c u bi n s ). 2 2 Suy ra: I 0,25 2 3sin x 2 cos x 3cos x 2sin x 1 dx dx dx = 3 3 (sin x cos x) (cos x sin x) (sin x cos x) 2 0 0 0 2 2 Suy ra: 2 I I I 1 12 1 1 1 = dx d x tan x 2 1 . KL: V y I . 4 0 20 4 2 2 0 2 cos 2 x cos 2 x 4 4 2 Câu Ph n IV (1,0) N i dung + Trong mp(SAC) k AG c t SC t i M, trong mp(SBD) k BG c t SD t i N. S + Vì G là tr ng tâm tam giác ABC nên d có SG 2 suy ra G c ng là tr ng tâm tam giác SBD. SO 3 T đó suy ra M, N l n l t là trung đi m c a SC, SD. N 1 1 + D có: VS . ABD VS .BCD VS . ABCD V . 2 2 Theo công th c t s th tích ta có: M G VS . ABN SA SB SN 1 1 1 A . . 1.1. VS . ABN V 2 2 4 VS . ABD SA SB SD VS . BMN SB SM SN 1 1 1 1 1. . VS . ABN V . . O 2 2 4 8 VS .BCD SB SC SD T đó suy ra: C 3 B VS . ABMN VS . ABN VS . BMN V . 8 1 + Ta có: V SA.dt ( ABCD) ; mà theo gi thi t SA ( ABCD) nên góc h p b i AN v i 3 mp(ABCD) chính là góc NAD , l i có N là trung đi m c a SC nên tam giác NAD cân t i SA NDA a 3. 300. Suy ra: AD N, suy ra NAD tan 300 3 3 1 1 a . Suy ra: V SA.dt ( ABCD) a.a.a 3 3 3 3 -87- http://www.VNMATH.com 0,5 i m 0,25 D 0,25 63 thi th i h c 2011 3 5 5 3a 3 . Suy ra: th tích c n tìm là: VMNABCD VS . ABCD VS . ABMN V V V 24 8 8 0,5 Câu Ph n N i dung V Áp d ng B T Cauchy cho 3 s d ng ta có: 3 ab bc ca 3 3 (abc) 2 abc 1 . (1,0) 1 1 Suy ra: 1 a 2 (b c) abc a 2 (b c) a (ab bc ca) 3a (1). 2 1 a (b c) 3a 1 1 1 1 (2), (3). T ng t ta có: 2 2 1 b (c a) 3b 1 c (a b) 3c C ng (1), (2) và (3) theo v v i v ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 ab bc ca ( ) . 2 2 2 1 a (b c) 1 b (c a) 1 c (a b) 3 c b c 3abc abc D u “=” x y ra khi và ch khi abc 1, ab bc ca 3 a b c 1, (a, b, c 0). Câu i m 0,25 0,25 0,5 Ph n N i dung i m + G i tâm và bán kính c a (C), (C’) l n l t là I(1; 1) , I’(-2; 0) và R 1, R ' 3 , đ ng VIa 1(1,0) th ng (d) qua M có ph ng trình a( x 1) b( y 0) 0 ax by a 0, (a 2 b 2 0)(*) . 0,25 (2,0) + G i H, H’ l n l t là trung đi m c a AM, BM. Khi đó ta có: MA 2 MB IA2 IH 2 2 I ' A2 I ' H '2 1 d ( I ;d ) 4[9 d ( I ';d ) ] , IA IH . 9a 2 b2 2 2 4 d ( I ';d ) d ( I ;d ) 35 4. 2 35 a b2 a 2 b2 36a 2 b 2 2 35 a 2 36b 2 2 a b a 6 D th y b 0 nên ch n b 1 . a6 Ki m tra đi u ki n IA IH r i thay vào (*) ta có hai đ ng th ng tho mãn. 2(1,0) + Ta có: AB (2; 2; 2), AC (0; 2; 2). Suy ra ph ng trình m t ph ng trung tr c c a AB, AC là: x y z 1 0, y z 3 0. + Vecto pháp tuy n c a mp(ABC) là n AB, AC (8; 4; 4). Suy ra (ABC): 2x y z 1 0 . x y z 1 0 x 0 + Gi i h : y z 3 0 y 2 . Suy ra tâm đ ng tròn là I (0; 2;1). 2 x y z 1 0 z 1 2 2 Bán kính là R IA (1 0) 2 (0 2) 2 (1 1) 2 5. Câu VII.a (1,0) Ph n 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 N i dung i m 0,25 + Ta có: x(1 3x) 20 a0 2a1 x 3a2 x 2 ... 21a20 x 20 . (1 3x) 20 60 x(1 3 x)19 a0 2a1 x 3a2 x 2 ... 21a20 x 20 (*). Nh n th y: ak x k ak ( x) k do đó thay x 1 vào c hai v c a (*) ta có: S a0 2 a1 3 a2 ... 21 a20 422 . -88- 0,25 0,25 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 Câu thi th i h c 2011 Ph n N i dung + ng th ng AC vuông góc v i HK nên nh n VIb 1(1,0) HK (1; 2) làm vtpt và AC đi qua K nên (2,0) ( AC ) : x 2 y 4 0. Ta c ng d có: ( BK ) : 2 x y 2 0 . + Do A AC , B BK nên gi s A(2a 4; a ), B(b; 2 2b). M t khác M (3;1) là K trung đi m c a AB nên ta có h : 2a 4 b 6 2a b 10 a 4 . b 2 a 2 2b 2 a 2b 0 Suy ra: A(4; 4), B(2; 2). C + Suy ra: AB (2; 6) , suy ra: ( AB) : 3 x y 8 0 . i m A 0,25 M H B + ng th ng BC qua B và vuông góc v i AH nên nh n HA (3; 4) , suy ra: ( BC ) : 3x 4 y 2 0. KL: V y : ( AC ) : x 2 y 4 0, ( AB) : 3x y 8 0 , ( BC ) : 3x 4 y 2 0. 0,5 0,25 2(1,0) + M , N (d1 ), (d 2 ) nên ta gi s M (t1 ; t1 ; 2t1 ), N (1 2t2 ; t2 ;1 t2 ) NM (t1 2t2 1; t1 t2 ; 2t1 t2 1) . + MN song song mp(P) nên: nP .NM 0 1.(t1 2t2 1) 1.(t1 t2 ) 1(2t1 t2 1) 0 t2 t1 NM (t1 1; 2t1 ;3t1 1) . t1 0 + Ta có: MN 2 (t1 1) (2t1 ) (3t1 1) 2 7t 4t1 0 . t1 4 7 4 4 8 1 4 3 + Suy ra: M (0; 0; 0), N (1; 0;1) ho c M ( ; ; ), N ( ; ; ) . 7 7 7 7 7 7 + Ki m tra l i th y c hai tr ng h p trên không có tr ng h p nào M ( P). KL: V y có hai c p M, N nh trên tho mãn. 2 Câu Ph n 2 -89- 0,25 2 1 N i dung xy 2 x y 2 0, x 2 x 1 0, y 5 0, x 4 0 + i u ki n: (I ) . 0 1 x 1, 0 2 y 1 2 log1 x [(1 x)( y 2)] 2 log 2 y (1 x) 6 + Ta có: ( I ) =1 log1 x ( y 5) log 2 y ( x 4) log1 x ( y 2) log 2 y (1 x) 2 0 (1) = 1 (2). log1 x ( y 5) log 2 y ( x 4) 1 + t log 2 y (1 x) t thì (1) tr thành: t 2 0 (t 1) 2 0 t 1. t V i t 1 ta có: 1 x y 2 y x 1 (3). Th vào (2) ta có: x 4 x 4 log1 x ( x 4) log1 x ( x 4) = 1 log1 x 1 1 x x2 2x 0 x4 x4 y 1 x0 . . Suy ra: y 1 x 2 + Ki m tra th y ch có x 2, y 1 tho mãn đi u ki n trên. V y h có nghi m duy nh t x 2, y 1 . 2 VII.b (1,0) 2 0,25 0,25 0,25 i m 0,25 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 0,25 63 thi th i h c 2011 -90- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 THI TH I H C 2011 MÔN TOÁN Th i gian làm bài: 180 phút A. PH N DÀNH CHO T T C THÍ SINH Câu I (2 đi m) x 1 Cho hàm s y . x 1 a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th b) Bi n lu n theo m s nghi m c a ph C c a hàm s . ng trình x 1 m. x 1 Câu II (2 đi m) b) Gi i ph ng trình 2 sin 4 x cos 4 x cos 4 x 2sin 2 x m 0 có nghi m trên 0; . 2 1 1 8 ng trình log 2 x 3 log 4 x 1 log 2 4 x . 2 4 a) Tìm m đ ph Câu III (2 đi m) 3 3x2 1 2 x 2 1 . 1 cos x x 0 a) Tìm gi i h n L lim 0 2 4 6 98 100 b) Ch ng minh r ng C100 C100 C100 C100 ... C100 C100 250. Câu IV (1 đi m) Cho a, b, c là các s th c tho mãn a b c 3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M 4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9c . B. PH N DÀNH CHO T NG LO I THÍ SINH Dành cho thí sinh thi theo ch ng trình chu n Câu Va (2 đi m) a) Trong h t a đ Oxy, cho hai đ C2 : x 2 y 2 6 x 8 y 16 0. L ng tròn có ph p ph ng trình C1 : x 2 y 2 4 y 5 0 và ng trình ti p tuy n chung c a C1 và C2 . b) Cho l ng tr đ ng ABC.A’B’C’ có t t c các c nh đ u b ng a. G i M là trung đi m c a AA’. Tính th tích c a kh i t di n BMB’C’ theo a và ch ng minh r ng BM vuông góc v i B’C. Câu VIa (1 đi m) x 1 y z 2 . Vi t ph ng trình m t ph ng ch a Cho đi m A 2;5;3 và đ ng th ng d : 2 1 2 d sao cho kho ng cách t A đ n l n nh t. Dành cho thí sinh thi theo ch ng trình nâng cao -91- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Câu Vb (2 đi m) a) Trong h t a đ Oxy, hãy vi t ph ng trình hyperbol (H) d ng chính t c bi t r ng (H) ti p xúc v i đ ng th ng d : x y 2 0 t i đi m A có hoành đ b ng 4. 600. Tính th tích b) Cho t di n OABC có OA 4, OB 5, OC 6 và AOB BOC COA t di n OABC. Câu VIb (1 đi m) Cho m t ph ng P : x 2 y 2z 1 0 và các đ ng th ng d1 : x 1 y 3 z , 2 2 3 x5 y z 5 . Tìm đi m M thu c d 1 , N thu c d 2 sao cho MN song song v i (P) và đ 6 4 5 th ng MN cách (P) m t kho ng b ng 2. d2 : ng ÁP ÁN Câu I a) 2 đi m x 1 có t p xác đ nh D R \ 1 . x 1 x 1 x 1 x 1 1; lim ; lim . Gi i h n: lim x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 T p xác đ nh: Hàm s y o hàm: y ' 2 0, x 1 Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng x 12 ;1 và 1; . Hàm s 0,25 0,25 không có c c tr . B ng bi n thiên: th hàm s có ti m c n đ ng x 1; ti m c n ngang y 1. Giao c a hai ti m 0,25 c n I 1;1 là tâm đ i x ng. th : H c sinh t v hình b) H c sinh l p lu n đ suy t đ th (C) sang đ th y x 1 x 1 C ' 0,25 0,5 H c sinh t v hình -92- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 S nghi m c a x 1 x 1 m b ng s giao đi m c a đ th y và y m. x 1 x 1 Suy ra đáp s m 1; m 1: ph Câu II a) 0,25 0,25 ng trình có 2 nghi m m 1: ph ng trình có 1 nghi m 1 m 1: ph ng trình vô nghi m 2 đi m 1 Ta có sin 4 x cos 4 x 1 sin 2 2 x và cos4 x 1 2sin 2 2 x. 2 Do đó 1 3sin 2 2 x 2sin 2 x 3 m . 0,25 0,25 t t sin 2x . Ta có x 0; 2 x 0; t 0;1 . 2 Suy ra f t 3t 2 2t 3 m, t 0;1 Ta có b ng bi n thiên 0,25 10 ng trình đã cho có nghi m trên 0; 2 m 3 2 1 1 8 Gi i ph ng trình log 2 x 3 log 4 x 1 log 2 4 x 2 2 4 i u ki n: 0 x 1 0,25 T đó ph b) 2 x 3 x 1 4 x 0,25 0,25 ng h p 1: x 1 0,25 Tr 2 x2 2 x 0 x 2 Tr ng h p 1: 0 x 1 0,25 2 x2 6 x 3 0 x 2 3 3 V y t p nghi m c a (2) là T 2; 2 3 3 Câu III a) 3 3x 2 1 2 x 2 1 . 1 cos x x 0 Tìm L lim -93- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 3 3x 2 1 1 2 x 2 1 1 Ta có L lim 1 cos x x 0 1 cos x 0,25 2x2 1 1 2 x2 lim 2 Xét L1 lim 2 x 2 x 0 1 cos x x 0 2sin 2 x 1 1 2 0,25 3 3x 2 1 1 lim x 0 1 cos x x 0 Xét L2 lim b) 0,25 3x2 2 3 x 2sin 2 3 3x 2 1 3 x 2 1 1 2 2 V y L L1 L2 2 2 4 0,25 0 2 4 100 Ch ng minh r ng C100 C100 C100 ... C100 250. Ta có 0,5 0 1 2 2 100 100 C100 i C100 i ... C100 i 1 i 100 C100 0 2 4 100 1 3 99 i C100 C100 C100 ... C100 C100 C100 ... C100 M t khác 0,5 1 i 2 1 2i i 2 2i 1 i 100 2i 50 250 Câu IV 0 2 4 100 V y C100 C100 C100 ... C100 250. Cho a, b, c tho a b c 3. Tìm GTNN c a M 4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9c . t u 2a ;3b ; 4c , v 2c ;3a ; 4b , w 2b ;3c ; 4a M u v w M uvw 2a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c 2 2 3 Theo cô – si có 22 2b 2c 3 2a b c 6 . T 0,25 2 0,5 ng t … V y M 3 29. D u b ng x y ra khi a b c 1. Câu Va a) 0,25 H c sinh t v hình C1 : I1 0; 2 , R1 3; C2 : I 2 3; 4 , R2 3. 0,25 G i ti p tuy n chung c a C1 , C2 là : Ax By C 0 A2 B 2 0 0,25 là ti p tuy n chung c a C1 , C2 2 B C 3 A2 B 2 1 d I1; R1 d I 2 ; R2 3 A 4 B C 3 A2 B 2 2 -94- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 T (1) và (2) suy ra A 2 B ho c C Tr 3 A 2 B 2 ng h p 1: A 2 B . 0,5 Ch n B 1 A 2 C 2 3 5 : 2 x y 2 3 5 0 3 A 2 B . Thay vào (1) đ c 2 4 A 2 B 2 A2 B 2 A 0; A B : y 2 0; : 4 x 3 y 9 0 3 Tr b) ng h p 2: C G i H là trung đi m c a BC d M ; BB ' C AH a 3 2 0,25 a2 a3 3 1 1 BB '.BC VMBB ' C AH .SBB ' C 12 2 2 3 G i I là tâm hình vuông BCC’B’ (H c sinh t v hình) Ta có B ' C MI ; B ' C BC ' B ' C MB. 0,25 (H c sinh t v hình) G i K là hình chi u c a A trên d K c đ nh; 0,25 S BB ' C 0,5 Câu VIa G i là m t ph ng b t k ch a d và H là hình chi u c a A trên . Trong tam giác vuông AHK ta có AH AK . 0,25 V y AH max AK là m t ph ng qua K và vuông góc v i AK. G i là m t ph ng qua A và vuông góc v i d : 2 x y 2 z 15 0 0,25 K 3;1; 4 Câu Vb a) là m t ph ng qua K và vuông góc v i AK : x 4 y z 3 0 G i H : x2 a2 y2 b2 0,25 1 (H) ti p xúc v i d : x y 2 0 a 2 b 2 4 x 4 y 2 A 4; 2 H 0,25 16 a2 4 b2 1 1 2 0,25 x2 y2 1 T (1) và (2) suy ra a 2 8; b 2 4 H : 8 4 0,5 (H c sinh t v hình) L y B’ trên OB; C’ trên OC sao cho OA OB ' OC ' 4 0,25 b) -95- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 L y M là trung đi m c a B’C’ OAM OB ' C ' . 0,25 K AH OM AH OB ' C ' Ta có AM OM 2 3 MH 0,25 2 3 4 6 AH 3 3 1 15 3 SOBC OB.OC.sin BOC 2 2 1 V y VOABC AH .SOBC 10 2 3 0,25 G i M 1 2t ;3 3t ; 2t , N 5 6t '; 4t '; 5 5t ' 0,25 d M ; P 2 2t 1 1 t 0; t 1. Tr ng h p 1: t 0 M 1;3;0 , MN 6t ' 4; 4t ' 3; 5t ' 5 MN nP MN .nP 0 t ' 0 N 5;0; 5 0,25 Câu VIb Tr ng h p 2: t 1 M 3;0; 2 , N 1; 4;0 K t lu n 0,25 0,25 -96- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 THI KH O SÁT CH T L Ngày thi 21/12/2010 NG L N 2 MÔN: TOÁN Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian giao đ ) I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) m Câu I (2,0 đi m) Cho hàm s y x m x2 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s đã cho v i m = 1. 2. Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u sao cho hai đi m c c tr c a đ th hàm s cách đ d: x – y + 2 = 0 nh ng kho ng b ng nhau. Câu II (2,0 đi m) cos 2 x. cos x 1 1. Gi i ph ng trình 2 1 sin x . sin x cos x 2. Gi i ph ng trình 7 x2 x x 5 3 2 x x2 Câu III (1,0 đi m). Tính tích phân 3 3. 0 ng th ng (x ) x3 dx . x 1 x 3 Câu IV (1,0 đi m). Cho t di n đ u ABCD có c nh b ng 1. G i M, N là các đi m l n l t di đ ng trên các c nh AB, AC sao cho DMN ABC . t AM = x, AN = y. Tính th tích t di n DAMN theo x và y. Ch ng minh r ng: x y 3xy. Câu V (1,0 đi m). Cho x, y, z 0 tho mãn x+y+z > 0. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P x 3 y 3 16 z 3 x y z 3 II. PH N RIÊNG (3,0 đi m): Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B). A. Theo ch ng trình Chu n: Câu VI.a (2,0 đi m) 1. Trong m t ph ng to đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có ph ng trình đ ng th ng AB: x – 2y + 1 = 0, ph ng trình đ ng th ng BD: x – 7y + 14 = 0, đ ng th ng AC đi qua M(2; 1). Tìm to đ các đ nh c a hình ch nh t. 2. Trong không gian to đ Oxyz, cho m t ph ng (P): 2x – y – 5z + 1 = 0 và hai đ ng th ng x 1 y 1 z 2 x2 y2 z , d2: d1: 2 3 1 1 5 2 Vi t ph ng trình đ ng th ng d vuông góc v i (P) đ ng th i c t hai đ ng th ng d 1 và d 2 . Câu VII.a (1,0 đi m). Tìm ph n th c c a s ph c z = (1 + i)n , bi t r ng n N th a mãn ph ng trình log 4 (n – 3) + log 4 (n + 9) = 3 B. Theo ch ng trình Nâng cao: Câu VI.b (2,0 đi m) 1. Trong m t ph ng to đ Oxy cho tam giác ABC, có đi m A(2; 3), tr ng tâm G(2; 0). Hai đ nh B và C l n l t n m trên hai đ ng th ng d 1 : x + y + 5 = 0 và d 2 : x + 2y – 7 = 0. Vi t ph ng trình đ ng tròn có tâm C và ti p xúc v i đ ng th ng BG. x 3 y 2 z 1 và m t ph ng (P): x + y + z + 2 = 0. 2. Trong không gian to đ cho đ ng th ng d: 2 1 1 G i M là giao đi m c a d và (P). Vi t ph ng trình đ ng th ng n m trong m t ph ng (P), vuông góc v i d đ ng th i tho mãn kho ng cách t M t i b ng 42 . 1 log log y x 1 1 4 y Câu VII.b (1,0 đi m). Gi i h ph ng trình 4 ( x, y ) 2 2 x y 25 -------------------H t ------------------- & đáp án thi i h c - Tr ng THPT Thu n Thành s I -97- http://www.VNMATH.com 1 63 thi th S L i h c 2011 C ÁP ÁN VÀ BI U I M THI KH O SÁT L N 2 - 2010 áp án g m 06 trang Câu N i dung i m I 2,0 1 1,0 1 x2 a) T p xác đ nh: D \ 2 V i m =1 thì y x 1 0.25 b) S bi n thiên: y ' 1 1 x 2 2 x2 4 x 3 x 2 2 x 1 , y' 0 . x 3 lim y , lim y , lim y ; lim y , x x x2 x 2 0.25 lim y ( x 1) 0 ; lim y ( x 1) 0 x x Suy ra đ th hàm s có ti m c n đ ng x = 2, ti m c n xiên y = x – 1. B ng bi n thiên - x y’ + 1 0 2 – – 3 0 + + + + 1 y 0.25 - - 3 Hàm s đ ng bi n trên m i kho ng ;1 , 3; ; hàm s ngh ch bi n trên m i kho ng 1; 2 , 2;3 C c tr : Hàm s đ t giá tr c c tr : y C = 1 t i x = 1; y CT = 3 t i x = 3. c) th : 0.25 - & đáp án thi i h c - Tr ng THPT Thu n Thành s I -98- http://www.VNMATH.com 2 63 thi th i h c 2011 2 1.0 m ; ( x 2) 2 Hàm s có c c đ i và c c ti u ph phân bi t khác 2 m 0 V i x 2 ta có y’ = 1- V i m > 0 ph ng trình (x – 2)2 – m = 0 ng trình (1) có hai nghi m là: (1) có hai nghi m x1 2 m y1 2 m 2 m x2 2 m y2 2 m 2 m Hai đi m c c tr c a đ th hàm s là A( 2 m ; 2 m 2 m ) ; B( 2 m ; 2 m 2 m ) Kho ng cách t A và B t i d b ng nhau nên ta có ph ng trình: 2m m 2m m m 0 m 2 i chi u đi u ki n thì m = 2 tho mãn bài toán V y ycbt m = 2. 0.25 0.25 0.25 II 1 0.25 2.0 Gi i ph ng trình cos 2 x. cos x 1 2 1 sin x . sin x cos x 1.0 K: sin x cos x 0 0.25 Khi đó PT 1 sin x cos x 1 2 1 sin x sin x cos x 2 1 sin x 1 cos x sin x sin x.cos x 0 0.25 1 sin x 1 cos x 1 sin x 0 sin x 1 cos x 1 (tho mãn đi u ki n) x k 2 2 x m2 V y ph 2 Gi i ph k, m Z 0.25 ng trình đã cho có nghi m là: x ng trình: 0.25 2 k 2 và x m2 7 x2 x x 5 3 2 x x2 (x ) 3 2 x x 2 0 PT 2 2 7 x x x 5 3 2 x x 0.25 2 x 0 2 x 1 x 16 0 x 1 V y ph - & đáp án thi ng trình đã cho có m t nghi m x = - 1. i h c - Tr 1.0 0.25 3 2 x x 2 0 x x 5 2( x 2) 3 x 1 x 0 x2 x 5 2. x k, m Z 0.25 0.25 ng THPT Thu n Thành s I -99- http://www.VNMATH.com 3 63 thi th i h c 2011 3 III Tính tích phân 3. 0 x3 dx . x 1 x 3 x 0 u 1 x 1 u 2 1 x 2udu dx ; đ i c n: x 3 u 2 0.25 1 2u 3 8u x 3 dx 0 3 x 1 x 3 1 u 2 3u 2du 1 (2u 6)du 61 u 1du 0.25 t u= 3 Ta có: 1.0 2 2 2 u 2 6u 1 6 ln u 1 1 0.25 3 6 ln 3 2 0.25 2 2 IV 1.0 D D ng DH MN H Do DMN ABC DH ABC mà D. ABC là t di n đ u nên H là tâm tam giác đ u ABC . B C 0.25 N H M A 2 3 6 Trong tam giác vuông DHA: DH DA AH 1 3 3 2 Di n tích tam giác AMN là S AMN 2 2 0.25 1 3 xy AM . AN .sin 600 2 4 1 2 Th tích t di n D. AMN là V S AMN .DH xy 3 12 Ta có: S AMN S AMH S AMH 0.25 1 1 1 xy.sin 600 x. AH .sin 300 y. AH .sin 300 2 2 2 x y 3xy. V 0.25 1.0 c h t ta có: x y 3 Tr 3 x y t x + y + z = a. Khi đó 4 3 (bi n đ i t x y 4P 3 a ng đ 64 z 3 3 ng) ... x y x y 0 2 a z 3 a 64 z 3 3 0.25 1 t 64t 3 3 0.25 z (v i t = , 0 t 1 ) a Xét hàm s f(t) = (1 – t)3 + 64t3 v i t 0;1 . Có 1 2 f '(t ) 3 64t 2 1 t , f '(t ) 0 t 0;1 9 0.25 L p b ng bi n thiên Minf t t 0;1 - & đáp án thi i h c - Tr 16 64 đ tđ GTNN c a P là 81 81 c khi x = y = 4z > 0 0.25 ng THPT Thu n Thành s I -100- http://www.VNMATH.com 4 63 thi th i h c 2011 VI.a 2.0 1 1.0 Do B là giao c a AB và BD nên to đ c a B là nghi m c a h : 21 x x 2 y 1 0 21 13 5 B ; 5 5 x 7 y 14 0 y 13 5 L i có: T giác ABCD là hình ch nh t nên góc gi a AC và AB b ng góc gi a AB và BD, kí hi u nAB (1; 2); nBD (1; 7); nAC (a; b) (v i a2+ b2 > 0) l n l t là VTPT c a các đ ng th ng AB, BD, AC. Khi đó ta có: cos nAB , nBD cos nAC , nAB a b 3 2 2 2 2 a 2b a b 7 a 8ab b 0 a b 2 7 - V i a = - b. Ch n a = 1 b = - 1. Khi đó Ph ng trình AC: x – y – 1 = 0, x y 1 0 x 3 A = AB AC nên to đ đi m A là nghi m c a h : A(3; 2) x 2 y 1 0 y 2 G i I là tâm hình ch nh t thì I = AC BD nên to đ I là nghi m c a h : 7 x 2 x y 1 0 7 5 I ; 2 2 x 7 y 14 0 y 5 2 14 12 Do I là trung đi m c a AC và BD nên to đ C 4;3 ; D ; 5 5 - V i b = - 7a (lo i vì AC không c t BD) 0.25 0.25 0.25 2 1.0 Ph x 1 2t x 2 m ng trình tham s c a d 1 và d 2 là: d1 : y 1 3t ; d 2 : y 2 5m z 2 t z 2 m Gi s d c t d 1 t i M(-1 + 2t ; 1 + 3t ; 2 + t) và c t d 2 t i N(2 + m ; - 2 + 5m ; - 2m) MN (3 + m - 2t ; - 3 + 5m - 3t ; - 2 - 2m - t). 3 m 2t 2k Do d (P) có VTPT nP (2; 1; 5) nên k : MN k n p 3 5m 3t k có nghi m 2 2m t 5k Gi i h tìm đ & đáp án thi i h c - Tr 0.25 0.25 0.25 m 1 c t 1 Khi đó đi m M(1; 4; 3) Ph - 0.25 x 1 2t ng trình d: y 4 t tho mãn bài toán z 3 5t 0.25 ng THPT Thu n Thành s I -101- http://www.VNMATH.com 5 63 VII.a thi th i h c 2011 Tìm ph n th c c a s ph c z = (1 + i)n , bi t r ng n N th a mãn ph log 4 (n – 3) + log 4 (n + 9) = 3 ng trình n N i u ki n: n 3 Ph 1.0 0.25 ng trình log 4 (n – 3) + log 4 (n + 9) = 3 log 4 (n – 3)(n + 9) = 3 n 7 (n – 3)(n + 9) = 43 n2 + 6n – 91 = 0 n 13 (tho mãn) (không tho mãn) 0.25 V y n = 7. 3 2 Khi đó z = (1 + i)n = (1 + i)7 = 1 i . 1 i 1 i .(2i )3 (1 i ).(8i ) 8 8i 0.25 V y ph n th c c a s ph c z là 8. 0.25 VI.b 2.0 1 1.0 Gi s B ( xB ; yB ) d1 xB yB 5; C ( xC ; yC ) d 2 xC 2 yC 7 xB xC 2 6 yB yC 3 0 Vì G là tr ng tâm nên ta có h : 0.25 T các ph ng trình trên ta có: B(-1;-4) ; C(5;1) Ta có BG (3; 4) VTPT nBG (4; 3) nên ph ng trình BG: 4x – 3y – 8 = 0 0.25 Bán kính R = d(C; BG) = 9 ph 5 ng trình đ ng tròn: (x – 5)2 +(y – 1)2 = 0.25 81 25 2 0.25 1.0 Ta có ph ng trình tham s c a d là: x 3 2t y 2 t to đ đi m M là nghi m c a h z 1 t x 3 2t y 2 t (tham s t) z 1 t x y z 2 0 0.25 M (1; 3;0) L i có VTPT c a(P) là nP (1;1;1) , VTCP c a d là ud (2;1; 1) . Vì n m trong (P) và vuông góc v i d nên VTCP u ud , nP (2; 3;1) G i N(x; y; z) là hình chi u vuông góc c a M trên , khi đó MN ( x 1; y 3; z ) . Ta có MN vuông góc v i u nên ta có ph ng trình: 2x – 3y + z – 11 = 0 x y z 2 0 L i có N(P) và MN = 42 ta có h : 2 x 3 y z 11 0 2 2 2 ( x 1) ( y 3) z 42 Gi i h ta tìm đ c hai đi m N(5; - 2; - 5) và N(- 3; - 4; 5) x 5 2 x3 N u N(-3; -4; 5) ta có pt : 2 N u N(5; -2; -5) ta có pt : - & đáp án thi i h c - Tr y2 3 y4 3 0.25 0.25 z5 1 z 5 1 0.25 -102- http://www.VNMATH.com ng THPT Thu n Thành s I 6 63 thi th i h c 2011 1 log 1 y x log 4 y 1 ng trình 4 2 2 x y 25 VII.b Gi i h ph 1.0 ( x, y ) y x 0 y 0 i u ki n: 0.25 1 yx yx 1 log 4 y x log 4 y 1 log 4 y 1 y 4 H ph ng trình x 2 y 2 25 x 2 y 2 25 x 2 y 2 25 0.25 x 3y x 3y x 3y 2 2 2 25 2 2 x y 25 9 y y 25 y 10 0.25 5 15 ; x; y 10 10 5 15 ; x; y 10 10 V y h ph (không th a mãn đk) 0.25 (không th a mãn đk) ng trình đã cho vô nghi m. N u thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà v n đúng thì đ đáp án quy đ nh. - & đáp án thi i h c - Tr c đi m t ng ph n nh ng THPT Thu n Thành s I -103- http://www.VNMATH.com 7 63 thi th i h c 2011 S GIÁO D C & ÀO T O THÁI NGUYÊN TR NG THPT L NG NG C QUY N THI TH I H C L N TH I – N M 2011 MÔN TOÁN- KH I D (Th i gian làm bài 180 phút-không k th i gian phát đ ) PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH x2 (C) Câu I: (2 đi m) Cho hàm s : y x 1 a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (C). b) Ch ng minh r ng: v i m i giá tr c a m, đ ng th ng d : y x m luôn c t đ th (C) t i hai đi m A,B phân bi t. Tìm giá tr nh nh t c a đ dài đo n th ng AB. Câu II: (2 đi m) a)Gi i b t ph ng trình: 2 2 2 9 2 x x 1 34.152 x x 252 x x 1 0 b)Tìm a đ h ph ng trình sau có nghi m : x+1 y 1 a x y 2a 1 Câu III: (2 đi m) 1 1 8 a) Gi i ph ng trình: 2 cos x cos 2 ( x) sin 2 x 3cos( x ) sin 2 x 3 3 2 3 1 b) Tính : e 3 x 1 dx 0 Câu IV: (1 đi m) Trong không gian v i h to đ Oxyz ,cho đi m I(1;5;0) và hai đ x t x y2 z ; 2 : 1 : y 4 t 1 3 3 z 1 2t ng th ng Vi t ph ng trình tham s c a đ ng th ng d đi qua đi m I và c t c hai đ ng th ng 1 và 2 Vi t ph ng trình m t ph ng( ) qua đi m I , song song v i 1 và 2 PH N RIÊNG: Thí sinh ch đ c làm 1 trong 2 câu V.a ho c V.b Câu V.a DÀNH CHO H C SINH H C THEO CH NG TRÌNH CHU N (3 đi m) 1)Trong không gian , cho h tr c to đ Các vuông góc Oxyz Tìm s các đi m có 3 to đ khác nhau t ng đôi m t,bi t r ng các to đ đó đ u là các s t nhiên nh h n 10. Trên m i m t ph ng to đ có bao nhiêu đi m nh v y ? 2) Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng đ ng cao, b ng a. Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng SC và AB 3) Gi i ph ng trình: 3log2 x x 2 1 Câu V.b: DÀNH CHO H C SINH H C THEO CH NG TRÌNH NÂNG CAO (3 đi m) 1) Ch ng minh r ng ph ng trình : x5 5 x 5 0 có nghi m duy nh t x2 y2 1 , bi t ti p tuy n đi qua đi mA(4;3) 2)Vi t ph ng trình các ti p tuy n c a e líp (E): 16 9 3) Có bao nhiêu s t nhiên có 7 ch s khác nhau t ng đôi m t , trong đó ch s 2 đ ng li n gi a hai ch s 1 và 3. H T H và tên thí sinh………S báo danh……………Phòng thi… -104- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 ÁP ÁN CH M THI TH I H C VÀ CAO NG L N I- KH I D N m h c 2009-2010 PH N CHUNG (7 đi m) Câu I i m thành ph n N i dung chính và k t qu D=R/ 1 a) (1đi m) 1 > 0 , x D h/s đ ng bi n trên D và không có c c tr ( x 1) 2 Các đ ng ti m c n: T/c đ ng x=1; T/c ngang: y =1 Tâm đ i x ng I(1;1) BBT x - 1 y’ + + + 0,25 đi m y ' 2 đi m y + 0,25 đi m 1 - 1 th y f(x)=(x-2)/(x-1) f(x)=1 7 x(t)=1 , y(t)=t 6 0,5 đi m 5 4 3 2 1 x -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 b) (1 đi m) * Ph ng trình hoành đ giao đi m c a d (C ) là: x 2 mx m 2 0 (1) ; đ/k x 1 m 2 4m 8 0 Vì v i m ,nên p/t (1) có 2 nghi m phân bi t khác 1 v i m .Suy f (1) 1 0 ra d (C ) t i hai đi m phân bi t v i m *G i các giao đi m c a d (C ) là: A( x A ; x A m ) ; B( xB ; xB m );v i x A ; xB là các nghi m c a p/t (1) 2 AB 2 2( x A xB ) 2 2 ( x A xB ) 4 xA .xB 2 2 2 m 4(m 2) 2 (m 2) 4 8 V y : AB min 2 2 , đ t đ 0,25 đi m 0,25 đi m 0,25 đi m 0,25 đi m c khi m = 2 -105- http://www.VNMATH.com 63 Câu II 2 đi m thi th i h c 2011 a) (1 đi m) 2 2 2 2 2 2 2 92 x x 1 34.152 x x 252 x x 1 0 9.32(2 x x ) 34.32 x x . 52 x x 25.52(2 x x ) 0 2 2 x x 3 2 1 2(2 x x 2 ) 2 x x 5 3 3 9. 34. 25 0 2 5 5 3 2 x x 25 9 5 2 x x2 0 x (;1 3) (0; 2) (1 3; ) 2 x x 2 KL: Bpt có t p nghi m là T= (;1 3) (0; 2) (1 3; ) 2 1 T aT (a 2 2a 1) 0 * .Rõ ràng h trên có nghi m khi p/t* có 2 nghi m không âm 2 a 2 2(a 2 2a 1) 0 0 S 0 a 0 1 2 a 2 6 P 0 1 (a 2 2a 1) 0 2 2 đi m 0,25đi m 0,5 đi m x 1 y 1 a b)(1 đi m) đ/k x 1; y 1 .B t pt 2 2 ( x 1) ( y 1) 2a 1 x 1 y 1 a 1 2 x 1. y 1 a (2a 1) ; V y x 1 và y 1 là nghi m c a p/t: 2 Câu III 0,25đi m 1 1 8 2cosx+ cos 2 ( x) sin 2 x 3cos(x+ )+ sin 2 x 3 3 2 3 1 8 1 2cosx+ cos 2 x sin 2 x 3s inx+ sin 2 x 3 3 3 2 6cosx+cos x 8 6s inx.cosx-9sinx+sin 2 x 0,25 đi m 0,25đi m 0,5đi m a) (1 đi m) 7 6cosx(1-sinx)-(2sin 2 x 9s inx+7) 0 6cosx(1-sinx)-2(s inx-1)(s inx- ) 0 2 1 s inx=0 (1) (1-sinx)(6cosx-2sinx+7) 0 x k 2 ;(k Z ) 2 6cosx-2sinx+7=0(2) (p/t (2) vô nghi m ) 1 b) (1 đi m) Tính: I= e 3 x 1 0,25 đi m 0,25 đi m 0,5 đi m dx 0 x 0 t 1 2 t 3x 1 t ; t 0 3 x 1 t 2 dx t.dt ; 3 x 1 t 2 2 u t du dt 2 V y I= tet dt t . 31 dv et dt v et 2 2 2 Ta có I (tet et dt ) e2 3 3 1 -106- 0,5 đi m 0,5 đi m http://www.VNMATH.com 63 Câu Câu IV 1 đi m thi th i h c 2011 I(1;5;0) , x t 1 : y 4 t z 1 2t N i dung chính và k t qu 2 : i m thành ph n x y2 z 3 3 1 1 có vtcp u1 (1; 1; 2) ;và 1 đi qua đi m M 1 (0; 4; 1) 2 có vtcp u2 (1; 3; 3) ; 2 đi qua đi m M 2 (0; 2; 0) mp(P)ch a 1 và đi m I có vtpt n M 1 I , u1 (3; 1; 2) p/t mp(P) : 3x –y - 2z + 2 = 0 T ng t mp(Q) ch a 2 và đi m I có vtpt n ' (3;-1;2) p/t mp(Q) : 3x - y + 2z + 2 = 0 *Vì đ ng th ng d qua I , c t 1 và 2 , nên d = (P) (Q) đ ng th ng d có vtcp ud n, n' = (1;3;0); d đi qua đi m I(1;5;0) x 1 t Nên p/t tham s c a d là y 5 3t z 0 *mp( ) qua đi m I và song song v i 1 và 2 nên ( ) có vtpt n = u1 , u2 =(9;5;-2) 0,25 đi m 0,25 đi m 0,5 đi m p/t ( ) : 9x + 5y -2z – 34 = 0 -107- http://www.VNMATH.com 63 CâuVa 3 đi m thi th i h c 2011 1)(1 đi m) T p h p các s t nhiên nh h n 10 : 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 *S đi m có 3 to đ khác nhau đôi m t là: A103 720 (đi m) * Trên m i m t ph ng to đ ,m i đi m đ u có m t to đ b ng 0, hai to đ còn l i khác nhau và khác 0.S các đi m nh v y là: A92 72 (đi m) 2) * Xác đ nh k/c(AB;SC) Vì AB//mp(SDC) d(AB,SC) = d(AB,mp(SDC)) L y M,N l n l t là trung đi m c a AB,DC;G i O = AC BD mp(SMN) mp(SDC) H MH SN , (H SN) MH mp(SDC) MH = d(M;(SDC)) = d(AB;(SDC))= d(AB;SC) * Tính MH: H OI SN MH = 2.OI 1 1 1 ON 2 .OS2 2 OI SNO vuông có: OI 2 ON 2 OS2 ON 2 OS2 0,5 đi m 0,5 đi m 0,25 đi m 0,25 đi m S 0,25 đi m H I B M C O N A a ; OS = a 2 a 5 2a 5 ta tính đ c OI = MH= 5 5 log 2 x 2 3 x 1 * ; /k x>0 . 3) (1 đi m) V i ON = t D 0,5 đi m 0,5 đi m t log 2 x t x 2 t t 3 1 p/t * 3t 4t 1 1. Nh n th y p/t này có nghi m t = 1, và c/m đ 4 4 nghi m đó là duy nh t. V y , ta đ c : log 2 x 1 x 2 KL: p/t có duy nh t nghi m x = 2 -108- c http://www.VNMATH.com 63 Câu Vb 3 đi m thi th 1)(1 đi m) i h c 2011 5 t f ( x) x 5 x 5 f ' ( x) 5( x 4 1) 5( x 1)( x 1)( x 2 1) x 1 .Ta có b ng bi n thiên c a h/s f(x): f '( x) 0 x 1 x - -1 1 + f’(x) + 0 0 + -1 + f(x) - -9 Nhìn vào b ng bi n thiên,ta th y : đ ng th ng y=0 ch c t đ th c a h/s f(x) t i m t đi m duy nh t. V y p/t đã cho có 1 nghi m duy nh t xx y y 2) (1 đi m) G i to đ ti p đi m là ( x0 ; y0 ), PTTT (d) có d ng: 0 0 1 * 16 9 4 x0 3 y0 1 (1) Vì A(4;3) (d) 16 9 x0 2 y0 2 Vì ti p đi m ( E ) ,nên 1 (2) .T (1),(2) ta có 16 9 12 3 x0 x0 4; y0 0 y0 . T p/t * , ta th y có 2 ti p tuy n c a (E) đi qua 4 9 x 2 16 y 2 144 x0 0; y0 3 0 0 đi m A(4;3) là : (d 1 ) : x – 4 = 0 ; (d 2 ) : 3)(1 đi m) TH1 : S ph i tìm ch a b 123: 0,25 đi m 0,25 đi m 0,5 đi m 0,25 đi m 0,25 đi m 0,5 đi m y–3=0 L y 4 ch s 0; 4;5;6;7;8;9 : có A74 cách Cài b 123 vào v trí đ u,ho c cu i,ho c gi a hai ch s li n nhau trong 4 ch s v a l y: có 5 cách có 5 A74 = 5.840 = 4200 s g m 7 ch s khác nhau trong đó ch a b 123 0,5 đi m Trong các s trên, có 4 A63 = 4.120 = 480 s có ch s 0 đ ng đ u Có 5 A74 - 4 A63 = 3720 s ph i tìm trong đó có m t b 123 TH 2 : S ph i tìm có m t b 321 (l p lu n t ng t ) Có 3720 s g m 7 ch s khác nhau , có b t 321 K t lu n: có 3720.2 = 7440 s g m 7 ch s khác nhau đôi m t,trong đó ch s 2 đ ng li n gi a hai ch s 1 và 3 0,5 đi m Chú ý :- N u h c sinh làm theo cách khác đúng thì ph i cho đi m t i đa -109- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 THI TH I H C L N 2 - N M H C 2011 Môn: TOÁN Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH 2x 3 có đ th (C). Câu I (2 đi m) Cho hàm s y x2 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (C) 2. Tìm trên (C) nh ng đi m M sao cho ti p tuy n t i M c a (C) c t hai ti m c n c a (C) t i A, B sao cho AB ng n nh t . Câu II (2 đi m) 1. Gi i ph ng trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0 2. Gi i ph ng trình: x2 – 4x - 3 = x 5 Câu III (1 đi m) 1 dx Tính tích phân: 2 1 1 x 1 x Câu IV (1 đi m) Kh i chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đ nh C và SA vuông góc v i m t ph ng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc gi a hai m t ph ng (SCB) và (ABC) đ th tích kh i chóp l n nh t . Câu V ( 1 đi m ) Cho x, y, z là các s d PH N T A. Theo ch ng th a mãn 1 1 1 4 . CMR: x y z 1 1 1 1 2x y z x 2y z x y 2z CH N: Thí sinh ch n m t trong hai ph n A ho c B ng trình Chu n Câu VI.a.( 2 đi m ) 1. Tam giác cân ABC có đáy BC n m trên đ ng th ng : 2x – 5y + 1 = 0, c nh bên AB n m trên đ ng th ng : 12x – y – 23 = 0 . Vi t ph ng trình đ ng th ng AC bi t r ng nó đi qua đi m (3;1) 2. Trong không gian v i h t a đ êcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đ ng th ng : x 1 2t x 1 3 y z 2 và (d’) y 2 t (d) 1 1 2 z 1 t Vi t ph ng trình tham s c a đ ng th ng ( ) n m trong m t ph ng (P) và c t c hai đ th ng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính kho ng cách gi a chúng . Câu VIIa . ( 1 đi m ) Tính t ng : S C50 C57 C15C74 C52 C37 C35C72 C54 C17 C55C07 B. Theo ch ng trình Nâng cao Câu VI.b.( 2 đi m ) 1. Vi t ph ng trình ti p tuy n chung c a hai đ ng tròn : (C 1 ) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C 2 ) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 2. Trong không gian v i h t a đ êcác vuông góc Oxyz cho hai đ ng th ng : x t x t và (d’) y 1 2 t (d) y 1 2t z 3t z 4 5t a. CMR hai đ ng th ng (d) và (d’) c t nhau . b. Vi t ph ng trình chính t c c a c p đ ng th ng phân giác c a góc t o b i (d) và (d’) . Câu VIIb.( 1 đi m ) log x 3 Gi i ph ng trình : 2 5 x ----------------------------- H t ----------------------------Cán b coi thi không gi i thích gì thêm. -110- http://www.VNMATH.com ng 63 thi th i h c 2011 ®¸p ¸n ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 2 n¨m häc 2009 - 2010 M«n thi: to¸n Thêi gian lμm bμi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò C©u Néi dung §iÓm 2x 3 cã : x2 - TX§: D = R \ {2} - Sù biÕn thiªn: + ) Giíi h¹n : Lim y 2 . Do ®ã §THS nhËn ®−êng th¼ng y = 2 lμm TCN Hμm sè y = 0,25 x , lim y ; lim y . Do ®ã §THS nhËn ®−êng th¼ng x = 2 lμm TC§ x 2 x 2 +) B¶ng biÕn thiªn: 1 Ta cã : y’ = < 0 x D 2 x 2 x 1 1.25® y 2 y’ 0,25 - - 0,25 2 2 Hμm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng ;2 vμ hμm sè kh«ng cã cùc trÞ - §å thÞ 3 + Giao ®iÓm víi trôc tung : (0 ; ) 2 + Giao ®iÓm víi trôc hoμnh : A(3/2; 0) 8 I 2.0® 0,5 6 4 2 - §THS nhËn ®iÓm (2; 2) lμm t©m ®èi xøng -5 5 10 -2 -4 1 1 L y đi m M m; 2 . C . Ta có : y ' m 2 m2 m 2 2 0,75đ Ti p tuy n (d) t i M có ph ng trình : 1 1 y x m 2 2 m2 m 2 0,25đ 2 Giao đi m c a (d) v i ti m c n đ ng là : A 2; 2 m2 Giao đi m c a (d) v i ti m c n ngang là : B(2m – 2 ; 2) 0,25đ -111- http://www.VNMATH.com 63 thi th 1 1,0® i h c 2011 1 2 8 . D u “=” x y ra khi m = 2 Ta có : AB2 4 m 2 2 m 2 V y đi m M c n tìm có t a đ là : (2; 2) Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i : 2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0 sin x cosx 2 1 sin x 1 cosx 0 cosx sin x 2 sin x cosx cosx.sin x 3 sin x cosx cosx.sin x 0 cosx sin x 3 2 cosx sin x cosx.sin x 0 cosx sin x 2 3 3 0 tan x tan x k Xét cosx sin x 2 Xét : sinx + cosx – sinx.cosx = 0 . t t = sinx + cosx v i t 2; 2 . Khi đó ph ng trình tr thành: t2 1 0 t 2 2t 1 0 t 1 2 2 1 2 Suy ra : 2cos x 1 2 cos x cos 4 4 2 x k 2 4 2 x - 4x + 3 = x 5 (1) TX§ : D = 5; ) 0,25đ 0,25 0,25 0,5 t II 2,0® 1 x 2 2 0,25 7 x 5 ®Æt y - 2 = x 5 , y 2 y 2 x 5 Ta cã hÖ : x 2 2 y 5 x 2 2 y 5 2 y 2 x 5 x y x y 3 0 y 2 y 2 x 2 2 y 5 x y 0 5 29 x 2 x 2 y 5 2 x 1 x y 3 0 y 2 2 2 1,0® 1 Ta có : 1 x 1 1® 1 x2 = 1 1 x 1 x2 1 x 2 1 x 2 0,5 1 x 1 x2 dx 2x 1 1 dx 0,5 1 1 1 x2 dx 1 dx 2 1 x 2x 1 1 III 1.0® 1 dx 0,25 1 1 1 1 I1 1 dx ln x x |11 1 2 1 x 2 I2 0,5 1 1 1 1 x2 dx . 2x t t 1 x 2 t 2 1 x 2 2tdt 2xdx -112- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 t 2 x 1 ic n: x 1 t 2 2 t 2 dt V y I2= 0 2 2 2 t 1 Nên I = 1 G i là góc gi a hai mp (SCB) và (ABC) . ; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin Ta có : SCA 0,25 V y IV 2® 1.0® 1 1 1 1 VSABC .SABC .SA .AC.BC.SA a 3 sin .cos 2 a 3 sin 1 sin 2 3 6 6 6 3 Xét hàm s : f(x) = x – x trên kho ng ( 0; 1) 1 Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 . f ' x 0 x 3 T đó ta th y trên kho ng (0;1) hàm s f(x) liên t c và có m t đi m c c tr là đi m S c c đ i, nên t i đó hàm s đ t GTLN 2 1 hay Max f x f x 0;1 3 3 3 a3 , đ t đ c khi 9 3 1 1 sin = hay arc sin 3 3 (v i0< ) 2 +Ta có : 0,5 V y MaxV SABC = V 1.0® 1 1® C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .( ); ( ); ( ) 2 x y z 4 2 x y z x 2y z 4 2 y x z x y 2z 4 2 z y x 1 1 1 1 ( ); + L i có : xy 4 x y 1 1 1 1 ( ); yz 4 y z 1 1 1 1 ( ); xz 4 x z c ng các B T này ta đ VIa 2® B A 1® c đpcm. ng th ng AC đi qua đi m (3 ; 1) nên có ph ng trình : a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a2 + b2 0) . Góc c a nó t o v i BC b ng góc c a AB t o v i BC nên : 2a 5b 2.12 5.1 2 2 52 . a 2 b 2 22 52 . 122 12 2a 5b 29 2 5 2a 5b 29 a 2 b 2 5 a 2 b2 a 12b 2 2 9a + 100ab – 96b = 0 a 8 b 9 Nghi m a = -12b cho ta đ ng th ng song song v i AB ( vì đi m ( 3 ; 1) không thu c AB) nên không ph i là c nh tam giác . V y còn l i : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9 -113- 0,25 0,25 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Ph 2 1® ng trình c n tìm là : 8x + 9y – 33 = 0 M t ph ng (P) c t (d) t i đi m A(10 ; 14 ; 20) và c t (d’) t i đi m B(9 ; 6 ; 5) 0,25 ng th ng ∆ c n tìm đi qua A, B nên có ph ng trình : x 9 t y 6 8t 0,25 z 5 15t + ng th ng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u 1;1; 2 + ng th ng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u ' 2;1;1 Ta có : MM ' 2; 1;3 MM ' u, u ' 2; 1;3 11 12 ; 12 12 ; 12 Do đó (d) và (d’) chéo nhau .( pcm) Khi đó : MM ' u, u ' 8 d d , d ' 11 u, u ' Ch n khai tri n : 5 x 1 C50 C15 x C52 x 2 C55 x 5 x 1 VIIa VIb 2đ 1đ 1 1đ 7 1 1 8 0 0,25 0,25 .0,25 C07 C17 x C72 x 2 C77 x 7 C70 C17 x C72 x 2 C57 x 5 H s c a x5 trong khai tri n c a (x + 1)5.(x + 1)7 là : C50 C57 C15C74 C52 C37 C35C72 C54C17 C55C70 M t khác : (x + 1)5.(x + 1)7 = (x + 1)12 và h s c a x5 trong khai tri n c a 5 (x + 1)12 là : C12 0,25 5 T đó ta có : C50 C57 C15C74 C52 C37 C35C72 C54C17 C55C70 = C12 = 792 0,25 ng tròn (C 1 ) có tâm I 1 (5 ; -12) bán kính R 1 = 15 , ng tròn (C 2 ) có tâm I 2 (1 ; 2) bán kính R 1 = 5 . N u đ ng th ng Ax + By + C = 0 (A2 + B2 0) là ti p tuy n chung c a (C 1 ) và (C 2 ) thì kho ng cách t I 1 và I 2 đ n đ ng th ng đó l n l t b ng R 1 và R 2 , t c là : 5A 12B C 15 1 A 2 B2 A 2B C 5 2 A 2 B2 T (1) và (2) ta suy ra : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C | Hay 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C) C = A – 9B thay vào (2) : |2A – 7B | = 5 A 2 B2 21A 2 28AB 24B2 0 14 10 7 A B 21 N u ta ch n B= 21 thì s đ c A = - 14 10 7 , C = 203 10 7 V y có hai ti p tuy n : (- 14 10 7 )x + 21y 203 10 7 = 0 4A 3B TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C) C , thay vào (2) ta 2 đ c : 96A2 + 28AB + 51B2 = 0 . Ph ng trình này vô nghi m . -114- 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 a) + + ng th ng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP u 1; 2;5 ng th ng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP u ' 1; 2; 3 1 3 Nh n th y (d) và (d’) có m t đi m chung là I ;0; hay (d) và (d’) c t 2 2 nhau . ( PCM) u 15 15 15 b) Ta l y v .u ' ; 2 ; 3 . 7 7 7 u' 2 1® 15 15 15 ;2 2 ;5 3 Ta đ t : a u v 1 7 7 7 15 15 15 b u v 1 ;2 2 ;5 3 7 7 7 Khi đó, hai đ ngphân giác c n tìm là hai đ ng th ng đi qua I và l n l nh n hai véct a, b làm VTCP và chúng có ph ng trình là : t 1 15 1 15 x 1 x 1 t t 2 7 2 7 15 15 và t t y 2 2 y 2 2 7 7 z 3 5 3 15 t z 3 5 3 15 t 2 7 2 7 K:x>0 PT đã cho t ng đ ng v i : log 5 ( x + 3) = log 2 x (1) t t = log 2 x, suy ra x = 2t 2 log 5 2t 3 t 2t 3 5t t VIIb 1® 2 1 Xét hàm s : f(t) = 3 3 5 t t 0,25 t 2 1 3 1 (2) 3 5 0,25 t t 2 1 f'(t) = ln 0, 4 3 ln 0, 2 0, t R 3 5 Suy ra f(t) ngh ch bi n trên R L i có : f(1) = 1 nên PT (2) có nghi m duy nh t t = 1 hay log 2 x = 1 hay x =2 V y nghi m c a PT đã cho là : x = 2 -115- 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 THI TH I H C N M 2011 Môn : Toán, kh i D (Th i gian 180 không k phát đ ) CHÍNH TH C PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m) Cho hàm s y = x3 – 3x2+2 (1) 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1). 2. Tìm đi m M thu c đ ng th ng y=3x-2 sao t ng kho ng cách t M t i hai đi m c c tr nh nh t. Câu II (2 đi m) 1. Gi i ph ng trình cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0 2. Gi i b t ph ng trình 4x 3 x 2 3x 4 8x 6 3 cotx dx s inx.sin x 6 4 Câu III ( 1đi m)Tính tích phân I Câu IV (1 đi m) Cho hình chóp S.ABC có m t đáy (ABC) là tam giác đ u c nh a. Chân đ ng vuông góc h t S xu ng m t ph ng (ABC) là m t đi m thu c BC. Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng BC và SA bi t SA=a và SA t o v i m t ph ng đáy m t góc b ng 300. Câu V (1 đi m) Cho a,b, c d ng và a2+b2+c2=3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P a3 b2 3 b3 c2 3 c3 a2 3 PH N RIÊNG (3 đi m) A. Theo ch ng trình chu n Câu VI.a. (2 đi m) 1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đ ng tròn (C) : x 2 y 2 2x 8y 8 0 . Vi t ph ng trình đ ng th ng song song v i đ ng th ng d: 3x+y-2=0 và c t đ ng tròn theo m t dây cung có đ dài b ng 6. 2. Cho ba đi m A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm t a đ đi m D thu c đ ng th ng AB sao cho đ dài đo n th ng CD nh nh t. Câu VII.a (1 đi m) Tìm s ph c z tho mãn : z 2 i 2 . Bi t ph n o nh h n ph n th c 3 đ n v . B. Theo ch ng trình nâng cao Câu VI.b (2 đi m) 2 4 6 100 8C100 12C100 ... 200C100 . 1. Tính giá tr bi u th c: A 4C100 2. Cho hai đ ng th ng có ph ng trình: x 3 t d 2 : y 7 2t z 1 t x2 z 3 d1 : y 1 3 2 Vi t ph ng trình đ ng th ng c t d 1 và d 2 đ ng th i đi qua đi m M(3;10;1). Câu VII.b (1 đi m) Gi i ph ng trình sau trên t p ph c: z2+3(1+i)z-6-13i=0 -------------------H t----------------ÁP ÁN THI TH I H C L N II, n¨m 2010 1 -116- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu N i dung T p xác đ nh: D=R lim x3 3x 2 2 x i m lim x 3 3x 2 2 x x 0 x 2 y’=3x2-6x=0 B ng bi n thiên: x - y’ + 0,25 đ 0 0 2 - + 2 0 + + 0,25 đ y 1 I 2 - Hàm s đ ng bi n trên kho ng: (-;0) và (2; + ) Hàm s ngh ch bi n trên kho ng (0;2) f C =f(0)=2; f CT =f(2)=-2 y’’=6x-6=0x=1 khi x=1=>y=0 x=3=>y=2 x=-1=>y=-2 -2 0,5 đ th hàm s nh n đi m I(1;0) là tâm đ i x ng. G i t a đ đi m c c đ i là A(0;2), đi m c c ti u B(2;-2) Xét bi u th c P=3x-y-2 Thay t a đ đi m A(0;2)=>P=-4P=6>0 V y 2 đi m c c đ i và c c ti u n m v hai phía c a đ ng th ng y=3x-2, đ MA+MB nh nh t => 3 đi m A, M, B th ng hàng Ph ng trình đ ng th ng AB: y=-2x+2 T a đ đi m M là nghi m c a h : 4 x y x 3 2 4 2 5 => M ; 5 5 y 2 x 2 y 2 5 Gi i ph ng trình: cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0 (1) 1 cos2 x 1 2sin x 1 2sin x 0 cos2 x 11 2sin x 0 1 II Khi cos2x=1 x k , k Z 1 5 Khi s inx x k 2 ho c x k 2 , k Z 2 2 Gi i b t ph 6 6 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ ng trình: 4x 3 x 2 3x 4 8x 6 (1) 2 -117- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 (1) 4 x 3 0,25 đ Ta có: 4x-3=0x=3/4 x 2 3 x 4 2 =0x=0;x=3 B ng xét d u: x - 0 4x-3 + 0 x 2 3x 4 2 V trái - 0 + V y b t ph 0,25 đ x 2 3x 4 2 0 ¾ 0 + 2 + - 0 0 0 0,25 đ + + + 3 ng trình có nghi m: x 0; 3; 4 0,25 đ Tính 3 3 cot x cot x dx 2 dx s inx s inx cos x sin x sin x 6 6 4 0,25 đ I 3 2 III cot x dx s in x 1 cot x 2 6 t 1+cotx=t Khi x 6 0,25 đ 1 dx dt sin 2 x t 1 3; x 3 t 3 1 V y I 2 t 1 t dt 2 t ln t 3 1 3 1 3 1 3 3 1 3 0,25 đ 2 2 ln 3 3 0,25 đ 3 G i chân đ ng vuông góc h t S xu ng BC là H. Xét SHA(vuông t i H) AH SA cos 300 0,25 đ S a 3 2 Mà ABC đ u c nh a, mà c nh AH IV a 3 2 K => H là trung đi m c a c nh BC => AH BC, mà SH BC => BC(SAH) T H h đ ng vuông góc xu ng SA t i K => HK là kho ng cách gi a BC và SA A C 0,25 đ H B 0,25 đ AH a 3 => HK AH sin 300 2 4 3 -118- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 V y kho ng cách gi a hai đ a 3 4 ng th ng BC và SA b ng 0,25 đ Ta có: a3 2 b2 3 b3 2 c 3 2 c3 V 2 a2 3 a3 2 b2 3 b3 2 c 3 2 c3 2 a2 3 L y (1)+(2)+(3) ta đ b2 3 a 6 3a 2 33 (1) 16 64 4 c2 3 c 6 3c 2 (2) 33 16 64 4 0,5 đ a2 3 c 6 3c 2 33 (3) 16 64 4 c: a b c2 9 3 2 P a b 2 c 2 (4) 16 4 2 2 0,25 đ Vì a2+b2+c2=3 T (4) P 0,25 đ 3 3 v y giá tr nh nh t P khi a=b=c=1. 2 2 PH N RIÊNG (3 đi m) A. Theo ch ng trình chu n ng tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5 G i ph ng trình đ ng th ng c n tìm là , => : 3x+y+c=0, c≠2 (vì // v i đ ng th ng 3x+y-2=0) Vì đ ng th ng c t đ ng tròn theo m t dây cung có đ dài b ng 6=> kho ng cách t tâm I đ n b ng 52 32 4 1 c 4 10 1 4 (th a mãn c≠2) 32 1 c 4 10 1 ng trình đ ng tròn c n tìm là: 3x y 4 10 1 0 ho c d I , V y ph Ph 2 ng trình đ x 1 t ng th ng AB: y 5 4t z 4 3t Vì AB DC =>-a-16a+12-9a+9=0 a 21 26 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 5 49 41 0,25 đ T a đ đi m D ; ; 26 26 26 G i s ph c z=a+bi VII.a 0,25 đ 0,25 đ đ dài đo n CD ng n nh t=> D là hình chi u vuông góc c a C trên c nh AB, g i t a đ đi m D(1-a;5-4a;4-3a) DC (a; 4a 3;3a 3) 0,25 đ 3 4 c 3x y 4 10 1 0 . Ta có AB 1; 4; 3 VI.a 0,25 đ a 2 b 1 i 2 Theo bài ra ta có: b a 3 0,25 đ a 2 b 1 4 b a 2 2 2 0,25 đ 4 -119- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 a 2 b 1 a 2 b 1 2 2 0,25 đ 2 2 V y s ph c c n tìm là: z= 2 2 +( 1 2 )i; z= z= 2 2 +( 1 2 )i. A. Theo ch ng trình nâng cao 100 0 1 2 100 100 Ta có: 1 x C100 C100 x C100 x 2 ... C100 x 1 x 100 0 1 2 3 100 100 (2) C100 C100 x C100 x 2 C100 x3 ... C100 x L y (1)+(2) ta đ 1 x 100 1 (1) 1 x c: 100 0 2 4 100 100 2C100 2C100 x 2 2C100 x 4 ... 2C100 x L y đ o hàm hai v theo n x ta đ c 4 100 99 x3 ... 200C100 x 100 1 x 100 1 x 4C x 8C100 99 99 2 100 Thay x=1 vào 2 4 100 8C100 ... 200C100 => A 100.299 4C100 G i đ ng th ng c n tìm là d và đ ng th ng d c t hai đ ng th ng d 1 và d 2 l n l t t i đi m A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b). MA k MB Do đ ng th ng d đi qua M(3;10;1)=> VI.b 2 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ a 1 3a 1 kb 3a kb 1 a 11 2kb 3k a 3k 2kb 11 k 2 b 1 4 2a kb 2a kb 4 => MA 2; 10; 2 0,25 đ ng trình đ x 3 2t ng th ng AB là: y 10 10t z 1 2t 7 5i ho c z 2 i z 5 4i 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ =24+70i, Bài làm v n đ 0,25 đ MA 3a 1; a 11; 4 2a , MB b; 2b 3; b Ph VII.b 0,25 đ 7 5i c đi m n u thí sinh làm đúng theo cách khác! 5 -120- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 THI TH I H C L N 2 - N M H C 2011 Môn: TOÁN (Th i gian : 180 phút) PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH Câu I (2 đi m): 1).Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s 2đ : y 3x 4 . Tìm đi m thu c (C) cách đ u x2 ng ti m c n . 2).Tìm các giá tr c a m đ ph Câu II (2 đi m): ng trình sau có 2 nghi m trên đo n 2 0; 3 . sin6x + cos6x = m ( sin4x + cos4x ) 1).Tìm các nghi m trên 0; 2 c a ph ng trình : sin 3x sin x sin 2x cos2x 1 cos2x 3 x 34 3 x 3 1 2).Gi i ph ng trình: Câu III (1 đi m): Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i C, AC = 2, BC = 4. C nh bên SA = 5 vuông góc v i đáy. G i D là trung đi m c nh AB. 1).Tính góc gi a AC và SD; 2).Tính kho ng cách gi a BC và SD. Câu IV (2 đi m): 2 1).Tính tích phân: I= sin x cosx 1 dx sin x 2cosx 3 0 2). a.Gi i ph ng trình sau trên t p s ph c C : | z | - iz = 1 – 2i b.Hãy xác đ nh t p h p các đi m trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z tho mãn : 1 2 : có 7 cách ch n a và A93 cách ch n b, c , d +N ua=2: + b > 0 : có 8 cách ch n b và có A82 cách ch n c , d + b = 0 và c > 1: có 7 cách ch n c và và 7 cách ch n d + b = 0 và c = 1 : có 7 cách ch n d V y s các s th a yêu c u bài toán là : 7. A93 8. A82 7.7 7 4032 0,25 0,25 0,25 0,25 1.(1,0 đi m) x2 y 2 1 ; a 2 4 a 2 ; b2 1 b 1 ; c2 a 2 b2 3 c 3 (E) : 4 + Áp d ng đ nh lí côsin trong tam giác F 1 NF 2 : ( F1 F2 ) 2 NF12 NF22 2 NF1 NF2 . cos 60 0 ( F1 F2 ) 2 ( NF1 NF2 ) 2 2 NF1 .NF2 NF1 .NF2 4 4 2 ( a c2 ) 3 3 2 32 ; y2 x2 18 9 0,25 0,25 NF1 .NF2 0,25 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 V y có 4 đi m th a yêu c u bài toán : N1 , , ; N 4 , ; N 3 , ; N 2 3 3 3 3 3 3 3 3 0,25 2.(1,0 đi m) ng th ng đi qua M 0 (0 , 0 ,1) và có vtcp u (1, 2 , 0) ; M 0 A (1,0 ,2) ; M 0 A , u ( 4 , 2 , 2) M 0 A , u 2 6 + Kho ng cách t A đ n là AH = d ( A , ) 5 u + 2 4 2 4 2 .V y E , F thu c m t c u tâm A , BK R = 3 5 5 x t y 2t ng th ng , nên t a đ E , F là nghi m c a h : z 1 ( x 1) 2 y 2 ( z 1) 2 32 5 + Tam giác AEF đ u AE AF AH . và đ -132- http://www.VNMATH.com 0,25 0,25 0,25 63 VII.b (1,0 đi m) thi th i h c 2011 1 2 2 x 5 1 2 2 24 2 t = suy ra t a đ E và F là : y 5 5 z 1 + G i s ph c z = x + yi 1 2 2 x 5 24 2 y 5 z 1 0,25 ( x , yR ) 2 x ( y 1)i (2 y 2)i H 4 xyi 4 x2 x 3 4 y 4 1 y 1 y 1 y 3 4 x x 1 V y s ph c c n tìm là : z 3 4 3 i 4 0,25 0,50 0,25 f/( f(t) -133- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 S giáo d c và đào t o Hà n i Tr ng THPT Liên Hà THI TH I H C N M 2011 **************** Môn : TOÁN; kh i: A,B(Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đ ) PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m) 2x 1 x 1 ng trình ti p tuy n c a (C), bi t kho ng cách t đi m I(1;2) đ n ti p tuy n b ng 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s y 2. Vi t ph Câu II (2 đi m) 1) Gi i ph ng trình 2) Gi i h ph sin(2x 2. x 17 ) 16 2 3.s inx cos x 20sin 2 ( ) 2 2 12 x 4 x 3y x 2y 2 1 ng trình : 3 2 x y x xy 1 Câu III (1 đi m): Tính tích phân: I = 4 0 tan x .ln(cos x ) dx cos x Câu IV (1 đi m): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i A v i AB = a, các m t bên là các tam giác cân t i đ nh S. Hai m t ph ng (SAB) và (SAC) cùng t o v i m t ph ng đáy góc 600. Tính côsin c a góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (SBC) . Câu V: (1 đi m) Cho a,b,c là các s d ng th a mãn a + b + c = 1. Ch ng minh r ng: a b b c c a 3 ab c bc a ca b PH N RIÊNG (3 đi m) Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B) A. Theo ch ng trình Chu n Câu VI.a (1 đi m) Trong m t ph ng t a đ Oxy cho đi m A(1;1) và đ ng th ng : 2x + 3y + 4 = 0. Tìm t a đ đi m B thu c đ ng th ng sao cho đ ng th ng AB và h p v i nhau góc 450. Câu VII.a (1 đi m): Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m M(1;-1;1) x y 1 z x y 1 z 4 và hai đ ng th ng (d ) : và (d ') : 1 2 3 1 2 5 Ch ng minh: đi m M, (d), (d’) cùng n m trên m t m t ph ng. Vi t ph ng trình m t ph ng đó. Câu VIII.a (1 đi m) Gi i ph ng trình: Log x (24x 1)2 x logx 2 (24x 1) x 2 log (24x 1) x Theo ch ng trình Nâng cao Câu VI.b (1 đi m) Trong m t ph ng t a đ Oxy cho đ ng tròn (C ) : x 2 y 2 1 , đ ng th ng (d ) : x y m 0 . Tìm m đ (C ) c t (d ) t i A và B sao cho di n tích tam giác ABO l n nh t. Câu VII.b (1 đi m) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho ba m t ph ng: (P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0 x2 y 1 z = = . G i 2 là giao tuy n c a (P) và (Q). và đ ng th ng 1 : 2 1 3 Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) vuông góc v i (R) và c t c hai đ ng th ng 1 , 2 . Câu VIII.b (1 đi m) Gi i b t ph ng trình: log x ( log 3 ( 9x – 72 )) 1 ----------H t---------- -134- http://www.VNMATH.com 63 Câu -ý 1.1 thi th i h c 2011 *T p xác đ nh : D \ 1 ÁP ÁN VÀ THANG I M N i dung i m 1 *Tính y ' 0 x D (x 1) 2 Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng (;1) và (1; ) *Hàm s không có c c tr *Gi i h n Lim y Lim y x 1 0.25 x 1 Lim y 2 x Lim y 2 x 0.25 th có ti m c n đ ng :x=1 , ti m c n ngang y=2 *B ng bi n thiên 1 x y’ - 0.25 y *V đ th 0.25 1.2 *Ti p tuy n c a (C) t i đi m M (x 0 ; f (x 0 )) (C ) có ph y f '(x 0 )(x x 0 ) f (x 0 ) ng trình Hay x (x 0 1) 2 y 2x 0 2 2x 0 1 0 (*) *Kho ng cách t đi m I(1;2) đ n ti p tuy n (*) b ng 2 2x 0 2 1 (x 0 1)4 gi i đ 0.25 2 0.25 c nghi m x 0 0 và x 0 2 0.25 0.25 *Các ti p tuy n c n tìm : x y 1 0 và x y 5 0 2.1 *Bi n đ i ph ng trình đã cho t ng đ ng v i 0.25 c os2x 3 sin 2x 10c os(x ) 6 0 6 c os(2x ) 5c os(x ) 3 0 3 6 0.25 2c os 2 (x ) 5c os(x ) 2 0 6 6 1 Gi i đ c c os(x ) và c os(x ) 2 (lo i) 6 2 6 1 5 *Gi i c os(x ) đ c nghi m x k 2 và x k 2 6 2 6 2 -135- 0.25 0.25 http://www.VNMATH.com 63 2.2 3 thi th i h c 2011 2 2 3 (x x y ) 1 x y ng v i 3 2 x y (x xy ) 1 0.25 2 u 2 1 v x xy u * t n ph 3 , ta đ c h x y v v u 1 *Gi i h trên đ c nghi m (u;v) là (1;0) và (-2;-3) 0.25 *Bi n đ i h t ng đ *T đó gi i đ * t t=cosx c nghi m (x;y) là (1;0) và (-1;0) Tính dt=-sinxdx , đ i c n x=0 thì t=1 , x 1 2 T đó I 1 ln t dt t2 1 dt t2 1 1 Suy ra I ln t 1 t 2 * 4 1 1 2 I 2 1 4 0.25 thì t 1 2 0.25 ln t dt t2 1 1 du dt ; v t t t u ln t ;dv *K t qu 0.25 0.25 1 1 2 1 1 t 2 dt 2 ln 2 t 1 2 2 1 0.25 2 ln 2 2 0.25 *V hình *G i H là trung đi m BC , ch ng minh SH (A B C ) *Xác đ nh đúng góc gi a hai m t ph ng (SAB) , (SAC) v i m t đáy là SEH SFH 600 *K H K SB , l p lu n suy ra góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (SBC) b ng H K A . a 3 a 2 , SH H F tan 600 *L p lu n và tính đ c AC=AB=a , H A 2 2 3 1 1 1 *Tam giác SHK vuông t i H có K H a 2 2 2 HK HS HB 10 a 2 AH 20 2 *Tam giác AHK vuông t i H có tan A K H KH 3 3 a 10 3 cos A K H 23 5 *Bi n đ i a b 1c 1c ab c ab 1 b a (1 a )(1 b ) -136- 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 1c 1b 1a (1 a )(1 b ) (1 c )(1 a ) (1 c )(1 b ) ng và a+b+c=1 nên a,b,c thu c kho ng (0;1) => 1-a,1-b,1-c *T đó V T Do a,b,c d d ng *áp d ng b t đ ng th c Côsi cho ba s d V T 3. 3 ng ta đ 6.a 8.a 0.25 1 3 x 1 3t và có vtcp u (3; 2) ng trình tham s y 2 2t *A thu c A (1 3t ; 2 2t ) A B .u 1 1 *Ta có (AB; )=450 c os(A B ; u ) 2 2 AB.u * có ph 15 3 t 13 13 32 4 22 32 *Các đi m c n tìm là A 1 ( ; ), A 2 ( ; ) 13 13 13 13 *(d) đi qua M 1 (0; 1;0) và có vtcp u 1 (1; 2; 3) (d’) đi qua M 2 (0;1; 4) và có vtcp u 2 (1; 2;5) *Ta có u 1 ; u 2 (4; 8; 4) O , M 1M 2 (0; 2; 4) Xét u 1 ; u 2 .M 1M 2 16 14 0 (d) và (d’) đ ng ph ng . *G i (P) là m t ph ng ch a (d) và (d’) => (P) có vtpt n (1; 2; 1) và đi qua M 1 nên có ph ng trình x 2y z 2 0 *D th y đi m M(1;-1;1) thu c mf(P) , t đó ta có đpcm * i u ki n :x>0 *TH1 : xét x=1 là nghi m *TH2 : xét x 1 , bi n đ i ph ng trình t ng đ ng v i 1 1 2 1 2 logx (24x 1) 2 logx (24x 1) logx (24x 1) t logx (x 1) t , ta đ c ph ng trình 1 2 1 gi i đ c t=1 và t=-2/3 1 2t 2 t t *V i t=1 logx (x 1) 1 ph ng trình này vô nghi m 2 *V i t=-2/3 logx (x 1) 3 2 3 x .(24x 1) 1 (*) 1 Nh n th y x là nghi m c a (*) 8 1 N u x thì VT(*)>1 8 169t 2 156t 45 0 t 7.a 0.25 c 1c 1b 1a . . =3 (đpcm) (1 a )(1 b ) (1 c )(1 a ) (1 c )(1 b ) ng th c x y ra khi và ch khi a b c 0.25 -137- 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 http://www.VNMATH.com 63 thi th N ux i h c 2011 1 1 thì VT(*) d có ph ng trình 3 1 2 x 0 * i u ki n : log 3 (9x 72) 0 x 9 72 0 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 gi i đ Vì x log 9 73 >1 nên bpt đã cho t c x log 9 73 ng đ ng v i log 3 (9x 72) x 9x 72 3x x 3 8 x 2 x 3 9 *K t lu n t p nghi m : T (log 9 72; 2] L u ý : N u thí sinh làm cách khác đúng thì giám kh o ch m theo các b -138- 0.25 0.25 0.25 c làm c a cách đó . http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 -139- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 S GD & T B C NINH TR NNG THPT L NG TÀI 2 THI TH I H C N M 2011 Môn: Toán – Ngày thi: 06.12.2010 Th i gian 180 phút ( không k giao đ ) CHÍNH TH C Ph n chung cho t t c các thí sinh (7 đi m ) Câu I: (2 đi m) Cho hàm s y 2x 3 x 2 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s . 2. Cho M là đi m b t kì trên (C). Ti p tuy n c a (C) t i M c t các đ ng ti m c n c a (C) t i A và B. G i I là giao đi m c a các đ ng ti m c n. Tìm to đ đi m M sao cho đ ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích nh nh t. Câu II (2 đi m) x x x 1. Gi i ph ng trình 1 sin sin x cos sin 2 x 2 cos 2 2 2. Gi i b t ph 2 4 2 1 2 2 ng trình log 2 (4 x 2 4 x 1) 2 x 2 ( x 2) log 1 x Câu III (1 đi m) 3 x 2 ln x dx 1 x 1 ln x e Tính tích phân I ln x Câu IV (1 đi m) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC = a SAC 30 0 . Tính th tích . SA a 3 , SAB 2 kh i chóp S.ABC. Câu V (1 đi m) Cho a, b, c là ba s d bi u th c P 3 1 a 3b 3 1 b 3c 3 ng tho mãn : a + b + c = 3 . Tìm giá tr nh nh t c a 4 1 c 3a Ph n riêng (3 đi m) Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: Ph n 1 ho c ph n 2 Ph n 1:(Theo ch ng trình Chu n) Câu VIa (2 đi m) 1. Trong m t ph ng v i h tr c to đ Oxy cho cho hai đ ng th ng d1 : 2 x y 5 0 . d 2 : 3x +6y – 7 = 0. L p ph ng trình đ ng th ng đi qua đi m P( 2; -1) sao cho đ ng th ng đó c t hai đ ng th ng d 1 và d 2 t o ra m t tam giác cân có đ nh là giao đi m c a hai đ ng th ng d 1 , d 2 . 2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho 4 đi m A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) và m t ph ng (P) có ph ng trình: x y z 2 0 . G i A’là hình chiêú c a A lên m t ph ng Oxy. G i ( S) là m t c u đi qua 4 đi m A’, B, C, D. Xác đ nh to đ tâm và bán kính c a đ ng tròn (C) là giao c a (P) và (S). Câu VIIa (1 đi m) Tìm s nguyên d ng n bi t: 2C22n 1 3.2.2C23n 1 .... (1)k k (k 1)2 k 2 C2kn 1 .... 2 n(2 n 1)2 2 n 1 C22nn11 40200 -140- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Ph n 2: (Theo ch Câu VIb (2 đi m) ng trình Nâng cao) 1.Trong m t ph ng v i h tr c to đ Oxy cho Hypebol (H) có ph ng trình: x2 y2 1. 16 9 Vi t ph ng trình chính t c c a elip (E) có tiêu đi m trùng v i tiêu đi m c a (H) và ngo i ti p hình ch nh t c s c a (H). 2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho P : x 2 y z 5 0 và đ ng th ng (d ) : x3 y 1 z 3 , đi m A( -2; 3; 4). G i là đ 2 ng th ng n m trên (P) đi qua giao đi m c a ( d) và (P) đ ng th i vuông góc v i d. Tìm trên đi m M sao cho kho ng cách AM ng n nh t. Câu VIIb (1 đi m): Gi i h ph 2 3 x 1 2 y 2 3.2 y 3 x ng trình 3 x 2 1 xy x 1 -------------- H t-------------Chú ý: Thí sinh d thi kh i B và D không ph i làm câu V Thí sinh không đ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm H và tên thí sinh:--------------------------S báo danh Câu I. 1 Dáp án N i dung Kh o sát hàm s và v đ th hàm s .................. 1) Hàm s có TX : R \ 2 2) S bi n thiên c a hàm s : a) Gi i h n vô c c và các đ ng ti m c n: lim y * lim y ; x2 i m 1,00 0,25 x 2 Do đó đ ng th ng x = 2 là ti m c n đ ng c a đ th hàm s * lim y lim y 2 đ ng th ng y = 2 là ti m c n ngang c a đ th hàm s x 0,25 x b) B ng bi n thiên: Ta có: y' 1 0, x 2 x 2 2 B ng bi n thiên: x - + y’ 2 - 0,25 + 2 y - 2 * Hàm s ngh ch bi n trên m i kho ng ;2 và 2; -141- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 3) th : + th c t tr c tung t i 0; và c t tr c hoành t i đi m ;0 + Nh n xét: 3 2 3 2 th nh n giao đi m I( 2; 2) c a hai ti m c n làm tâm đ i x ng. y 0,25 2 3/2 x 2 O I. 2 Tìm M đ đ 3/2 ng tròn có di n tích nh nh t .......................... 2x 3 1 , x 0 2 , y' (x 0 ) Ta có: M x 0 ; 0 x 0 2 x0 2 2 Ph ng trình ti p tuy n v i ( C) t i M có d ng: :y 1,00 0,25 2x 3 1 (x x 0 ) 0 2 x0 2 x0 2 2x 2 ; B2x 0 2;2 To đ giao đi m A, B c a và hai ti m c n là: A 2; 0 x0 2 Ta th y y y B 2x 0 3 x A x B 2 2x 0 2 y M suy ra M là x0 x M , A 2 x0 2 2 2 trung đi m c a AB. M t khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông t i I nên đ giác IAB có di n tích ng tròn ngo i ti p tam 2 2x 0 3 1 2 S = IM (x 0 2) 2 2 (x 0 2)2 2 (x 0 2) x0 2 x 1 1 D u “=” x y ra khi (x 0 2)2 0 2 (x 0 2 ) x 0 3 2 II. 1 Do đó có hai đi m M c n tìm là M(1; 1) và M(3; 3) Gi i ph ng trình l ng giác ...... x x 2 2 x 1 sin sin x cos sin x 2 cos 2 2 4 2 1 1 sin x sin x cos x sin 2 x 1 cos x 1 sin x 2 2 2 0,25 0,25 1 đi m (1) 0,25 x x x x x x sin x sin cos sin x 1 0 sin x sin cos .2 sin cos 1 0 2 2 2 2 2 2 x x x sin x sin 1 2 sin 2 2 sin 1 0 2 2 2 -142- 0,25 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 sin x 0 x k x k x sin 1 x x k, k Z k2 2 x k4 2 2 x x 2 sin 2 2 sin 1 2 2 II. 2 Gi i b t ph 1 đi m ng trình......................... 1 1 1 x x 0 x 2 x 1 K: 2 2 2 4 x 2 4 x 1 0 (2x 1)2 0 x 1 2 V i đi u ki n (*) b t ph ng đ ng trình t 2 log 2 (1 2x) 2x 2 (x 2)log 2 (1 2x) 1 xlog 2 (1 2x) 1 0 * 0,25 ng v i: 0,25 x 0 x 0 x 0 1 x log 2 (1 2x) 1 0 log 2 2(1 2x) 0 2(1 2x) 1 4 x 0 x 0 x 0 x 0 log 2 (1 2x) 1 0 log 2 2(1 2x) 0 2(1 2x) 1 K t h p v i đi u ki n (*) ta có: 0,25 0,25 1 1 x ho c x < 0. 4 2 0,25 III 1 đi m Tính tích phân............................. e e ln x dx 3 x 2 ln xdx 1 x 1 ln x 1 I e +) Tính I 1 1 ln x x 1 ln x dx . 1 x t t 1 ln x t 2 1 ln x; 2tdt dx 0,25 i c n: x 1 t 1; x e t 2 t 2 2 t3 22 2 1 I1 .2tdt 2 t 2 1 dt 2 t t 3 1 3 1 1 dx du e u ln x x +) Tính I 2 x 2 ln xdx . t 2 3 dv x dx v x 1 3 2 2 e I2 x3 1 e3 1 x 3 .ln x 1e x 2 dx . 3 31 3 3 3 I I1 3I 2 IV e 1 e3 e3 1 2e3 1 9 3 9 9 5 2 2 2e3 3 0,25 0,25 0,25 0,25 Tính th tích hình chóp ......................... -143- 1 đi m http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 S M A C N B Theo đ nh lí côsin ta có: 3a 2 a 2 2.a 3.a.cos30 0 a 2 SB 2 SA 2 AB 2 2SA.AB.cos SAB Suy ra SB a . T ng t ta c ng có SC = a. 0,25 G i M là trung đi m c a SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB SA, MC SA. Suy ra SA (MBC). 1 3 1 3 1 3 Ta có VS .ABC VS .MBC VA.MBC MA.S MBC SA.S MBC SA.S MBC Hai tam giác SAB và SAC có ba c p c nh t ng ng b ng nhau nên chúng b ng nhau. Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân t i M. G i N là trung đi m c a BC suy ra MN BC. T ng t ta c ng có MN SA. 2 2 2 a 3 a a 3 3a 2 2 2 2 2 2 2 . MN MN AN AM AB BN AM a 4 16 4 2 1 6 1 2 1 3 Do đó VS .ABC SA. MN.BC a 3 . V a 3 a a3 . 4 2 16 1 đi m 1 1 1 1 1 1 9 3 9 (*) (x y z ) 33 xyz 3 x y z xyz xyz x y z 1 1 1 9 áp d ng (*) ta có P 3 3 3 3 a 3b b 3c c 3a a 3b 3 b 3c 3 c 3a a 3b 1 1 1 3 a 3b 1.1 a 3b 2 3 3 b 3c 1 1 1 3 b 3c 1.1 b 3c 2 3 3 c 3a 1 1 1 3 c 3a 1.1 c 3a 2 3 3 0,25 3 3 4 Do đó P 3 0,25 ng ta có Suy ra 3 a 3b 3 b 3c 3 c 3a 1 4 a b c 6 1 4. 3 6 3 3 D u = x y ra a b c 4 0,25 0,25 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c .................. áp d ng B t đ ng th c Côsi cho ba s d ng ta có áp d ng B t đ ng th c Côsi cho ba s d 0,25 abc a 3b b 3c c 3a 1 V y P đ t giá tr nh nh t b ng 3 khi a b c 1 / 4 -144- 1 4 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 VIa.1 thi th i h c 2011 L p ph ng trình đ ng th ng ...................... Cách 1: d 1 có vect ch ph ng a1 (2;1) ; d 2 có vect ch ph 1 đi m ng a 2 (3;6) Ta có: a1.a 2 2.3 1.6 0 nên d1 d 2 và d 1 c t d 2 t i m t đi m I khác P. G i d là đ ng th ng đi qua P( 2; -1) có ph ng trình: 0,25 d : A(x 2) B(y 1) 0 Ax By 2A B 0 d c t d 1 , d 2 t o ra m t tam giác cân có đ nh I khi và ch khi d t o v i d 1 ( ho c d 2 ) m t góc 450 A 3B cos 45 3A 8AB 3B 0 2 2 2 (1) B 3A 2A B A2 B2 0 2 2 0,25 * N u A = 3B ta có đ ng th ng d : 3x y 5 0 * N u B = -3A ta có đ ng th ng d : x 3y 5 0 V y qua P có hai đ ng th ng tho mãn yêu c u bài toán. d : 3x y 5 0 0,25 Cách 2: G i d là đ ng th ng c n tìm, khi đó d song song v i đ giác ngoài c a đ nh là giao đi m c a d 1 , d 2 c a tam giác đã cho. Các đ ng phân giác c a góc t o b i d 1 , d 2 có ph ng trình 0,25 0,25 d : x 3y 5 0 2x y 5 2 2 (1)2 3x 6y 7 32 62 ng phân 3x 9y 22 0 (1 ) 3 2x y 5 3x 6 y 7 9x 3y 8 0 ( 2 ) +) N u d // 1 thì d có ph ng trình 3x 9y c 0 . Do P d nên 6 9 c 0 c 15 d : x 3y 5 0 +) N u d // 2 thì d có ph ng trình 9x 3y c 0 . Do P d nên 18 3 c 0 c 15 d : 3x y 5 0 V y qua P có hai đ ng th ng tho mãn yêu c u bài toán. d : 3x y 5 0 d : x 3y 5 0 VIa. 2 Xác đ nh tâm và bán kính c a đ ng tròn........ D th y A’ ( 1; -1; 0) * Gi s ph ng trình m t c u ( S) đi qua A’, B, C, D là: a x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0, 2 b2 c2 d 0 5 2 0,25 0,25 0,25 ng trình: x 2 y 2 z 2 5 x 2 y 2 z 1 0 (S) có tâm I ;1;1 , bán kính R 0,25 1 đi m 5 2a 2 b d 2 0 a 2 2a 6b 4c d 14 0 b 1 Vì A' , B, C, D S nên ta có h : c 1 8a 6 b 4c d 29 0 8a 2b 4c d 21 0 d 1 V y m t c u ( S) có ph 0,25 29 2 +) G i H là hình chi u c a I lên (P). H là tâm c a đ ng tròn ( C) +) G i ( d) là đ ng th ng đi qua I và vuông góc v i (P). (d) có vect ch ph ng là: n1;1;1 x 5 / 2 t 5 Suy ra ph ng trình c a d: y 1 t H t;1 t;1 t 2 z 1 t 5 2 5 2 Do H d (P ) nên: t 1 t 1 t 2 0 3t t -145- 0,25 5 6 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 5 1 1 H ; ; 3 6 6 IH 75 5 3 29 75 31 186 , (C) có bán kính r R 2 IH 2 4 36 6 6 36 6 0,25 VII a. Tìm s nguyên d ng n bi t....... 1 đi m 2 n 1 0 1 2 2 k k k 2 n 1 2 n 1 * Xét (1 x) C 2 n 1 C 2 n 1x C 2 n 1x .... (1) C 2 n 1x .... C 2 n 1x (1) * L y đ o hàm c hai v c a (1) ta có: 0,25 (2 n 1)(1 x)2 n C12 n 1 2C 22 n 1x ... (1)k kC 2k n 1x k 1 .... (2n 1)C 22 nn 11x 2 n (2) L i l y đ o hàm c hai v c a (2) ta có: 2n(2n 1)(1 x)2n1 2C22n1 3C32n1x ... (1)k k(k 1)C2kn1xk 2 .... 2n(2n 1)C22nn11x2n1 Thay x = 2 vào đ ng th c trên ta có: 2 3 k k 2 k 2n 1 2n(2n 1) 2C2n C 2n 1 ... 2n(2n 1)22n 1 C 2n 1 3.2.2C 2n 1 ... ( 1) k(k 1)2 1 VIb.1 Ph ng trình đã cho 2n(2n 1) 40200 2n 2 n 20100 0 n 100 Vi t ph ng trình chính t c c a E líp (H) có các tiêu đi m F1 5;0; F2 5;0 . Hình ch nh t c s c a (H) có m t đ nh là M( 4; 3), x 2 y2 1 ( v i a > b) a 2 b2 1 (E) c ng có hai tiêu đi m F1 5;0; F2 5;0 a 2 b 2 52 Gi s ph ng trình chính t c c a (E) có d ng: M 4;3 E 9a 2 16b 2 a 2 b2 0,25 x 2 y2 1 40 15 0,25 VIb. 2 Tìm đi m M thu c đ AM ng n nh t ng trình d v d ng tham s ta đ 1 đi m x 2t 3 c: y t 1 z t 3 G i I là giao đi m c a (d) và (P) I 2t 3; t 1; t 3 Do I P 2t 3 2(t 1) (t 3) 5 0 t 1 I 1;0;4 0,25 0,25 ng trình chính t c c a (E) là: * (d) có vect ch ph 0,25 1 đi m a 2 40 2 2 2 2 2 b 15 9a 16b a b a 2 52 b2 Chuy n ph 0,25 2 T (1) và (2) ta có h : V y ph 0,25 ng là a(2;1;1) , mp( P) có vect pháp tuy n là n1;2;1 a, n 3;3;3 . G i u là vect ch ph ng c a u 1;1;1 x 1 u . Vì M M 1 u; u;4 u , AM1 u; u 3; u : y u z 4 u -146- 0,25 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 AM ng n nh t AM AM u AM.u 0 1(1 u) 1(u 3) 1.u 0 u VIIb Gi i h ph 4 7 4 16 . V y M ; ; 3 3 3 3 0,25 1 đi m ng trình:................... 23x 1 2 y 2 3.2 y 3x (1) 3x 2 1 xy x 1 (2) x 1 0 x 1 Ph ng trình (2) 2 x(3 x y 1) 0 3x 1 xy x 1 x 0 x 1 x 1 x 0 3x y 1 0 y 1 3 x 0,25 * V i x = 0 thay vào (1) 2 2 y 2 3.2 y 8 2 y 12.2 y 2 y 8 8 y log 2 11 11 x 1 thay y = 1 – 3x vào (1) ta đ y 1 3x 1 t t 2 3 x 1 Vì x 1 nên t 4 *V i 0,25 c: 2 3 x 1 2 3 x 1 3.2 0,25 1 t 3 8 lo¹ i x log 2 3 8 1 1 2 3 (3) t 6 t 6t 1 0 t y 2 log (3 8 ) t 3 8 2 1 x 0 x log 2 3 8 1 3 V y h ph ng trình đã cho có nghi m 8 và y log 2 y 2 log (3 8 ) 11 2 -147- 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th TR i h c 2011 NG THPT L NG NG C QUY N- TP. THÁI NGUYÊN THI TH I H C N M 2011 Môn: TOÁN – Kh i: A (Th i gian làm bài 180 phút, không k th i gian phát đ ) PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH(7,0 đi m) Câu I ( 2,0 đi m): Cho hàm s y 2 x 4 . x 1 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s . 2. Tìm trên đ th (C) hai đi m đ i x ng nhau qua đ ng th ng MN bi t M(-3; 0) và N(-1; -1). Câu II (2,0 đi m): 2 1. Gi i ph ng trình: 1 3 2 x x2 x 1 3 x 2. Gi i ph ng trình: sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x cos x cos 2 x cos3 x cos 4 x Câu III (1,0 đi m): Tính tích phân: I ln x ln 2 x dx 1 x 1 ln x e Câu IV (1,0 đi m):Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD c nh a. Hai đ nh S và S’ n m v cùng m t phía đ i v i m t ph ng (ABCD), có hình chi u vuông góc lên đáy l n l t là trung đi m H c a AD và trung đi m K c a BC. Tính th tích ph n chung c a hai hình chóp, bi t r ng SH = S’K =h. Câu V(1,0 đi m): Cho x, y, z là nh ng s d ng tho mãn xyz = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P x9 y 9 y9 z9 z 9 x9 x 6 x3 y 3 y 6 y 6 y 3 z 3 z 6 z 6 z 3 x3 x 6 PH N RIÊNG(3,0 đi m) Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n(ph n A ho c ph n B) A. Theo ch ng trình chu n. Câu VI.a (2,0 đi m) 1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đ ng tròn (C) có ph ng trình: x 2 y 2 4 3 x 4 0 . Tia Oy c t (C) t i A. L p ph ng trình đ ng tròn (C’), bán kính R’ = 2 và ti p xúc ngoài v i (C) t i A. 2. Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho hai đi m A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đ ng th ng d có ph ng trình x 2 3t . y 2t (t R) z 4 2t nh nh t. Câu VII.a (1,0 đi m): Gi i ph Tìm trên d nh ng đi m M sao cho t ng kho ng cách t M đ n A và B là ng trình trong t p s ph c: z 2 z 0 B. Theo ch ng trình nâng cao. Câu VI.b (2,0 đi m): 1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có c nh AB: x -2y -1 =0, đ ng chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đ ng chéo AC đi qua đi m M(2;1). Tìm to đ các đ nh c a hình ch nh t. 2. Trong không gian v i h to đ vuông góc Oxyz, cho hai đ ng th ng: 2 x y 1 0 3 x y z 3 0 .Ch ng minh r ng hai đ ( ) ; ( ') x y z 1 0 2 x y 1 0 nhau. Vi t ph ng trình chính t c c a c p đ Câu VII.b (1,0 đi m): Gi i h ph ng th ng ( ) và ( ' ) c t ng th ng phân giác c a các góc t o b i ( ) và ( ' ). x log 2 3 log 2 y y log 2 x . x log 3 12 log 3 x y log 3 y ng trình: -------------------------------- H t -----------------------H và tên thí sinh: ………………………..……………………………………S báo danh: ……………...…… -148- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 ÁP ÁN, THANG I M THI TH Câu I H C N M 2010 – MÔN TOÁN – KH I A i m N i dung I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH(7,0 đi m) CâuI 1. TX : D = R\{-1} 6 Chi u bi n thiên: y ' 0 x D ( x 1) 2 => hs đ ng bi n trên m i kho ng (; 1) và (1; ) , hs không có c c tr Gi i h n: lim y 2, lim y , lim y x x 1 0.25 x 1 => th hs có ti m c n đ ng x= -1, ti m c n ngang y = 2 BBT - -1 x y’ + + + y 0,25 + 2 - 2 + 2.0 0.25 th (C): th c t tr c hoành t i đi m 2;0 , tr c tung t i đi m (0;-4) y f(x)=(2x-4)/(x+1) f(x)=2 9 x(t)=-1 , y(t)=t 8 7 6 5 4 3 2 1 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 0.25 -5 th nh n giao đi m 2 đ ng ti m c n làm tâm đ i x ng 6 6 2. G i 2 đi m c n tìm là A, B có A a; 2 ; B b; 2 ; a, b 1 a 1 b 1 ab a2 b2 ; Trung đi m I c a AB: I 2 a 1 b 1 Pt đ ng th ng MN: x + 2y +3= 0 AB.MN 0 Có : I MN a 0 A(0; 4) => b 2 B(2;0) CâuII đc pt: t - 2t - 4 = 0 t=2 0.25 0.25 0,25 2.0 0,25 1. TX : x 1;3 t t= x 1 3 x , t > 0 => 0.25 t2 4 3 2x x 2 2 0,25 3 -149- http://www.VNMATH.com 0,25 63 thi th i h c 2011 x 1 V i t = 2 x 1 3 x =2 (t / m) x 3 2. sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x cos x cos 2 x cos3 x cos 4 x TX : D =R sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x cos x cos 2 x cos3 x cos 4 x sin x cosx 0 (sin x cosx). 2 2(sin x cosx) sin x.cosx 0 2 2(sin x cosx) sin x.cosx 0 (t 2; 2 ) t 1 c pt : t2 + 4t +3 = 0 t 3(loai ) x m2 t = -1 (m Z ) x m2 2 x 4 k ( k Z ) (m Z ) V y : x m2 x m2 2 0.25 0,25 ln x ln 2 x dx I 1 x 1 ln x e e I1 = 1 e ln x dx , x 1 ln x 0,25 0,25 đ Câu III 1,0 k ( k Z ) 4 + V i 2 2(sin x cosx) sin x.cosx 0 , đ t t = sin x cosx + V i sin x cosx 0 x 0,25 1,0 t t = 1 ln x ,… Tính đ I 2 ln 2 x dx , l y tích phân t ng ph n 2 l n đ c I1 = 4 2 2 3 3 c I2 = e - 2 1 2 2 2 I = I1 + I2 = e 3 3 0,5 0,25 0,25 Câu IV 1,0 S S' N M D C H K A B SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung đi m SB, S’D : V VS . ABCD VS . AMND 0,25 VS . AMND VS . AMD VS .MND ; VS . AMD SM 1 VS .MND SM SN 1 ; ; . VS . ABD SB 2 VS . BCD SB SC 4 1 3 5 VS . ABD VS . ACD VS . ABCD ; VS . AMND VS . ABCD V VS . ABCD 2 8 8 -150- http://www.VNMATH.com 0.25 0.25 63 thi th i h c 2011 5 2 ah 24 Có x, y, z >0, t : a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0 ; abc=1)đc : a 3 b3 b3 c 3 c3 a3 P 2 a ab b 2 b 2 bc c 2 c 2 ca a 2 a 3 b3 a 2 ab b 2 a 2 ab b 2 1 ( a b ) mà (Bi n đ i t a 2 ab b 2 a 2 ab b 2 a 2 ab b 2 3 a 2 ab b 2 1 (a b) 2 ( a b) a ab b 2 3 1 1 b3 c 3 c3 a3 T ng t : 2 ( ); b c (c a ) 2 2 2 3 3 b bc c c ca a 2 => P (a b c) 2. 3 abc 2 (B T Côsi) 3 => P 2, P 2 khi a = b = c = 1 x = y = z = 1 V y: minP = 2 khi x = y =z =1 0.25 V CâuV 0.25 ng đ ng) 0.25 0.25 0.25 II. PH N RIÊNG(3,0 đi m) A. Ch ng trình chu n CâuVI.a 2.0 0,25 1. A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, g i (C’) có tâm I’ x 2 3t ng th ng IA : , I ' IA => I’( 2 3t ; 2t 2 ), y 2t 2 1 AI 2 I ' A t I '( 3;3) 2 Pt đ (C’): x 3 2 y 3 4 0,25 2 0.25 2. M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t) d , AB//d. G i A’ đ i x ng v i A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB A’B (MA+ MB) min = A’B, khi A’, M, B th ng hàng => MA = MA’ = MB 0.25 0.25 0,25 MA=MB M(2 ; 0 ; 4) 0,25 CâuVII.a z = x + iy ( x, y R ), z + z 0 x y x y 2 xyi 0 2 2 2 2 2 2 xy 0 2 2 2 2 x y x y 0 x 0 y 0 x 0 y 1 x 0 y 1 1.0 0,25 0,25 0,25 V y: z = 0, z = i, z = - i B. Ch 0,25 0,25 ng trình nâng cao Câu VI.b 2.0 -151- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 1. BD AB B(7;3) , pt đg th ng BC: 2x + y – 17 = 0 A AB A(2a 1; a ), C BC C (c;17 2c), a 3, c 7 , 2a c 1 a 2c 17 ; I = là trung đi m c a AC, BD. 2 2 0,25 0,25 I BD 3c a 18 0 a 3c 18 A(6c 35;3c 18) c 7(loai ) M, A, C th ng hàng MA, MC cùng ph ng => c2 – 13c +42 =0 c 6 0,25 0.25 c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3) 2. 1 3 Ch ng minh h có nghi m duy nh t, ( ) ( ' ) = A ;0; 2 2 M (0; 1;0) () , L y N ( ') , sao cho: AM = AN => N AMN cân t i A, l y I là trung đi m MN => đ ng phân giác c a các góc t o b i ( ) và ( ' ) chính là đg th ng AI áp s : x (d1 ) : 1 2 1 1 14 30 z 3 2 x 1 2 z 0.5 0.25 3 2 y y ;(d 2 ) : 2 3 2 3 2 5 1 1 2 5 14 30 14 30 14 30 14 30 14 30 0,25 Câu VII.b x 0 TX : y 0 0.25 x y x log 2 3 log 2 y y log 2 x 3 . y 2 .x x y 12 .x 3 . y x log 3 12 log 3 x y log 3 y 0.25 y 2x x y 3 . y 2 . x x log 4 2 3 (t/m TX ) y 2 log 2 4 3 0.25 0,25 (H c sinh gi i đúng nh ng không theo cách nh trong đáp án, gv v n cho đi m t i đa t nh trong đáp án ). -152- ng ng http://www.VNMATH.com 63 thi S th GD& TR i h cNGUYÊN 2011 T THÁI NG THPT L THI TH I H C L N TH NH T N M 2011 MÔN: TOÁN - KH I B NG NG C QUY N (Th i gian làm bài 180 phút không k th i gian phát đ ) PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 đi m). Câu I: (2,0 đi m). Cho hàm s y = x3 – 3mx2 + (m-1)x + 2. 1. Ch ng minh r ng hàm s có c c tr v i m i giá tr c a m. 2. Xác đ nh m đ hàm s có c c ti u t i x = 2. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s trong tr ng h p đó. Câu II: (2,0 đi m). 1. Gi i ph ng trình sau: (1 – tanx) (1+ sin2x) = 1 + tanx. 2. Gi i b t ph ng trình: 2 Câu III: (1,0 đi m). Tính: A 2 0 x2 1 x2 51 2x x 2 1. 1 x dx . Câu IV: (1,0 đi m). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, tâm O. C nh bên SA vuông góc v i mp (ABCD) và SA = a; M là trung đi m c nh SD. a) M t ph ng () đi qua OM và vuông góc v i m t ph ng (ABCD) c t hình chóp SABCD theo thi t di n là hình gì? Tính di n tích thi t di n theo a. b) G i H là trung đi m c a CM; I là đi m thay đ i trên SD. Ch ng minh OH (SCD); và hình chi u c a O trên CI thu c đ ng tròn c đ nh. Câu V: (1,0 đi m). Trong mp (Oxy) cho đ ng th ng () có ph ng trình: x – 2y – 2 = 0 và hai đi m A (-1;2); B (3;4). Tìm đi m M () sao cho 2MA2 + MB 2 có giá tr nh nh t. PH N RIÊNG (3,0 đi m): Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B). A. Theo ch ng trình chu n. Câu VIa: (2,0 đi m). Cho đ ng tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và đi m M (2;4) a) Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua M c t đ ng tròn t i 2 đi m A và B, sao cho M là trung đi m c a AB. b) Vi t ph ng trình các ti p tuy n c a đ ng tròn, bi t ti p tuy n có h s góc k = -1. Câu VIIa: (1,0 đi m). Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c sau: 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20 B. Theo ch ng trình nâng cao. Câu VI b: (2,0 đi m). Trong không gian cho đi m A(-4;-2;4) và đ ng th ng (d) có ph ng trình: x = -3 + 2t; y = 1 - t; z = -1 + 4t; t R. Vi t ph ng trình đ ng th ng () đi qua A; c t và vuông góc v i (d). Câu VIIb: (1,0 đi m). Tính th tích kh i tròn xoay t o thành khi quay quanh tr c hoành hình ph ng đ c gi i h n b i các đ ng: y = lnx; y = 0; x = 2. Thí sinh không đ c dùng tài li u, cán b coi thi không gi i thích gì thêm! H tên ............................................................S báo danh .................................. ---------- H t ---------- 1 -153- http://www.VNMATH.com 63 ÁPthiÁN, th THANG i h c 2011 I M THI TH I H C N M 2010 – MÔN TOÁN – KH I B Câu N i dung i m I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH(7,0 đi m) CâuI 2.0 1. y’= 3x – 6mx + m -1, ' 3(3m m 1) 0 m => hs luôn có c c tr 2 2 0.5 y '(2) 0 2. y’’ = 6x - 6m => hs đ t c c ti u t i x = 2 m 1 y ''(2) 0 0.5 +) V i m =1 => y = x3 -3x + 2 (C) TX : D = R x 0 Chi u bi n thiên: y ' 3 x 2 6 x, y' = 0 x 2 => hs đ ng bi n trên m i kho ng (;0) và (2; ) , ngh ch bi n trên kho ng (0 ;2) Gi i h n: lim y , lim y x x i m u n: y’’ =6x – 6, y’’ đ i d u khi x đi qua x = 1 => i m u n U(1; 0) BBT x - 0 2 y’ + 0 0 + 2 y + 0.25 - 0,25 + + -2 0.25 th c t tr c hoành t i đi m (1; 0), 1 3;0 , tr c tung t i đi m (0; 2) th (C): y f(x)=x^3-3x^2+2 4 3 2 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 th nh n đi m u n làm tâm đ i x ng CâuII 1. TX : x 2 0.25 2.0 l (l Z ) 0,25 t 0 2t 2t , đc pt: (1 t ) 1 1 t 2 2 1 t 1 t t 1 V i t = 0 => x = k , (k Z ) (tho mãn TX ) t t= tanx => sin 2 x V i t = -1 => x 4 k (tho mãn TX ) 2. 0,25 0,25 0,25 1,0 2 -154- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 1 x 0 2 51 2 x x 0 51 2 x x 1 1 x 0 1 x 51 2 x x 2 0 2 2 51 2 x x (1 x) x 1 x 1 52; 1 52 x 1 x (; 5) (5; ) x 1 52; 1 52 2 0,5 0,25 x 1 52; 5 1; 1 52 0.25 Câu III 1,0 t t = sinx => 1 x 2 cos t , dx cos tdt 0,25 4 A sin 2 t dt 0,25 0 A 2 0,5 8 Câu IV 1,0 S M I N QI A D H O B P C a. K MQ//SA => MQ ( ABCD) ( ) ( MQO) Thi t di n là hình thang vuông MNPQ (MN//PQ) ( MN PQ).MQ 3a 2 Std (đvdt) 2 8 0,25 b. AMC : OH / / AM , AM SD, AM CD AM ( SCD) OH ( SCD ) G i K là hình chi u c a O trên CI OK CI , OH CI CI (OKH ) CI HK Trong mp(SCD) : H, K c đ nh, góc HKC vuông => K thu c đ ng tròn đg kính HC 0.25 0.25 0.25 3 -155- http://www.VNMATH.com 63 CâuV thi th Mi (2 h t c 2011 M 2; t ), AM (2t 3; t 2), BM (2t 1; t 4) 0.25 2 AM 2 BM 2 15t 2 4t 43 f (t ) 2 26 2 Min f(t) = f => M ; 15 15 15 0.25 0,5 II. PH N RIÊNG(3,0 đi m) A. Ch ng trình chu n CâuVI.a a. (C) : I(1; 3), R= 2, A, B (C ) , M là trung đi m AB => IM AB tìm là đg th ng AB d đi qua M có vect pháp tuy n là IM => d: x + y - 6 =0 2. g th ng ti p tuy n có d ng : y = - x + m x + y – m =0 (d’) d’ ti p xúc v i (C) d ( I ; d ') R 2 2.0 ng th ng d c n m 4 2 2 m 4 2 2 x y (4 2 2) 0 Pt ti p tuy n : x y (4 2 2) 0 0.25 0.25 0,25 0,25 1.0 0,25 CâuVII.a P 1 (1 i ) ... (1 i ) 20 0,5 0,5 (1 i ) 21 1 i 10 (1 i ) 21 (1 i ) 2 .(1 i ) (2i )10 (1 i ) 210 (1 i ) 0,25 2 (1 i ) 1 210 210 1 i i V y: ph n th c 210 , ph n o: 210 1 P 10 B. Ch 0,25 0,25 ng trình nâng cao Câu VI.b 2.0 1. d B B(3 2t;1 t ; 1 4t ) , Vt ch ph AB.ud 0 t 1 => B(-1;0;3) x 1 3t Pt đg th ng AB : y 2t z 3 t ng ud (2; 1; 4) 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu VII.b 2 V ln 2 xdx 0.25 1 t u ln 2 x du 2 ln x. dx; dv dx v x x 2 V 2 ln 2 2 ln 2 1 0.25 0.5 1 (H c sinh gi i đúng nh ng không theo cách nh trong đáp án, gv v n cho đi m t i đa t nh trong đáp án ). ng ng 4 -156- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 5 -157- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 THI TH I H C N M H C 2010-2011 Môn thi : TOÁN ; Kh i : A Th i gian làm bài 180 phút, không k th i gian giao đ PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 đi m): Câu I: (2 đi m) Cho hàm s y 2x 2 (C) x 1 1. Kh o sát hàm s . 2. Tìm m đ đ ng th ng d: y = 2x + m c t đ th (C) t i 2 đi m phân bi t A, B sao cho AB = 5 . Câu II: (2 đi m) 2 cos 5 x. cos 3x sin x cos 8 x , (x R) 1. Gi i ph ng trình: 2. Gi i h ph x y x y 2 y ng trình: x 5 y 3 (x, y R) Câu III: (1 đi m) Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng y e x 1 ,tr c hoành, x = ln3 và x = ln8. Câu IV: (1 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đ ng chéo AC = 2 3a , BD = 2a và c t nhau t i O; hai m t ph ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD). a 3 , tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a. 4 x3 y3 x2 y 2 Câu V: (1 đi m) Cho x,y R và x, y > 1. Tìm giá tr nh nh t c a P ( x 1)( y 1) Bi t kho ng cách t đi m O đ n m t ph ng (SAB) b ng PH N RIÊNG (3 đi m) : Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n ( ph n A ho c B) A. Theo ch ng trình Chu n Câu VI.a (2 đi m) 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ ng tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I và đ ng th ng : mx + 4y = 0. Tìm m bi t đ ng th ng c t đ ng tròn (C) t i hai đi m phân bi t A,B th a mãn di n tích tam giác IAB b ng 12. 2. Trong không gian v i h d2: đ t a đ Oxyz, cho hai đ ng th ng d 1 : x 1 y 2 z 1 và m t ph ng (P): x - y - 2z + 3 = 0. Vi t ph 2 1 1 ng th ng , bi t n m trên m t ph ng (P) và c t hai đ x 1 y 1 z 1 ; 1 1 2 ng trình chính t c c a ng th ng d 1 , d 2 . log2 x Câu VII.a (1 đi m) Gi i b t ph ng trình 2 2 x 2log2 x 20 0 B. Theo ch ng trình Nâng cao Câu VI.b (2 đi m) 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có ph ng trình c nh AB: x - y - 2 = 0, ph ng trình c nh AC: x + 2y - 5 = 0. Bi t tr ng tâm c a tam giác G(3; 2). Vi t ph ng trình c nh BC. 3. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đ ng th ng : x 1 y 3 z và đi m 4 1 1 M(0 ; - 2 ; 0). Vi t ph ng trình m t ph ng (P) đi qua đi m M song song v i đ th i kho ng cách gi a đ ng th ng và m t ph ng (P) b ng 4. Câu VII.b (1 đi m) Gi i ph ng trình nghi m ph c : z ng th ng đ ng 25 8 6i z ….. H t …. Thí sinh không đ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm. H và tên thí sinh: ………………………………………………; S báo danh: ……….. -158- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 ÁP ÁN CÂU THI TH I H C - N M: 2010-2011 N I DUNG I M T p xác đ nh D = R\- 1 S bi n thiên: -Chi u bi n thiên: y ' 4 0, x D . ( x 1) 2 0,25 Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng (- ; - 1) và (- 1 ; + ). I-1 (1 đi m) - C c tr : Hàm s không có c c tr . - Gi i h n t i vô c c, gi i h n vô c c và ti m c n: 2x 2 2x 2 2 ; lim 2. ng th ng y = 2 là ti m c n ngang. lim x x 1 x x 1 2x 2 2x 2 ; lim . ng th ng x = - 1 là ti m c n đ ng. lim x 1 x 1 x 1 x 1 -B ng bi n thiên: x - -1 + y’ + + + 2 0,25 0,25 y - 2 th : - th hàm s c t tr c Ox t i đi m (1;0) - th hàm s c t tr c Oy t i đi m (0;- 2) th hàm s có tâm đ i x ng là giao đi m hai ti m c n I(- 1; 2). y 2 -1 y=2 0,25 O 1 x -2 x= -1 I-2 (1 đi m) Ph ng trình hoành đ giao đi m: 2x2 + mx + m + 2 = 0 , (x≠ - 1) (1) d c t (C) t i 2 đi m phân bi t PT(1) có 2 nghi m phân bi t khác -1 m2 - 8m - 16 > 0 (2) G i A(x 1 ; 2x 1 + m) , B(x 2 ; 2x 2 + m. Ta có x 1 , x 2 là 2 nghi m c a PT(1). m x x 1 2 2 Theo L Viét ta có . 2 m x1 x2 2 AB2 = 5 ( x1 x2 ) 2 4( x1 x2 ) 2 5 ( x1 x2 ) 2 4x1 x2 1 m2 - 8m - 20 = 0 m = 10 , m = - 2 ( Th a mãn (2)) KL: m = 10, m = - 2. -159- 0,25 0,25 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 II-1 (1 đi m) thi th i h c 2011 PT cos2x + cos8x + sinx = cos8x 1- 2sin2x + sinx = 0 1 sinx = 1 v sin x 2 x k 2 ; x k 2 ; x 2 6 K: x + y 0 , x - y 0, y 0 II-2 (1 đi m) 0,25 0,25 0,25 7 k 2 , ( k Z ) 6 0,25 0,25 2 y x 0 (3) PT(1) 2 x 2 x 2 y 2 4 y x 2 y 2 2 y x 2 5 y 4 xy ( 4) T PT(4) y = 0 v 5y = 4x V i y = 0 th vào PT(2) ta có x = 9 (Không th a mãn đk (3)) V i 5y = 4x th vào PT(2) ta có x 2 x 3 x 1 4 KL: HPT có 1 nghi m ( x; y ) 1; 5 0,25 0,25 0,25 ln 8 Di n tích S e x 1dx ; t t ex 1 t2 ex 1 ex t2 1 0,25 ln 3 Khi x = ln3 thì t = 2 ; Khi x = ln8 thì t = 3; Ta có 2tdt = exdx dx III (1 đi m) 3 Do đó S 2 2t dt t 1 2 3 2t 2 2 dt 2 2 dt 2 t 1 t 1 2 0,25 t 1 3 3 2 ln (đvdt) = 2t ln t 1 2 2 0,25 T gi thi t AC = 2a 3 ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc v i nhau t i trung đi m O c a m i BD 600 đ ng chéo.Ta có tam giác ABO vuông t i O và AO = a 3 ; BO = a , do đó A IV (1 đi m) 0,25 Hay tam giác ABD đ u. T gi thi t hai m t ph ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD) nên giao tuy n c a chúng là SO (ABCD). Do tam giác ABD đ u nên v i H là trung đi m c a AB, K là trung đi m c a HB ta có 1 a 3 DH AB và DH = a 3 ; OK // DH và OK DH OK AB AB (SOK) 2 2 G i I là hình chi u c a O lên SK ta có OI SK; AB OI OI (SAB) , hay OI là kho ng cách t O đ n m t ph ng (SAB). 1 1 1 a SO Tam giác SOK vuông t i O, OI là đ ng cao 2 2 2 OI OK 2 SO 2 S Di n tích đáy S ABCD 4S ABO 2.OA.OB 2 3a ; a đ ng cao c a hình chóp SO . 2 Th tích kh i chóp S.ABCD: 1 3a 3 I VS . ABC D S ABCD .SO D 3 3 A 3a O H a K C B -160- 0,25 0,25 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 t t = x + y ; t > 2. Áp d ng B T 4xy (x + y)2 ta có xy P t2 4 0,25 t2 t 3 t 2 xy (3t 2) . Do 3t - 2 > 0 và xy nên ta có xy t 1 4 t 2 (3t 2) t2 4 P t2 t2 t 1 4 t2 t 2 4t ; f '(t ) ; f’(t) = 0 t = 0 v t = 4. Xét hàm s f (t ) t2 (t 2) 2 t3 t2 V (1 đi m) t f’(t) 2 4 0 - 0,25 + + + 0,25 + f(t) 8 Do đó min P = min f (t ) = f(4) = 8 đ t đ (2; ) x y 4 x 2 xy 4 y 2 c khi ng tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5. G i H là trung đi m c a dây cung AB. Ta có IH là đ ng cao c a tam giác IAB. | m 4m | | 5m | IH = d ( I , ) m 2 16 m 2 16 VI.a -1 (1 đi m) AH IA2 IH 2 25 (5m ) 2 m 2 16 Di n tích tam giác IAB là SIAB 0,25 I 5 A 20 H 0,25 B 0,25 m 2 16 12 2S IAH 12 m 3 d ( I , ). AH 12 25 | m | 3( m 16) 16 m 3 G i A = d 1 (P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d 2 (P) suy ra B(2; 3; 1) 0,25 2 VI.a -2 (1 đi m) 0,25 0,25 0,25 ng th ng th a mãn bài toán đi qua A và B. M t vect ch ph ng c a đ ng th ng là u (1; 3; 1) x 1 y z 2 Ph ng trình chính t c c a đ ng th ng là: 1 1 3 0,25 0,25 2 i u ki n: x> 0 ; BPT 24log2 x x 2log2 x 20 0 0,25 t t log 2 x . Khi đó x 2 . t BPT tr thành 42t 22t 20 0 . t y = 22t ; y 1. BPT tr thành y2 + y - 20 0 - 5 y 4. i chi u đi u ki n ta có : 22t 4 2t 2 2 t 2 1 - 1 t 1. 2 VII.a (1 đi m) 2 2 0,25 0,25 2 Do đó - 1 log 2 x 1 0,25 1 x2 2 -161- http://www.VNMATH.com 63 VI.b- 1 (1 đi m) VI.b-2 (1 đi m) thi th i h c 2011 x - y - 2 0 T a đ đi m A là nghi m c a HPT: A(3; 1) x 2 y - 5 0 0,25 G i B(b; b- 2) AB, C(5- 2c; c) AC 0,25 b 5 3 b 5 2c 9 . Hay B(5; 3), C(1; 2) Do G là tr ng tâm c a tam giác ABC nên c 2 1 b 2 c 6 M t vect ch ph ng c a c nh BC là u BC ( 4; 1) . Ph ng trình c nh BC là: x - 4y + 7 = 0 Gi s n( a; b; c ) là m t vect pháp tuy n c a m t ph ng (P). Ph ng trình m t ph ng (P): ax + by + cz + 2b = 0. ng th ng đi qua đi m A(1; 3; 0) và có m t vect ch ph ng u (1;1; 4) n.u a b 4c 0 (1) / /( P ) T gi thi t ta có | a 5b | 4 (2) d ( A; ( P )) 4 2 2 2 a b c Th b = - a - 4c vào (2) ta có ( a 5c ) 2 (2a 2 17c 2 8ac) a 2 - 2ac 8c 2 0 a a 4 v 2 c c a V i 4 ch n a = 4, c = 1 b = - 8. Ph ng trình m t ph ng (P): 4x - 8y + z - 16 = 0. c a V i 2 ch n a = 2, c = - 1 b = 2. Ph ng trình m t ph ng (P): 2x + 2y - z + 4 = 0. c Gi s z = a +bi v i ; a,b R và a,b không đ ng th i b ng 0. Khi đó z a bi ; VII.b (1 đi m) 1 1 a bi 2 z a bi a b2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 25 25( a bi ) 8 6i a bi 2 8 6i z a b2 a ( a 2 b2 25) 8( a 2 b2 ) (1) 3 2 . L y (1) chia (2) theo v ta có b a th vào (1) 2 2 2 4 b( a b 25) 6( a b ) (2) Ta có a = 0 v a = 4 V i a = 0 b = 0 ( Lo i) V i a = 4 b = 3 . Ta có s ph c z = 4 + 3i. Khi đó ph 0,25 ng trình z -162- 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 THI TH I H C, CAO NG N M 2011 Môn thi: TOÁN, kh i A, B Th i gian làm bài 180 phút, không k th i gian giao đ Câu 1 (2.0 đi m): Cho hàm s y x3 3mx 2 4m3 (m là tham s ) có đ th là (C m ) 1. Kh o sát và v đ th hàm s khi m = 1. 2. Xác đ nh m đ (C m ) có các đi m c c đ i và c c ti u đ i x ng nhau qua đ th ng y = x. ng Câu 2 (2.0 đi m ) : 3 4 2sin 2 x 2 3 2(cotg x 1) . 2 sin 2 x cos x x3 y 3 3 y 2 3 x 2 0 có nghi m th c. 2. Tìm m đ h ph ng trình: 2 2 2 0 x 1 x 3 2 y y m Câu 3 (2.0 đi m): 2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P) và đ ng th ng (d) l n l t có ph ng trình: x y 1 z 2 (d): (P): 2x y 2z 2 = 0; 2 1 1 1. Vi t ph ng trình m t c u có tâm thu c đ ng th ng (d), cách m t ph ng (P) m t kho ng b ng 2 và c t m t ph ng (P) theo giao tuy n là đ ng tròn có bán kính b ng 3. 1. Gi i ph ng trình: 2. Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) ch a đ m t góc nh nh t. ng th ng (d) và t o v i m t ph ng (P) Câu 4 (2.0 đi m): 1. Cho parabol (P): y = x2. G i (d) là ti p tuy n c a (P) t i đi m có hoành đ x = 2. G i (H) là hình gi i h n b i (P), (d) và tr c hoành. Tính th tích v t th tròn xoay sinh ra b i hình (H) khi quay quanh tr c Ox. 2. Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn: x2 + y2 + z2 3. Tìm giá tr nh nh t 1 1 1 c a bi u th c: P 1 xy 1 yz 1 zx Câu 5 (2.0 đi m): 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, hãy l p ph x2 y2 1 và parabol (P): y2 = 12x. (E): 8 6 ng trình ti p tuy n chung c a elip 12 1 2. Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n Newton: 1 x 4 x o0o Cán b coi thi không gi i thích gì thêm. H và tên thí sinh:....................................................................SBD:...................... 8 -163- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Câu N i dung i m 1. Khi m = 1, hàm s có d ng: y = x3 3x2 + 4 + TX : R + S bi n thiên: y’ = 3x2 6x = 0 x = 0 ho c x = 2 Hàm s đ ng bi n trên: (; 0) và (2; +) Hàm s nghich bi n trên: (0; 2) Hàm s đ t C t i x C = 0, y C = 4; đ t CT t i x CT = 2, y CT = 0 y” = 6x 6 = 0 x = 1 th hàm s l i trên (; 1), lõm trên (1; +). i m u n (1; 2) 0.25 3 4 Gi i h n và ti m c n: lim y lim x3 1 3 x x x x 0.25 LËp BBT: x y’ 2 0 ∞ + 0 0 +∞ + +∞ 4 0.25 y ∞ I 0 §å thÞ: y 0.25 x O x 0 2/. Ta có: y’ = 3x2 6mx = 0 x 2m hàm s có c c đ i và c c ti u thì m 0. 0.25 Gi s hàm s có hai đi m c c tr là: A(0; 4m3), B(2m; 0) AB (2m; 4m3 ) Trung đi m c a đo n AB là I(m; 2m3) -164- 0.25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 i u ki n đ AB đ i x ng nhau qua đ ng th ng y = x là AB vuông góc v i đ ng th ng y = x và I thu c đ ng th ng y = x 0.25 3 2m 4m 0 3 2m m Gi i ra ta có: m 2 ;m=0 2 0.25 K t h p v i đi u ki n ta có: m 2/. k: x k 2 2 2 0.25 ng trình đã cho t ng đ ng v i: 4 2 3 2cotg x 3 1 tg 2 x sin 2 x 2(sin 2 x cos 2 x) 3tg 2 x 3 2cotg x sin x cos x Ph 0.25 3tg 2 x 2tg x 3 0 tg x 3 x k 3 tg x 1 x k 3 6 II KL: So sánh v i đi u ki n ph 0.25 ng trình có nghi m : x x3 y 3 3 y 2 3 x 2 0 2/. 2 2 2 x 1 x 3 2 y y m 0 k ; kZ 6 2 0.25 (1) (2) 0.25 1 x 1 1 x 0 i u ki n: 2 2 y y 0 0 y 2 2 t t = x + 1 t[0; 2]; ta có (1) t3 3t2 = y3 3y2. Hàm s f(u) = u3 3u2 ngh ch bi n trên đo n [0; 2] nên: (1) y = y y = x + 1 (2) x 2 2 1 x 2 m 0 0.25 0.25 t v 1 x 2 v[0; 1] (2) v2 + 2v 1 = m. Hàm s g(v) = v2 + 2v 1 đ t min g (v) 1; m ax g (v) 2 [ 0;1] V y h ph [ 0;1] 0.25 ng trình có nghi m khi và ch khi 1 m 2 -165- http://www.VNMATH.com 63 thi th 1/. i h c 2011 ng th ng () có ph x t ng trình tham s là: y 1 2t ; t R z 2 t 0.25 G i tâm m t c u là I. Gi s I(t; 1 + 2t; 2+ t)(). Vì tâm m t c u cách m t ph ng (P) m t kho ng b ng 3 nên: 2 t 3 | 2t 1 2t 4 2t 2 | | 6t 5 | d ( I ; ) 3 3 3 t 7 3 0.25 2 1 8 7 17 1 Có hai tâm m t c u: I ; ; vμ I ; ; 3 3 3 3 3 7 Vì m t ph ng (P) c t m t c u theo đ ng tròn có bán kính b ng 4 nên m t c u có bán kính là R = 5. 0.25 V y ph ng trình m t c u c n tìm là: 2 III 2 2 2 2 2 2 1 8 7 17 1 x y z 25 vμ x y z 25 3 3 3 3 3 3 2 x y 1 0 ng th ng () có VTCP u (1;2;1) ; PTTQ: x z 2 0 M t ph ng (P) có VTPT n (2; 1; 2) 0.25 2/. Góc gi a đ ng th ng () và m t ph ng (P) là: sin | 2 2 2 | 6 3 3. 6 0.25 0.25 6 3 Góc gi a m t ph ng (Q) và m t ph ng (Q) c n tìm là cos 1 9 3 Gi s (Q) đi qua () có d ng: m(2x + y + 1) + n(x + z 2) = 0 (m2+ n2 > 0) (2m + n)x + my + nz + m 2n = 0 | 3m | 3 V y góc gi a (P) và (Q) là: cos 3 3. 5m 2 2n 2 4mn m2 + 2mn + n2 = 0 (m + n)2 = 0 m = n. Ch n m = 1, n = 1, ta có: m t ph ng (Q) là: x + y z + 3 = 0 1/. Ph 0.25 0.25 ng trình ti p tuy n t i đi m có hoành đ x = 2 là: y = 4x 4 IV 0.25 -166- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 2 2 4 Th tích v t th tròn xoay c n tìm là: V x dx (4 x 4) 2 dx 1 0 2 16 x5 2 16 = ( x 1)3 1 15 5 0 3 0.5 1 1 1 2/. Ta có: (1 xy ) (1 yz ) (1 zx) 9 1 xy 1 yz 1 zx 0.25 P 9 9 3 xy yz zx 3 x 2 y 2 z 2 0.25 P 9 3 6 2 0.25 V y GTNN là P min = V 3 khi x = y = z 2 0.25 1/. Gi s đ ng th ng () có d ng: Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0) () là ti p tuy n c a (E) 8A2 + 6B2 = C2 (1) () là ti p tuy n c a (P) 12B2 = 4AC 3B2 = AC (2) 0.25 Th (2) vào (1) ta có: C = 4A ho c C = 2A. V i C = 2A A = B = 0 (lo i) 0.25 2A 3 ng th ng đã cho có ph V i C = 4A B Ax ng trình: 0.25 2A 2 3 y 4A 0 x y40 3 3 V y có hai ti p tuy n c n tìm: x 2 3 y40 3 0.25 12 12 12 1 4 1 4 1 Ta có: x 1 1 x (1)12k C12k x 4 x x x k 0 12 (1) 12 k k 0 V 0.25 12 C12k 4 k i x k i 0 Cki k 0.25 i 1 12 k 12 k k i 4 k 4 i i x (1) C12Ck x x k 0 i 0 k 0.25 (1)12k C12k Cki x 4 k 5i k 0 i 0 Ta ch n: i, k N, 0 i k 12; 4k 5i = 8 i = 0, k = 2; i = 4 , k = 7; i = 8, k 12 0.25 12 8 V y h s c n tìm là: C122 .C20 C127 .C74 C12 .C12 27159 0.25 -167- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 TR NG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ÔN L n II THI TH I H C, CAO NG N M 2011 Môn thi: TOÁN, kh i A, B Th i gian làm bài 180 phút, không k th i gian giao đ Câu I: (2,0 đi m) Cho hàm s y 2x 4 (C ) . x 1 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s . 2. G i M là m t đi m b t kì trên đ th (C), ti p tuy n t i M c t các ti m c n c a (C) t i A, B. CMR di n tích tam giác ABI (I là giao c a hai ti m c n) không ph thu c vào v trí c a M. Câu II: (3,0 đi m) 1. Gi i h ph ng trình: 2 xy 2 2 x y x y 1 x y x2 y 2. Gi i ph ng trình: 2sin 2 x 3. Gi i b t ph 2 2sin x t anx . 4 ng trình: log 1 log 5 3 x 2 1 x log 3 log 1 5 x2 1 x Câu III: (2,0 đi m) ln x 3 2 ln 2 x dx . 1. Tính tích phân: I x 1 2. Cho t p A 0;1;2;3;4;5 , t A có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên g m 5 ch s khác e nhau, trong đó nh t thi t ph i có ch s 0 và 3. Câu IV: (2,0 đi m) 1. Vi t ph ng trình đ ng tròn đi qua hai đi m A(2; 5), B(4;1) và ti p xúc v i đ ng th ng có ph ng trình 3x – y + 9 = 0. 2. Cho hình l ng tr tam giác ABC.A’B’C’ v i A’.ABC là hình chóp tam giác đ u c nh đáy AB = a; c nh bên AA’ = b. G i là góc gi a hai mp(ABC) và mp(A’BC). Tính tan và th tích chóp A’.BCC’B’. Câu V: (1,0 đi m) Cho x 0, y 0, x y 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c T x y 1 x 1 y ……………………………………………….H t…………………………………………………. -168- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 ÁP ÁN THI TH I H C L N 2 A, B N M 2011 N i dung Câu Ý I 1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s (1,00 đi m) -T p xác đ nh: R\{-1} -S bi n thiên: y ' 6 2 0x 1 . Suy ra hàm s đ ng bi n trên các kho ng xác x 1 i m 2 0.25 đ nh c a hàm s . - lim y x 1 là ti m c n đ ng x 1 0.25 - lim y 2 y 2 là ti m c n ngang x -B ng bi n thiên -1 -∞ x +∞ + y' + 0.25 +∞ y 2 2 -∞ - th y I 2 0.25 -1 12 x -4 2 Tìm c p đi m đ i x ng….(1,00 đi m) G i M a; 2a 4 C a 1 a 1 Ti p tuy n t i M có ph ng trình: y 0.25 6 2a 4 2 x a a 1 a 1 2a 10 Giao đi m v i ti m c n đ ng x 1 là A 1; a 1 Giao đi m v i ti m c n ngang y 2 là B 2a 1;2 0.25 Giao hai ti m c n I(-1; 2) IA 12 1 1 ; IB 2 a 1 S IAB IA. AB .24 12 dvdt a 1 2 2 -169- 0.25 http://www.VNMATH.com 0.25 63 thi th i h c 2011 Suy ra đpcm II 3 1 Gi i h …(1,00 đi m) 2 xy 2 2 x y x y 1 1 x y x2 y 2 1 x y 2 2 xy dk x y 0 2 xy 3 1 0 x y 2 xy x y 2 xy x y 0 x y x y x y 1 2 xy x y 1 0 2 0.5 x y 1 x y x y 1 2 xy 0 x y 1 3 2 2 x y x y 0 4 D th y (4) vô nghi m vì x+y>0 Th (3) vào (2) ta đ c x 2 y 1 0.5 x y 1 x 1; y 0 Gi i h 2 …… x y 1 x 2; y 3 2 Gi i ph ng trình….(1,00 đi m) k: cos x 0 (*) sinx 2sin 2 x 2sin 2 x t anx 1 cos 2 x 2sin 2 x 4 2 cos x cos x sin 2 x.cos x 2sin 2 x.cos x sinx cos x sinx sin 2 x cos x sinx 0 cos x 0 sinx cos x t anx 1 x k 4 (tm(*))… x k 4 2 sin 2 x 1 2 x l 2 x l 2 4 3 Gi i b t ph log 1 log 5 3 k: x 0 ng trình (1,00 đi m) x 2 1 x log 3 log 1 5 x2 1 x 0.25 0.25 0.5 (1) 0.25 -170- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 1 log log 1 3 5 log 3 log 1 5 log 52 *) 0 log 5 x 2 1 x log 3 log 5 x 2 1 x .log 5 x2 1 x 0 x2 1 x 0 0.25 x2 1 x 1 0 log 5 *) log 5 0.25 x2 1 x 1 0.2 x2 1 x x 0 x 2 1 x 1 x 2 1 x 5 x 2 1 5 x ... x 12 5 12 5 V y BPT có nghi m x 0; III 2 1 Tính tích phân (1,00 đi m) e 1 ln x 3 2 ln 2 x 1e 2 2 3 I dx ln x 2 ln xd ln x 2 ln x 3 d 2 ln 2 x x 21 1 1 e 1 3 . 2 3 2 ln x 2 0.5 e 4 3 3 34 3 24 8 4 0.5 1 2 L p s …..(1,00 đi m) -G i s c n tìm là abcde a 0 -Tìm s các s có 5 ch s khác nhau mà có m t 0 và 3 không xét đ n v trí a. X p 0 và 3 vào 5 v trí có: A52 cách 3 v trí còn l i có A43 cách 2 5 0.25 0.25 3 4 Suy ra có A A s -Tìm s các s có 5 ch s khác nhau mà có m t 0 và 3 v i a = 0. X p 3 có 4 cách 3 v trí còn l i có A43 cách Suy ra có 4. A43 s 0.25 0.25 2 5 3 4 3 4 V y s các s c n tìm tmycbt là: A A - 4. A = 384 IV 2 1 Vi t ph ng trình đ ng tròn….(1,00 đi m) G i I a; b là tâm đ ng tròn ta có h -171- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 2 a 2 5 b 2 4 a 2 1 b 2 (1) IA IB 2 3a b 9 2 2 IA d I ; 2 a 5 b 2 10 1 a 2b 3 th vào (2) ta có b2 12b 20 0 b 2 b 10 0.25 *) v i b 2 a 1; R 10 C : x 1 y 2 10 0.25 2 0.25 2 *)v i b 10 a 17; R 250 C : x 17 y 10 250 2 2 0.25 2 Hình l ng tr ….(1,00 đi m) AIA ' G i O là tâm đáy suy ra A ' O ABC và góc *)Tính tan A' C' 0.25 A 'O 1 1a 3 a 3 tan v i OI AI OI 3 3 2 6 2 2 2 a 3b a A ' O 2 A ' A2 AO 2 b 2 3 3 2 2 2 3b a tan a *)Tính VA '. BCC ' B ' 1 VA '. BCC ' B ' VABC . A ' B 'C ' VA'. ABC A ' O.S ABC A ' O.S ABC 3 B' A C O I B 0.25 0.5 2 3b 2 a 2 1 a 3 a 2 3b 2 a 2 . . .a dvtt 3 2 2 6 3 V 1 khi đó 2 cos 2 a sin 2 a cos3 a sin 3 a sin a cos a 1 sin a.cos a T sin a cos a sina.cos a sin a.cos a t2 1 t t sin a cos a 2 sin a sin a.cos a 4 2 t x cos 2 a; y sin 2 a a 0; V i 0a 1 t 2 2 t 3 3t Khi đó T 2 f t ; t 1 t 4 3 2 f t f f 't 2 2 0 t 1; 1 t V y min f t f t1; 2 2 2 2 1 1 2 khi x y . Hay min T 2 khi x y . 2 2 -172- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Tr−êng THPT TrÇn H−ng §¹o ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn thø nhÊt khèi A M«n: To¸n Thêi gian: 180 phót I.PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7 ®iÓm) C©u I (2 ®iÓm). Cho hμm sè y 2x 1 cã ®å thÞ lμ (C) x2 1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vμ vÏ ®å thÞ cña hμm sè 2.Chøng minh ®−êng th¼ng d: y = -x + m lu«n lu«n c¾t ®å thÞ (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B. T×m m ®Ó ®o¹n AB cã ®é dμi nhá nhÊt. C©u II (2 ®iÓm) 1.Gi¶i ph−¬ng tr×nh 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 log 22 x log 2 x 2 3 5 (log 4 x 2 3) dx C©u III (1 ®iÓm). T×m nguyªn hμm I 3 sin x. cos 5 x 2.Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh C©u IV (1 ®iÓm). Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A 1 B 1 C 1 cã tÊt c¶ c¸c c¹nh b»ng a, gãc t¹o bëi c¹nh bªn vμ mÆt ph¼ng ®¸y b»ng 300. H×nh chiÕu H cña ®iÓm A trªn mÆt ph¼ng (A 1 B 1 C 1 ) thuéc ®−êng th¼ng B 1 C 1 . TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng AA 1 vμ B 1 C 1 theo a. C©u V (1 ®iÓm). Cho a, b, c 0 và a 2 b 2 c 2 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a3 b3 c3 P 1 b2 1 c2 1 a2 II.PhÇn riªng (3 ®iÓm) 1.Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn C©u VIa (2 ®iÓm). 1.Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh (x-1)2 + (y+2)2 = 9 vμ ®−êng th¼ng d: x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®−êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mμ tõ ®ã kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn (C) (B, C lμ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng. 2.Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm A(10; 2; -1) vμ ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh x 1 2t y t . LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A, song song víi d vμ kho¶ng c¸ch tõ d tíi (P) lμ z 1 3t lín nhÊt. C©u VIIa (1 ®iÓm). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau vμ kh¸c 0 mμ trong mçi sè lu«n lu«n cã mÆt hai ch÷ sè ch½n vμ hai ch÷ sè lÎ. 2.Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao (3 ®iÓm) C©u VIb (2 ®iÓm) 1.Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®−êng trßn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 vμ ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®−êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mμ tõ ®ã kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn (C) (B, C lμ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng. 2.Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm A(10; 2; -1) vμ ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng x 1 y z 1 . LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A, song song víi d vμ kho¶ng c¸ch tõ d tr×nh 2 1 3 tíi (P) lμ lín nhÊt. C©u VIIb (1 ®iÓm) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau mμ trong mçi sè lu«n lu«n cã mÆt hai ch÷ sè ch½n vμ ba ch÷ sè lÎ. -HÕt1 -173- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 ®¸p ¸n ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 1 khèi a I.PhÇn dμnh cho tÊt c¶ c¸c thÝ sÝnh C©u m«n to¸n §¸p ¸n §iÓ m 1. (1,25 ®iÓm) I (2 ®iÓm) a.TX§: D = R\{-2} b.ChiÒu biÕn thiªn +Giíi h¹n: lim y lim y 2; lim y ; lim y x x 2 x 0,5 x 2 Suy ra ®å thÞ hμm sè cã mét tiÖm cËn ®øng lμ x = -2 vμ mét tiÖm cËn ngang lμ y=2 + y' 3 0 x D ( x 2) 2 0,25 Suy ra hμm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (;2) vμ (2;) +B¶ng biÕn thiªn x y’ -2 + + 0,25 2 y 2 c.§å thÞ: §å thÞ c¾t c¸c trôc Oy t¹i ®iÓm (0; 1 1 ) vμ c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm( ;0) 2 2 §å thÞ nhËn ®iÓm (-2;2) lμm t©m ®èi xøng y 0,25 2 -2 O x 2. (0,75 ®iÓm) Hoμnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ (C ) vμ ®−êng th¼ng d lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x 2 2x 1 x m 2 x2 x (4 m) x 1 2m 0 (1) 0,25 Do (1) cã m 2 1 0 va (2) 2 (4 m).(2) 1 2m 3 0 m nªn ®−êng th¼ng d lu«n lu«n c¾t ®å thÞ (C ) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B Ta cã y A = m – x A ; y B = m – x B nªn AB2 = (x A – x B )2 + (y A – y B )2 = 0,5 2 2 2(m + 12) suy ra AB ng¾n nhÊt AB nhá nhÊt m = 0. Khi ®ã 2 -174- http://www.VNMATH.com 63 thi th II (2 ®iÓm) i h c 2011 AB 24 1. (1 ®iÓm) Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0 (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 0,5 0,25 1 sin x 0 6 cos x 2 sin x 7 0 (VN ) x 2 0,25 k 2 2. (1 ®iÓm) x 0 §K: 2 2 log 2 x log 2 x 3 0 BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi log 22 x log 2 x 2 3 5 (log 2 x 3) 0,5 (1) ®Æt t = log 2 x, BPT (1) t 2 2t 3 5 (t 3) (t 3)(t 1) 5 (t 3) t 1 log x 1 t 1 2 t 3 3 t 4 3 log 2 x 4 (t 1)(t 3) 5(t 3) 2 1 0 x 1 2 VËy BPT ®· cho cã tËp nghiÖm lμ: (0; ] (8;16) 2 8 x 16 III 1 ®iÓm I dx dx 8 3 3 2 sin x. cos x. cos x sin 2 x. cos 2 x 0,25 3 0,5 ®Æt tanx = t dx 2t ; sin 2 x 2 cos x 1 t2 dt (t 2 1) 3 I 8 dt 2t 3 t3 ( ) 1 t2 t 6 3t 4 3t 2 1 dt t3 3 1 3 1 (t 3 3t t 3 )dt tan 4 x tan 2 x 3 ln tan x C 4 2 t 2 tan 2 x dt 0,5 3 -175- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 C©u IV 1 ®iÓm Do AH ( A1 B1C1 ) nªn gãc AA1 H lμ gãc gi÷a AA 1 vμ (A 1 B 1 C 1 ), theo gi¶ thiÕt th× gãc AA1 H b»ng 300. XÐt tam gi¸c vu«ng AHA 1 cã AA 1 = a, gãc a 3 . Do tam gi¸c A 1 B 1 C 1 lμ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, H 2 a 3 nªn A 1 H vu«ng gãc víi B 1 C 1 . MÆt kh¸c thuéc B 1 C 1 vμ A1 H 2 AH B1C1 nªn B1C1 ( AA1 H ) AA1 H =300 A1 H A 0,5 B C K A1 C H B1 KÎ ®−êng cao HK cña tam gi¸c AA 1 H th× HK chÝnh lμ kho¶ng c¸ch gi÷a AA 1 vμ B 1 C 1 Ta cã AA 1 .HK = A 1 H.AH HK C©u V 1 ®iÓm Ta có: P + 3 = a3 1 b 2 b3 b2 1 c 2 1 b P 2 2 4 2 4 2 2 1 b 2 1 b a 6 3 a 0,25 A1 H . AH a 3 4 AA1 c2 2 2 c3 1 a 2 0,25 a2 1 c2 4 2 2 1 c2 2 1 c2 b3 b2 0,5 a b c 1 a 33 33 33 16 2 16 2 16 2 2 1 a2 2 1 a2 4 2 9 3 3 (a 2 b 2 c 2 ) 6 P 2 8 2 2 23 2 2 c P 3 9 6 2 2 3 c 2 3 2 2 9 2 2 6 2 3 2 2 6 6 3 2 0,5 P Min khi a = b = c = 1 PhÇn riªng. 1.Ban c¬ b¶n C©u 1.( 1 ®iÓm) VIa Tõ ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®−êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kÎ 2 ®−îc 2 tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn vμ AB AC => tø gi¸c ABIC lμ h×nh ®iÓm vu«ng c¹nh b»ng 3 IA 3 2 0,5 4 -176- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 m 1 m 5 3 2 m 1 6 2 m 7 0,5 2. (1 ®iÓm) Gäi H lμ h×nh chiÕu cña A trªn d, mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vμ (P)//d, khi ®ã kho¶ng c¸ch gi÷a d vμ (P) lμ kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn (P). Gi¶ sö ®iÓm I lμ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã AH HI => HI lín nhÊt khi 0,5 AI VËy (P) cÇn t×m lμ mÆt ph¼ng ®i qua A vμ nhËn AH lμm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn. H d H (1 2t ; t ;1 3t ) v× H lμ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn AH d AH .u 0 (u (2;1;3) lμ vÐc t¬ chØ ph−¬ng cña d) H (3;1;4) AH (7;1;5) VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 C©u VIIa 1 ®iÓm 0,5 7x + y -5z -77 = 0 Tõ gi¶ thiÕt bμi to¸n ta thÊy cã C 42 6 c¸ch chän 2 ch÷ sè ch½n (v× kh«ng cã sè 0,5 0)vμ C52 10 c¸ch chän 2 ch÷ sè lÏ => cã C52 . C52 = 60 bé 4 sè tháa m·n bμi to¸n 0,5 Mçi bé 4 sè nh− thÕ cã 4! sè ®−îc thμnh lËp. VËy cã tÊt c¶ C 42 . C52 .4! = 1440 sè 2.Ban n©ng cao. C©u 1.( 1 ®iÓm) VIa Tõ ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®−êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kÎ ®−îc 2 2 tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn vμ AB AC => tø gi¸c ABIC lμ h×nh vu«ng ®iÓm c¹nh b»ng 3 IA 3 2 0,5 m 1 m 5 3 2 m 1 6 2 m 7 0,5 2. (1 ®iÓm) Gäi H lμ h×nh chiÕu cña A trªn d, mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vμ (P)//d, khi ®ã kho¶ng c¸ch gi÷a d vμ (P) lμ kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn (P). Gi¶ sö ®iÓm I lμ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã AH HI => HI lín nhÊt khi 0,5 AI VËy (P) cÇn t×m lμ mÆt ph¼ng ®i qua A vμ nhËn AH lμm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn. H d H (1 2t ; t ;1 3t ) v× H lμ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn AH d AH .u 0 (u (2;1;3) lμ vÐc t¬ chØ ph−¬ng cña d) H (3;1;4) AH (7;1;5) VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 C©u VIIa 1 ®iÓm 7x + y -5z -77 = 0 Tõ gi¶ thiÕt bμi to¸n ta thÊy cã C52 10 c¸ch chän 2 ch÷ sè ch½n (kÓ c¶ sè cã ch÷ sè 0 ®øng ®Çu) vμ C53 =10 c¸ch chän 2 ch÷ sè lÏ => cã C52 . C53 = 100 bé 5 sè ®−îc chän. Mçi bé 5 sè nh− thÕ cã 5! sè ®−îc thμnh lËp => cã tÊt c¶ C52 . C53 .5! = 12000 sè. MÆt kh¸c sè c¸c sè ®−îc lËp nh− trªn mμ cã ch÷ sè 0 ®øng ®Çu lμ C 41 .C53 .4! 960 . VËy cã tÊt c¶ 12000 – 960 = 11040 sè tháa m·n bμi to¸n 0,5 0,5 0,5 5 -177- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 6 -178- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 S GD & T Thanh Hoá Tr ng THPT Lê V n H u KÌ THI KH O SÁT CH T L NG L P 12 MÔN TOÁN KH I B và D Tháng 01/2011 Th i gian:180 phút (Không k th i gian phát đ ) CHÍNH TH C PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7.0 đi m) Câu I. (2.0 đi m) x Cho hàm s y = (C) x-1 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (C) 2. Vi t ph ng trình ti p tuy n v i đ th (C), bi t r ng kho ng cách t tâm đ i x ng c a đ th (C) đ n ti p tuy n là l n nh t. Câu II. (2.0 đi m) 1. Gi i ph ng trình 2cos6x+2cos4x- 3cos2x = sin2x+ 3 2. Gi i h ph 1 2 2 x x y 2 ng trình y y 2 x 2 y 2 2 Câu III. (1.0 đi m) 1 Tính tích phân (x sin x 2 3 0 x )dx 1 x Câu IV. (1.0 đi m) Cho x, y, z là các s th c d ng l n h n 1 và tho mãn đi u ki n 1 1 1 2 x y z Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). Câu V. (1.0 đi m) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi. SA = x (0 < x < 3 ) các c nh còn l i đ u b ng 1. Tính th tích c a hình chóp S.ABCD theo x PH N RIÊNG ( 3.0 đi m) Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n A ho c B (N u thí sinh làm c hai ph n s không d c ch m đi m). A. Theo ch ng trình nâng cao Câu VIa. (2.0 đi m) 1. 1. Trong m t ph ng to đ Oxy cho hai đ ng th ng (d 1 ) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d 2 ): 4x + 3y - 12 = 0. Tìm to đ tâm và bán kính đ ng tròn n i ti p tam giác có 3 c nh n m trên (d 1 ), (d 2 ), tr c Oy. 2. Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng 2. G i M là trung đi m c a đo n AD, N là tâm hình vuông CC’D’D. Tính bán kính m t c u đi qua các đi m B, C’, M, N. Câu VIIa. (1.0 đi m) log 3 ( x 1) 2 log 4 ( x 1)3 0 Gi i b t ph ng trình x2 5x 6 B. Theo ch ng trình chu n Câu VIb. (2.0 đi m) 1. Cho đi m A(-1 ;0), B(1 ;2) và đ ng th ng (d): x - y - 1 = 0. L p ph ng trình đ ng tròn đi qua 2 đi m A, B và ti p xúc v i đ ng th ng (d). 2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz cho đi m A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) và m t ph ng (Q): x + 2y + 3z + 3 = 0. L p ph ng trình m t ph ng (P) đi qua A, B và vuông góc v i (Q). Câu VIIb. (1.0 đi m) Gi i ph ng trình Cxx 2Cxx 1 C xx 2 Cx2x23 ( Cnk là t h p ch p k c a n ph n t ) .................H T.............. Thí sinh không đ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm H và tên thí sinh .......................................................... s báo danh.................................................. -179- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 S GD & T Thanh Hoá Tr ng THPT Lê V n H u ÁP ÁN KÌ THI KH O SÁT CH T L NG L P 12 MÔN TOÁN KH I B - D Tháng 01/2011 Th i gian:180 phút (Không k th i gian phát đ ) CHÍNH TH C PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7.0 đi m) CÂU Câu I (2.0đ) 1. (1.0đ) N I DUNG THANG I M 0.25 TX : D = R\{1} Chi u bi n thiên lim f ( x) lim f ( x) 1 nên y = 1 là ti m c n ngang c a đ th hàm s x 0.25 x lim f ( x) , lim nên x = 1 là ti m c n đ ng c a đ th hàm s x 1 x 1 1 0 y’ = ( x 1) 2 B ng bi n thiên 0.25 - x + 1 - y' - 1 + y 1 - Hàm s ngh c bi n trên (;1) và (1; ) Hàm s không có c c tr th .(t v ) Giao đi m c a đ th v i tr c Ox là (0 ;0) V đ th Nh n xét : th nh n giao đi m c a 2 đ ng ti m c n I(1 ;1) làm tâm đ i x ng 2.(1.0đ) Gi s M(x 0 ; y 0 ) thu c (C) mà ti p tuy n v i đ th t i đó có kho ng cách t tâm đ i x ng đ n ti p tuy n là l n nh t. x 1 ( x x0 ) 0 Ph ng trình ti p tuy n t i M có d ng : y 2 ( x0 1) x0 1 0.25 0.25 x02 1 x y 0 ( x0 1) 2 ( x0 1) 2 Ta có d(I ;tt) = 1 Xét hàm s f(t) = 0.25 2 x0 1 1 ( x0 1) 4 2t 1 t4 (t 0) ta có f’(t) = -180- (1 t )(1 t )(1 t 2 ) (1 t 4 ) 1 t 4 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 0.25 f’(t) = 0 khi t = 1 B ng bi n thiên t b ng bi n thiên d(I ;tt) l n nh t ch khi t = 1 hay x + 1 0 + f'(t) 0 ta c khi và - 2 f(t) x0 2 x0 1 1 x0 0 + V i x 0 = 0 ta có ti p tuy n là y = -x + V i x 0 = 2 ta có ti p tuy n là y = -x+4 0.25 0.25 Câu 4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2 3 cos2x II(2.0đ) cos x=0 1. (1.0đ) 2cos5x =sinx+ 3 cos x 0.25 cos x 0 cos5x=cos(x- ) 6 0.25 x 2 k k x 24 2 x k 2 42 7 2.(1.0đ) K: y0 1 2 x x 2 0 2 2 y 2u u v 2 0 đ a h v d ng 2 h 2v v u 2 0 2 1 x20 y 2 y u v u v 1 u 1 v u v 1 2 3 7 2v v u 2 0 u 2 , 1 7 v 2 (-1 ;-1),(1 ;1), ( Câu III. (1.0đ) 1 0.5 0.5 T đó ta có nghi m c a h 3 7 u 2 v 1 7 2 3 7 2 3 7 2 ) ; ; ), ( 2 2 7 1 7 1 0.25 1 x dx x 1 0 I x 2 sin x 3 dx 0 0.25 -181- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 1 Ta tính I 1 = x 2 sin x 3 dx đ t t = x3 ta tính đ 0.25 c I 1 = -1/3(cos1 - sin1) 0 1 1 Ta tính I 2 = x 0 1 x dx đ t t = c I 2 = 2 (1 x ta tính đ 0 T đó ta có I = I 1 + I 2 = -1/3(cos1 - 1)+ 2 1 )dt 2(1 ) 2 2 1 t 4 2 0.25 0.25 2 0.25 1 1 1 2 nên Ta có Câu IV. x y z (1.0đ) 0.25 1 1 1 y 1 z 1 ( y 1)( z 1) 1 1 2 (1) x y z y z yz T ng t ta có 1 1 1 x 1 z 1 ( x 1)( z 1) 1 1 2 (2) y x z x z xz 1 1 1 x 1 y 1 ( x 1)( y 1) 1 1 2 (3) y x y x y xy Nhân v v i v c a (1), (2), (3) ta đ c ( x 1)( y 1)( z 1) 0.25 1 8 0.25 v y A max = Câu V. (1.0đ) 1 3 x yz 8 2 0.5 Ta có SBD DCB (c.c.c) SO CO T ng t ta có SO = OA v y tam giác SCA vuông t i S. S CA 1 x 2 M t khác ta có AC 2 BD 2 AB 2 BC 2 CD 2 AD 2 BD 3 x 2 (do 0 x 3) 1 1 x2 3 x2 S ABCD 4 C D H O B A G i H là hình chi u c a S xu ng (CAB) Vì SB = SD nên HB = HD H CO 0.25 1 1 1 x 2 SH 2 2 SH SC SA 1 x2 1 V y V = x 3 x 2 (dvtt) 6 0.25 Mà Câu VIa. (2.0đ) 1. G i A là giao đi m d 1 và d 2 ta có A(3 ;0) G i B là giao đi m d 1 v i tr c Oy ta có B(0 ; - 4) G i C là giao đi m d 2 v i Oy ta có C(0 ;4) -182- 0.5 http://www.VNMATH.com 63 (1.0đ) 2. (1.0đ) Câu VIIa (1.0đ) thi th i h c 2011 0.5 G i BI là đ ng phân giác trong góc B v i I thu c OA khi đó ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3 Ch n h tr c to đ nh hình v Ta có M(1 ;0 ;0), N(0 ;1 ;1) B(2 ;0 ;2), C’(0 ;2 ;2) G i ph ng tình m t c u đi qua 4 đi m C' M,N,B,C’ có d ng 2 2 2 x + y + z +2Ax + 2By+2Cz +D = 0 Vì m t c u đi qua 4 đi m nên ta có 5 A 2 1 2 A D 0 5 2 2 B 2C D 0 B 2 8 4 A 4C D 0 1 8 4 B 4C D 0 C 2 C D 4 Z V y bán kính R = k: x > - 1 1.0 Y D' A' B' N M D A B A2 B 2 C 2 D 15 0.25 3log 3 ( x 1) log 3 4 0 ( x 1)( x 6) 0.25 2 log 3 ( x 1) b t ph ng trình log 3 ( x 1) 0 x6 0 x6 Gi s ph ng trình c n tìm là (x-a)2 + (x-b)2 = R2 Câu VIb (2.0đ) 1. (1.0đ) 2. (1.0đ) Câu VIIb (1.0đ) X Vì đ ng tròn đi qua A, B và ti p xúc v i d nên ta có h ph (1 a ) 2 b 2 R 2 2 2 2 (1 a ) (2 y ) R (a b 1) 2 2 R 2 0.25 0.25 0.25 ng trình a 0 b 1 R2 2 V y đ ng tròn c n tìm là: x2 + (y - 1)2 = 2 Ta có AB(1;1;1), nQ (1; 2;3), AB; nQ (1; 2;1) Vì AB; nQ 0 nên m t ph ng (P) nh n AB; nQ làm véc t pháp tuy n V y (P) có ph ng trình x - 2y + z - 2 = 0 2 x 5 K: x N 0.25 0.5 1.0 1.0 Ta có Cxx Cxx 1 Cxx 1 Cxx 2 Cx2x23 Cxx1 Cxx11 Cx2x23 Cxx 2 Cx2x23 (5 x)! 2! x 3 -183- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Chó ý: NÕu thÝ sinh lμm bμi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mμ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh− ®¸p ¸n quy ®Þnh. -184- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 THI TH TR NG THPT NGUY N TRUNG THIÊN -----------------------@--------------------------- A.PH N CHUNG CHO T T C Câu I (2 đi m): Cho hàm s 1.Kh o sát s bi n thiên và v đ 2.Tìm m đ hàm s (1) có c c tr góc t a đ O b ng 2 l n kho Câu II (2 đi m): 1. Gi i ph ng trình : H&C LÀNI N M H C 2010-2011 MÔN TOÁN-KH I A+B: (180 phút) --------------------------------------@----------------------------------- (Không k th i gian phát đ ) CÁC THÍ SINH (7 đi m): y x 3 3mx 2 3(m 2 1) x m3 m (1) th c a hàm s (1) ng v i m=1 đ ng th i kho ng cách t đi m c c đ i c a đ th hàm s đ n ng cách t đi m c c ti u c a đ th hàm s đ n góc t a đ O. 2cos3x.cosx+ 3(1 s in2x)=2 3cos 2 (2 x ) 4 2. Gi i ph ng trình : log 21 (5 2 x) log 2 (5 2 x).log 2 x 1 (5 2 x) log 2 (2 x 5) 2 log 2 (2 x 1).log 2 (5 2 x) 2 tan( x ) 4 dx I Câu III (1 đi m): Tính tích phân : cos2x 0 Câu IV (1 đi m): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a , SA vuông góc v i đáy và SA=a .G i M,N l n l t là trung đi m c a SB và SD;I là giao đi m c a SD và m t ph ng (AMN). Ch ng minh SD vuông góc v i AI và tính th tích kh i chóp MBAI. Câu V (1 đi m): Cho x,y,z là ba s th c d ng có t ng b ng 3.Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P 3( x 2 y 2 z 2 ) 2 xyz . B. PH N T CH N (3 đi m): Thí sinh ch đ c ch n m t trong hai phàn (ph n 1 ho c 2) 1.Theo ch ng trình chu n: Câu VIa (2 đi m): 1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho đi m C(2;-5 ) và đ ng th ng : 3x 4 y 4 0 . Tìm trên hai đi m A và B đ i x ng nhau qua I(2;5/2) sao cho di n tích tam giác ABC b ng15. 2. Trong không gian v i h to đ Oxyz cho m t c u ( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 6 y 4 z 2 0 . Vi t ph ng trình m t ph ng (P) song song v i giá c a véc t v(1;6; 2) , vuông góc v i m t ph ng ( ) : x 4 y z 11 0 và ti p xúc v i (S). Câu VIIa(1 đi m): Tìm h s c a x 4 trong khai tri n Niut n c a bi u th c : P (1 2 x 3 x 2 )10 2.Theo ch ng trình nâng cao: Câu VIb (2 đi m): x2 y 2 1 và hai đi m A(3;-2) , B(-3;2) . 1.Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho elíp ( E ) : 9 4 Tìm trên (E) đi m C có hoành đ và tung đ d ng sao cho tam giác ABC có di n tích l n nh t. 2.Trong không gian v i h to đ Oxyz cho m t c u ( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 6 y 4 z 2 0 . Vi t ph ng trình m t ph ng (P) song song v i giá c a véc t v(1;6; 2) , vuông góc v i m t ph ng ( ) : x 4 y z 11 0 và ti p xúc v i (S). Câu VIIb (1 đi m): 2 22 2n n 121 Cn Tìm s nguyên d ng n sao cho tho mãn Cn0 Cn1 Cn2 ... 2 3 n 1 n 1 -------------------------------------------------------H T-------------------------------------------------------6 Cán b coi thi không g i thích gì thêm H tên thí sinh:.................................................... -185- S báo danh:.............................. http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 ÁP ÁN VÀ THANG I M Câu N I DUNG 2. Ta có y 3x 6mx 3(m 2 1) hàm s có c c tr thì PT y , 0 có 2 nghi m phân bi t x 2 2mx m 2 1 0 có 2 nhi m phân bi t 1 0, m C c đ i c a đ th hàm s là A(m-1;2-2m) và c c ti u c a đ th hàm s là B(m+1;-2-2m) m 3 2 2 Theo gi thi t ta có OA 2OB m 2 6m 1 0 m 3 2 2 V y có 2 giá tr c a m là m 3 2 2 và m 3 2 2 . 1. PT cos4x+cos2x+ 3(1 sin 2 x) 3 1 cos(4x+ ) 2 , I iêm 2 05 025 025 05 cos4x+ 3 sin 4 x cos2x+ 3 sin 2 x 0 II sin(4 x ) sin(2 x ) 0 6 6 x k 18 3 2sin(3 x ).cosx=0 6 x= k 2 V y PT có hai nghi m x k và 2 x 05 k . 18 3 5 1 x 2. K: 2 2. x 0 V i K trên PT đã cho t ng đ ng v i log 22 (5 2 x) log 22 (5 2 x) 2 log 2 (5 2 x) 2 log 2 (5 2 x) log 2 (2 x 1) log 2 (2 x 1) 1 x 4 log 2 (2 x 1) 1 1 log 2 (5 2 x) 2 log 2 (2 x 1) x x 2 2 x 2 log 2 (5 2 x) 0 K t h p v i K trên PT đã cho có 3 nghi m x=-1/4 , x=1/2 và x=2. -186- 05 025 025 http://www.VNMATH.com 63 III thi th i h c 2011 tan( x ) 2 6 4 dx tan x 1 dx I 0 (t anx+1)2 cos2x 0 6 t t t anx dt= x0t 0 x 6 t 1 dx (tan 2 x 1)dx 2 cos x 05 1 3 1 3 Suy ra 025 I 0 1 dt 1 3 1 3 . 2 t 10 (t 1) 2 025 IV 05 AM BC , ( BC SA, BC AB) AM SC (1) AM SB, ( SA AB) T ng t ta có AN SC (2) T (1) và (2) suy ra AI SC V IH song song v i BC c t SB t i H. Khi đó IH vuông góc v i (AMB) 1 Suy ra VABMI S ABM .IH 3 a2 Ta có S ABM 4 IH SI SI .SC SA2 a2 1 1 1 IH BC a 2 2 2 2 2 3 3 3 BC SC SC SA AC a 2a 2 3 1a a a V y VABMI 3 4 3 36 Ta có V 05 Ta c ó: P 3 ( x y z ) 2 2( xy yz zx) 2 xyz 3 9 2( xy yz zx) 2 xyz 025 27 6 x( y z ) 2 yz ( x 3) -187- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 27 6 x(3 x) ( y z )2 ( x 3) 2 025 1 ( x 3 15 x 2 27 x 27) 2 Xét hàm s f ( x) x3 15 x 2 27 x 27 , x 1 f , ( x) 3x 2 30 x 27 0 x 9 x y’ VIa 0 + 1 0 v i 00.Khi đó ta có 9 4 là 1 85 85 x y S ABC AB.d (C AB) 2x 3 y 3 2 13 3 4 2 13 -188- 05 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 85 x 2 y 2 170 3 2 3 13 9 4 13 x2 y2 9 4 1 x 3 2 3 2 ; 2) . . V y C( D u b ng x y ra khi 2 2 x y y 2 3 2 Xét khai tri n (1 x) n Cn0 Cn1 x Cn2 x 2 ... Cnn x n L y tích phân 2 v cân t 0 đ n 2 , ta đ c: 3n 1 1 22 23 2n 1 n 2Cn0 Cn1 Cn3 ... Cn 2 3 n 1 n 1 2 22 2n n 3n 1 1 121 3n 1 1 Cn0 Cn1 Cn2 ... Cn 2 3 2(n 1) n 1 n 1 2(n 1) 3n 1 243 n 4 V y n=4. 05 05 05 -189- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 1 n¨m 2011 M«n: TO¸N ; Khèi: A,B (Thêi gian lμm bμi: 180 phót) Tr−êng THPT NguyÔn HuÖ PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7,0 ®iÓm) C©u I (2 ®iÓm) Cho hμm sè y 2x 1 x 1 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vμ vÏ ®å thÞ (C) cña hμm sè ®· cho. 2. T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm cã tæng kho¶ng c¸ch ®Õn hai tiÖm cËn cña (C) nhá nhÊt. C©u II (2 ®iÓm) x1 y 1 4 x6 y 4 6 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 1 2(cos x sin x) tan x cot 2 x cot x 1 C©u III (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng (P) cho ®−êng trßn (C) t©m O ®−êng kÝnh AB = 2R.Trªn ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi (P) t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho OS = R 3 . I lμ ®iÓm thuéc ®o¹n OS víi SI = 2R . M lμ mét 3 ®iÓm thuéc (C). H lμ h×nh chiÕu cña I trªn SM. T×m vÞ trÝ cña M trªn (C) ®Ó tø diÖn ABHM cã thÓ tÝch lín nhÊt.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. C©u IV (1 ®iÓm) 1 TÝnh tÝch ph©n: I= dx 1 x 1 1 x2 C©u V (1 ®iÓm) Cho x, y, z lμ 3 sè thùc d−¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng 1 1 1 1 x y 1 y z 1 z x 1 PhÇn riªng (3,0 ®iÓm).ThÝ sinh chØ ®−îc lμm mét trong hai phÇn (phÇn A hoÆc B) A.Theo ch−¬ng tr×nh ChuÈn C©u VI.a (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng 3 vμ träng t©m thuéc ®−êng th¼ng : 3x – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C. 2 C©u VII.a (1 ®iÓm) Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,6,7,8,9 cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau ( ch÷ sè ®Çu tiªn ph¶i kh¸c 0) trong ®ã ph¶i cã ch÷ sè 7. C©u VIII.a (1 ®iÓm) T×m a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: log 1 x 2 1 log 1 ( ax a ) 3 3 B.Theo ch−¬ng tr×nh N©ng cao C©u VI.b (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho elip (E): x2 y2 1 vμ ®−êng th¼ng :3x + 4y =12. 4 3 Tõ ®iÓm M bÊt k× trªn kÎ tíi (E) c¸c tiÕp tuyÕn MA, MB. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng AB lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. x2 4 x 3 C©u VII.b (1 ®iÓm) Cho hμm sè y cã ®å thÞ (C).Gi¶ sö ®−êng th¼ng y = kx + 1 c¾t (C) x2 t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A, B. T×m tËp hîp trung ®iÓm I cña AB khi k thay ®æi. C©u VIII.b (1 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3 1 ------------ log2 x x. ------------- -190- 3 1 log2 x 1 x2 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Trêng THPT NguyÔn HuÖ ®¸p ¸n – thang ®iÓm ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn 1 n¨m 2011 M«n: TO¸N ; Khèi: A,B Lu ý:Mäi c¸ch gi¶i ®óng vμ ng¾n gän ®Òu cho ®iÓm tèi ®a C©u §¸p ¸n I 1.(1,0 ®iÓm) Kh¶o s¸t . . . §iÓm (2,0 ®iÓm) * TËp x¸c ®Þnh: D = R\{ - 1} * Sù biÕn thiªn - Giíi h¹n vμ tiÖm cËn: lim y lim y 2 ; tiÖm cËn ngang: y = 2 x x 0,25 lim y ; lim y ; tiÖm cËn ®øng: x = - 1 x ( 1) x ( 1) - B¶ng biÕn thiªn Ta cã y ' x - y’ 1 0 víi mäi x - 1 ( x 1) 2 -1 + + + + y 2 0,5 2 - Hμm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (- ; -1) vμ ( -1; + ) * §å thÞ 0,25 2. (1,0 ®iÓm) T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm. . . Gäi M(x 0 ;y 0 ) lμ mét ®iÓm thuéc (C), (x 0 - 1) th× y0 2 x0 1 x0 1 0,25 Gäi A, B lÇn lît lμ h×nh chiÕu cña M trªn TC§ vμ TCN th× MA = |x 0 +1| , MB = | y 0 - 2| = | 2 x0 1 1 - 2| = | | x0 1 x0 1 -191- 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Theo Cauchy th× MA + MB 2 x 0 1 . 0,25 1 =2 x0 1 MA + MB nhá nhÊt b»ng 2 khi x 0 = 0 hoÆc x 0 = -2.Nh vËy ta cã hai II (2,0 ®iÓm) ®iÓm cÇn t×m lμ (0;1) vμ (-2;3) 0,25 1.(1,0 ®iÓm) Gi¶i hÖ . . . §iÒu kiÖn: x -1, y 1 Céng vÕ theo vÕ råi trõ vÕ theo vÕ ta cã hÖ 0,25 x1 x6 y 1 y 4 10 x6 x1 y 4 y 1 2 §Æt u= x 1 x 6 , v = y 1 y 4 . Ta cã hÖ u v10 u 5 v 5 5 5 2 u v x 3 y 5 lμ nghiÖm cña hÖ 0,25 0,25 2. (1,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh . . . §iÒu kiÖn:sinx.cosx 0 vμ cotx 1 Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng 1 0,25 0,25 2(cos x sin x) cos x 1 sin x sin x cos 2 x cos x sin 2 x 2 cosx = x = k 2 4 2 0,25 §èi chiÕu ®iÒu kiÖn pt cã 1 hä nghiÖm x = III T×m vÞ trÝ . . . (1,0 ®iÓm) 0,25 4 k 2 0,25 S H I O B A M -192- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Tø gi¸c IHMO néi tiÕp nªn SH.SM = SI.SO mμ OS = R 3 , SI = 2R , 3 SO 2 OM 2 2 R SH = R hay H lμ trung ®iÓm cña SM SM = Gäi K lμ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H lªn mp(MAB) th× HK = 0,25 1 3 SO= R, 2 2 (kh«ng ®æi) V BAHM lín nhÊt khi dt( MAB) lín nhÊt M lμ ®iÓm gi÷a cña cung AB 3 3 Khi ®ã V BAHM = R (®vtt) 6 0,25 0,5 IV TÝnh tÝch ph©n . . . (1,0 ®iÓm) §Æt u = x+ 1 x 2 th× u - x= 1 x 2 x 2 2ux u 2 1 x 2 x u2 1 1 1 dx 1 2 du 2u 2 u §æi cËn x= - 1 th× u = 2 -1 x = 1 th× u = 2 +1 1 1 1 2 du 1 2 u I 1 u 2 2 1 2 1 2 1 du 1 1 u 2 2 1 2 1 0,25 du (1 u )u 2 2 1 2 1 1 1 1 2 du u u u 1 2 1 0,25 =1 §Æt x=a3 y=b3 z=c3 th× x, y, z >0 vμ abc=1.Ta cã 0,25 0,25 = C©u V (1,0 ®iÓm) 2 1 0,25 1 2 du 1 1 u 2 2 1 a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)ab, do a+b>0 vμ a2+b2-ab ab a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0 1 1 3 a b 1 ab a b c 0,5 3 T¬ng tù ta cã 1 1 , 3 b c 1 bc a b c 3 1 1 3 c a 1 ca a b c 3 Céng theo vÕ ta cã 1 1 1 1 1 1 + 3 3 + 3 3 = 3 3 x y 1 y z 1 z x 1 a b 1 b c 1 c a 1 1 1 1 1 1 c a b 1 = a b c ab bc ca a b c DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1 VI. a 0,25 T×m täa ®é . . . -193- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 (1,0 ®iÓm) Ta cã: AB = 2 , M = ( 5 ; 5 ), pt AB: x – y – 5 = 0 2 2 3 1 3 S ABC = d(C, AB).AB = d(C, AB)= 2 2 2 0,25 Gäi G(t;3t-8) lμ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)= d(G, AB)= t (3t 8) 5 2 = 1 2 1 t = 1 hoÆc t = 2 2 0,5 0,25 G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2) Mμ CM 3GM C = (-2; 10) hoÆc C = (1; -4) VII. a Tõ c¸c ch÷ sè . . . (1,0 ®iÓm) Gäi sè cã 6 ch÷ sè lμ abcdef NÕu a = 7 th× cã 7 c¸ch chän b, 6 c¸ch chän c, 5 c¸ch chän d, 4 c¸ch chän e, 3 c¸ch chän f. ë ®©y cã 7.6.5.4.3 = 2520sè NÕu b = 7 th× cã 6 c¸ch chän a, 6 c¸ch chän c, 5 c¸ch chän d, 4 c¸ch chän e, 3 c¸ch chän f. ë ®©y cã 6.6.5.4.3 = 2160sè T¬ng tù víi c, d, e, f VËy tÊt c¶ cã 2520+5.2160 = 13320 sè 0,25 0,5 0,25 VIII. a T×m a ®Ó . . . (1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn: ax + a > 0 Bpt t¬ng ®¬ng x 2 1 a( x 1) NÕu a>0 th× x +1 >0.Ta cã x2 1 a x 1 NÕu a0 §Æt 3 1 log2 x =u, 3 1 log2 x 2 x2 5x 2 2x 2 v ta cã pt u +uv2 = 1 + u2 v2 (uv2-1)(u – 1) = 0 u 21 . . . x =1 uv 1 -195- 0,25 0,25 0,5 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 K THI TUY N SINH I H C, CAO NG N M 2011 Môn: Toán. Kh i A, B. Th i gian làm bài: 180 phút (Không k th i gian giao đ ) Câu I. (2 đi m). y Cho hàm s 2x 1 x 1 (1). 1) Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s (1). 2) Tìm đi m M thu c đ th (C) đ ti p tuy n c a (C) t i M v i đ M và giao đi m hai đ ng ti m c n có tích h s góc b ng - 9. ng th ng đi qua Câu II. (2 đi m) 1) Gi i ph 2) Gi i ph 1 x ng trình sau: ng trình l 1 2 x2 sin 4 2 x c os 4 2 x ng giác: tan( Câu III. (1 đi m) Tính gi i h n sau: L lim 2. 4 x ). tan( 4 x) c os 4 4 x . 3 ln(2 e e.c os2 x ) 1 x 2 x2 x 0 Câu IV. (2 đi m) Cho hình nón đ nh S có đ dài đ ng sinh là l, bán kính đ ng tròn đáy là r. G i I là tâm m t c u n i ti p hình nón (m t c u bên trong hình nón, ti p xúc v i t t c các đ ng sinh và đ ng tròn đáy c a nón g i là m t c u n i ti p hình nón). 1. Tính theo r, l di n tích m t c u tâm I; 2. Gi s đ dài đ ng sinh c a nón không đ i. V i đi u ki n nào c a bán kính đáy thì di n tích m t c u tâm I đ t giá tr l n nh t? Câu V (1 đi m) Cho các s th c x, y, z th a mãn: x2 + y2 + z2 = 2. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c: P = x3 + y3 + z3 – 3xyz. 1 2 Câu VI. (1 đi m) Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình ch nh t ABCD có tâm I ( ; 0) ng th ng AB có ph ng trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành đ đi m A âm. Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t đó. Câu VII. (1 đi m) Gi i h ph ng trình : 2 2 x 2 2010 2009 y x y 2 2010 3 log 3 ( x 2 y 6) 2 log 2 ( x y 2) 1 --------------- H T --------------- Thí sinh không đ c s d ng b t c tài li u gì! - Cán b coi thi không gi i thích gì thêm! H và tên thí sinh: ……….…………………S báo danh: Ghi chú: -196- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 H CÂU I.1 NG D N N I DUNG I M 2x 1 3 2 x 1 x 1 +) Gi i h n, ti m c n: lim y 2; lim y 2; lim y ; lim y Hàm s : y x x ( 1) x x ( 1) - TC đ ng: x = -1; TCN: y = 2. 3 0, x D +) y ' 2 x 1 +) BBT: - x y' y + -1 || + + 2 || 2 1 đi m +) T: 8 6 4 2 -10 -5 10 5 -2 -4 -6 I.2 +) Ta có I(- 1; 2). G i M (C ) M ( x0 ; 2 y yI 3 3 ) k IM M x0 1 xM xI ( x0 1) 2 +) H s góc c a ti p tuy n t i M: k M y '( x0 ) II.1 x0 1 1 đi m 2 +) ycbt kM .kIM 9 +) Gi i đ c x 0 = 0; x 0 = -2. Suy ra có 2 đi m M th a mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5) +) K: x ( 2; 2) \ {0} +) t y x y 2 xy 2 x 2 , y 0 Ta có h : 2 2 x y 2 +) Gi i h đx ta đ 1 3 1 3 x x 2 2 ; c x = y = 1 và 1 3 1 3 y y 2 2 +) K t h p đi u ki n ta đ II.2 3 +) K: x 4 k 2 c: x = 1 và x 1 đi m 1 3 2 ,k Z ) tan( x) tan( x) tan( x) cot( x) 1 4 4 4 4 1 1 1 sin 4 2 x cos 4 2 x 1 sin 2 4 x cos 2 4 x 2 2 2 4 2 pt 2 cos 4 x cos 4 x 1 0 -197- 1 đi m http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 +) Gi i pt đ c cos24x = 1 cos8x = 1 x k +) K t h p K ta đ III L lim x2 x 0 4 và cos24x = -1/2 (VN) ng trình là x k c nghi m c a ph 3 ln(2 e e.c os2 x ) 1 x 2 2 ,k Z 3 ln(1 1 c os2 x ) 1 1 x 2 lim x2 x 0 3 2 2 2 ln(1 2 sin 2 x ) 1 1 x ln(1 2 sin 2 x ) 1 lim lim x 0 2 2 2 3 2 2 2 3 x0 x (1 x ) 1 x 1 x x 2 sin 2 x 2 sin 2 x 2 sin 2 x 2 sin 2 x 1 5 2 3 3 IV.1 +) G i rC là bán kính m t c u n i ti p nón, và c ng là bán kính đ ng tròn n i ti p tam giác SAB. S SAB prC (l r ).rC Ta có: rC IV.2 +) S 1 SM . AB 2 l 1 đi m l 2 r 2 .2r lr r lr 2(l r ) 2 2 +) S c u = 4 r C 4 r 1 đi m I l r lr A M r B t: y (r ) lr 2 r 3 ,0 r l lr 5 1 r l 2r (r rl l ) 2 0 ) y '(r ) (l r ) 2 5 1 l r 2 2 2 +) BBT: r 0 y'(r) y(r) 5 1 l 2 y max +) Ta có max S c u đ t y(r) đ t max r V l 1 đi m 5 1 l 2 +) Ta có P ( x y z )( x 2 y 2 z 2 xy yz zx) x2 y 2 z 2 ( x y z)2 P ( x y z) x2 y 2 z 2 2 ( x y z )2 2 ( x y z )2 P ( x y z) 2 ( x y z ) 3 2 2 +) t x +y + z = t, t 6( Bunhia cov xki) , ta đ 1 đi m 1 2 3 c: P (t ) 3t t +) P '(t ) 0 t 2 , P( 6 ) = 0; P( 2) 2 2 ; P( 2) 2 2 +) KL: MaxP 2 2; MinP 2 2 -198- http://www.VNMATH.com 63 VI thi th i h c 2011 +) d ( I , AB) +) PT đ 5 AD = 2 5 AB = 2 5 BD = 5. ng tròn K BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4 +) T a đ A, B là nghi m c a h x 2 1 2 25 2 y2 A(2; 0), B(2; 2) : ( x 2 ) y 4 x 2 x 2 y 2 0 y 0 C (3;0), D(1; 2) VII 2 y 2 x 2 x 2010 (1) 2009 y 2 2010 3 log 3 ( x 2 y 6) 2 log 2 ( x y 2) 1(2) +) K: x + 2y = 6 > 0 và x + y + 2 > 0 +) L y loga c s 2009 và đ a v pt: x 2 log 2009 ( x 2 2010) y 2 log 2009 ( y 2 2010) +) Xét và CM HS f (t ) t log 2009 (t 2010), t 0 đ ng bi n, t đó suy ra x2 = y2 x= y, x = - y +) V i x = y th vào (2) và đ a v pt: 3log 3 (x +2) = 2log 2 (x + 1) = 6t t t 1 8 a pt v d ng 9 9 1 , cm pt này có nghi m duy nh t t = 1 x = y =7 +) V i x = - y th vào (2) đ c pt: log 3 (y + 6) = 1 y = - 3 x = 3 Ghi chú: - Các cách gi i khác v i cách gi i trong đáp án mà v n đúng, đ thì c ng cho đi m t i đa. - Ng i ch m có th chia nh thang đi m theo g i ý các b c gi i. -199- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 S GD & T H NG YÊN TR NG THPT MINH CHÂU THI TH I H C N M 2011 Môn toán - KH I A Th i gian 180 phút ( không k giao đ ) PH N A : DÀNH CHO T T C CÁC THI SINH . Câu I (2,0 đi m) 1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s : y = x3 – 3x2 + 2 m 2 2) Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình : x 2 x 2 x 1 5 Câu II (2,0 đi m ) 1) Gi i ph ng trình : 2 2 cos x sin x 1 12 2) Gi i h ph log 2 x y 3log 8 ( x y 2) ng trình: x2 y 2 1 x2 y 2 3 /4 Câu III(1,0 đi m ) Tính tích phân: I /4 sin x 1 x2 x . dx Câu IV ( 1,0 đi m ) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a , AD = 2a . C nh SA vuông góc v i m t ph ng đáy , c nh bên SB t o v i m t ph ng đáy m t góc 600 .Trên c nh SA l y đi m M sao cho AM = a 3 , m t ph ng ( BCM) c t c nh SD t i N .Tính 3 th tích kh i chóp S.BCNM -x -y -z Câu V (1,0 đi m ) Cho x , y , z là ba s th c th a mãn : 5 + 5 +5 = 1 .Ch ng minh r ng 25x 25y 25z 25x 5yz 5y 5zx 5z 5xy PH N B ( THÍ SINH CH 5 x 5 y 5z 4 C LÀM M T TRONG HAI PH N ( PH N 1 HO C PH N 2) PH N 1 ( Dành cho h c sinh h c theo ch ng trình chu n ) Câu VI.a 1.( 1,0 đi m ) Trong m t ph ng Oxy cho tam giác ABC v i A(1; -2), đ ng cao CH : x y 1 0 , phân giác trong BN : 2 x y 5 0 .Tìm to đ các đ nh B,C và tính di n tích tam giác ABC x 2 y z 1 2.( 1,0 đi m ) Trong không gian v i h t a đ 0xyz cho đ ng th ng d 4 6 8 và hai đi m A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm đi m I trên đ ng th ng d sao cho IA +IB đ t giá tr nh nh t Câu VII.a (1 đi m): Gi i ph ng trình sau trên t p s ph c C: z 4 z 3 z2 z 1 0 2 PH N 2 ( Dành cho h c sinh h c ch ng trình nâng cao ) Câu VI.b 1. (1.0 đi m) Trong m t ph ng v i h tr c to đ Oxy cho hình ch nh t ABCD có di n tích b ng 12, tâm I là giao đi m c a đ ng th ng d1 : x y 3 0 và d 2 : x y 6 0 . Trung đi m c a m t c nh là giao đi m c a d 1 v i tr c Ox. Tìm to đ các đ nh c a hình ch nh t. 2. (1,0đi m) Trong không gian v i h t a đ 0xyz cho hai đ ng th ng : x 2 y 1 z , D1 : 1 1 2 x 2 2t D 2 : y 3 z t Vi t ph ng trình m t c u có đ ng kính là đo n vuông góc chung c a D 1 và D 2 0 4 8 2004 2008 C2009 C2009 ... C2009 C2009 CâuVII.b ( 1,0 đi m) Tính t ng: S C2009 -200- http://www.VNMATH.com 63 thi th Cõu I a) i h c 2011 …….H t ....... ÁP ÁN 2 đi m Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s y x3 3 x 2 2. T p xác đ nh: Hàm s có t p xác đ nh D R. 0,25 x 0 x 2 S bi n thi n: y' 3x 2 6 x. Ta có y' 0 yCD y 0 2; yCT y 2 2. 0,25 B ng bi n thiên: 0,25 x y' 0 0 2 2 0 y 2 th : y f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2 5 x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 0,25 -5 b) Bi n lu n s nghi m c a ph Ta có x 2 2 x 2 ph ng trình x 2 2 x 2 m theo tham s m. x 1 m x 2 2 x 2 x 1 m,x 1. Do đó s nghi m c a x 1 ng trình b ng s giao đi m c a y x 2 2 x 2 x 1 , C' và đ 0,25 ng th ng y m ,x 1. V f x khi x 1 y x2 2 x 2 x 1 n n C' bao g m: f x khi x 1 0,25 + Gi nguyên đ th (C) bên ph i đ ng th ng x 1. + L y đ i x ng đ th (C) bên trái đ ng th ng x 1 qua Ox. -201- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 y f(x)=abs(x-1)(x^2-2*x-2) 5 x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 0,25 -5 hình D a vào đ th ta có: + m 2 : Ph ng trình v nghi m; + m 2 : Ph ng trình có 2 nghi m k p; + 2 m 0 : Ph ng trình có 4 nghi m phõn bi t; + m 0 : Ph ng trình có 2 nghi m phõn bi t. 2) th hàm s y = ( x 2 2 x 2) x 1 , v i x 1 có d ng nh hình v : 1 1- 3 2 0,25 1+ 3 -2 m -202- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 5 5 5 x sin x 1 2 sin 2 x sin 1 12 12 12 1) 2 2cos II 1) 0.25 5 5 1 5 5 sin 2 x sin sin 2 x sin sin sin 12 12 4 12 4 12 2 2 cos sin sin 3 12 12 0.25 5 x k x k 2 2 5 6 12 12 sin 2 x k sin 12 12 x 3 k 2 x 5 13 k 2 12 12 4 log 2 x y 3log8 ( x y 2) Gi i h ph ng trình: . x2 y 2 1 x2 y 2 3 2.) 0.5 i u ki n: x+y>0, x-y>0 log 2 x y 3log8 (2 x y ) x y 2 x y 2 2 2 2 x2 y 2 1 x2 y 2 3 x y 1 x y 3 u v 2 (u v) u v 2 uv 4 u x y u 2 v2 2 t: ta có h : u 2 v 2 2 v x y uv 3 uv 3 2 2 0,25đ 0,25đ u v 2 uv 4 (1) (u v) 2 2uv 2 . Th (1) vào (2) ta có: uv 3 (2) 2 uv 8 uv 9 uv 3 uv 8 uv 9 (3 uv ) 2 uv 0 . uv 0 u 4, v 0 (v u>v). T đó ta có: x =2; y =2.(T/m) u v 4 K t h p (1) ta có: 0,25đ 0,25đ KL: V y nghi m c a h là: (x; y)=(2; 2). /4 Câu III 1 Tính tích phân : I sin x 1 x2 x /4 /4 I /4 sin x 1 x2 x /4 dx /4 dx 0.5đ /4 1 x sin xdx 2 x sin xdx I1 I 2 /4 Áp d ng hàm l , đ t x=-t thì I1 0 , tích phân t ng ph n I 2 đ -203- c k t qu . http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Áp d ng hàm l , đ t x=-t thì I1 0 , tích phân t ng ph n I 2 đ Câu IV : 0.5đ c k t qu . S N M D A 0,25đ Tính th tích hình chóp SBCMN B C ( BCM)// AD nên m t ph ng này c t mp( SAD) theo giao tuy n MN // AD BC AB BC BM . T giác BCMN là hình thang vuông có BM là đ BC SA Ta có : ng cao a 3 a 3 MN SM MN 3 2 Ta có SA = AB tan600 = a 3 , 2a 3 AD SA a 3 4a 2a . BM = Di n tích hình thang BCMN là : Suy ra MN = 3 3 4a 2a 2 BC MN 3 2 a 10 a S = BM 2 2 3 3 3 H AH BM . Ta có SH BM và BC (SAB) BC SH . V y SH ( BCNM) SH là đ ng cao c a kh i chóp SBCNM AB AM 1 Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , = . SB MS 2 0 V y BM là phân giác c a góc SBA SBH 30 SH = SB.sin300 = a 10 3a3 1 SH .( dtBCNM ) = 27 3 -x -y -z Câu V Cho x , y , z là ba s th c th a mãn : 5 + 5 +5 = 1 .Ch ng minh r ng : G i V là th tích chóp SBCNM ta có V = 25x 25y 25z 25x 5yz 5y 5zx 5z 5xy 5 x 5 y 5z 4 t 5x = a , 5y =b , 5z = c . T gi thi t ta có : ab + bc + ca = abc -204- http://www.VNMATH.com 0,25đ 0,25đ 0,25đ 63 thi th i h c 2011 a2 b2 c2 abc ( *) B t đ ng th c c n ch ng minh có d ng : a bc b ca c ab 4 a3 b3 c3 abc 2 2 ( *) 2 a abc b abc c abc 4 0,25đ 0,25đ a3 b3 c3 abc (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) 4 3 a ab ac 3 a ( 1) Ta có ( B t đ ng th c Cô si) (a b)(a c) 8 8 4 b3 bc ba 3 b ( 2) T ng t (b c)(b a) 8 8 4 3 c ca cb 3 c ( 3) . (c a)(c b) 8 8 4 C ng v v i v các b t đ ng th c ( 1) , ( 2) , (3) suy ra đi u ph i ch ng minh Ph n B. (Thí sinh ch đ c làm ph n I ho c ph n II) Ph n I. (Danh cho thí sinh h c ch ng trình chu n) 1. Ch ng trình Chu n. Cõu Ph N i dung A n CâuVI 1(1 + Do AB CH n n AB: x y 1 0 . H ,0) a. 2 x y 5 0 ta có (x; y)=(-4; 3). Gi i h : (1,0) x y 1 0 0,25đ 0,25đ i m N Do đó: AB BN B(4;3) . + L y A’ đ i x ng A qua BN th A ' BC . - Ph ng trình đ ng th ng (d) qua A và B Vu ng gúc v i BN là (d): x 2 y 5 0 . G i I (d ) BN . Gi i h : 0,25đ C 2 x y 5 0 . Suy ra: I(-1; 3) A '(3; 4) x 2y 5 0 + Ph 0,25đ 7 x y 25 0 x y 1 0 ng trình BC: 7 x y 25 0 . Gi i h : Suy ra: C ( 13 9 ; ) . 4 4 0,25đ 7.1 1(2) 25 450 , d ( A; BC ) 3 2. 4 7 2 12 1 1 450 45 Suy ra: S ABC d ( A; BC ).BC .3 2. . 4 2 2 4 1) Véc t ch ph ng c a hai đ ng th ng l n l t là: u1 (4; - 6; - 8) u2 ( - 6; 9; 12) +) u1 và u2 cùng ph ng 0,25đ +) M( 2; 0; - 1) d 1 ; M( 2; 0; - 1) d 2 V y d 1 // d 2 *) Véc t pháp tuy n c a mp (P) là n = ( 5; - 22; 19) (P):5x – 22y + 19z + 9 = 0 2) AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d 1 G i A 1 là đi m đ i x ng c a A qua d 1 . Ta có: IA + IB = IA 1 + IB A 1 B 0,25đ + BC (4 13 / 4) 2 (3 9 / 4) 2 Câu VIIA -205- http://www.VNMATH.com 0,25đ 0,25đ 63 thi th i h c 2011 IA + IB đ t giá tr nh nh t b ng A 1 B Khi A 1 , I, B th ng hàng I là giao đi m c a A 1 B và d Do AB // d 1 nên I là trung đi m c a A 1 B. *) G i H là hình chi u c a A lên d 1 . Tìm đ 36 33 15 cH ; ; 29 29 29 43 95 28 ; ; 29 29 29 65 21 43 ; I là trung đi m c a A’B suy ra I ; 29 58 29 A’ đ i x ng v i A qua H nên A’ 0,25đ A d1 B H I A1 Cõu Câu VIIa (1,0) Cõu VII.a (1 đi m): Gi i ph z 4 z3 z2 z 1 0 2 N i dung ng trình sau tr n t p s ph c C: i m (1) Nh n xét z=0 không là nghi m c a ph ng trình (1) v y z 0 1 1 1 ) ( z ) 0 (2) 2 2 z z 1 1 1 t t=z- Khi đó t 2 z 2 2 2 z 2 2 t 2 2 z z z 5 Ph ng trình (2) có d ng : t2-t+ 0 (3) 2 5 1 4. 9 9i 2 2 1 3i 1 3i PT (3) có 2 nghi m t= ,t= 2 2 Chia hai v PT (1) cho z2 ta đ c : ( z2 1 3i 1 1 3i ta có z 2 z 2 (1 3i ) z 2 0 (4) 2 2 z Có (1 3i ) 2 16 8 6i 9 6i i 2 (3 i) 2 (1 3i ) (3 i ) i 1 (1 3i ) (3 i ) PT(4) có 2 nghi m : z= 1 i ,z= 4 2 4 1 3i 1 1 3i V i t= ta có z 2 z 2 (1 3i ) z 2 0 (4) 2 z 2 2 Có (1 3i) 16 8 6i 9 6i i 2 (3 i) 2 (1 3i ) (3 i ) (1 3i ) (3 i ) i 1 1 i ,z= PT(4) có 2 nghi m : z= 4 4 2 i 1 i 1 V y PT đã cho có 4 nghi m : z=1+i; z=1-i ; z= ; z= 2 2 0.25đ 0.25đ V i t= Ph n II. Câu VIb. 1) -206- http://www.VNMATH.com 0.25đ 0.25đ 63 thi th i h c 2011 Ta có: d 1 d 2 I . To đ c a I là nghi m c a h : x y 3 0 x 9 / 2 9 3 . V y I ; 2 2 x y 6 0 y 3 / 2 Do vai trò A, B, C, D nên gi s M là trung đi m c nh AD M d 1 Ox Suy ra M( 3; 0) 2 0,25 2 9 3 Ta có: AB 2 IM 2 3 3 2 2 2 S ABCD 12 2 2 AB 3 2 ng th ng d 1 d 1 AD Theo gi thi t: S ABCD AB.AD 12 AD Vì I và M cùng thu c đ 0,25 ng th ng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc v i d 1 nh n n(1;1) làm VTPT nên có PT: 1(x 3) 1(y 0) 0 x y 3 0 . L i có: MA MD 2 x y 3 0 To đ A, D là nghi m c a h PT: 2 x 3 y 2 2 y x 3 y x 3 y 3 x 2 2 2 2 x 3 1 x 3 (3 x) 2 x 3 y 2 x 4 x 2 ho c . V y A( 2; 1), D( 4; -1) y 1 y 1 0,25 x 2 x I x A 9 2 7 9 3 Do I ; là trung đi m c a AC suy ra: C 2 2 y C 2 y I y A 3 1 2 T ng t I c ng là trung đi m c a BD nên ta có B( 5; 4) V y to đ các đ nh c a hình ch nh t là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) Cõu CâuVIb. (1,0) Ph n 2.a) Các véc t ch ph 0,25 N i dung ng c a D 1 và D 2 l n l t là u1 ( 1; - 1; 2) i 0,25 và u2 ( - 2; 0; 1) Có M( 2; 1; 0) D 1 ; N( 2; 3; 0) D 2 Xét u1 ; u2 .MN = - 10 0 V y D 1 chéo D 2 G i A(2 + t; 1 – t; 2t) D 1 1 AB.u1 0 t 3 AB.u2 0 t ' 0 5 4 2 A ; ; ; B (2; 3; 0) 3 3 3 0,25 B(2 – 2t’; 3; t’) D 2 0,25 ng th ng qua hai đi m A, B là đ ng vuông góc chung c a D 1 và D 2 . Ta có x 2 t : y 3 5t z 2t 0,25 PT m t c u nh n đo n AB là đ 11 2 13 2 ng kính có 1 2 5 d ng: x y z 6 6 3 6 -207- http://www.VNMATH.com 0,25 63 thi th CâuVIIb (1,0) i h c 2011 0 1 2009 Ta có: (1 i )2009 C2009 iC2009 .. i 2009C2009 0 2 4 6 2006 2008 C2009 C2009 C2009 C2009 .... C2009 C2009 1 3 5 7 2007 2009 (C2009 )i C2009 C2009 C2009 ... C2009 C2009 0,25 1 0 2 4 6 2006 2008 Th y: S ( A B) , v i A C2009 C2009 C2009 C2009 .... C2009 C2009 2 0 2 4 6 2006 2008 B C2009 C2009 C2009 C2009 ...C2009 C2009 + Ta có: (1 i )2009 (1 i )[(1 i) 2 ]1004 (1 i ).21004 21004 21004 i . ng nh t th c ta có A ch nh là ph n th c c a (1 i )2009 n n A 21004 . 0 1 2 2009 + Ta có: (1 x)2009 C2009 xC2009 x 2C2009 ... x 2009C2009 0 2 2008 1 3 2009 Cho x=-1 ta có: C2009 C2009 ... C2009 C2009 C2009 ... C2009 Cho x=1 ta có: 0 2 2008 1 3 2009 (C2009 C2009 ... C2009 ) (C2009 C2009 ... C2009 ) 22009 . Suy ra: B 22008 . + T đó ta có: S 21003 22007 . -208- http://www.VNMATH.com 0,25 0,25 0,25 63 thi th i h c 2011 THI VÀ G I Ý BÀI GI I MÔN TOÁN – H-C n m 2011 *** PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH x 2 mx 2m 1 mx 1 (1), có đ th là (C m ), m là tham s . Câu I (2 đi m). Cho hàm s y = 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = 1. 2. Xác đ nh m đ ti m c n xiên c a (C m ) đi qua g c t a đ và hàm s (1) có c c tr . Câu II (2 đi m) 2 3 sin x sin 2 x sin 2 x 3 3 2 1. Gi i ph ng trình : 2. x 3 y3 m(x y) Cho h ph ng trình : x y 2 Tìm t t c các giá tr c a m đ h ph ng trình trên có 3 nghi m phân bi t (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) và (x 3 ; y 3 ) sao cho x 1 , x 2 , x 3 l p thành m t c p s c ng. Câu III (2 đi m). 1. Tam giác ABC có a = b 2 - Ch ng minh r ng : cos2A = cos2B. - Tìm giá tr l n nh t c a góc B và giá tr t ng ng c a các góc A, C. 3 ln x 1 (x 1)2 dx 2. Tính tích phân: I = Câu IV (2 đi m). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho ba đi m A (6;-2;3); B (2;-1;3); C (4;0;1). 1. Ch ng minh r ng: A, B, C là ba đ nh c a m t tam giác. Tìm đ dài đ ng cao c a tam giác ABC k t đ nh A. 2. Tìm m và n đ đi m M (m + 2; 1; 2n + 3) th ng hàng v i A và C. PH N T CH N: Thí sinh ch đ c ch n làm câu V. a ho c câu V.b Câu V.a. Theo ch ng trình THPT không phân ban (2 đi m) x 2 y2 1 3 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hypebol (H) có ph ng trình: 2 và đi m M(2; 1). Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua M, bi t r ng đ ng th ng đó c t (H) t i hai đi m A, B mà M là trung đi m c a AB. 2. Cho hai đ ng th ng song song. Trên đ ng th ng th nh t l y 9 đi m phân bi t. Trên đ ng th ng th hai l y 16 đi m phân bi t. H i có bao nhiêu tam giác v i đ nh là các đi m l y trên hai đ ng th ng đã cho. Câu V.b. Theo ch ng trình THPT phân ban thí đi m (2 đi m) 1. 2. Gi i ph ng trình: 2006 x 2007 2007 x 2006 1 = 90o), Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i đ nh A ( A AB=AC=a. M t bên qua c nh huy n BC vuông góc v i m t đáy, hai m t bên còn l i đ u h p v i m t đáy các góc 60o. Hãy tính th tích c a kh i chóp S.ABC. BÀI GI I -209- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 x 2 2x x2 x 1 2 y' = (x 1) ; y’ = 0 x = Câu I. 1. m = 1 y = x 1 . MX : D = R \ {1}. 0, x = 2 TC : x = 1; TCX : y = x x 0 1 2 + y' + 0 0 + y -1 + + 3 2 2 mx 2x 2m 2m x 2 mx 2m 1 (mx 1) 2 mx 1 ; y’ = 2. y= x 1 m 2 2m3 2m 2 1 x 1 m2 m2 m 2 (mx 1) TCX : y = m m 2 v i 2m 3 2m 2 1 0 y= m và m 0 mx 2 2x 2m 2 2m 0 có 2 nghiem phan biet 1 m2 2m3 2m 2 1 0 m 0 0 2 m m=1 YCBT 2 3 sin x sin 2 x sin 2 x 3 3 2 Câu II. 1. 3 sin x sin 2 x sin 2 x 3 2 3 2 2 2x 1 cos 2x 1 cos 3 3 3 sin x 2 2 2 2 1 2 1 sin x cos 2x 1 sin x 2 cos 2x 0 2x 0 cos 3 2 3 1 – cos2x – sinx = 0 2sin2x – sinx = 0 x k x k2 sin x 0 6 5 sin x 1 x k 2 6 2 (k Z) 2. x 3 y3 m(x y) (1) (2) (I) x y 2 (2) y = x 2 thay vào (1) ta có : x 1 2 (2x - 2)[x2 - 2x + 4 - m] = 0 x 2x 4 m 0(*) Nh n xét : N u pt (*) có 2 nghi m x 1 , x 2 phân bi t thì : x 1 < 1 < x 2 và x 1 + x 2 = 2 YCBT pt (*) có 2 nghi m phân bi t ' = 1 - 4 + m > 0 m > 3. -210- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Câu III. 1. a = b 2 sinA = sin B 2 Nên : cos2A = 1 - sin2A = 1 - 2sin2B = cos2B (đpcm) Vì : cos2B = cos2A và 0 cos2A 1 nên : B l n nh t cos2B nh nh t cos2B =0 2B = 90o B = 450. Lúc đó : A= 90o, C = 45o. 3 ln x dx 1 1 (x 1)2 dx -2 . t u = lnx du = x ; dv = (x + 1) dx v = x 1 2. I= 3 3 x 1 x ln x 1 1 1 dx ln 3 dx 4 x x 1 1 I = x 1 1 1 x(x 1) 3 3 1 x 1 3 ln 3 ln ln 3 ln 1 4 x 1 = 4 2 = AB, BC (4; 16; 6) 0 AB ( 4;1; 0) BC (2;1; 4) Câu IV. 1. Ta có : ; A, B, C không th ng hàng A, B, C là 3 đ nh c a tam giác AB, BC 2 33 BC 3 AH = d(A, BC) = AM (m 4;3; 2n) AC 2(1; 1; 2) 2. M (m + 2; 1; 2n + 3) cùng ph ng m 4 3 2n 1 2 m = 1 và n = -3 1 Câu V.a. 1. Gi s d qua M c t (H) t i A, B : v i M là trung đi m AB 3x 2A 2y A2 6 (1) 2 2 A, B (H) : 3x B 2y B 6 (2) M là trung đi m AB nên : x A + x B = 4 (3) và y A + y B = 2 (4) (1) (2) ta có : 3(x2 A - x2 B ) - 2(y2 A - y2 B ) = 0 (5) Thay (3) và (4) vào (5) ta có : 3(x A -x B )-(y A -y B ) = 0 3(2x A -4)-(2y A - 2) = 0 3x A - y A = 5 T ng t : 3x B - y B = 5. V y ph ng trình d : 3x - y - 5 = 0 2 2. S tam giác có đ nh trên d 1 và đáy trên d 2 : 9.C16 2 S tam giác có đ nh trên d 2 và đáy trên d 1 : 16.C9 2 2 S tam giác th a YCBT là 9.C16 + 16.C9 . Câu V.b. 1. 1 x 2006 1 Nh n xét : 1 x 2007 1 2006 x 2007 Ta có : 2006 - x2007 + 2007 - x2006 2006 - x+ 2007 - x = x - 2006 + 2007 - x=1 V y ph ng trình 2006 - x2007 = 2006 - x và 2007 - x2006 = 2007 - x -211- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 x 2006 2006 x 0 x 2005 x 2007 2006 x 1 2007 x 0 x 2007 2007 x 2006 x = 2006 hay x = 2007 S x 1 2. K SH vuông góc v i BC. Suy ra SH mp (ABC) K SI vuông góc v i AB và SJ AC C góc SIH=góc SJH = 60o tam giác SHI = tam giác SHJ H HI = HJ AIHJ là hình vuông J I là trung đi m AB IH = a/2 B I A a 3 Trong tam giác vuông SHI ta có SH = 2 V (SABC) Ng 1 a3 3 SH.dt(ABC) 12 (đvtt) = 3 i gi i đ : 0977467739 H t. -212- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 IH CS PH M HÀ N I KHOA TOÁN-TIN ------------- THI TH I H C - CAO MÔN:TOÁN- KH I A NG 2011 (Th i gian làm bài: 180 phút ( không k th i gian giao đ ) A. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m ) y 2x 1 x 1 (C). Câu I: (2,0 đi m) Cho hàm s : 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C). 2. G i I là giao đi m c a hai ti m c n, M là m t đi m b t kì trên (C), ti p tuy n c a (C) t i M c t các ti m c n t i A, B. Ch ng minh r ng di n tích tam giác IAB không đ i khi M thay đ i trên (C). Câu II: (2,0 đi m) sin 3 x.sin 3 x cos 3 x.cos 3 x 1 8 tan x .tan x 6 3 1. Gi i ph ng trình 3 3 1 1 x 2 1 x 1 x 2 1 x 2 . 2. Gi i ph ng trình 1 Câu III. (1,0 đi m) Tính tích phân I x ln x 2 x 1dx 0 . Câu IV. (1,0 đi m) Cho hình h p đ ng ABCD.A’B’C’D’ có AB AD a , AA ' 0 a 3 2 , góc BAD b ng 60 . G i M, N l n l t là trung đi m c a c nh A’D’ và A’B’. Ch ng minh AC’ vuông góc v i m t ph ng (BDMN) và tính th tích kh i đa di n AA’BDMN theo a . 2 2 2 Câu V. (1,0 đi m) Ch ng minh r ng v i m i s th c d ng a, b, c th a mãn a b c 1 , ta có: a 5 2a 3 a b5 2b3 b c 5 2c 3 c 2 3 2 2 c2 a2 a 2 b2 3 . b c B. PH N RIÊNG (3,0 I M):Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B) I. Theo ch ng trình Chu n Câu VI.a (2,0 đi m) 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD có di n tích b ng 12, tâm I là giao đi m c a hai đ ng th ng: d1: x – y – 3 = 0, d2: x + y – 6 = 0. Trung đi m m t c nh là giao đi m c a d1 và tia Ox. Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t. 2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m I(1;1;1) và đ ng th ng d: x 14 y z 5 4 1 2 . Vi t ph ng trình m t c u (S) tâm I và c t d t i hai đi m A, B sao cho đ dài đo n th ng AB b ng 16. n 1 x 4 2 x , bi t n là s nguyên Câu VII.a (1,0 đi m) Tìm h s ch a x2 trong khai tri n: d ng th a mãn: 1 -213- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 2 2 1 23 2 2n 1 n 6560 2C Cn Cn ... Cn 2 3 n 1 n 1 . 0 n II. Theo ch ng trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 đi m) 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình vuông có đ nh là (4; 8) và m t đ ph ng trình 7x – y + 8 = 0. Vi t ph ng trình các c nh c a h?nh vuông. ng chéo có 2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P): x y z 1 0 và hai đi m MA MB A(1;3;0), B(5;1;2). Tìm t a đ đi m M trên m t ph ng (P) sao cho Câu VII.b (1.0 đi m) Cho h ph nghi m. ng trình 1 2 2 log 3 x log 3 y 0 , (m R) 3 2 x y my 0 đ t giá tr l n nh t. . Tìm m đ h có .........H t......... Thí sinh không đ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm. H và tên thí sinh:............................................................; S báo danh:................... . Câu I ÁP ÁN – THANG I M THI TH I H C N M 2011 Môn thi: TOÁN ? 1 áp án 1 TX : D = R\ . S bi n thiên: 1 x 1 y’ = 2 0, x D Hàm s ngh ch bi n trên: lim lim 2 Gi i h n: x 0,25 . x ;1 và 1; ; ti m c n ngang: y = 2 lim , lim 2 i m 1,0 x 1 B ng bi n thiên: th : x 1 ; ti m c n đ ng: x = 1 0,25 0,25 1,0 2m 1 G i M(m; m 1 ) y Ti p tuy n c a (C) t i M: 0,25 1 m 1 x m 2 2m 1 m 1 0,25 2 -214- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 2m A(1; m 1 ), B(2m1; 2) 0,25 2m 1 2 2 m 1 , IB = 2m 2 2 m 1 IA = m 1 1 S IAB IA.IB 2 2 . II 1 2 0,25 0,25 V y di n tích tam giác IAB không đ i khi M thay đ i trên (C). 1,0 k x 6 2 i u ki n: tan x .tan x tan x .cot x 1 6 3 6 6 Ta có 1 3 3 Ph ng trình t ng đ ng v i: sin x.sin 3 x cos x.cos 3 x = 8 1 cos2 x cos2 x cos4 x 1 cos2 x cos2 x cos4 x 1 . . 2 2 2 2 8 1 2 cos2 x cos2 x.cos4 x 2 1 1 3 cos x cos2 x 8 2 x 6 k loai ,k Z x k x k 6 6 . V y : 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 k: 1 x 1 t u = 1 x 3 , v = (1 x)3 ; u,v 0 2 2 u v 2 3 3 1 uv (u v ) 2 uv H thành: 1 1 1 2 1 uv 2 2uv u 2 v 2 2uv u v 2 2 2 3 3 2 2 u v u v u v vu (u v) 2 uv Ta có: 0,25 0,25 u v 2 2 2 2 u2 1 2 u v 2 2 x 2 2 2 0,25 0,25 3 -215- http://www.VNMATH.com 63 thi th III i h c 2011 1,0 2x 1 u ln x 2 x 1 du x 2 x 1 dx 2 dv xdx v x 2 t 1 1 1 2 x3 x 2 x2 I ln x 2 x 1 2 dx 2 0 2 0 x x 1 0,25 1 1 dx 1 1 1 3 ln 3 x 2 x ln( x 2 x 1)10 2 0 2 2 4 4 0 x x 1 1 J dx 2 2 1 3 x 2 2 . 3 2 3 3 J dx 3 6 9 0 IV 0,25 3 3 ln 3 J 4 4 t x 1 3 tan t , t ; 2 2 2 2 0,25 3 3 ln 3 V y I = 4 12 0,25 G i O là tâm c a ABCD, S là đi m đ i x ng v i A qua A’ M, N l n l t là trung 1,0 đi m c a SD và SB a 3 , AC a 3 AB = AD = a, góc BAD = 600 ABD đ u OA = 2 a 3 3, CC ' AA ' 2 SA = 2AA’ = a AO SA SAO ~ ACC ' AC CC ' ACC ' ~ AIO (I là giao đi m c a AC’ và SO) SO AC ' (1) M t khác BD ( ACC ' A ') BD AC ' (2) T (1) và (2) đpcm VSABD 0,25 0,25 1 2 3 a2 a 3 a 3 2 4 0,25 2 VSA ' MN 1 a 3 a 3 a2 3 2 4 2 32 4 -216- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 7a 2 32 VAA ' BDMN VSABD VSA' MN V 0,25 1,0 0;1 Do a, b, c > 0 và a b c 1 nên a, b, c 2 2 2 2 a 5 2a 3 a a a 1 a3 a 2 2 2 1 a Ta có: b c 2 B T thành: Xét hàm s Ta có: a 3 0,25 a b3 b c 3 c f x x3 x, x 0;1 Max 0;1 f x 2 3 3 0,25 2 3 = 9 0,25 2 3 3 đpcm 1 abc 3 ng th c x y ra f a f b f c VI.a 1 0,25 1,0 9 3 ; 3;0 I 2 3 , M 0,25 Gi s M là trung đi m c nh AD. Ta có: AB = 2IM = 3 2 0,25 S ABCD AB. AD 12 AD 2 2 AD qua M và vuông góc v i d1 AD: x + y – 3 = 0 L i có MA = MB = 2 x y 3 0 x 2 x 4 2 2 y 1 y 1 x 3 y 2 T a đ A, D là nghi m c a h : ho c D 4; 1 C 7; 2 và B 5; 4 2 Ch n A(2 ; 1) G i H là trung đi m đo n AB HA 8 IH2 = 17 C : x 1 y 1 z 1 0,25 2 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 IA2 = 81 R 9 VII.a 0,25 Ta có: 2Cn0 2 2 3 2 81 n 1 1,0 2 2 1 2 2 2 n Cn Cn ... Cnn 1 x dx n 1 2 3 0 0,25 5 -217- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 3n 1 1 6560 3n 1 6561 n 7 n 1 n 1 0,25 7 VI.b 1 7 1 1 k 1443k x 2k C7 x 24 x 0 14 3k 2k 7 S h ng ch a x2 ng v i k th a: 4 21 V y h s c n t?m là: 4 0,25 0,25 1,0 0,25 G i A(4; 8) BD: 7x – y + 8 = 0 AC: x + 7y – 31 = 0 G i D là đ ng th ng qua A có vtpt (a ; b) D: ax + by + 4a – 5b = 0, D h p v i AC m t góc 450 a = 3, b = 4 ho c a = 4, b = 3 0,25 AB: 3 x 4 y 32 0; AD : 4 x 3 y 1 0 1 9 ; ) C 3; 4 G i I là tâm h?nh vuông I( 2 2 BC : 4 x 3 y 24 0; CD : 3x 4 y 7 0 2 0,25 KL: 0,25 1,0 Ta có: A, B n m khác phía so v i (P).G i B’ là đi m đ i x ng v i B qua (P) B’(1; 3; 4) 0,25 MA MB MA MB ' AB ' ng th c x y ra khi M, A, B’ th ng hàng M là giao đi m c a (P) và AB’ x 1 t y 3 z 2t VII.b AB’: M(2; 3; 6) 0,25 0,25 0,25 1,0 k: x 0, y > 0 1 2 log 3 x log 3 y 2 log 3 x log 3 y 0 3 2 x 3 y 2 my 0 x y ay 0 y x , 1 y x 3 2 2 y y ay 0 y y a, 2 H có nghi m khi (2) có nghi m y > 0 0,25 0,25 2 Ta có : f(y) = y y >0 , y > 0 Do đó pt f(y) = a có nghi m d ng khi a>0 V y h có nghi m khi a > 0 0,25 0,25 6 -218- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 S GD& T NGH AN Tr ng THPT Anh S n III THI TH I H C L N TH NH T Môn Toán – Kh i A N m h c 20102011Th i gian 180 phút Ph n dành chung cho t t c các thí sinh (7 đi m) Câu 1: Cho hàm s : y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − (m 2 − 1) (1) a, V i m = 0 , kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) . b, Tìm m đ đ th hàm s (1) c t tr c Ox t i ba đi m phân bi t có hoành đ d Câu 2: a, Gi i ph π ng. ng trình : sin2x + (1 + 2cos3x)sinx 2sin 2 (2x+ ) = 0 b, Xác đ nh a đ h ph ng trình sau có nghi m duy nh t : 4 2 x + x = y + x 2 + a 2 2 x + y = 1 sin xdx Câu 3 : Tìm : ∫ (sin x + 3 cos x) 3 Câu 4 : Cho l ng tr đ ng ABC . A' B 'C ' có th tích V. Các m t ph ng ( ABC ' ), ( AB 'C ), ( A' BC ) c t nhau . t i O. Tính th tích kh i t di n O.ABC theo V. Câu 5 : Cho x,y,z là các s th c d ng . Ch ng minh r ng : P = 3 4( x3 + y 3 ) + 3 4( y 3 + z 3 ) + 3 4( z 3 + x 3 ) + 2( x y z + 2 + 2 ) ≥ 12 2 y z x Ph n riêng (3 đi m): Thí sinh ch làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B ) A. Theo ch ng trình chu n Câu 6a : a, Cho đ ng tròn (C) có ph ng trình : x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 4 = 0 và đ ng th ng (d) có ph ng trình : x + y – 2 = 0 Ch ng minh r ng (d) luôn c t (C) t i hai đi m phân bi t A,B . Tìm to đ đi m C trên đ ng tròn . . . (C) sao cho di n tích tam giác ABC l n nh t. b, Trong không gian v i h to đ Oxyz cho đi m A(1;2;3)và hai đ ng th ng có ph ng trình : x = 4 t ' (d 2 ) : y = −2 z = 3 t ' x y + 1 z − 2 ( d1 ) : = = 2 − 2 1 Vi t ph ng trình đ ng th ng ( ∆ )đi qua đi m A và c t c hai đ Câu 7a : Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n : ng th ng(d 1 ), (d 2 ). 7 1 4 x + 3 x ( v i x > 0 ) B . Theo ch ng trình nâng cao Câu 6b : a, Vi t ph ng trình đ ng th ng ch a các c nh c a tam giác ABC bi t B(2;1) , đ ng cao và . . đ ng phân giác trong qua đ nh A,C l n l t là : 3x 4y + 27 =0 và x + 2y – 5 = 0 . b, Trong không gian v i h to đ Oxyz cho A(2;4;1) , B(3;5;2) và đ ng th ng ( ∆ ) có ph ng trình : 2 x − y + z + 1 = 0 x − y + z + 2 = 0 Tìm to đ đi m M n m trên đ ng th ng ( ∆ )sao cho : MA + MB nh nh t . Câu 7b -219- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 S GD T NGH AN TR NG THPT ANH S N 3 ÁP ÁN – THANG I M THI TH I H C N M 2011 M n: TOÁN; Kh i A ( áp án thang đi m g m 07 trang) ÁP ÁN – THANG I M Câu áp án Câu 1 a. (1.0 đi m) Kh o sát… (2 đi m) V i m=0, ta có: y=x 3 3x+1 TX D=R i m x = 1 y’=3x 2 3; y’=0 ⇔ x = −1 0,25 lim y = ±∞ x →±∞ BBT x y’ y −∞ + 1 0 3 1 0 +∞ + +∞ 1 0,25 −∞ Hs đ ng bi n trên kho ng ( −∞ ;1) và (1; +∞ ), ngh ch bi n trên (1;1) Hs đ t c c đ i t i x=1 và ycđ=3, Hs đ t c c ti u t i x=1 và yct=1 th : c t Oy t i đi m A(0;1) và đi qua các đi m B(2;1), C(2;3) th nh n đi m A(0;1) làm tâm đ i x ng 0,25 y 3 2 1 1 0 1 2 x 0,25 1 b. (1.0 đi m) Tìm m đ … Ta có y’= 3x 2 6mx+3(m 2 1) x = m − 1 0,25 y’=0 ⇔ x = m + 1 -220- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 đ th hàm s c t Ox t i 3 đi m phân bi t có hoành đ d ph i có: ng thì ta △ ' y ' > 0 ∀m ∈ R 2 2 2 fCD . f CT < 0 (m − 1)(m − 3)(m − 2m − 1) < 0 ⇔ m − 1 > 0 xCD > 0 x > 0 m + 1 > 0 CT f (0) < 0 −(m − 1) < 0 1 − 2 < m < 1 − 3 < m < −1 ⇔ ⇔ 3 < m < 1 + 2 3 < m < 1 + 2 m > 1 Câu 2 (2.0 đi m) a. (1.0 đi m) Gi i ph ng trình 0,25 V y gi tr m c n tìm là: m ∈ ( 3;1 + 2) 0,25 π Sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin(2x + )=0 4 ⇔ sin2x + sinx + sin4x – sin2x = 1 – cos(4x + ⇔ sinx + sin4x = 1+ sin4x ⇔ sinx = 1 π ⇔ x = + k2 π , k∈ Z 2 π 2 0,25 ) 0,25 0,25 0,25 b. (1.0 đi m) Nh n xét: N u (x;y) là nghi m thì (x;y) c ng là nghi m c a h Suy ra, h có nghi m duy nh t khi và ch khi x =0 + V i x = 0 ta có a =0 ho c a = 2 2 x + x = y + x 2 2 x + x − x 2 = y (1) ⇔ (I) V i a = 0, h tr thành: 2 2 2 2 x + y = 1 x + y = 1 (2) x 2 ≤ 1 y ≤ 1 2 x + x − x 2 ≥ 1 T (2) ⇒ 2 ⇒ 2 ⇒ y ≤ 1 x ≤ x y ≤ 1 x 2 + y 2 = 1 x x = 0 TM ⇒ ( I ) có nghi m ⇔ 2 + x − x 2 = 1 ⇔ 1 = y y = 1 2 x + x = y + x 2 + 2 V i a=2, ta có h : 2 2 x + y = 1 D th y h có 2 nghi m là: (0;1) và (1;0) không TM V y a = 0 -221- 0,25 0,25 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 Câu 3 (1.0 đi m) thi th i h c 2011 π π sin [(x ) + ] s inx 6 6 Ta có = π 3 (sinx+ 3c osx) 3 8cos ( x − ) 6 3 π 1 π sin( x − ) + c os(x ) 6 2 6 = 2 0,25 0,25 π 8cos(x ) 6 π Câu 4 (1.0 đi m) sin( x − ) 3 1 6 + 1 = 16 cos 3 ( x − π ) 16 cos 2 ( x − π ) 6 6 π s inxdx 3 1 ⇒ ∫ = + tan( x − ) + c 3 6 (sinx+ 3c osx) 32cos 2 ( x − π ) 16 6 0,25 0,25 G i I = AC ∩ ’A’C, J = A’B ∩ AB’ (BA'C) ∩ (ABC') = BI (BA'C) ∩ (AB'C) = CJ ⇒ O là đi m c n tìm Goi O = BI ∩ CJ Ta có O là tr ng tâm tam gi c BA’C A' C' B' 0,25 I J O A C H M G i H là hình chi u c a O l n (ABC) Do △ ABC là hình chi u vuông góc c a △ BA’C trên (ABC) nên H là tr ng tâm △ ABC B G i M là trung đi m BC. Ta có: OH HM 1 = = A ' B AM 3 1 1 1 ⇒ VOABC = OH .S△ ABC = A ' B. S△ ABC = V 3 9 9 -222- 0,25 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 Câu 5 (1.0 đi m) thi th i h c 2011 Ta có: 4(x 3 +y 3 ) ≥ (x+y) 3 , v i ∀ x,y>0 Th t v y: 4(x 3 +y 3 ) ≥ (x+y) 3 ⇔ 4(x 2 xy+y 2 ) ≥ (x+y) 2 (v x+y>0) 2 2 2 ⇔ 3x +3y 6xy ≥ 0 ⇔ (xy) ≥ 0 luôn đúng T ng t : 4(x 3 +z 3 ) ≥ (x+z) 3 4(y 3 +z 3 ) ≥ (y+z) 3 0,25 ⇒ 3 4( x 3 + y 3 ) + 3 4( x3 + z 3 ) + 3 4( y 3 + z 3 ) ≥ 2( x + y + z ) ≥ 6 3 xyz M t khác: 2( x y z 1 + 2 + 2 ) ≥ 6 3 2 y z x xyz ⇒ P ≥ 6( 3 xyz + 3 0,25 1 ) ≥ 12 xyz 0,25 x = y = z x y z D u ‘=’ x y ra ⇔ 2 = 2 = 2 ⇔ x = y = z = 1 z x y 1 xyz = xyz V y P ≥ 12, d u ‘=’ x y ra ⇔ x = y = z =1 0,25 Câu 6a Ch ng trình chu n (2.0 a. (1.0 đi m) đi m) (C) có tâm I(2;2), bán kính R=2 T a đ giao đi m c a (C) và (d) là nghi m c a h : x = 0 x + y − 2 = 0 y = 2 ⇔ 2 2 x + y − 4 x − 4 y + 4 = 0 x = 2 y = 0 y Hay A(2;0), B(0;2) C 4 2 I B H O Hay (d) luôn c t (C ) t i hai đi m phân bi t A,B -223- 0,25 M A 2 x 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 1 2 S△ ABC max ⇔ CH max Ta có S△ ABC = CH . AB (H là hình chi u c a C trên AB) 0,25 C = (C ) ∩ (△ ) D dàng th y CH max ⇔ xC > 2 △⊥ d I (2; 2) ∈△ Hay △ : y = x v i △: 0,25 ⇒ C (2 + 2; 2 + 2) V y C (2 + 2; 2 + 2) thì S△ ABC m ax b. (1.0 đi m) Nh n xét: M ∉ (d1) và M ∉ (d2) (△) ∩ (d1) = I (△ ) ∩ (d 2) = H Gi s 0,25 V I∈ d1 ⇒ I(2t1; 12t; 2+t) H∈ d2 ⇒ H(4t’; 2; 3t’) 1 − 2t = k (1 − 4t ') TM = k HM 23 ⇔ 3 + 2t = k (2 + 2) ⇔ t = − ycbt ⇔ 10 k ∈ R, k ≠ 0 1 − t = k (3 − 3t ') 23 18 3 ⇒ T (− ; ; − ) 5 5 10 V y ph ng trình đ x = 1 + 56 t y = 2 − 16 t z = 3 + 33 t 0,5 ng th ng đi qua 2 đi m I và H là: 5 x + y − 8 z + 17 − 0 12 x + 9 y − 16 z + 18 = 0 0,25 ho c là: 1 1 7 − Câu 7a 1 Ta có: ( 4 x + 3 )7 = ∑ C7 k ( x 4 )7 −k .( x 3 ) k (1.0 x k = 0 đi m) s h ng th k không ch a x thì: 0.25 1 1 (7 − k ) − k = 0 ⇔ k = 4 3 4 k ∈ [0;7] 0.5 V y s h ng không ch a x trong khai tri n là: C7 4 = Câu 6b (2.0 đi m) Ch ng trình cao a. (1.0 đi m) Ph ng trình đ 1 35 0,25 ng th ng ch a c nh BC: ( BC ) qua B ⇔ ( BC ) : 4 x + 3 y − 5 = 0 BC ⊥ d 1 0,25 4 x + 3 y − 5 = 0 ⇒ C (−1;3) x + 2 y − 5 = 0 T a đ đi m C là nghi m c a h : -224- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 G i KAC, KBC, K2 theo th t là h s góc c a các đ BC, d2 ng th ng AC, 3 1 1 − + − − K AC K BC − K d 2 K d 2 − K AC = ⇔ 4 2 = 2 1 3 1 1 + K BC .K d 2 1 + K d 2 . K AC 1+ . 1 − K AC 2 4 2 K AC = 0 ⇔ K AC = − 1 (loai) 3 Ta có: V y pt đ ng th ng AC đi qua C và có h ssó góc k=0 là: y = 3 + T a đ đi m A là nghi m c a h : 3 x − 4 y + 27 = 0 ⇒ A (−5;3) y − 3 = 0 x + 5 y − 3 = ⇔ 4 x + 7 y − 1 = 0 ⇒ Pt c nh AB là: 2 + 5 −1 − 3 V y AB: 4x+7y1=0 AC: y=3 BC: 4x+3y5=0 b. (1.0 đi m) + Xét v trí t ng đ i gi a AB và △ , ta có: △ c t AB t i K(1;3;0) Ta có KB = 2 KA ⇒ A, B n m v cùng phía đ i v i △ G i A’ là đi m đ i x ng v i A qua △ và H là hình chi u c a A trên △ . x = 1 ) ⇒ H( 1;t;3+t) (v PTTS c a △ : y = t z = −3 + t AH .u = 0 ⇔ −1.0 + (t − 4).1 + ( −4 + t ).1 = 0 ⇔ t = 4 Ta có 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇒ H (1; 4;1) ⇒ A '(0; 4;1) G i M là giao đi m c a A’B và d ⇒ M (1; 13 4 ; ) 3 3 0,25 L y đi m N b t k trên △ Ta có MA+MB=MB+MA’=A’B ≤ NA+NB V y M (1; 0,25 13 4 ; ) 3 3 Câu 7b Ta có: (1+x+x 2 ) 12 = [(1+x)+x 2 ] 12 = (1.0 12 24 x đi m) = C120 (1 + x )12 + C121 (1 + x)11 .x 2 + ... + C12k (1 + x)12− k .( x 2 ) k + ... + C12 0 12 1 0 11 9 2 C120 [C12 x + C121 x11 + ... + C128 x 4 + ...]+C12 x 2 [C11 x + ... + C11 x + ...] = 2 4 0 10 10 +C12 x [C10 x + ... + C10 ]+... -225- 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 4 ⇒ Ch có 3 s h ng đ u ch a x 10 ⇒ a4 = C120 .C128 + C121 .C119 + C122 .C10 = 1221 -226- 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 THI TH I H C, CAO NG L N II N M 2011 Môn thi : TOÁN - kh i A. Th i gian làm bài : 180 phút không k th i gian giao đ I. PH N CHUNG DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2,0 đi m). x3 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s y . x 1 2. Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua đi m I 1;1 và c t đ th (C) t i hai đi m M, N sao cho I là trung đi m c a đo n MN. Câu II (2,0 đi m). 1. Gi i ph ng trình sin 2 x cos x 3 2 3 cos3 x 3 3 cos 2 x 8 2. Gi i h ph 3 cos x s inx 3 3 0 . 3 x3 y 3 4 xy ng trình . x 2 y 2 9 Câu III (2,0 đi m). 1. Cho x, y là các s th c tho mãn x 2 xy 4 y 2 3. Tìm giá tr nh nh t, l n nh t c a bi u th c: M x 3 8 y 3 9 xy . a2 b2 c2 1 ab bc ca a b c v i m i s d ng a; b; c . 2. Ch ng minh ab bc ca 2 Câu IV (1,0 đi m). Cho l ng tr tam giác đ u ABC. A ' B ' C ' có c nh đáy là a và kho ng cách t A a đ n m t ph ng (A’BC) b ng . Tính theo a th tích kh i l ng tr ABC. A ' B ' C ' . 2 II. PH N RIÊNG(3,0 đi m): T t c thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n: A ho c B. A. Theo ch ng trình Chu n Câu Va (1,0 đi m). Trong m t ph ng t a đ (Oxy). L p ph ng trình đ ng th ng qua M 2;1 và t o v i các tr c t a đ m t tam giác có di n tích b ng 4 . Câu VI.a (2,0 đi m). 1. Gi i b t ph ng trình 1 log 2 x log 2 x 2 log 2 6 x . 2. Tìm m đ hàm s y x3 3(m 1) x 2 2(m 2 7m 2) x 2m(m 2) có c c đ i và c c ti u. Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua đi m c c đ i và c c ti u khi đó. B. Theo ch ng trình Nâng cao 1 Câu Vb (1,0 đi m). Trong m t ph ng t a đ (Oxy) , cho đi m M 3; . Vi t ph ng trình chính 2 t c c a elip đi qua đi m M và nh n F1 3;0 làm tiêu đi m. Câu VI.b (2,0 đi m). y 2 x x 2 y ng trình . x y 1 2 3 2. Tìm trên m t ph ng t a đ t p h p t t c các đi m mà t đó có th k đ x2 2x 2 đ n đ th hàm s y và hai ti p tuy n này vuông góc v i nhau. x 1 1. Gi i h ph c hai ti p tuy n ----------------------------------H t--------------------- -227- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 THI TH I H C, CAO NG L N II N M 2011 Môn thi : TOÁN - kh i A. Th i gian làm bài : 180 phút không k th i gian giao đ CÂU Ý Câu I (2,0đ) Ý1 (1,0đ) N I DUNG I M T p xác đ nh: D R \ 1 . 0,25 đ S bi n thiên: Gi i h n và ti m c n: lim y 1; lim y 1 y 1 là TCN. x x lim y ; lim y x 1 là TC x 1 y' x 0,25 đ x 1 4 x 12 0, x D . BBT: + -1 - + y' + y 0,25 đ 1 + - 1 Hàm s đ ng bi n trên các kho ng ; 1 , 1; Và không có c c tr . th : T c t Ox t i (3;0), c t Oy t i (0;-3) và đ i x ng qua 1;1 . y 4 2 y=1 -5 5 O x x = -1 -2 0,25 đ Ý2 (1,0đ) G i d là đ ng th ng qua I và có h s góc k d : y k x 1 1 . Ta có: d c t ( C) t i 2 đi m phân bi t M, N PT : có 2 nghi m PB khác 1 . x 3 kx k 1 x 1 Hay: f x kx 2 2kx k 4 0 có 2 nghi m PB khác 1 -228- 0,25 đ 0,25 đ http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 M t khác: xM xN 2 2 xI I là trung đi m MN v i k 0 . KL: PT đ ng th ng c n tìm là y kx k 1 v i k 0 . 0,25 đ 0,25 đ Chú ý: Có th ch ng minh đ th ( C) có I là tâm đ i x ng, d a vào đ th ( C) đ k t lu n k t qu trên. Câu II (2,0đ) Ý1 (1,0đ) 2sin x.cos2 x6sin x.cos x2 3.cos3 x6 3cos2 x3 3 8( 3.cos xsin x) 3 3 0 2cos2 x( 3cos xsin x) 6.cos x( 3cos xsin x) 8( 3cos xsin x) 0 0,50 đ . ( 3 cos x sin x)(2 cos 2 x 6 cos x 8) 0 tan x 3 . 3 cos x sin x 0 2 cos x 1 cos x 3cos x 4 0 cos x 4(loai ) Ý2 (1,0đ) 0,25 đ x k ,k 3 x k 2 0,25 đ Ta có : x 2 y 2 9 xy 3 . 0,25 đ . Khi: xy 3 , ta có: x3 y 3 4 và x3 . y 3 27 Suy ra: x3 ; y 3 là nghi m PT X 2 4 X 27 0 X 2 31 V y ngi m c a PT là x 3 2 31, y 3 2 31 Hay x 3 2 31, y 3 2 31 . Khi: xy 3 , ta có: x3 y 3 4 và x3 . y 3 27 Suy ra: x3 ; y 3 là nghi m PT X 2 4 X 27 0( PTVN ) Câu III (2,0đ) Ý1 (1,0đ) t2 3 Ta đ t t x 2 y , t gi thi t suy ra xy . 3 2 30 i u ki n t 5 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Khi đó M x3 8 y 3 9 xy x 2 y 6 xy x 2 y 9 xy 3 t 3 3t 2 6t 9 f t 2 30 2 30 Xét hàm f(t) v i t ; , ta đ 5 5 min f t c: 35 12 30 35 12 30 ; max f t 5 5 -229- 0,25 đ 0,5 đ http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Ý2 (1,0đ) 1 a2 ab ab a a a ab (1) ab ab 2 2 ab b2 1 c2 1 b bc (2), c ca (3). 2 2 bc ca C ng (1), (2), (3), ta có: a2 b2 c2 1 ab bc ca a b c ab bc ca 2 G i M là trung đi m BC, h AH vuông góc v i A’M BC AM Ta có: BC ( AA ' M ) BC AH . BC AA ' a Mà AH A ' M AH ( A ' BC ) AH . 2 1 1 1 a 6 M t khác: AA ' . 2 2 2 4 AH A' A AM 3a3 2 KL: VABC . A ' B ' C ' . 16 G i d là T c n tìm và A a;0 , B 0; b là giao đi m c a d v i Ox, T ng t : Câu IV (1,0đ) Câu Va (1,0đ) 0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ x y 2 1 Oy, suy ra: d : 1 . Theo gi thi t, ta có: 1, ab 8 . a b a b 0,25 đ Khi ab 8 thì 2b a 8 . Nên: b 2; a 4 d1 : x 2 y 4 0 . 0,25 đ Khi ab 8 thì 2b a 8 . Ta có: b 2 4b 4 0 b 2 2 2 . : 1 2 x 2 1 2 y 4 0 . KL 2 x 4 x log 6 x . 0,25 đ V i b 2 2 2 d 2 : 1 2 x 2 1 2 y 4 0 V i b 2 2 2 d3 Câu VIa (2,0đ) Ý1 (1,0đ) K: 0 x 6 . BPT log 2 2 2 2 0,25 đ Hay: BPT 2 x 2 4 x 6 x x 2 16 x 36 0 0,25 đ V y: x 18 hay 2 x 0,25 đ So sánh v i đi u ki n. KL: Nghi m BPT là 2 x 6 . 0,25 đ Ta có y ' 3x 2 6(m 1) x 2(m 2 7m 2) 0,25 đ 2 Ý2 (1,0đ) 0,25 đ HS có C , CT khi ph ng trình 3x 2 6(m 1) x 2(m 2 7m 2) 0 có hai nghi m phân bi t. Hay m 4 17 ho c m 4 17 Chia y cho y’ ta có y y '( x)q( x) r ( x) ; 2 2 r ( x) (m 2 8m 1) x (m3 5m 2 3m 2) 3 3 y '( x) 0 y r ( x) To đ đi m c c tr là nghi m c a h y y '( x).q( x) r ( x) V y ph ng trình đ ng th ng c n tìn là -230- 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Câu Vb (1,0đ) 2 2 y (m 2 8m 1) x (m3 5m 2 3m 2) 3 3 2 x y2 PTCT elip có d ng: 2 2 1(a b 0) a b 0,25 đ a 2 b 2 3 Ta có: 3 1 2 2 1 a 4b 0,25 đ 3 Ta có: 4b 4 b 2 3 0 b 2 1(th), b 2 (kth) 4 2 2 x y Do đó: a 2 4 . KL: 1 4 1 Câu VIb (2,0đ) Ý1 (1,0đ) 0,25 đ y 2 x x 2 y y x y x 1 0 y x, y 1 x . 0,50 đ Khi: y 1 x thì 2 x 32 x 6 x 9 x log 6 9 0,25 đ Khi: y x thì 2 3 x Ý2 (1,0đ) 0,25 đ x 1 x 2 3 x log 2 3 . 3 3 G i M(a;b) là m t đi m tho mãn đ có d ng y k ( x a) b S d ng đi u ki n ti p xúc cho ta h 1 x 1 x 1 x 1 k ( x a) b 1 1 k x 1 (*) ( x 1) 2 bài. Khi đó đ 0,25 đ ng th ng qua M 1 k ( x a) b x 1 1 k ( x 1) x 1 (1) 0,25 đ (2) 1 1 k (1 a) b x 1 2 K t h p v i (*) cho ta k 1 k 1 2 k (1 a ) b 2 2 2 k 1 (a 1) k 2 (1 a )b 2 k b 4 0 2 t M k đ c hai ti p tuy n vuông góc đ n đ th hàm s thì h ph ng trình trên ph i có 2 nghi m phân bi t k1 , k2 sao cho k1.k2 1 L y (1) – (2) ta có a 1 0 a 1 2 b 4 Hay 1 (a 1) 2 b 2 4 2 (a 1) a b 1 0 (a 1) 2 2 (1 a )b 2 b 2 4 0 V y t p h p đi m M tho mãn yêu c u bài toán thu c đ ng tròn 2 x 1 y 2 4 tr b đi 4 giao đi m c a đ ng tròn này v i 2 đ ng 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ th ng : x = 1 và –x + y + 1 = 0. ------------------------------H T------------------------------ -231- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 S C TR TH THTT S C KÌ THI 400-10/2010 S 01 Th i gian làm bài 180 phút PH N CHUNG Câu I: Cho hàm s : y x 3 3mx 3m 1 (1) 1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 1. 2) Tìm m đ đ th hàm s (1) có c c đ i và c c ti u, đ ng th i chúng cách đ u đ x y 0. Câu II: 5 cos 2x 1) Gi i ph ng trình: 2cos x 3 2 tan x x 3 y3 9 2) Gi i h ph ng trình: 2 2 x 2y x 4y Câu III: 2 Tính tích phân: I 0 1 sin x ln ng th ng 1 cos x 1 cos x dx . Câu IV: Cho t di n ABCD có ABC là tam giác vuông t i A. AB a, AC a 3, DA DB DC . Bi t r ng DBC là tam giác vuông. Tính th tích t di n ABCD. Câu V: Ch ng minh r ng v i m i s d ng x, y, z th a mãn xy yz zx 3, ta có b t đ ng th c: 1 4 3 . xyz x y y z z x 2 PH N RIÊNG Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B) A. Theo ch ng trình chu n Câu VI.a: 1) Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho tam giác ABC có ph ng trình các c nh AB, BC l n l t là 5x 2y 7 0, x 2y 1 0 . Bi t ph ng trình phân giác trong góc A là x y 1 0 . Tìm t a đ đ nh C c a tam giác ABC. 2) Trong không gian v i h t a đ Descartes Oxyz cho đi m M 1;2;3 . Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua M, t o v i Ox m t góc 600 và t o v i m t ph ng (Oxz) m t góc 300. Câu VII.a: -232- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Gi i ph ng trình: e x 1 ln 1 x . B. Theo ch ng trình nâng cao Câu VI.b: 1) Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho đ 3 và parabol (P): y 2 x . Tìm 2 ng tròn (C) và hai ti p tuy n này t o ng tròn (C): x 2 y 2 trên (P) các đi m M t đó k đ c hai ti p tuy n đ n đ v i nhau m t góc 600. 2) Trong không gian v i h t a đ Descartes Oxyz cho hình vuông ABCD có A 5;3; 1 , C 2;3; 4 , B là m t đi m trên m t ph ng có ph đi m D. Câu VII.b: Gi i ph ng trình: ng trình x y z 6 0 . Hãy tìm t a đ 3 1 x 1 x3 2 . H NG D N GI I VÀ ÁP S PH N CHUNG Câu I: 1) T gi i 2) y ' 3x 2 3m y’ có C và CT khi m 0 . x1 m y 2m m 3m 1 Khi đó: 1 y 2 2m m 3m 1 x 2 m x y2 m 2m m 3m 1 Vì C và CT đ i x ng qua y = x nên: 1 x 2 y1 m 2m m 3m 1 1 Gi i ra đ c m 3 Câu II: 3 1) K: tan x ,cos x 0 2 2 PT 5 cos x sin 2 x 2 3cox 2sin x cos 2 x 6 cos x 5 sin 2 x 4sin x cos x 3 sin x 2 2 2 cos x sin x 1 cos x sin x 5 0 cos x sin x 1 sin x 0 x k cos x 0 loai kZ -233- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 2) x 3 y3 9 (1) H PT 2 2 x x 2y 4y (2) Nhân 2 v PT(2) v i -3 r i c ng v i PT(1) ta đ c: 3 3 x 3 3x 2 3x y 3 6y 2 12y 9 x 1 y 2 x y 3 y 1 x 2 2 Thay x y 3 vào PT(2): y 3 y 3 2y 2 4y y 2 3y 2 0 y 2 x 1 Nghi m h : 2; 1 , 1; 2 Câu III: 2 1 sin x I ln 1 cos x 0 t x 1 cos x 2 2 2 0 0 0 dx cos x.ln 1 sin x dx ln 1 sin x dx ln 1 cos x dx (1) t dx dt 2 2 2 2 Suy ra: I sin t.ln 1 cos t dt ln 1 cos t dt ln 1 sin t dt 0 0 2 0 2 2 Hay I sin x.ln 1 cos x dx ln 1 cos x dx ln 1 sin x dx 0 0 (2) 0 2 2 C ng (1) v i (2): 2I cos x.ln 1 sin x dx sin x.ln 1 cos x dx 0 0 J K 2 V i J cos x.ln 1 sin x dx 0 2 2 t t 1 sin x dt cos xdx J ln tdt t ln t 1 dt 2ln 2 1 2 1 1 2 V i K sin x.ln 1 cos x dx 0 1 2 2 1 t t 1 cos x dt sin xdx K ln tdt ln tdt 2ln 2 1 Suy ra: 2I 2ln 2 1 2ln 2 1 I 2ln 2 1 -234- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Câu IV: ABC vuông t i A BC 2a DBC vuông cân t i D DB DC DA a 2 BC a G i I là trung đi m BC IA ID 2 Vì DA a 2 , nên IAD vuông t i I ID IA Mà ID BC ID (ABC) VABCD 1 1 1 a3 3 ID.SABC .ID.AB.AC .a.a.a 3 3 6 6 6 Câu V: Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 3 s d 1 1 4 2xyz 2xyz x y y z z x ng 4 1 1 ; và 2xyz 2xyz x y y z z x 3 3 x 2 y 2 z 2 x y y z z x Ta có: x 2 y 2 z 2 x y y z z x xyz xz yz xy zx yz xy Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 3 s d ng xy, yz và zx: 3 xy yz zx 2 2 2 xy.yz.zx 1 x y z 1 xyz 1 (1) 3 Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 3 s d ng xy + yz, yz + zx và zx + xy: xz yz xy zx yz xy 2 xy yz zx xz yz xy zx yz xy 8 3 3 3 3 T (1) và (2) suy ra: x 2 y 2 z 2 x y y z z x 8 1 4 3 3 3 xyz x y y z z x 8 2 PH N RIÊNG A. Theo ch ng trình chu n Câu VI.a: 1) T a đ đi m A: 5x 2y 7 0 x 3 A 3;4 x y 1 0 y4 T a đ đi m B: 5x 2y 7 0 x 1 B 1; 1 x 2y 1 0 y 1 V y: -235- http://www.VNMATH.com (2) 63 thi th i h c 2011 G i D là giao đi m phân giác và BC. T a đ đi m D: x y 1 0 x 1 D 1;0 x 2y 1 0 y 0 Giã s đ ng th ng AC có vect pháp tuy n n n1 ;n 2 5;2 Suy ra: n1.1 n 2 .1 5.1 2.1 n n2 7 1 20n12 58n1n 2 20n 22 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 29 n1 n 2 . 1 1 5 2 . 1 1 n1 n 2 5 n n2 1 2 n 2;5 (AC) : 2x 5y 14 0 n 2 n 1 5 2 T a đ đi m C: 11 x 2x 5y 14 0 11 4 3 C ; 3 3 x 2y 1 0 y 4 3 2) G i vect ch ph ng c a d là a a1 ;a 2 ;a 3 Ox có vect ch ph ng là 1;0;0 ng th ng d t o Ox 1 góc 600 a1 a12 a 22 a 32 cos 600 1 3a12 a 22 a 32 0 2 (Oxz) có vect pháp tuy n 0;1;0 ng th ng d t o (Oxz) 1 góc 300 ngh a là d t o v i vect pháp tuy n này 1 góc 600. a2 1 cos 600 a12 3a 22 a 32 0 2 a12 a 22 a 32 1 1 c: a12 a 22 a 32 a1 a 2 a3 2 2 Ch n a 3 2 , ta đ c: a 1;1; 2 , a 1;1; 2 , a 1; 1; 2 , a 1; 1; 2 Gi i ra đ Suy ra 4 ph ng trình đ ng th ng (d): x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 , 1 1 1 1 2 2 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 , 1 1 1 1 2 2 -236- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Câu VII.a: K: x 1 t y ln 1 x e y 1 x . ey 1 x ng trình đã cho ta có h : x e 1 y L y (2) tr (1): e x e y y x e x x e y y Xét hàm s f t e t t t 1 K t h p v i ph (1) (2) Ta có: f ' t e t 1 0 t 1 Hàm s luôn t ng trên mi n xác đ nh. f x f y x y x ln 1 x e x 1 x e x x 1 D th y x = 0 là 1 nghi m c a ph ng trình. Xét hàm s f t e t t Ta có: f ' t e t 1 - V i t 0 thì f ' t 0 Hàm s luôn t ng f t f 0 1 e t t 1 t 0 PT vô nghi m. - V i 1 t 0 thì f ' t 0 Hàm s luôn gi m f t f 0 1 e t t 1 1 t 0 PT vô nghi m. V y ph ng trình có nghi m x = 0. B. Theo ch ng trình nâng cao Câu VI.b: 1) i m M(x0;y0) này cách tâm c a (C) m t đo n b ng 6 x 02 y 02 6 M (P) y 02 x 0 Suy ra: y 40 y 20 6 0 y 02 2 y 0 2 V y M 2; 2 ho c M 2; 2 2) AC 3 2 BA BC 3 T a đ đi m B là nghi m h ph ng trình: x 5 2 y 32 z 12 9 x 5 2 y 32 z 12 9 2 2 2 x 2 y 3 z 4 9 x z 1 0 x yz 6 0 x yz 6 0 x 5 2 4 2x 2 2 x 2 9 x2 x3 z 1 x y 3 ho c y 1 z 1 z 2 y 7 2x -237- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 B 2;3; 1 ho c B 3;1; 2 AB DC D 5;3; 4 ho c D 4;5; 3 Câu VII.b: 3 1 x 1 x3 2 K: x 1 x 2 2 x 1 3 x3 2 x 2 3 x3 2 x 3 6x 2 12x 8 x 3 2 6 x 1 0 Suy ra: x 1 là nghi m c a PT. 2 TH S C TR THTT S C KÌ THI 401-11/2010 S 02 Th i gian làm bài 180 phút PH N CHUNG Câu I: Cho hàm s : y 2x 3 3x 2 1 (1) 1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s (1). 2) Tìm trên (C) nh ng đi m M sao cho ti p tuy n c a (C) t i M c t tr c tung t i đi m có tung đ b ng 8. Câu II: xy 18 12 x 2 1) Gi i h ph ng trình: 1 2 xy 9 y 3 x 2) Gi i ph ng trình: 4 x 12 2x 11 x 0 Câu III: Tính th tích kh i chóp tam giác đ u S.ABC có c nh đáy b ng a và kho ng cách gi a c nh bên và c nh đáy đ i di n b ng m. Câu IV: Tính tích phân: I x cos x sin 5 x dx 0 Câu V: -238- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 a a c b 2 Cho tam giác ABC, v i BC = a, AC = b, AB = c th a mãn đi u ki n 2 b b a c 1 1 1 Ch ng minh r ng: a b c . PH N RIÊNG c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B) Thí sinh ch đ A. Theo ch ng trình chu n Câu VI.a: 1) Trong m t ph ng t a đ (Oxy) cho đ ng th ng (d) : 3x 4y 5 0 và đ ng tròn (C): x 2 y 2 2x 6y 9 0 . Tìm nh ng đi m M thu c (C) và N thu c (d) sao cho MN có đ dài nh nh t. 2) Trong không gian v i h t a đ Descartes Oxyz cho hai m t ph ng (P1): x 2y 2z 3 0 , x2 y z4 (P2): 2x y 2z 4 0 và đ ng th ng (d): . L p ph ng trình m t c u 3 1 2 (S) có tâm I thu c (d) và ti p xúc v i hai m t ph ng (P 1) và (P2). Câu VII.a: t 1 x x 2 x3 B. Theo ch Câu VI.b: 4 a 0 a1x a 2 x 2 ... a12 x12 . Tính h s a7. ng trình nâng cao 2 2 1 7 ng tròn (C): x 1 y 3 1 và đi m M ; . 5 5 Tìm trên (C) nh ng đi m N sao cho MN có đ dài l n nh t. 2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho m t c u (S): x 2 y 2 z 2 2x 4y 2z 5 0 và m t ph ng (P): x 2y 2z 3 0 . Tìm nh ng đi m M thu c (S), N thu c (P) sao cho MN có đ dài nh nh t. Câu VII.b: Dùng đ nh ngh a, tính đ o hàm c a hàm s : , x 0 0 3 f x 1 3x 1 2x t i đi m x0 = 0. , x0 x 1) Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho đ H NG D N GI I VÀ ÁP S PH N CHUNG Câu I: 1) T gi i -239- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 2) y 2x 3 3x 2 1 y ' 6x 2 6x G i M x 0 ; y 0 Ph ng trình ti p tuy n: y 6x 02 6x 0 x x 0 y 0 Hay y 6x 02 6x 0 x 6x 30 6x 02 2x 03 3x 02 1 Ti p tuy n này có tung đ b ng 8 6x 30 6x 20 2x 30 3x 02 1 8 Gi i ra đ c: x 0 1 y 0 4 V y M 1; 4 Câu II: 1) K: x 2 3, xy 0 xy 18 12 x 2 xy 30 x 2 - N u xy 18 thì ta có h : 1 2 2 3xy 27 y xy 9 y 3 (1) (2) L y (2) tr (1): 2xy 3 x 2 y 2 x y 3 x y 3 2 V i x y 3 y x 3 , thay vào (1): x x 3 30 x 2 2x 2 3x 30 0 x Nghi m 2 3; 3 3 5 3 (lo i) ho c x 2 3 (nh n) 2 V i x y 3 y x 3 , thay vào (1): x x 3 30 x 2 2x 2 3x 30 0 x Nghi m 2 3;3 3 5 3 (lo i) ho c x 2 3 (nh n) 2 - N u xy 18 thì t (1) suy ra: x 2 3 , t (2) suy ra: y 3 3 xy 18 xy 18 Vô nghi m. H có 2 nghi m 2 3;3 3 , 2 3; 3 3 . 2) 4x x 12 2x 11 x 0 4 x 12.2x 11 x 2 x 1 0 2 x 11 2 x 1 x 2x 1 0 2 x 11 x 2 x 1 0 Ph 2x 1 x 0 x 2 11 x 0 x 3 ng trình có 2 nghi m x = 0, x = 3. -240- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Câu III: G i M là trung đi m BC AM BC,SM BC BC (SAM) Trong (SAM) d ng MN SA MN là kho ng cách SA và BC. MN = m 3a 2 m2 4 D ng đ ng cao SO c a hình chóp. MN SO m SO 2 3ma SO AN AO a 3 3a 2 3 3a 2 4m 2 2 m 3 4 AN AM 2 MN 2 1 1 2 3ma a2 3 ma 3 V SO.SABC . . 3 3 3 3a 2 4m 2 4 6 3a 2 4m 2 Câu IV: I x cos x sin x dx x cos xdx x sin xdx x cos xdx x 1 2cos 2 x cos 4 x sin xdx 0 0 0 0 0 5 5 J K J x cos xdx 0 t u x du dx dv cos xdx v sin x J x sin x 0 sin xdx cos x 0 2 0 K x 1 cos 2 x sin xdx 2 0 t u x du dx 2 1 dv 1 2cos 2 x cos 4 x sin xdx v cos x cos3 x cos5 x 3 5 2 1 2 1 K x cos x cos 3 x cos5 x cos x cos 3 x cos 5 x dx 3 5 3 5 0 0 8 2 1 cos xdx cos3 xdx cos5 xdx 15 0 30 50 -241- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 cos xdx sin x 0 0 0 sin 3 x cos xdx 1 sin x cos xdx sin x 0 0 0 3 0 3 2 2 3 1 5 0 cos xdx 0 1 2sin x sin x cos xdx sin x 3 sin x 5 sin x 0 0 5 2 8 15 8 I 2. 15 Câu V: a a c b 2 2 b b a c 4 K (1) (2) Vì a, b, c là đ dài 3 c nh tam giác nên: a c b T (1) suy ra: ab b 2 a b b a 0 Ta có: (1) ac b a b a ac c 2 ab bc ac bc a b c ba 1 bc 1 1 1 (đpcm). T đó: a bc a b c T (2) suy ra: b PH N RIÊNG A. Theo ch ng trình chu n Câu VI.a: 1) M thu c (C) có vect pháp tuy n c a ti p tuy n t i M cùng ph g n (d) nh t. 2 2 (C) : x 1 y 3 1 ph ng vect pháp tuy n (d) và ng trình ti p tuy n t i M x 0 ; y0 : x 0 1 x 1 y 0 3 y 3 1 4 x 0 1 3 y 0 3 0 4x 0 3y 0 5 0 (1) M x 0 ; y 0 C x 0 1 y 0 3 1 (2) 2 Gi i (1), (2) ta đ 2 2 11 8 19 c: M1 ; , M 2 ; 5 5 5 5 -242- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 11 2 3. 4. 5 5 5 d M1 ,(d) 1 32 42 19 8 3. 4. 5 5 5 d M 2 ,(d) 3 32 42 2 11 T a đ đi m M c n tìm là M ; . 5 5 N là hình chi u c a tâm I c a (C) lên (d). 1 x 4 x 1 3 y 3 0 IN (d) 5 N (d) 3x 4y 5 0 y 7 5 1 7 T a đ đi m N c n tìm là N ; . 5 5 2) I (d) I 2 t; 2t; 4 3t (S) ti p xúc (P1) và (P2) d I, P1 d I, P2 R t 1 9t 3 10t 16 12 22 2 2 22 12 2 2 t 13 2 2 2 V i t 1 I 1; 2;1 ,R 2 (S1 ) : x 1 y 2 z 1 2 2 2 t 4t 8 6t 3 4 2t 2t 8 6t 4 V i t 13 I 11;26; 35 , R 38 (S2 ) : x 11 y 26 z 35 382 Câu VII.a: 2 t 1 x x 2 x3 4 Ta có: 1 x x 2 x 3 1 x 2 4 1 x 4 2 2 a 0 a1x a 2 x 2 ... a12 x12 . Tính h s a7. 1 x .1 x 4 4 2 4 C04 x 2C14 x 4C 24 x 6C34 x 8C44 C04 xC14 x 2C24 x 3C34 x 4C 44 Suy ra: a 7 C 42C34 C14 C34 6.4 4.4 40 B. Theo ch ng trình nâng cao Câu VI.b: 1) N là giao đi m c a MI và (C) v i MN l n nh t. -243- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 6 8 MI ; vect ch ph 5 5 Ph ng trình đ ng đ ng th ng MI a 3;4 x 1 3t ng th ng MI: y 3 4t N MI (C) 1 3t 1 3 4t 3 1 25t 2 1 t 2 2 1 5 8 19 2 11 N1 ; , N 2 ; 5 5 5 5 MN1 3, MN 2 1 So sánh: MN1 MN 2 8 19 T a đ đi m N c n tìm là N ; 5 5 2) 2 2 2 (S): x 1 y 2 z 1 1 (P): x 2y 2z 3 0 M (P ') : x 2y 2z d 0 Kho ng cách t tâm (S) đ n (P’) b ng R d I,(P ') R d 0 1 2 d 6 12 2 22 1 4 2 d (P1 ') : x 2y 2z 0 (P2 ') : x 2y 2z 6 0 Ph ng trình đ ng th ng đi qua I vuông góc v i (P1’), (P2’): x 1 t : y 2 2t z 1 2t 1 2 4 5 M1 ; ; 3 3 3 3 1 4 8 1 M2 là giao đi m và (P2) 1 t 4 4t 2 4t 6 0 t M 2 ; ; 3 3 3 3 2 8 10 3 3 3 3 d M1 , (P) 1 2 12 2 22 M1 là giao đi m và (P1) 1 t 4 4t 2 4t 0 t -244- http://www.VNMATH.com 63 thi th d M 2 , (P) i h c 2011 4 16 2 3 3 3 3 1 2 2 2 2 3 2 2 4 5 T a đ đi m M là M ; ; 3 3 3 N là giao đi m và (P) 1 t 4 4t 2 4t 3 0 t 2 1 2 7 N ; ; 3 3 3 3 Câu VII.b: 3 3 f x f 0 1 3x 1 x 1 2x 1 x 1 3x 1 2x lim lim lim 2 2 x 0 x 0 x0 x0 x 0 x x x2 3 1 3x 1 x 3x 2 x 3 lim lim x 0 x 0 2 2 2 x2 x 3 1 3x 3 1 3x.1 x 1 x 3 x lim 1 2 2 x 0 3 3 1 3x 1 3x.1 x 1 x f ' 0 lim 1 2x 1 x x 2 1 1 lim lim 2 lim 2 x 0 x 0 x x 1 2x 1 x x 0 1 2x 1 x 2 1 1 f ' 0 1 2 2 TH S C TR THTT S C KÌ THI 402-12/2010 S 03 Th i gian làm bài 180 phút PH N CHUNG Câu I: Cho hàm s : y x 4 2 m 1 x 2 2m 1 . 1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s khi m = 1. 2) Xác đ nh m đ đ th hàm s c t tr c hoành t i 4 đi m phân bi t có hoành đ l p thành c p s c ng. Câu II: 1) Gi i ph ng trình: 2cos 2 2x cos 2x.sin 3x 3sin 2 2x 3 6x 2 3xy x y 1 2) Gi i h ph ng trình: 2 2 x y 1. -245- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 Câu III: 2 Cho hàm s f x A.3 B . Tìm các s A, B sao cho f ' 0 2 và f x dx 12 x 1 Câu IV: Trong m t ph ng P cho hình vuông ABCD có c nh b ng a. S là m t đi m b t kì n m trên đ ng th ng At vuông góc v i m t ph ng P t i A. Tính th tích kh i c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD khi SA = 2a. Câu V: x sin x 2cos 2 trên đo n 0; . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s f x 2 x cos x 2sin 2 PH N RIÊNG Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B) A. Theo ch ng trình chu n Câu VI.a: 1) Trong m t ph ng t a đ (Oxy) cho đi m A 1;1 và đ ng th ng (d) có ph ng trình 4x 3y 12 0 . G i B, C là giao đi m c a (d) v i các tr c Ox, Oy. Xác đ nh t a đ tr c tâm c a tam giác ABC. 2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz, t đi m P 2;3; 5 h các đ ng th ng vuông góc v i các m t ph ng t a đ . Vi t ph ng trình m t ph ng đi qua chân các đ ng vuông góc đó. Câu VII.a: 24 5 5 Ch ng minh r ng s ph c z 1 cos isin có ph n o b ng 0. 6 6 B. Theo ch ng trình nâng cao Câu VI.b: 1) Cho đ ng tròn C : x 2 y 2 6x 2y 1 0 . Vi t ph ng trình đ ng th ng d song song v i đ ng th ng x 2y 4 0 và c t C theo m t dây cung có đ dài b ng 4. 2) Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho hai đ ng th ng x 1 y 1 z x 1 y 2 z d1 : và d 2 : . 2 1 1 1 2 1 Vi t ph ng trình m t ph ng (P) song song v i m t ph ng Q : x y 2z 3 0 sao cho (P) c t d1, d2 theo m t đo n th ng có đ dài nh nh t. Câu VII.b: 4 x y1 3.4 2y 1 2 Gi i h ph ng trình x 3y 2 log 4 3 H NG D N GI I VÀ ÁP S -246- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 PH N CHUNG Câu I: 1) T gi i 2) Giao đi m v i tr c hoành x 4 2 m 1 x 2 2m 1 0 (*) t t = x2, ta có ph ng trình: t 2 2 m 1 t 2m 1 0 (**) (*) có 4 nghi m (**) có 2 nghi m d ng phân bi t m2 0 '0 1 S 0 2 m 1 0 m , m 0 2 P0 2m 1 0 V i đi u ki n này (**) có nghi m t1 x12 ; t 2 x 22 (t2 > t1) 4 nghi m (*): x 2 , x1 , x1 , x 2 Dãy này l p thành c p s c ng khi: x 2 x1 x1 x1 x 2 3x1 t x1 x 2 3 m4 2 2 m 1 10 2 m 1 2 2m 1 9 4 9m 32m 16 0 4 5 m 2m 1 9 9 4 V y m = 4 ho c m 9 x12 x 22 10 2 2 4 x1 x 2 9 2 Câu II: 1) 2cos 2 2x cos 2x.sin 3x 3sin 2 2x 3 2cos 2 2x cos 2x.sin 3x 3cos 2 2x cos 2x sin 3x cos 2x 0 cos 2x 0 sin 3x cos 2x 0 k k Z 2 4 2 3x V i sin 3x cos 2x 0 sin 3x sin 2x 2 3x k x 4 2 k2 V y ph ng trình có nghi m x k Z 10 5 x k2 2 V i cos2x = 0 2x k x -247- k2 x 2x k2 2 10 5 k Z x k2 2x k2 2 2 http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 6x 2 3xy x y 1 1 2) 2 2 2 x y 1. 1 6x 2 3xy 3x 2x y 1 3x 1 2x y 1 0 1 x 3 y 2x 1 1 3 V i x , t (2) suy ra: y 2 2 3 x 0 y 1 V i y 2x 1 , t (2) suy ra: x 2x 1 1 5x 4x 0 x 4 y 3 5 5 V y h ph ng trình đã cho có 4 nghi m: 2 2 2 1 2 2 1 2 2 4 3 ; , ; , ; 3 5 5 3 3 3 0;1 , Câu III: f ' x A.3x.ln 3 f x A.3x B A.3x f x dx Bx C ln 3 2 f ' 0 2 A A.ln 3 2 ln 3 6A Ta có: 2 f x dx 12 ln 3 B 12 B 12 12 1 ln 2 3 2 A ln 3 V y B 12 12 ln 2 3 Câu IV: Tâm O c a hình c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD là trung đi m c a SC. SC SA 2 AC 2 4a 2 2a 2 a 6 SC a 6 2 2 3 4 R V a3 6 3 R Câu V: -248- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 x 2 x 0; . f x 2 x cos x 2sin 2 x x x Ta có: cos x 2sin 2sin 2 2sin 1 2 2 2 sin x 2cos Xét hàm s g t 2t 2 2t 1 t 0; g ' t 4t 2 g ' t 0 t 2 2 1 2 1 3 2 g 0 1; g ; g 2 2 2 2 2 g t 0 t 0; 2 x 0 x 0; . 2 2 f x liên t c trên đo n 0; . 2 x x x x cos x sin cos x 2sin sin x cos sin x 2cos 2 2 2 2 f ' x 2 x cos x 2sin 2 x 1 sin 2 f ' x 0 x 0; . 2 x 2 cos x 2sin 2 GTLN f x = f 0 2 cos x 2sin 2 GTNN f x = f 1 2 2 PH N RIÊNG A. Theo ch ng trình chu n Câu VI.a: 1) A 1;1 B 3; 0 C 0; 4 G i H x; y là tr c tâm tam giác ABC BH x 3; y , CH x; y 4 , AB 2; 1 , AC 1;3 -249- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 BH AC x 3 BH.AC 0 x 3 3y 0 CH AB y 2 2x y 4 0 CH.AB 0 V y H 3; 2 2) G i I, J ,K l n l t là chân các đ ng vuông góc t Oyz, Oxz. Ta có: I 2;3; 0 , J 0;3; 5 , K 2;0; 5 ng ng c a P lên các m t ph ng Oxy, M t ph ng IJK có d ng Ax By Cz D 0 I, J, K thu c m t ph ng này nên: 1 A 4 D 2A 3B D 0 1 3B 5C D 0 B D Ch n D = -60, suy ra A = 15, B = 10, C = -6. 6 2A 5C D 0 1 C 10 D V y IJK :15x 10y 6z 60 0 Câu VII.a: 24 k 24 24 5 5 5 5 5k 5k k k 1 cos i sin C cos isin isin 24 C24 cos 6 6 6 6 6 6 k 0 k 0 24 24 5k 5k k C k24 cos i C 24 sin 6 6 k 0 k 0 24 5k Ph n o C k24 sin 6 k 0 5 24 k 5k 5k 5k k k C 24 sin C 24 sin C k24 sin 0 Ta có: Ck24 sin 24 6 6 6 6 24 5k Suy ra: Ck24 sin 0 6 k 0 B. Theo ch ng trình nâng cao Câu VI.b: 2 2 1) C : x 3 y 1 32 d song song v i đ ng th ng x 2y 4 0 d : x 2y c 0 d c t C theo m t dây cung có đ dài b ng 4 d I, d 32 22 5 32c c4 5 c 1 5 5 c 6 V y d1 : x 2y 4 0 ho c d 2 : x 2y 6 0 2) (P) song song v i m t ph ng Q P : x y 2z m 0 -250- http://www.VNMATH.com 63 thi th i h c 2011 x 1 2t x 1 t d1 : y 1 t d 2 : y 2 2t zt zt (Q) giao v i (d1): 1 2t 1 t 2t m 0 t m M 1 2m; 1 m; m (Q) giao v i (d2): 1 t 2 2t 2t m 0 t m 3 N 2 m; 4 2m; m 3 MN 2 m 3 m 3 32 2m 2 27 27 2 2 MinMN = 3 3 khi m = 0 Khi đó P : x y 2z 0 V y P : x y 2z 0 Câu VII.b: 4 x y 1 3.4 2 y1 2 1 x 3y 2 log 4 3 2 T (2) x y 1 1 log 4 3 2y log 4 Thay vào (1): 1 4 4 log 4 2 y 3 4 2y 3 3.4 2 y1 2 4 3 .42y .42 y 2 3 4 4 3t 4 t t 42 y t 0 ta có: 2 9t 2 24t 16 0 t 3t 4 3 4 1 4 1 1 4 2 y y log 4 log 4 3 3 2 3 2 2 3 3 1 1 (2) x 2 log 4 3 3y 2 log 4 3 log 4 3 log 4 3 2 2 2 2 1 1 1 1 V y h có nghi m duy nh t x log 4 3 ; y log 4 3 2 2 2 2 -251- http://www.VNMATH.com [...]... http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 12 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) 2x 1 có đ th là (C) Câu I (2 đi m): Cho hàm s y x2 1 Kh o sát s bi n thi n và v đ th c a hàm s 2 Ch ng minh đ ng th ng d: y = -x + m luôn luôn c t đ th (C) t i hai đi m phân bi t A, B Tìm m đ đo n AB có đ dài nh nh t... song song v i d và kho ng cách t d t i (P) là l n nh t Câu VIIb (1 đi m): Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s khác nhau mà trong m i s luôn luôn có m t hai ch s ch n và ba ch s l -H t 1212 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 13 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH... sinh trên có hai b n Ng c và Th o Tìm sác xu t đ hai b n Ng c và Th o có ph n th ng gi ng nhau -H t 1313 - http://www.VNMATH.com 63 B thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O ( THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 14 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): Cho hàm s y x 3 2mx 2 (m 3) x 4 có đ th là... -2020 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 21 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): 1 Cho hàm s y = x3 – mx2 +(m2 – 1)x + 1 ( có đ th (Cm) ) 3 1 Kh o sát s bi n thi n và v đ th (C) c a hàm s khi m = 2 2 Tìm m, đ hàm s (Cm) có c c đ i, c c ti u và yC + yCT > 2 Câu... ng trình đã cho có ít nh t m t nghi m thu c đo n 1;5 3 2222 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 23 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): Cho hàm s : y = (x – m)3 – 3x (1) 1 Xác đ nh m đ hàm s (1) đ t c c ti u t i đi m có hoành đ x = 0 2 Kh o sát s bi n thi n và v đ th... là tr c tâm c a tam giác ABC Câu VIIb: (1 đi m): Cho t p A= { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s khác nhau ch n trong A sao cho s đó chia h t cho 15 -H t 1616 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 17 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0... 1818 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 19 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m): Cho hàm s y x 4 mx 3 2x 2 3mx 1 (1) 1 Kh o sát s bi n thi n và v đ th (C) c a hàm s (1) khi m = 0 2 nh m đ hàm s (1) có hai c c ti u Câu II (2 đi m): 23 2 8 1 Gi i... 1919 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 20 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I (2 đi m) Cho hàm s y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (m là tham s ) (1) 1 Kh o sát s bi n thi n và v đ th c a hàm s (1) khi m = 2 2 Tìm các giá tr c a m đ đ th hàm s (1) có đi m c c đ i, đi m c c ti... u(S) có tâm I và kho ng cách t I đ n mp(P) là 2 và m t c u(S) c t mp(P) theo giao tuy n đ ng tròn (C) có bán kính r = 3 Câu VIIb (1 đi m): Tìm các giá tr c a tham s th c m sao cho ph ng trình sau có nghi m th c: 2 2 91 1 x (m 2)31 1 x 2 m 1 0 -H t -1414 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I... nhiêu s t nhiên ch n có 5 ch s khác nhau mà m i s l p đ đ u nh h n 25000? -H t -b) L p ph 1515 - http://www.VNMATH.com c 63 B ( thi th i h c 2011 GIÁO D C VÀ ÀO T O THAM KH O) ÔN THI I H C MÔN TOÁN – Th i gian làm bài: 180 phút 16 I PH N B T BU C DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m) Câu I: (2 đi m): x Cho hàm s y (C) x 1 1 Kh o sát s bi n thi n và v đ th (C) ... y y ay H có nghi m (2) có nghi m y > Ta có : f(y) = y y >0 , y > Do pt f(y) = a có nghi m d ng a>0 V y h có nghi m a > -43- 0,25 0,25 0,25 http://www.VNMATH.com 63 B thi th i h c 2011... Câu VIIb (1 m): Có s t nhiên có ch s khác mà m i s ln ln có m t hai ch s ch n ba ch s l -H t 1212 - http://www.VNMATH.com 63 B ( thi th i h c 2011... Tìm m đ h có nghi m x y my H t Thí sinh khơng đ c s d ng tài li u Cán b coi thi khơng gi i thích thêm H tên thí sinh: ; S báo danh: -39- http://www.VNMATH.com 63 thi th I