bài giảng phương trình elliptic cho học viên cao học

NGUYỄN THÀNH ANH BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC BẢN THẢO 2 MỤC LỤC Chương I. Phương trình nửa elliptic tuyến tính và phương pháp biến phân 5 §1. Tóm lược kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Một số kết quả thường dùng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3. Phép tính vi phân đối với phiếm hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4. Tính lồi và tính nửa liên tục yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §2. Cực tiểu toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 §3. Cực trị ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 §4. Định lí qua núi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1. Định lí qua núi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2. Định lí tồn tại nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chương II. Một số phương pháp phi biến phân §1. Phương pháp điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 1. Một số định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2. Toán tử Nemytski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3. Áp dụng cho phương trình elliptic nửa tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 §2. Phương pháp toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2. Áp dụng cho phương trình elliptic giả tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 4 Chương I PHƯƠNG TRÌNH NỬA ELLIPTIC TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN §1. Tóm lược kiến thức cơ sở 1. Một số không gian hàm Giả sử ❳ và ❨ là hai không gian Banach. Nhắc lại rằng ta nói không gian ❳ được nhúng liên tục vào không gian ❨ và viết ❳ ✱✦ ❨ nếu tồn tại một đơn ánh tuyến tính liên tục ❥ ✿ ❳ ✦ ❨ và hắng số ❈ sao cho ❦❥ ✭✉✮❦❨ ❈ ❦✉❦❳ ✿ Khi đó, bằng cách đồng nhất ✉ ✷ ❳ với ❥ ✭✉✮ ✷ ❨ , ta có thể coi ❳ ✚ ❨ thành ❦✉❦❨ ❈ ❦✉❦❳ ✿ Ta nói không gian ❳ được nhúng compact và không gian ❳ là compact tương đối trong ❨ . ❨ Định lí 1.1. Nếu Ω là một tập mở bị chặn trong ◆ và r ❍✵✶ ✭Ω✮ ✱✦ ▲q ✭Ω✮. Hơn nữa, phép nhúng này là compact nếu ✭◆ Định lí 1.2. Giả sử ◆ và bất đẳng thức trên được viết nếu ❳ ✱✦ ❨ và mỗi tập compact trong ✶ là số thoả mãn ✭◆   ✷✮q   ✷✮q ❁ ✷◆ . ✷◆ thì ✸. Khi đó ❍ ✭ ◆ ✮ ✱✦ ▲q ✭ ◆ ✮ nếu q ✷ ❬✷❀ ◆  ◆ ❪. ✷ ✶ ✷ 2. Một số kết quả thường dùng Định lí 1.3 (Bổ đề Fatou). Giả sử Ω là một tập đo được (Lebesgue) trong đo được không âm trên Ω. Khi đó ❩ ◆ và ❢✉♥ ❣ là một dãy hàm ❩ ✭❧✐♠ ✐♥❢ ✉♥✮❞① ❧✐♠ ✐♥❢ ✉ ❞①✿ ♥✦✶ Ω ♥ Ω ♥✦✶ Định lí 1.4 (hội tụ bị chặn). Giả sử Ω là một tập đo được trong ◆ , ❢✉♥ ❣ là một dãy trong ▲✶ ✭Ω✮ thoả mãn 1) ✉♥ ✭①✮ ✦ ✉✭①✮ h.k.n. trong Ω khi ♥ ✦ ✶; 2) tồn tại ✈ ✷ ▲✶ ✭Ω✮ sao cho, với mọi ❦ ✶, ✉♥ ✭①✮ ✈ ✭①✮ h.k.n. trong Ω. Khi đó ✉ ✷ ▲✶ ✭Ω✮ và ❩ ❩ ❧✐♠ ♥✦✶ Ω ✉♥ ❞① ❂ Ω ✉❞①✿ Định lí 1.5. ( [?, Th. 4.9]) Giả sử Ω là một tập mở trong ◆ , ❢✉♥ ❣ ✚ ▲♣ ✭Ω✮, ✶ ♣ hội tụ đến ✉ trong ▲♣ ✭Ω✮. Khi đó tồn tại dãy con ❢✉❦♥ ❣ và hàm ✈ ✷ ▲♣ ✭Ω✮ thoả mãn ✰✶, là một dãy 5 1) ✉❦♥ ✭①✮ ✦ ✉✭①✮ h.k.n. trong Ω khi ♥ ✦ ✶; 2) với mọi ♥ ✶, ✉❦♥ ✭①✮ ✈ ✭①✮ h.k.n. trong Ω. Định lí 1.6 (Bất đẳng thức Poincaré). Giả sử Ω là một tập mở bị chặn trong số ❈ ❂ ❈ ✭Ω✮ ❃ ✵ sao cho ❩ ❩ Ω với mọi ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮. ✉✷ ❞① ❈ ◆. Khi đó tồn tại hằng ❥r✉❥ ❞① ✷ Ω 3. Phép tính vi phân đối với phiếm hàm Giả sử ❋ ✿❯ ✦ ❳ là một không gian Banach, ❳ ✄ là không gian liên hợp của ❳ , ❯ là một tập mở trong là một phiếm hàm. Nếu ❢ ✷ ❳ ✄ và ✉ ✷ ❳ , đôi khi ta viết ❤❢❀ ✉✐ thay cho ❢ ✭✉✮. ❳, Định nghĩa. Ta nói phiếm hàm ❋ khả vi (Fréchet) tại điểm ✉ ✷ ❳ nếu tồn tại ▲ ✷ ❳ ✄ sao cho ❧✐♠ ❥❋ ✭✉ ✰ ✈✮   ❋❦✈✭✉❦✮   ❤▲✭✉✮❀ ✈✐❥ ❂ ✵ ❦✈❦✦✵ với mọi ✈ ✷ ❳ . Phiếm hàm ▲ như vậy là duy nhất và gọi là đạo hàm (Fréchet) của ❋ tại ✉, kí hiệu ❋ ✵ ✭✉✮ hay ❉❋ ✭✉✮. Nếu ❋ khả vi (Fréchet) tại mọi điểm ✉ ✷ ❯ thì ta nói ❋ khả vi (Fréchet) trên ❯ . Ánh xạ ❋ ✵ ✿ ❯ ✦ ❳ ✄ , ✉ ✼✦ ❋ ✵ ✭❯ ✮ gọi là đạo hàm của ❋ . Nếu ánh xạ này liên tục trên ❯ thì ta nói ❋ thuộc lớp ❈ ✶ trên ❯ và viết ❋ ✷ ❈ ✶ ✭❯❀ ✮. Định nghĩa. Giả sử ❍ là một không gian Hilbert với tích vô hướng ✭✁❀ ✁✮, ❯ ✚ ❍ là một tập mở và ■ ✿ ❯ ✦ là một phiếm hàm khả tại ✉ ✷ ❯ . Vì ■ ✵ ✭✉✮ là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên ❍ nên, định lí biểu diễn Riesz, tồn tại phần tử ✇ ✷ ❍ sao cho ❤■ ✵✭✉✮❀ ✈✐ ❂ ✭✇❀ ✈✮❀ ✽✈ ✷ ❍✿ Kí hiệu phần tử ✇ bởi r■ ✭✉✮ và gọi là gradient của ■ tại ✉. Như vậy, ta có ❤■ ✵✭✉✮❀ ✈✐ ❂ ✭r■ ✭✉✮❀ ✈✮❀ ✽✈ ✷ ❍✿ Định nghĩa. Ta nói phiếm hàm ❋ khả vi Gâteaux tại điểm ✉ ✷ ❳ nếu tồn tại ▲ ✷ ❳ ✄ sao cho ❋ ✭✉ ✰ t✈✮   ❋ ✭✉✮ ❞ ❋ ✭✉ ✰ t✈✮❥t❂✵ ❂ ❧✐♠ ❂ ❤▲✭✉✮❀ ✈✐ t✦✵ ❞t t với mọi ✈ ✷ ❳ . Phiếm hàm ▲ như vậy là duy nhất và gọi là đạo hàm Gâteaux của ❋ tại ✉, kí hiệu ❋●✵ ✭✉✮. Nhận xét. Nếu ❋ khả vi Fréchet tại ✉ thì ❋ khả vi Gâteaux tại điểm đó và ❋ ✵ ✭✉✮ ❂ ❋● ✭✉✮. Mệnh đề 1.7. ( [?, Th. 1.9]) Nếu phiếm hàm thì ❋ ✷ ❈ ✶ ✭❯❀ ✮. ❋ khả vi Gâteaux trên Ví dụ 1.1. Giả sử ❳ là không gian Banach bất kì, ❆ ✿ ❳ ✦ nghĩa là ❆ ✷ ❳ ✄ . Khi đó ❆ thuộc lớp ❈ ✶ trên ❳ và ❆✵ ❂ ❆. 6 ❯ và đạo hàm ❋●✵ liên tục trên ❯ là một phiếm hàm tuyến tính liên tục, Ví dụ 1.2. Giả sử ❳ là một không gian Banach, ❛ ✿ ❳ ✂ ❳ ✦ là một dạng song tuyến tính liên tục. Khi đó phiếm hàm ■ ✿ ❳ ✦ , ✉ ✼✦ ❛✭✉❀ ✉✮, thuộc lớp ❈ ✶ trên ❳ và ❤■ ✵✭✉✮❀ ✈✐ ❂ ❛✭✉❀ ✈✮ ✰ ❛✭✈❀ ✉✮ hay ■ ✵✭✉✮ ❂ ❛✭✉❀ ✁✮ ✰ ❛✭✁❀ ✉✮ với mọi ✉❀ ✈ ✷ ❳ . Đặc biệt, nếu ❛ đối xứng thì ❤■ ✵✭✉✮❀ ✈✐ ❂ ✷❛✭✉❀ ✈✮✿ Ví dụ 1.3. Giả sử Ω là một miền trong ◆ . Dễ dàng kiểm tra trực tiếp (hoặc sử dụng kết quả trong Ví dụ 1.2) rằng phiếm hàm ■ ✿ ❍✵✶ ✭Ω✮ ✦ xác định bởi ■ ✭✉✮ ❂ thuộc lớp ❈ ✶ trên ❍✵✶ ✭Ω✮ và với mọi ✉❀ ✈ ❩ ❥r✉✭①✮❥ ❞① ✷ Ω ❩ ❤■ ✵✭✉✮❀ ✈✐ ❂ ✷ Ω r✉✿r✈❞① ✷ ❍ ✭Ω ✮. ✶ ✵ Mệnh đề 1.8. Giả sử Ω là một tập mở trong r, ✶ r ❁ ✶, và ❈ ❃ ✵ sao cho với mọi t ✷ . Đặt và ■ ✭✉✮ ❂ Ω ✿ ✦ là một hàm liên tục và tồn tại các số ❥❢ ✭t✮❥ ❈ ❥t❥r ❩ t (1.1) ❢ ✭s✮❞s ✭t ✷ ✮ (1.2) ❋ ✭✉✭①✮✮❞① ✭✉ ✷ ▲r✰✶ ✭Ω✮✮✿ (1.3) ❋ ✭t✮ ❂ ❩ Giả sử ❢ ◆. ✵ r✰✶ Khi đó, ánh xạ ✉ ✼✦ ❢ ✭✉✮ là liên tục từ ▲r✰✶ ✭Ω✮ vào ▲ r ✭Ω✮ và phiếm hàm ■ thuộc lớp ❈ ✶ trên ▲r✰✶ ✭Ω✮ và ■ ✵ ✭✉✮ ❂ ❢ ✭✉✮ với mọi ✉ ✷ ▲r✰✶ ✭Ω✮. r✰✶ Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng ánh xạ ✉ ✼✦ ❢ ✭✉✮ là liên tục từ ▲r✰✶ ✭Ω✮ vào ▲ r ✭Ω✮. Với ✉ ✷ ▲r✰✶ ✭Ω✮, từ (1.1) suy ra ❩ ❩ r✰✶ ❥ ❢ ✭✉✮❥ r ❞① ❈ ❥✉✭①✮❥r ❞①✿ Ω Ω ✰✶ r✰✶ Do đó ✉ ✼✦ ❢ ✭✉✮ là một ánh xạ từ ▲r✰✶ ✭Ω✮ và ▲ r ✭Ω✮. Ta chứng minh ánh xạ này liên tục. Nếu điều này không đúng thì tồn tại dãy ❢✉♥ ❣ trong ▲r✰✶ ✭Ω✮ sao cho ✉♥ ✦ ✉ trong ▲r✰✶ ✭Ω✮ khi ♥ ✦ ✶ và ❦❢ ✭✉♥✮   ❢ ✭✉✮❦▲ r✰✶r Ω ✎ ❃ ✵ với mọi ♥ ✶✿ ✭ ✮ (1.4) Vì ✉♥ ✦ ✉ trong ▲r✰✶ ✭Ω✮ nên tồn tại dãy con ❢✉❦♥ ❣ của dãy ❢✉♥ ❣ sao cho ✉❦♥ ✭①✮ ✦ ✉✭①✮ h.k.n. trong Ω và tồn tại ✇ ✷ ▲r✰✶ ✭Ω✮ sao cho ❥✉❦♥ ✭①✮❥ ✇ ✭①✮ h.k.n. trong Ω. Vì ❢ liên tục và thoả mãn (1.1) nên r✰✶ ❢ ✭✉❦♥ ✭①✮✮ ✦ ❢ ✭✉✭①✮✮ h.k.n. trong Ω và ❥❢ ✭✉❦♥ ✭①✮✮❥ ❈ ❥✇✭①✮❥r ✷ ▲ r ✭Ω✮ h.k.n. trong Ω. Do đó, áp r✰✶ dụng định lí hội tụ bị chặn ta có ❢ ✭✉❦♥ ✮ ✦ ❢ ✭✉✮ trong ▲ r ✭Ω✮. Điều này mẫu thuẫn với (1.4). 7 Bây giờ để chứng minh phiếm hàm ■ thuộc lớp ❈ ✶ trên ▲r✰✶ ✭Ω✮ và ■ ✵ ✭✉✮ ❂ ❢ ✭✉✮ với mọi ✉ ✷ ▲r✰✶ ✭Ω✮, ta chỉ còn cần phải chứng tỏ ■ khả vi Gâteaux trên ▲r✰✶ ✭Ω✮ và ■●✵ ✭✉✮✈ ❂ với mọi ✉❀ ✈ ✷ ▲r✰✶ ✭Ω✮. Cố định ✉❀ ✈ ✷ ▲r✰✶ ✭Ω✮. Vì ❋ ✵ ❩ Ω ❢ ✭✉✮✈❞① ❂ ❢ nên ta có ❋ ✭✉✭①✮ ✰ t✈✭①✮✮   ❋ ✭✉✭①✮✮  ✦ ❢ ✭✉✭①✮✮✈✭①✮ h.k.n. trong Ω✿ t t★✵ Từ (1.1) ta có ❥❢ ✭✉✭①✮✮✈ ✭①✮❥ ❈ ❥✉❥r ❥✈ ❥ ✷ ▲✶ ✭Ω✮. Theo định lí Lagrange, với mỗi ❥t❥ tồn tại số ✒, ❥✒❥ ❥t❥ ✶, sao cho ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ✶ và h.k.n. ① ✷ Ω, ❋ ✭✉✭①✮ ✰ t✈✭①✮✮   ❋ ✭✉✭①✮✮ ☞☞ ☞ ❂ ❥❢ ✭✉✭①✮ ✰ ✒✈ ✭①✮✮✈ ✭①✮❥ ☞ t ❈ ❥✉✭①✮ ✰ ✒✈✭①✮❥r ❥✈✭①✮❥ ✏ ✑ ❈ ❥✉✭①✮❥r ❥✈✭①✮❥ ✰ ❥✈✭①✮❥r✰✶ ✿ ☞ Để ý rằng ❥✉✭①✮❥r ❥✈ ✭①✮❥ ✰ ❥✈ ✭①✮❥r✰✶ được ✷ ▲ ✭Ω✮. Đến đây ta có thể áp dụng định lí hội tụ bị chặn để nhận ❋ ✭✉ ✰ t✈✮   ❋ ✭✉✮ ❞① ❂ ❢ ✭✉✮✈❞①✿ ❧✐♠ t✦ Ω t Ω ✶ ❩ ❩ ✵ Đây chính là điều ta cần chứng tỏ. Từ Mệnh đề 1.8 và Định lí 1.1, ta nhận được Hệ quả 1.9. Trong Mệnh đề 1.8, nếu giả thiết thêm rằng Ω bị chặn và hàm ■ xác định và thuộc lớp ❈ ✶ trên ❍✵✶ ✭Ω✮. ✭◆   ✷✮r ✭◆ ✰ ✷✮ thì phiếm 4. Tính lồi và tính nửa liên tục yếu Định nghĩa. Giả sử ■ ✿ ❳ ✦ là một phiếm hàm trên không gian Banach điểm cực tiểu toàn cục của ■ nếu ■ ✭✉✮ ❂ ✈✐♥❢ ■ ✭✈ ✮✿ ✷❳ ❳, ✉ ✷ ❳. ✉ ✷ ❳ gọi là ✉ gọi là điểm tới hạn ■ nếu ■ ✵ khả vi tại ✉ và ■ ✵ ✭✉✮ ❂ ✵. Nếu ✉ là một điểm tới hạn của ■ thì ❝ ❂ ■ ✭✉✮ gọi là giá trị tới hạn của ■ . Nhận xét. Nếu ■ khả vi trên ❳ thì mỗi điểm cực tiểu toàn cục của ■ đều là điểm tới hạn. Nhắc lại rằng, đối với dãy số thực ❢❛♥ ❣, ❧✐♠ ✐♥❢ ❛♥ ✿❂ ♥❧✐♠ ♥✦✶ ✦✶ ✐♥❢ ❢❛❦ ❥ ❦ ♥❣ là giới hạn dưới của dãy ❢❛♥ ❣. Với hai dãy số thực ❢❛♥ ❣ và ❢❜♥ ❣ bất kì, ta có ❧✐♠ ✐♥❢ ❛♥ ✰ ❧✐♠ ✐♥❢ ❜ ❧✐♠ ✐♥❢ ✭❛♥ ✰ ❜♥✮❀ ♥✦✶ ♥✦✶ ♥ ♥✦✶ 8 và nếu ❢❜♥ ❣ là dãy hội tụ thì ❧✐♠ ✐♥❢ ✭❛♥ ✰ ❜♥✮ ❂ ❧✐♠ ✐♥❢ ❛♥ ✰ ♥❧✐♠ ♥✦✶ ♥✦✶ ✦✶ ❜♥ ✿ Đặc biệt, với ❛ ✷ , Định nghĩa. Phiếm hàm ■ ✿❳✦ ❧✐♠ ✐♥❢ ✭❛♥ ✰ ❛✮ ❂ ❧✐♠ ✐♥❢ ✰❛✿ ♥✦✶ ♥✦✶ gọi là nửa liên tục dưới yếu (theo dãy) nếu ■ ✭✉✮ ❧✐♠ ✐♥❢ ■ ✭✉♥✮ ♥✦✶ với mọi dãy ❢✉♥ ❣ trong ❳ hội tụ yếu đến ✉ ✷ ❳ . Ví dụ 1.4. Đương nhiên mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục ■ Định nghĩa. Phiếm hàm ■ ✿ ❳ ✦ trên không gian vectơ mọi số thực t ✷ ❬✵❀ ✶❪ có bất đẳng thức sau ✿❳✦ ❳ đều nửa liên tục dưới yếu. gọi là lồi nếu với mọi ✉❀ ✈ ✷ ❳ và với ■ ✭t✉ ✰ ✭✶   t✮✈✮ t■ ✭✉✮ ✰ ✭✶   t✮■ ✭✈✮✿ Phiếm hàm ■ gọi là lồi nghiêm ngặt nếu bất đẳng thức ■ ✭t✉ ✰ ✭✶   t✮✈✮ ❁ t■ ✭✉✮ ✰ ✭✶   t✮■ ✭✈✮ đúng với mọi ✉❀ ✈ ✷ ❳ , ✉ ✻❂ ✈ , và với mọi số thực t ✷ ✭✵❀ ✶✮. Ta nói ■ là lõm (nghiêm ngặt) nếu  ■ là lồi (nghiêm ngặt). Ví dụ 1.5. Giả sử ❳ là một không gian Banach và ❛ ✿ ❳ ✂ ❳ ✦ một phiếm hàm song tuyến tính đối xứng. Xét phiếm hàm ■ ✿ ❳ ✦ xác định bởi ■ ✭✉✮ ❂ ❛✭✉❀ ✉✮✿ Khi đó a) Nếu ❛✭✉❀ ✉✮ ✵ với mọi ✉ ✷ ❳ thì ■ lồi; b) Nếu ❛✭✉❀ ✉✮ ❃ ✵ với mọi ✉ ✻❂ ✵ thì ■ là lồi nghiêm ngặt. Đặc biệt, nếu ❳ là một không gian Hilbert và ❦✿❦ là chuẩn trên ❳ sinh bởi tích vô hướng trên ❳ thì phiếm hàm ❳ ✸ ✉ ✼✦ ❦✉❦✷ là lồi nghiêm ngặt. Thật vậy, giả sử ✉❀ ✈ ✷ ❳ , t ✷ ❬✵❀ ✶❪, dễ dàng kiểm tra rằng ■ ✭t✉ ✰ ✭✶   t✮✈✮   ✭t■ ✭✉✮ ✰ ✭✶   t✮✈✮ ❂ t✭✶   t✮ ✭✷❛✭✉❀ ✈✮   ❛✭✉❀ ✉✮   ❛✭✈❀ ✈✮✮ ✿ (1.5) Mặt khác, vì ❛✭✉   ✈❀ ✉   ✈✮ ❂ ❛✭✉❀ ✉✮ ✰ ❛✭✈❀ ✈✮   ✷❛✭✉❀ ✈✮ ✵ (1.6) nên vế phải của (1.5) không dương. Từ đó suy ra ■ là lồi. Tương tự cho khẳng định còn lại. Mệnh đề 1.10. Nếu ■ ✿ ❳ ✦ là một phiếm hàm lồi liên tục trên không gian Banach ❳ thì ■ là nửa liên tục dưới yếu. Chứng minh. Giả sử ■ ✿ ❳ ✦ là một phiếm hàm lồi liên tục trên không gian Banach ❳ . Nhắc lại rằng, tập con ❆ trong ❳ gọi là lồi nếu t✉ ✰ ✭✶   t✮✈ ✷ ❆ mỗi khi ✉❀ ✈ ✷ ❆ và t ✷ ❬✵❀ ✶❪. Với mỗi ❛ ✷ , đặt ❊ ✭❛✮ ❂ ❢✉ ✷ ❳ ❥ ■ ✭✉✮ ❛❣✿ Do ■ liên tục nên ❊ ✭❛✮ là đóng. Hơn nữa, do ■ là lồi nên dễ dàng thấy rằng ❊ ✭❛✮ là lồi. Từ đó ❊ ✭❛✮ cũng đóng đối với tôpô yếu trên ❳ . 9 ✉♥ ✯ ✉ trong ❳ . Đặt ♠ ❂ ❧✐♠ ✐♥❢ ■ ✭✉♥✮. Khi đó, tồn tại dãy con ❢✉❦♥ ❣ sao cho ♥✦✶ ❧✐♠ ■ ✭✉❦♥ ✮ ❂ ♠. Lấy ✎ ❃ ✵ bất kì. Ta có ✉❦♥ ✷ ❊ ✭♠ ✰ ✎✮ với ♥ đủ lớn. Từ đó suy ra ✉ ✷ ❊ ✭♠ ✰ ✎✮, do ♥✦✶ Bây giờ giả sử đó, Do ✎ ❃ ✵ tùy ý nên ■ ✭✉✮ ■ ✭✉✮ ♠ ✰ ✎✿ ♠. Vậy ■ ✭✉✮ ❧✐♠ ✐♥❢ ■ ✭✉♥✮❀ ♥✦✶ hay ■ là liên tục dưới yếu. Ví dụ 1.6. Chuẩn ❦✿❦ trong không gian Banach ❳ là một phiếm hàm lồi liên tục trên ❳ nên nó là nửa liên tục dưới yếu. Như vậy, nếu ✉♥ ✯ ✉ trong ❳ thì ❦✉❦ ❧✐♠ ✐♥❢ ❦✉♥❦✿ ♥✦✶ Định nghĩa. Phiếm hàm ■ ❢✉♥❣ trong ❳ , ✿❳✦ xác định trên không gian Banach ❳ gọi là cưỡng nếu, với mọi dãy ❦✉♥❦ ✦ ✰✶ ✮ ■ ✭✉♥✮ ✦ ✰✶✿ Định lí 1.11. Nếu ❳ là một không gian Banach phản xạ và và cưỡng thì ■ đạt cực tiểu toàn cục. ■✿❳✦ là một phiếm hàm lồi, liên tục ♠ ❂ ✉✐♥❢ ■ ✭✉✮ và ❢✉♥ ❣ là một dãy cực tiểu hóa của ■ . Do ■ là cưỡng nên dãy ✷❳ ❢✉♥❣ là bị chặn. Do ❳ là phản xạ nên tồn tại dãy con ❢✉❦♥ ❣ của dãy ❢✉♥❣ sao cho ✉❦♥ ✯ ✉ trong ❳ . Theo Mệnh đề 1.10, ■ là liên tục dưới yếu nên Chứng minh. Giả sử ■ ✭✉✮ ❧✐♠ ✐♥❢ ■ ✭✉❦♥ ✮ ❂ ♠✿ ♥✦✶ Từ đó suy ra ■ ✭✉✮ ❂ ♠ và ✉ là một điểm cực tiểu toàn cục của ■ . Định lí 1.12. Nếu phiếm hàm ■ cục. ✿❳✦ là lồi nghiêm ngặt thì ■ có nhiều nhất một điểm cực tiểu toàn Chứng minh. Giả sử ✉✶ và ✉✷ là hai điểm cực tiểu toàn cục phân biệt của ■ . Do ■ là lồi nghiêm ngặt nên ✶ ■ ✭ ✉ ✮ ✰ ✶ ■ ✭✉ ✮ ✉ ✰✉ ✮ ❁ ♠✐♥ ■ ✭ ✉ ✮ ■ ✭ ✉✷❳ ✷ ✷ ✷ ✶ ✶ ♠✐♥ ■ ✭✉ ✮ ❂ ♠✐♥ ■ ✭✉✮✿ ❂ ✷ ♠✐♥ ■ ✭ ✉ ✮ ✰ ✉✷❳ ✉ ✷❳ ✷ ✉✷❳ ✶ ✷ ✶ ✷ ✶ Nhưng điều này không xảy ra. Mệnh đề 1.13. Giả sử ❳ là không gian Banach và Nếu ■●✵ đơn điệu trên ❳ , nghĩa là ■✿❳✦ ✷ là phiếm hàm khả vi Gâteaux trên ❳. ❤■●✵ ✭✉✮   ■●✵ ✭✈✮❀ ✉   ✈✐ ✵ với mọi ✉❀ ✈ ✷ ❳❀ thì ■ là lồi. Nếu ■●✵ đơn điệu nghiêm ngặt trên ❳ , nghĩa là bất đẳng thức trên là nghiêm ngặt khi ✉ ✻❂ ✈ , thì ■ là lồi nghiêm ngặt. 10 ✷ ❳ và xét hàm số ✥ ✿ ✦ Chứng minh. Cố định ✉❀ ✈ xác định bởi ✥✭t✮ ❂ ■ ✭✉ ✰ t✭✈   ✉✮✮✿ Khi đó ✥ là hàm khả vi trên và ✥ ✵ ✭t✮ ❂ ❤■●✵ ✭✉ ✰ t✭✈   ✉✮✮❀ ✈   ✉✐. Nếu s ❁ t ta có ✶ ✂ ✥✵ ✭t✮   ✥✵ ✭s✮ ❂ ❤■●✵ ✭✉ ✰ t✭✈   ✉✮✮   ■●✵ ✭✉ ✰ s✭✈   ✉✮✮❀ ✈   ✉✐ ❂ t s ❤■●✵ ✭✉ ✰ t✭✈   ✉✮✮   ■●✵ ✭✉ ✰ s✭✈   ✉✮✮❀ ✭✉ ✰ t✭✈   ✉✮✮   ✭✉ ✰ s✭✈   ✉✮✮✐ ✵✿ Vậy ✥ ✵ là hàm đơn điệu tăng, do đó, ✥ là hàm lồi. Ta có ✥✭t✮ ❂ ✥✭t✿✶ ✰ ✭✶   t✮✿✵✮ t✥✭✶✮ ✰ ✭✶   t✮✥✭✵✮ hay ■ ✭t✈ ✰ ✭✶   t✮✉✮ t■ ✭✈✮ ✰ ✭✶   t✮■ ✭✉✮✿ Nếu ■●✵ là độ đơn điệu nghiêm ngặt thì ✥ ✵ tăng nghiêm ngặt, do đó, ✥ là lồi nghiêm ngặt. Từ đó ■ là lồi nghiêm ngặt. Ví dụ 1.7. Trong Mệnh đề 1.8, nếu giả thiết thêm rằng ❢ là đơn điệu giảm (nghiêm ngặt) thì ■ là lồi (nghiêm ngặt). Thật vậy, do ❢ là đơn điệu giảm nên, ta có ❤■ ✵✭✉✮   ■ ✵✭✈✮❀ ✉   ✈✐ ❂   ❩ Ω ✭❢ ✭✉✮   ❢ ✭✈✮✮✭✉   ✈✮❞① ✵ với mọi ✉❀ ✈ ✷ ▲r✰✶ ✭Ω✮. Hơn nữa, nếu ❢ là đơn điệu giảm nghiêm ngặt và ✉ ✻❂ ✈ , nghĩa là ✉✭①✮ ✻❂ ✈ ✭①✮ h.k.n. trên Ω, thì ✒ ✓✒ ✓ ❢ ✭✉✭①✮✮   ❢ ✭✈✭①✮✮ ✉✭①✮   ✈✭①✮ ❁ ✵ h.k.n. trên Ω❀ do đó, Vậy ■ là lồi nghiêm ngặt. ❤■ ✵✭✉✮   ■ ✵✭✈✮❀ ✉   ✈✐ ❃ ✵✿ Bài tập ◆. Bài tập 1.1. Giả sử Ω là một tập mở bị chặn trong hàm ■ ✿ ❍ ✶ ✭Ω✮ ✦ , ▲✭✉✮ ❂ Bài tập 1.2. Giả sử Ω là tập mở trong ■ ✿ ❍✵✶ ✭Ω✮ ✦ xác định bởi là khả vi và hãy tính ■ ✵ . ❩ Hãy xét tính khả vi và tìm đạo hàm của phiếm ❩ ❥r✉✭①✮❥ ❞① ✰ Ω ✉✭①✮ ❞①✿ Ω ✷ ◆, ✸, và q ✷ ▲ ◆✷ ✭Ω✮. Chứng minh rằng phiếm hàm ◆ ■ ✭✉✮ ❂ ✷ ❩ Ω q✉✷ ❞① 11 Bài tập 1.3. Giả sử ❆✭①✮ ❂ ✭❛✐❥ ✭①✮✮◆ ✐❀❥ ❂✶ là một ma trận cấp ◆ ✂ ◆ của các hàm ✶ q ✷ ▲ ✭Ω✮. Xét dạng song tuyến tính ❛ ✿ ❍ ✶ ✭Ω✮ ✂ ❍ ✶ ✭Ω✮ ✦ xác định bởi ❛✭✉❀ ✈✮ ❂ và phiếm hàm ■ ✿ ❍ ✭Ω ✮ ✦ ✶ ❩ ✏ ❩ ✑ ❆✭①✮r✉✭①✮ r✈✭①✮❞① ✰ Ω Ω ❛✐❥ ✷ ▲✶ ✭Ω✮ và q✭①✮✉✭①✮✈✭①✮❞① xác định bởi ■ ✭✉✮ ❂ ❛✭✉❀ ✉✮ ❂ ❩ ✏ Ω ✑ ❆✭①✮r✉✭①✮ r✉✭①✮❞① ✰ ❩ Ω q✭①✮✉✭①✮✈✭①✮❞①✿ a) Chứng minh rằng ■ thuộc lớp ❈ ✶ trên ❍ ✶ ✭Ω✮ và ■ ✵ ✭✉✮✈ ❂ ✷❛✭✉❀ ✈✮ ❂ ✷ ❩ ✏ Ω ❩ ✑ ❆✭①✮r✉✭①✮ r✈✭①✮❞① ✰ ✷ q✭①✮✉✭①✮✈✭①✮❞①✿ Ω b) Giả sử thêm rằng tồn tại ✖ ❃ ✵ ✭❆✭①✮②❀ ②✮ ✖❥②❥ ✷ với mọi ② ✷ h.k.n. ① ✷ Ω ◆ và q ✷ ▲✶ ✭Ω✮, q ✭①✮ ✵ h.k.n. trên Ω. Chứng minh rằng ■ là lồi nghiêm ngặt. Bài tập 1.4. Giả sử Ω là tập một tậ mở trong ◆ , ♣ ❃ ✶. Xét ❋ ✭✉✮ ❂ là các phiếm hàm xác định trên và ❩ ✶ ❥✉✭①✮❥♣❞①❀ ●✭✉✮ ❂ ✶ ❥r✉✭①✮❥♣❞①❀ ♣ Ω ♣ Ω ❩ ❩ ❲♣✶ ✭Ω✮. Chứng minh rằng ❋ và ● khả vi Fréchet tại mỗi ✉ ✷ ❲♣✶ ✭Ω✮ ❩ ❤❋ ✵✭✉✮❀ ✈✐ ❂ Ω ❥✉❥♣  ✭✉❀ ✈✮❞①❀ ❤●✵✭✉✮❀ ✈✐ ❂ Ω ❥r✉❥♣  ✭r✉❀ r✈✮❞①✿ ✷ ✷ ❞ ✶ ♣ Hint. Đặt ✬✭t✮ ❂ ❥t❥ t với t ✻❂ ✵ và ✬✭✵✮ ❂ ✵. Kiểm tra rằng ✬ liên tục và ❥t❥ ❂ ✬✭t✮. ❞t ♣ Bài tập 1.5. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong ◆ , ❤ ✷ ▲✷ ✭Ω✮ và ✕ ✷ . Xét bài toán ✥ ♣ ✷ ✽ ❁ ✿  ∆✉ ✰ ✕✉ ❂ ❤ trong Ω (1.7) ✉ ❂ ✵ trên ❅ Ω✿ Hàm ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.7) nếu ❩ ❩ ❩ r✉r✈❞① ✰ ✕ Ω ✉✈❞① ❂ Ω ❤✈❞①❀ ✽✈ ✷ ❍ ✭Ω✮✿ Ω ✶ ✵ Xét phiếm hàm ■ ✿ ❍ ✭Ω ✮ ✦ ✶ ✵ xác định bởi ✶ ❥r✉❥ ❞① ✰ ✕ ✉ ❞①   ❤✉❞①✿ ✷ Ω ✷ Ω Ω Chứng minh rằng ■ là cưỡng trên ❍ ✭Ω✮ khi và chỉ khi ✕ ❃  ✕ , trong đó ✕ ❂ ✐♥❢ ❢❦✉❦❍✵✶ Ω ❥ ✉ ✷ ❍ ✭Ω✮❀ ❦✉❦▲✷ Ω ❂ ✶❣ ❃ ✵❀ ■ ✭✉✮ ❂ a) ❩ ✷ ❩ ✷ ✶ ✵ ✶ 12 ❩ ✷ ✶ ✭ ✮ ✶ ✵ ✦ ✭ ✮ b) Chứng minh rằng nếu ✕ ❃  ✕✶ thì bài toán (1.7) có duy nhất một nghiệm yếu. Bài tập 1.6. Giả sử ❳ là một không gian Banach phản xạ và ❋ ✷ ❈ ✶ ✭❳❀ ✮. Giả sử thêm rằng ❋ liên tục yếu (nghĩa là ✉♥ ✯ ✉ ✮ ❋ ✭✉♥ ✮ ✦ ❋ ✭✉✮) và tồn tại các hằng số ☛❀ ☞ ❃ ✵, ✌ ❁ ✷ sao cho ❥❋ ✭✉✮❥ ☛ ✰ ☞ ❦✉❦✌ với mọi ✉ ✷ ❳ . Chứng minh rằng phiếm hàm ■ ✿ ❳ ✦ xác định bởi ✶ ✷ ■ ✭✉✮ ❂ ❦✉❦✷   ❋ ✭✉✮ đạt cực tiểu toàn cục. §2. Cực tiểu toàn cục Xét bài toán ✽ ❁ ✿  ∆✉ ❂ ❢ ✭✉✮ ✰ ❤ ✉❂✵ trong Ω❀ trên ❅ Ω✿ (2.1) Ta đưa ra một số giả thiết sau (H✶ ) Ω là tập mở bị chặn trong ◆ . (H✷ ) ❤ ✷ ❍  ✶ ✭Ω✮. (H✸ ) ❢ ✷ ❈ ✭ ❀ ✮ và tồn tại các hằng số không âm ❛, ❜ sao cho ❥❢ ✭t✮❥ ❛ ✰ ❜❥t❥r với mọi t ✷ , trong đó r là số thoả mãn r ✶ và ✭◆   ✷✮r ◆ ✰ ✷. (H✹ ) Tồn tại số ✕ sao cho ✕ ❁ ✕✶ và với mọi t ✷ , trong đó ❝ ✷ (2.2) ✕ ❋ ✭t✮ ❝ ✰ t✷ (2.3) ✷ là một hằng số nào đó, ✕✶ ❂ ✐♥❢ ❢❦✉❦✷❍✵✶ ✭Ω✮ ❥ ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮❀ ❦✉❦▲✷ ✭Ω✮ ❂ ✶❣ ❃ ✵❀ còn ❋ xác định bởi ❋ ✭t✮ ❂ ❩ ✵ t ❢ ✭s✮❞s❀ t ✷ ✿ Mệnh đề 2.1. Với các giả thiết (H✶ ), (H✷ ) và (H✸ ), phiếm hàm ■ ■ ✭✉✮ ❂ (2.5) ✿ ❍ ✭Ω ✮ ✦ ✶ ✵ ✶ ❥r✉❥ ❞①   ❋ ✭✉✮❞①   ❤❤❀ ✉✐ ✷ Ω Ω ❩ (2.4) xác định bởi ❩ ✷ (2.6) khả vi liên tục trên ❍✵✶ ✭Ω✮, hơn nữa, ■ ✵ ✭✉✮✈ ❂ với mọi ✉❀ ✈ ❩ ❩ Ω r✉r✈❞①   Ω ❢ ✭✉✮✈❞①   ❤❤❀ ✈✐ (2.7) ✷ ❍ ✭Ω ✮. ✶ ✵ 13 Định nghĩa. Hàm ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ gọi là nghiệm yếu của bài toán (2.1) nếu đẳng thức ❩ đúng với mọi ✈ ❩ r✉✿r✈❞① ❂ Ω ❢ ✭✉✮✈❞① ✰ ❤❤❀ ✈✐ Ω (2.8) ✷ ❍ ✭Ω ✮. ✶ ✵ Từ (2.7) và (2.8) suy ra hàm ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ là nghiệm yếu của bài toán (2.1) khi và chỉ khi ■ ✵ ✭✉✮ hay ✉ là một điểm tới hạn của phiếm hàm ■ . ❂✵ Định lí 2.2. Giả sử các điều kiện (H✶ ), (H✷ ), (H✸ ) và (H✹ ) thoả mãn, còn ■ là phiếm hàm xác định bởi (2.6). Khi đó tồn tại ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ sao cho ■ ✭✉✮ ❂ ✐♥❢✶ ■ ✭✈✮✿ (2.9) ✈ ✷❍✵ ✭Ω✮ Hơn nữa ✉ là nghiệm yếu của bài toán (2.1). Chứng minh. [5, Th. 2.3.1] Chứng minh được chia làm 2 bước. Bước 1. Phiếm hàm ■ là cưỡng, nghĩa là, với mọi dãy ❢✉♥ ❣ ✚ ❍✵✶ ✭Ω✮, ❦✉❦❍✵✶ Ω ✦ ✰✶ ✮ ❥■ ✭✉♥✮❥ ✦ ✶✿ ✭ ✮ Thật vậy, trước hết để ý rằng từ (2.3) suy ra ❩ Ω ❋ ✭✉✮❞① ❝❥Ω❥ ✰ ✕❩ ✷ Ω ✉✭①✮✷ ❞① ❝❥Ω❥ ✰ ✕ ✷✕✶ ❦✉❦❍✵✶✭Ω✮✿ (2.10) Từ đó ✶ ❥r✉❥ ❞①   ❋ ✭✉✮❞①   ❤❤❀ ✉✐ ■ ✭✉✮ ❂ ✷ Ω Ω ✶ ❦✉❦ ✶   ✕ ❦✉❦ ✷   ❦❤❦  ✶ ❦✉❦ ✶ ❍ Ω ❍✵ Ω ✷ ❍✵ Ω ✷ ▲ Ω ✶ ✶   ✕   ✎ ❦✉❦ ✶   ❝❥Ω❥   ✶ ❦❤❦  ✶ ✿ ❍✵ Ω ✷ ✕ ✷✎ ❍ Ω ❩ ❩ ✷ ✷ ✷ ✭ ✮ ✒ ✭ ✮ ✭ ✮ ✭ ✮ ✓ ✷ ✶ (2.11) ✭ ✮ ✭ ✮ ✶ ✶   ✕   ✎ ❃ ✵. Viết lại (2.11) thành Vì ✕ ❁ ✕ nên ta có thể chọn ✎ ❃ ✵ đủ bé sao cho ☛ ❂ ✷ ✕ ✶ ■ ✭✉✮ ☛❦✉❦❍✵✶ Ω   ❝❥Ω❥   ❦❤❦❍  ✶ Ω (2.12) ✷✎ với mọi ✉ ✷ ❍ ✭Ω✮. Từ đây suy ra ■ là cưỡng. Bước 2. Phiếm hàm ■ đạt cực tiểu toàn cục. Trước hết, từ (2.12) suy ra, với mọi ✉ ✷ ❍ ✭Ω✮, ✒ ✶ ✓ ✶ ✷ ✭ ✮ ✭ ✮ ✶ ✵ ✶ ✵ ♠ ❂ ✐♥❢✶ ■ ✭✈✮ ❃  ✶✿ ✈ ✷❍✵ ✭Ω✮ Giả sử ❢✉♥ ❣ ✚ ❍✵✶ ✭Ω✮ là dãy cực tiểu hóa của ■ , nghĩa là ❧✐♠ ■ ✭✉♥✮ ❂ ♠✿ ♥✦✶ 14 Từ tính cưỡng của phiếm hàm ■ suy ra dãy ❢✉♥ ❣ bị chặn trong ❍✵✶ ✭Ω✮. Do ❍✵✶ ✭Ω✮ phản xạ và ▲✷ ✭Ω✮ nhúng compact trong ❍✵✶ ✭Ω✮ (vì ✭◆   ✷✮✿✷ ❁ ✷◆ ) nên tồn tại dãy con ✉❦♥ của dãy ❢✉♥ ❣ có các tính chất sau ✎ ✉❦♥ ✯ ✉ trong ❍✵✶✭Ω✮; ✎ ✉❦♥ ✦ ✉ trong ▲✷✭Ω✮; ✎ ✉❦♥ ✭①✮ ✦ ✉✭①✮ h.k.n. trong Ω; ✎ tồn tại ✇ ✷ ▲✷✭Ω✮ sao cho ❥✉❦♥ ✭①✮❥ ✇✭①✮ h.k.n. trong Ω. Do ❋ liên tục nên ❋ ✭✉❦♥ ✭①✮✮ ✦ ❋ ✭✉✭①✮✮ h.k.n. trong Ω. Mặt khác, từ (2.2) suy ra ✕ ✷ ✉❦♥ ✰ ❝   ❋ ✭✉❦♥ ✮ ✵ với mọi ♥ ✶✿ ✷ Do đó ta có thể áp dụng Bổ đề Fatou để nhận được ✥ ❩ Ω ✕ ✦ ❧✐♠ ✐♥❢ ✷ ✉❦♥ ✰ ❝   ❋ ✭✉❦♥ ✮ ❞① ❧✐♠ ✐♥❢ ♥✦✶ ♥✦✶ Vì ✉❦♥ ✭①✮ ✦ ✉✭①✮ h.k.n. trong Ω và ✥ ❩ Ω ✕ ✷ ✥ ❩ ✷ ❘ Ω ✉✷❦♥ ❞① ✦ ❘ ✥ ✕ ✦ ❩ ✉ ✰ ❝   ❋ ✭✉✮ ❞① ✷ và do đó, Ω ✷ Ω Ω ✕ ✦ ✷ ✉❦♥ ✰ ❝   ❋ ✭✉❦♥ ✮ ❞①✿ ✷ ✉✷ ❞① nên từ bất đẳng thức trên nhận được ✦ ✉ ✰ ❝ ❞① ✰ ❧✐♠ ✐♥❢ ♥✦✶ ❩ ✏ ✷ ❩ Ω ✑   ❋ ✭✉❦♥ ✮ ❞①❀ ❩   Ω ❋ ✭✉✮❞① ❧✐♠ ✐♥❢ ✭ ❋ ✭✉❦♥ ✮❞①✿ ♥✦✶ Ω Mặt khác, do chuẩn trong không gian Banach là liên tục dưới yếu nên ❦✉❦❍✵✶ Ω ❧✐♠ ✐♥❢ ❦✉❦♥ ❦❍✵✶ Ω ✿ ♥✦✶ ✷ Cuối cùng, do ✉❦♥ ✭ ✮ ✭ ✮ ✯ ✉ trong ❍✵✶ ✭Ω✮ nên đương nhiên ❤❤❀ ✉❦♥ ✐ ✦ ❤❤❀ ✉✐✿ (2.13) Từ những điều trên ta nhận được ✶ ■ ✭✉✮ ❂ ❦✉❦❍✵✶ Ω   ❋ ✭✉✮❞①   ❤❤❀ ✉✐ ✷ Ω ✶ ❧✐♠ ✐♥❢ ❦✉ ❦ ✶ ✰ ❧✐♠ ✐♥❢   ❋ ✭✉ ✭①✮✮ ❞①   ❧✐♠ ❤❤❀ ✉ ✐ ❦♥ ❦♥ ♥✦✶ ✷ ♥✦✶ ❦♥ ❍✵ Ω ♥✦✶ Ω ❧✐♠ ✐♥❢ ✶✷ ❦✉❦♥ ❦❍✵✶ Ω   Ω ❋ ✭✉❦♥ ✭①✮✮❞①   ❤❤❀ ✉❦♥ ✐ ♥✦✶ ❂ ❧✐♠ ✐♥❢ ■ ✭✉❦♥ ✮ ❂ ♠✿ ♥✦✶ ❩ ✭ ✮ ❩ ✏ ✑ ✭ ✮ ✒ ❩ ✓ ✭ ✮ Nhưng vì ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ nên ■ ✭✉✮ ♠, do đó, ■ ✭✉✮ ❂ ♠. Vậy phiếm hàm ■ đạt cực tiểu toàn cục tại ✉ và ✉ là một nghiệm yếu của bài toán (2.1). Nhận xét. 1) Các giả thiết ✭H3 ✮ và ✭H4 ✮ sẽ tự động thoả mãn nếu hàm số ❢ ❥❢ ✭t✮❥ ❛ ✰ ❜❥t❥ ✷ ❈ ✭ ❀ ✮ thoả mãn (2.14) 15 với mọi t ✷ , trong đó ❛ và ❜ là các hằng số không âm, ❜ ❁ ✷ nếu ❜ ❁ ✕ ✷ ❁ ✕✶ ✷ ✷ . Thật vậy, từ (2.14) suy ra ✕ ❝ ✰ t✷ ❥❋ ✭t✮❥ ❛❥t❥ ✰ ❜❥t❥ với mọi t ✷ ✕✶ (2.15) ✷ và ❝ được chọn đủ lớn. ✷ ❈ ✭ ❀ ✮ thoả mãn ❥❢ ✭t✮❥ ❛ ✰ ❜ ❥t❥✛ với mọi t ✷ , trong đó ❛ và ❜ là các hằng số không âm, còn ✛ ✷ ✭✵❀ ✶✮. 2) Ta sẽ có (2.14) (do đó có ✭H3 ✮ và ✭H4 ✮) nếu ❢ ✶ (2.16) ✶ Hàm số ❢ thoả mãn (2.16) được gọi là tăng trưởng dưới tuyến tính, còn nếu ta nói ❢ tăng trưởng không quá tuyến tính. ❢ thoả mãn (2.14) thì Định lí 2.3. Giả sử các điều kiện (H✶ ), (H✷ ), (H✸ ) và (H✹ ) thoả mãn. Giả sử thêm rằng hàm số ✕t   ❢ ✭t✮ là hàm đơn điệu tăng. Khi đó bài toán (2.1) có duy nhất một nghiệm yếu. ✸ t ✼✦ Chứng minh. [5, 2.3.7] Sự tồn tại của nghiệm yếu nhận được từ Định lí 2.2. Để chứng minh tính duy nhất, theo Định lí 1.12, ta chỉ cần phải chứng tỏ phiếm hàm ■ xác định bởi (2.6) là lồi nghiêm ngặt. Viết ■ ❂ ■✶ ✰ ■✷ ✰ ■✸ , trong đó ✶ ❥r✉❥ ❞①   ✕ ✉ ❞①❀ ✷ Ω ✷ Ω ✕ ■ ✭✉✮ ❂ ✷ ✉   ❋ ✭✉✮ ❞①❀ Ω ■ ✭✉✮ ❂ ❤❤❀ ✉✐ ❀ ❩ ■✶ ✭✉✮ ❂ ❩ ✷ ❩ ✷ ✥ ✦ ✷ ✷ ✸ với ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮. Ta thấy ■✶ ✭✉✮ ❂ ❛✭✉❀ ✉✮ ❃ ✵ với mọi ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮, trong đó ✶ r✉r✈❞① ✰ ✶ ✉✈❞① ✭✉❀ ✈ ✷ ❍ ✭Ω✮✮✿ ❛✭✉❀ ✈✮ ❂ ✷ Ω ✷ Ω ❩ ❩ ✶ ✵ Do đó ■✶ là lồi nghiêm ngặt (xem Ví dụ 1.5). Mặt khác, do ✭ ✕✷ t   ❋ ✭t✮✮✵ ❂ ✕t   ❢ ✭t✮ ✷ là hàm tăng nên ■✷ là lồi (xem Ví dụ 1.7). Phiếm hàm nhân được ■ là lồi nghiêm ngặt. ■✷ là tuyến tính nên đương nhiên là lồi. Từ đó Bài tập ✸. Xét hàm số ❢ ✭t✮ ❂ ☛❥t❥♣  t ✰ ☞ ❥t❥q  t ✰ ✌t❀ ◆ ✰✷ trong đó ☛ ❁ ✵, ☞ ✷ , ✌ ✷ và ✶ ❁ q ❁ ♣ . Chứng minh rằng rằng ❢ thoả mãn các điều ◆  ✷ Bài tập 1.7. Giả sử ◆ ✶ kiện (H✸ ) và (H✹ ). 16 ✶ Bài tập 1.8. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong ◆ . Cho ❢ ✿ Ω ✂ ✦ là hàm liên tục H¨ older địa phương và tồn tại hàm số ❛✶ ✭①✮ ✷ ▲✷ ✭Ω✮ và các số ❛✷ ❃ ✵, ✵ ❁ q ❁ ✶ sao cho ❥❢ ✭①❀ ✉✮❥ ❛ ✭①✮ ✰ ❛ ❥✉❥q ❀ ✽✭①❀ ✉✮ ✷ Ω ✂ ✿ ✶ Đặt ❋ ✭①❀ ✉✮ ❂ Xét phiếm hàm Φ ✿ ❍✵✶ ✭Ω✮ ✦ (2.17) ✷ ❩ ✉ ✵ ❢ ✭①❀ s✮❞s❀ ✉ ✷ ✿ xác định bởi Φ✭✉✮ ❂ ❩ Ω ❋ ✭①❀ ✉✭①✮✮❞①✿ a) Chứng minh rằng Φ thuộc lớp ❈ ✶ trên ❍✵✶ ✭Ω✮. b) Xét bài toán ✽ ❁ ✿  ∆✉✭①✮ ❂ ❢ ✭①❀ ✉✭①✮✮❀ ① ✷ Ω ✉✭①✮ ❂ ✵❀ ① ✷ ❅ Ω✿ (2.18) Hàm ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ gọi là nghiệm yếu của bài toán (3.4) nếu ❩ ❩ Ω với mọi ✈ r✉r✈❞① ❂ Ω ❢ ✭①❀ ✉✮✈❞① ✷ ❍ ✭Ω✮. Chứng minh rằng bài toán (3.4) có ít nhất một nghiệm yếu. ✶ ✵ §3. Cực trị ràng buộc Xét bài toán ✽ ❁ ✿  ∆✉ ✰ ✕✉ ❂ ❛❥✉❥♣  ✉ ✶ ✉❂✵ trong Ω trên ❅ Ω❀ (3.1) ✕ và ❛ là các số thực cho trước. Định lí 3.1 (Nhân tử Lagrange). Giả sử ❳ là một không gian Banach và ■❀ ❋ ✷ ❈ ✭❳❀ ✮. Đặt ✶ ▼ ❂ ❢✈ ✷ ❳ ❥ ❋ ✭✈✮ ❂ ✵❣✿ Giả sử ❙ ✚ ▼ , ❙ ✻❂ ❀ và ✉ ✷ ❙ sao cho ✵ ■ ✭✉✵ ✮ ❂ ✈✐♥❢ ■ ✭✈ ✮✿ ✷❙ Nếu ❋ ✵ ✭✉✵ ✮ ✻❂ ✵ và ▼ ❭❢✉ ✷ ❳ ✕ ✷ sao cho ❥ ❦✉   ✉ ❦❳ ✑❣ ✚ ❙ với ✑ ❃ ✵ nào đó. Khi đó tồn tại nhân tử Lagrange ✵ ■ ✵ ✭✉✵ ✮ ❂ ✕❋ ✵ ✭✉✵ ✮✿ Chứng minh. Chứng minh được chia làm 2 bước. Bước 1: Chứng minh ❑❡r ❋ ✵ ✭✉✵ ✮ ✚ ❑❡r ■ ✵ ✭✉✵ ✮. Đặt ❳✵ sao cho ❤❋ ✵ ✭✉✵ ✮❀ ✇✐ ❂ ✶. Xét hàm số ❂ ❑❡r ❋ ✵✭✉ ✮. Vì ❋ ✵✭✉ ✮ ✻❂ ✵ nên tồn tại ✇ ✷ ❳ ✵ ✵ ✣ ✿ ❳✵ ✂ ✦ ❀ ✭✈❀ t✮ ✼✦ ❋ ✭✉✵ ✰ ✈ ✰ t✇✮✿ 17 Ta có ✣✭✵❀ ✵✮ ❂ ✵❀ ❅t ✣✭✵❀ ✵✮ ❂ ❤❋ ✵ ✭✉✵ ✮❀ ✇✐ ❂ ✶ và ❅✈ ✭✵❀ ✵✮ ❂ ❋ ✵ ✭✉✵ ✮❥❳✵ ❂ ✵✿ Theo định lí hàm ẩn, tồn tại ✎ ❃ ✵ và ánh xạ t ✷ ❈ ✶ ✭❇✎ ❀ ✮ sao cho t✭✵✮ ❂ ✵❀ t✵ ✭✵✮ ❂ ✵ và ✣✭✈❀ t✭✈✮✮ ❂ ✵ với mọi ✈ ✷ ❇✎ ✿ ở đó ❇✎ ❂ ❢✈ ✷ ❳✵ ❥ ❦✈ ❦❳✵ ❁ ✎❣. Đến đây ta nhận được ❋ ✭✉✵ ✰ ✈ ✰ t✭✈ ✮✇✮ ❂ ✵ với mọi ✈ ✷ ❇✎ , nghĩa là, ✉✵ ✰ ✈ ✰ t✭✈ ✮✇ ✷ ▼ với mọi ✈ ✷ ❇✎ . Theo giả thiết, có thể chọn ✎ đủ nhỏ sao cho ✉✵ ✰ ✈ ✰ t✭✈ ✮✇ ✷ ❙ với mọi ✈ ✷ ❇✎ . Do đó, ■ ✭✉✵ ✰ ✈ ✰ t✭✈✮✇✮ ■ ✭✉✵ ✮ với mọi ✈ ✷ ❇✎ ✿ Bây giờ cố định ✈ ✷❳ ✵ ✦ và xét hàm số ✬ ✿ xác định bởi ✬✭s✮ ❂ ■ ✭✉✵ ✰ s✈ ✰ t✭s✈✮✇✮   ■ ✭✉✵ ✮ với ❥s❥ ❁ ✎❦✈❦ ❳✶ ✿ Ta có ✬✭✵✮ ❂ ✵ và ✬✭s✮ ✵. Điều này suy ra ✬✵✭✵✮ ❂ ✵. Mặt khác, ta có ✬✵ ✭✵✮ ❂ ❤■ ✵ ✭✉✵ ✮❀ ✈ ✰ ❤t✵ ✭✵✮❀ ✈✐✇✐ ❂ ❤■ ✵ ✭✉✵ ✮❀ ✈✐ ✿ Từ đó ta nhận được ✈ ✷ ❑❡r ■ ✵ ✭✉✵ ✮, và do đó, ❑❡r ❋ ✵ ✭✉✵ ✮ ✚ ❑❡r ■ ✵ ✭✉✵ ✮. Bước 2: Chứng minh kết luận của định lí. Giả sử ✇ ✷ ❳ xác định như ở Bước 1. Đặt mọi ✉ ✷ ❳ , ta có ✕ ❂ ■ ✵ ✭✉✵ ✮. Với ❤❋ ✵✭✉ ✮❀ ✉   ❤❋ ✵✭✉ ✮❀ ✉✐ ✇✐ ❂ ❤❋ ✵✭✉ ✮❀ ✉✐   ❤❋ ✵✭✉ ✮❀ ✉✐ ✂ ❤❋ ✵✭✉ ✮❀ ✇✐ ❂ ✵✿ ✵ ✵ Suy ra ✵ ✵ ✵ ✉   ❤❋ ✵ ✭✉✵ ✮❀ ✉✐ ✇ ✷ ❑❡r ❋ ✵ ✭✉✵ ✮❀ do đó theo Bước 1, ✉   ❤❋ ✵ ✭✉✵ ✮❀ ✉✐ ✇ ✷ ❑❡r ■ ✵ ✭✉✵ ✮❀ nghĩa là ❤■ ✵✭✉ ✮❀ ✉   ❤❋ ✵✭✉ ✮❀ ✉✐ ✇✐ ❂ ✵ ✵ ✵ hay ❤■ ✵✭✉ ✮❀ ✉✐ ❂ ❤❋ ✵✭✉ ✮❀ ✉✐ ✂ ❤■ ✵✭✉ ✮❀ ✇✐ ❂ ✕ ❤❋ ✵✭✉ ✮❀ ✉✐ ✿ Điều này đúng với mọi ✉ ✷ ❳ nên ■ ✵ ✭✉ ✮ ❂ ✕❋ ✵ ✭✉ ✮. Định lí 3.2. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong ◆ , ✕ ❃  ✕ , ❛ ❃ ✵ và ♣ ❃ ✶ thoả mãn ✭◆  ✷✮♣ ❁ ◆ ✰✷. Khi đó bài toán (3.1) có nghiệm yếu không tầm thường ✉ ✷ ❍ ✭Ω✮, hơn nữa, ✉ ✵ trên Ω. ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✶ Chứng minh. Đặt ❋ ✭✉✮ ❂ và ✶ ❥✉❥♣ ❞①   ✶ ♣✰✶ Ω ❩ ✰✶ ✶ ❥r✉❥ ❞① ✰ ✕ ✉ ❞①✿ ■ ✭✉✮ ❂ ✷ Ω ✷ Ω ❩ ❩ ✷ 18 ✶ ✵ ✷ ✷ ❈ ✭❍ ✭Ω✮❀ ✮. Bây giờ đặt ▼ ❂ ❙ ❂ ❢✉ ✷ ❍ ✭Ω✮ ❥ ❋ ✭✉✮ ❂ ✵❣✿ Ta có ❋ ✵ ✭✉✮ ❂ ❥✉❥♣  ✉ ✻❂ ✵ với mọi ✉ ✷ ❙ . Bây giờ ta sẽ chỉ ra tồn tại ✉ ✷ ❙ sao cho Theo Hệ quả 1.9, ta có ❋❀ ■ ✶ ✶ ✵ ✶ ✵ ✶ ✵ ■ ✭✉✵ ✮ ❂ ✈✐♥❢ ■ ✭✈ ✮✿ ✷❙ (3.2) ✵ nên tồn tại ✈✐♥❢ ■ ✭✈✮ ✵✿ Giả sử ❢✉♥ ❣ là một dãy cực tiểu hóa của ■ trên ❙ , nghĩa là ❢✉♥ ❣ ✚ ❙ ✷❙ và ❧✐♠ ■ ✭✉♥ ✮ ❂ ✐♥❢ ■ ✭✈ ✮. Do ✕ ❃  ✕ nên tồn tại ☛ ❃ ✵ sao cho ♥✦✶ ✈ ✷❙ Vì ■ ✶ ■ ✭✉✮ ☛❦✉❦✷❍✵✶ ✭Ω✮ ❀ ✽✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮✿ Từ đây suy ra ❢✉♥ ❣ là bị chặn trong ❍✵✶ ✭Ω✮. Bằng cách thay ✉♥ bởi ❥✉♥ ❥, ta có thể coi ✉ ✵ với mọi ♥ ✶. Do ❍✵✶ ✭Ω✮ phản xạ và nhúng compact trong ▲♣✰✶ ✭Ω✮ nên tồn tại dãy con ❢✉❦♥ ❣ và ✉✵ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ sao cho ✎ ✉❦♥ ✯ ✉✵ trong ❍✵✶✭Ω✮; ✎ ✉❦♥ ✦ ✉✵ trong ▲♣✰✶✭Ω✮; ✎ ❦✉✵❦❍✵✶✭Ω✮ ❧✐♠ ✐♥❢ ❦✉❦♥ ❦❍✵✶✭Ω✮. ♥✦✶ Từ đây suy ra ❋ ✭✉✵ ✮ ❂ ✵, nghĩa là ✉✵ ✷ ❙ , và ■ ✭✉✵ ✮ ❧✐♠ ✐♥❢ ■ ✭✉❦♥ ✮. Vậy ✉✵ thoả mãn (3.2), hơn nữa, ♥✦✶ ✉✵ ✵ và ✉✵ ✻❂ ✵. Theo Định lí 3.1, tồn tại nhân tử Lagrange ✖ ✷ ❩ ❩ ❩ r ✉ r✈❞① ✰ ✕ ✉ ✈❞① ❂ ✖ ❥✉ ❥♣  ✉ ✈❞① Ω Ω Ω ✵ với mọi ✈ sao cho ■ ✵ ✭✉✵ ✮ ❂ ✖❋ ✵ ✭✉✵ ✮, nghĩa là ✷ ❍ ✭Ω✮. Thay ✈ ❂ ✉ ✶ ✵ ✵ ✵ ✶ ✵ (3.3) ✵ vào (3.3) ta nhận được ❩ ■ ✭✉✵ ✮ ❂ ✖ ❥✉✵ ❥♣✰✶ ❞①✿ Ω ✉✵ ✻❂ ✵ nên từ đẳng thức này suy ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ và từ (3.3) ta nhận được Vì ❩ ra ■ ✭✉✵ ✮ ❃ ✵ và ❩ ✖ ❃ ✵. ✶ ✖ ✓ ♣ ✶ ✉❂ ✉✵ . ❛ ✒ Bây giờ đặt Khi đó ❩ r✉r✈❞① ✰ ✕ Ω ✉✈❞① ❂ ❛ Ω ❥✉❥♣  ✉✈❞① ✶ Ω với mọi ✈ ✷ ❍ ✭Ω✮. Vậy ✉ là một nghiệm yếu của bài toán (3.1). ✶ ✵ Bài tập Bài tập 1.9. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong toán ✽ ❁ ◆, ◆  ∆✉ ❂ ❤✭①✮❥✉❥♣  ✉❀ ✉ ❂ ✵❀ ✿ ✷ ✸, ❤ ✷ ▲✶✭Ω✮, ✷ ❁ ♣ ❁ ✷✄ ❂ ◆✷◆   ✷ . Xét bài trong Ω trên ❅ Ω✿ (3.4) 19 a) Chứng minh rằng nếu ❤✭①✮ ✵ h.k.n. trên Ω thì bài toán không có nghiệm yếu không tầm thường. b) Chứng minh rằng nếu ❤✭①✮ ❃ ✵ trên một tập có độ đo dương thì bài toán có nghiệm yếu không tầm thường. Gợi ý: Sử dụng các lập luận tương tự như trong chứng minh Định lí 3.2 với tập ▼ ❂ ❢✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ ❥ ❩ Ω ❤✭①✮❥✉❥♣ ❞① ❂ ✶❣✿ §4. Định lí qua núi Xét bài toán ✽ ❁ ✿  ∆✉ ✰ ✕✉ ❂ ❢ ✭✉✮ trong Ω trên ❅ Ω❀ ✉❂✵ (4.1) ✕ là số thực cho trước. 1. Định lí qua núi Định nghĩa. Giả sử ❳ là một không gian Banach, ■ ✷ ❈ ✶ ✭❳❀ ✮. Với ❝ ✷ cho trước, ta nói ■ thoả mãn điều kiện Palais - Smale tại mức ❝ (nói ngắn gọn, ■ thoả mãn ✭P S ✮❝ ) nếu, với mỗi dãy ❢✉♥ ❣ ✚ ❳ , ✽ ❁ ✿ ■ ✭✉♥ ✮ ✦ ❝ ■ ✵ ✭✉♥ ✮ ✦ ✵ trong ❳ ✄ ✮ ❝ là một điểm tới hạn của ■ (nghĩa là tồn tại ✉ ✷ ❳ sao cho ■ ✭✉✮ ❂ ❝ và ■ ✵ ✭✉✮ ❂ ✵). Ta nói ■ thoả mãn điều kiện Palais - Smale (nói ngắn gọn, ■ thoả mãn ✭P S ✮) nếu ■ thoả mãn ✭P S ✮❝ với mọi ❝ ✷ . Định nghĩa. Với ❝ ✷ , đặt ❆❝ ❂ ❢✉ ✷ ❳ ✿ ■ ✭✉✮ ❝❣✿ Bổ đề 4.1. Giả sử ❍ là một không gian Hilbert và ❋ ✿ ❍ ✦ ❍ phương. Khi đó, với mỗi ✉ ✷ ❍ , bài toán Cauchy (4.2) là một ánh xạ liên tục Lipschitz địa ✽ ❁ ❞✑ ❂ ❋ ✭✑ ✮ ✑✭✵✮ ❂ ✉ ❞t ✿ (4.3) có nghiệm duy nhất trên một khoảng ❏ nào đó chứa điểm ✵. Nếu coi nghiệm như một hàm của viết ✑ ✭t❀ ✉✮, thì ✑ ✭t❀ ✉✮ là một hàm liên tục theo ✭t❀ ✉✮. Nếu giả thiết thêm rằng ❋ bị chặn trên ❍ , nghĩa là tồn tại hàm số ❈ sao cho t và ✉, ❦❋ ✭✉✮❦ ❈❀ ✽✉ ✷ ❍❀ thì nghiệm của bài toán (4.3) tồn tại duy nhất trên ❏ ❂ . Bổ đề 4.2 (về biến dạng). Giả sử ■ ✿ ❍ ✦ là phiếm hàm thuộc lớp ❈ ✶ trên không gian Hilbert ❍ thoả mãn điều kiện Palais - Smale và ❝ ✷ không là giá trị tới hạn của ■ . Khi đó, với ✎ ❃ ✵ đủ nhỏ, tồn tại hằng số ✵ ❁ ✍ ❁ ✎ và hàm ✑ ✷ ❈ ✭❬✵❀ ✶❪ ✂ ❍❀ ❍ ✮ thoả mãn 20 (i) (ii) (iii) (iv) ✑✭✵❀ ✉✮ ❂ ✉ với mọi ✉ ✷ ❍ ; ✑✭✶❀ ✉✮ ❂ ✉ với mọi ✉ ✷❂ ■  ✶ ✭❬❝   ✎❀ ❝ ✰ ✎❪✮; ■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮ ■ ✭✉✮ với mọi t ✷ ❬✵❀ ✶❪, ✉ ✷ ❍ ; ✑✭✶❀ ❆❝✰✍ ✮ ✚ ❆❝ ✍ . Chứng minh. Ta sẽ chứng minh cho trường hợp ■ ✷ ❈ ✶❀✶ ✭❍❀ ✮. Trước hết, ta sẽ chứng tỏ bằng phản chứng rằng tồn tại ✵ ❁ ✛❀ ✎ ❁ ✶ sao cho ❦■ ✵✭✉✮❦ ✛❀ ✽✉ ✷ ❆❝ ✎♥❆❝ ✎✿ (4.4) Giả sử điều này không đúng. Khi đó, tồn tại các dãy số dương ❢✛❦ ❣, ❢✎❦ ❣, ✛❦ ✦ ✵, ✎❦ ✦ ✵ và các phần tử ✉❦ ✷ ❆❝ ✎❦ ♥❆❝ ✎❦ sao cho ❦■ ✭✉❦ ✮❦ ✛❦ ✿ Như vậy ta có dãy ❢✉❦ ❣ ✚ ❍ sao cho ■ ✭✉❦ ✮ ✦ ❝ ■ ✵ ✭✉❦ ✮ ✦ ✵✿ ✰ ✰ ✽ ❁ ✿ Do ■ thoả mãn điều kiện Palais - Smale nên ❝ là giá trị tới hạn của ■ . Điều này trái giả thiết. Bây giờ cố đinh ✍ ❃ ✵ thoả mãn ✵ ❁ ✍ ❁ ✎ và ✵ ❁ ✍ ❁ ✛✷ ✿ ✷ (4.5) Đặt ❆ ❂ ❢✉ ✷ ❍ ❥ ■ ✭✉✮ ❝   ✎ hoặc ■ ✭✉✮ ❝ ✰ ✎❣❀ ❇ ❂ ❢✉ ✷ ❍ ❥ ❝   ✍ ■ ✭✉✮ ❝ ✰ ✍ ❣✿ ✷ ❈ ❀ ✭❍❀ ✮ nên tồn tại ▼ ❃ ✵ sao cho ❥❥■ ✵✭✉✮❥❥ ▼❀ ✽✉ ✷ ❍✿ Với mọi ✉ ✷ ❆, ✈ ✷ ❇ , ta có ✎   ✍ ❥■ ✭✉✮   ■ ✭✈✮❥ ▼ ❦✉   ✈❦✿ Vì ■ ✶✶ Do đó ❞✭❆❀ ❇ ✮ ❂ ✐♥❢ ❢❦✉   ✈❦ ❥ ✉ ✷ ❆❀ ✈ ✷ ❇ ❣ Với mỗi ✉ ✷ ❍ , ❊ ✚ ❍ , đặt ✎ ✍ ❃ ✵✿ ▼ ❞✭✉❀ ❊ ✮ ❂ ✐♥❢ ❢❦✉   ✈❦❍ ❥ ✈ ✷ ❊ ❣ là khoảng cách từ điểm ✉ đến tập con ❊ trong ❍ . Đương nhiên ta có ❞✭✉❀ ❆✮ ✰ ❞✭✉❀ ❇ ✮ ❞✭❆❀ ❇ ✮ ❃ ✵✿ Xét hàm số ❣ ✿❍✦ xác định bởi ❣✭✉✮ ❂ Rõ ràng ❞✭✉❀ ❆✮ ✿ ❞✭✉❀ ❆✮ ✰ ❞✭✉❀ ❇ ✮ ❣ ✷ ❈ ✭❍❀ ✮❀ ✵ ❣ ✶❀ ❣❥❆ ✑ ✵ và ❣❥❇ ✑ ✶✿ 21 Tính toán trực tiếp ta thấy rằng ✰ ❞✭✈❀ ❆✮✭❞✭✈❀ ❇ ✮   ❞✭✉❀ ❇ ✮✮ ❥❣✭✉✮   ❣✭✈✮❥ ❂ ✭❞✭✉❀ ❆✮ ✭ ❞✭❞✉❀✭✈❀❆❆✮ ✮✮✰❞❞✭✭✈❀✉❀❇❇✮✮✮✭ ❞✭✈❀ ❆✮ ✰ ❞✭✈❀ ❇ ✮✮ ✷ ❦✉   ✈ ❦✿ ❞✭❆❀ ❇ ✮ Điều này chứng tỏ ❣ là phiếm hàm Lipschitz. Như vậy ❣ ✷ ❈ ❀ ✭❍❀ ✮. Đặt ✶❀ ✵ t ✶ ❤✭t✮ ❂ ✶❂t❀ t ✶✿ và xác định ánh xạ ❱ ✿ ❍ ✦ ❍ bởi ❱ ✭✉✮ ❂  ❣✭✉✮❤✭❦r■ ✭✉✮❦✮r■ ✭✉✮✿ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ✵✶ ✽ ❁ (4.6) ✿ Rõ ràng ❤ là hàm số Lipschitz. Từ tính liên tục Lipschitz của ❣ , ❤, ■ dễ dàng kiểm tra Lipschitz địa phương. Hơn nữa, ❱ ✭✉✮ ✶ với mọi ✉ ✷ ❍ . Bây giờ, với mỗi ✉ ✷ ❍ , xét bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân (4.7) ❱ là liên tục ✽ ❁ ❞✑ ✭t✮ ❂ ❱ ✭✑✭t✮✮ ✭t ❃ ✵✮❀ ✑✭✵✮ ❂ ✉✿ ❞t (4.8) ✿ Vì ❱ bị chặn và Lipschitz địa phương nên, theo Bổ đề 4.1, bài toán (4.8) có nghiệm duy nhất ✑ ❂ ✑ ✭t❀ ✉✮ (t ✵❀ ✉ ✷ ❍ ). Hạn chế ✑ ✭t❀ ✉✮ trên ❬✵❀ ✶❪ ✂ ❍ ta được ánh xạ ✑ ✷ ❈ ✭❬✵❀ ✶❪ ✂ ❍❀ ❍ ✮ thoả mãn điều kiện ✭✐✮. Ta có ❞ ❞ ■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮ ❂ ❤■ ✵ ✭✑✭t❀ ✉✮✮❀ ✑✭t❀ ✉✮✐ ❞t ❞t ✓ ✒ ❞ ❂ r■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮❀ ❞t ✑✭t❀ ✉✮ ✒ ✏ ✑ ✏ ✑✓ ❂ r■ ✑✭t❀ ✉✮ ❀ ❱ ✑✭t❀ ✉✮ ✏ ✑ ✏ ✑ ✏ ✑ ❂  ❣ ✑✭t❀ ✉✮ ❤✭❦r■ ✑✭t❀ ✉✮ ❦✮ ❦r■ ✑✭t❀ ✉✮ ❦ với mọi ✉ ✷ ❍ , t ✷ ❬✵❀ ✶❪. Từ đây suy ra ■ thoả mãn ✭✐✐✐✮. ✷ ✵ (4.9) Bây giờ lấy ✉ ✷ ❆❝✰✍ . Để chứng minh (iv), ta cần chững tỏ ✑✭✶❀ ✉✮ ✷ ❆❝ ✍ ✿ Nếu (4.10) không xảy ra thì ■ ✭✑ ✭✶❀ ✉✮✮ ❃ ❝   ✍ . Khi đó ❝   ✍ đó, ❣ ✭✑ ✭t❀ ✉✮✮ ❂ ✶ với mọi t ✷ ❬✵❀ ✶❪. Từ (4.9) ta có (4.10) ❁ ■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮ ❝ ✰ ✍ với mọi t ✷ ❬✵❀ ✶❪, do ❞ ■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮ ❂  ❤✭❦r■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮❦✮❦r■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮❦✷ ✿ ❞t Từ (4.4) và (4.6)ta thấy nếu ❦r■ ✭✑ ✭t❀ ✉✮✮❦ ✶ thì ❞ ■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮  ✛✷ ❀ ❞t 22 (4.11) và nếu ❦r■ ✭✑ ✭t❀ ✉✮✮❦ ✶ thì ❞ ■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮ ❂  ❦r■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮❦  ✛ ❁  ✛✷ ✿ ❞t Từ những điều này cùng với (4.5) suy ra ■ ✭✑✭t❀ ✉✮✮ ■ ✭✉✮   ✛✷ ❝ ✰ ✍   ✛✷ ❝   ✍✿ Ta nhận được mẫu thuẫn. Vậy có (4.10). Định lí 4.3 (Định lí qua núi). Giả sử ❍ là không gian Hilbert và Palais - Smale. Giả sử thêm rằng các điều kiện sau được thoả mãn (i) ■ ✭✵✮ ❂ ✵; (ii) tồn tại ✎❀ ✌ ❃ ✵ sao cho ■ ✭✉✮ ✌ nếu ❦✉❦ ❂ ✎; (iii) tồn tại ✉✵ ✷ ❍ sao cho ❦✉✵ ❦ ❃ ✎ và ■ ✭✉✵ ✮ ❁ ✌ . Đặt Γ ■ ✷ ❈ ✶ ✭❍❀ ✮ thoả mãn điều kiện ❂ ❢❣ ✷ ❈ ✭❬✵❀ ✶❪❀ ❍ ✮ ❥ ❣✭✵✮ ❂ ✵❀ ❣✭✶✮ ❂ ✉ ❣ ✵ và ❝ ❂ ✐♥❢ ♠❛① ■ ✭❣✭t✮✮✿ ❣ ✷Γ t✷❬✵❀✶❪ Khi đó ❝ là một giá trị tới hạn của ■ . Chứng minh. Rõ ràng ❝ ✌ . Giả sử ❝ không phải là một giá trị tới hạn của ■ . Chọn ♠✐♥✭✌❀ ✌   ■ ✭✉✵✮✮. Theo Bổ đề 4.2, tồn tại ✵ ❁ ✍ ❁ ✎ và ánh xạ liên tục ✑ ✿ ❍ ✦ ❍ sao cho ✑✭❆❝✰✍ ✮ ✚ ❆❝ ✍ và Bây giờ chọn ❣ ✷ Γ sao cho ✵❁✎❁ (4.12) ✑✭✉✮ ❂ ✉❀ ✽✉ ✷❂ ■  ✶ ✭❬❝   ✎❀ ❝ ✰ ✎❪✮✿ ♠❛① ■ ✭❣✭t✮✮ ❁ ❝ ✰ ✍✿ t ✵ ✶ (4.13) ❣⑦ ❂ ✑ ✍ ❣ ✷ Γ . Để ý rằng ■ ✭✵✮ ❂ ✵ ❁ ❝   ✍ và ■ ✭✉✵ ✮ ❁ ❝   ✍ nên ❣⑦✭✵✮ ❂ ✑✭✵✮ ❂ ✑✭✵✮ ❂ ✵ và ❣⑦✭✶✮ ❂ ✑✭✉✵ ✮ ❂ ✉✵ . Vậy ❣⑦ ✷ Γ . Kết hợp (4.12) và (4.13) ta nhận được Khi đó ♠❛① ❣⑦✭t✮ ❝   ✍✿ t ✵ Điều này dẫn đến ✶ ❝ ❂ ✐♥❢ ♠❛① ■ ✭❣✭t✮✮ ❝   ✍✿ ❣ ✷Γ t✷❬✵❀✶❪ Đây là điều không thể xảy ra. Hệ quả 4.4. Giả sử ❍ là không gian Hilbert và ■ ✷ ❈ ✶ ✭❍❀ ✮ thoả mãn điều kiện Palais - Smale. Giả sử thêm rằng các điều kiện sau được thoả mãn (i) ■ ✭✵✮ ❂ ✵; (ii) tồn tại ✎❀ ✌ ❃ sao cho ■ ✭✉✮ ✌ nếu ❦✉❦ ❂ ✎; (iii) tồn tại ✉✵ ✷ ❳ sao cho ❦✉✵ ❦ ❃ ✎ và ■ ✭✉✵ ✮ ❁ ✌ . Khi đó tồn tại ❝ ✌ và ✉ ✷ ❍ sao cho ■ ✭✉✮ ❂ ❝ và r■ ✭✉✮ ❂ ✵. 23 2. Định lí tồn tại nghiệm Định lí 4.5. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong ❢ ✷ ❈ ✭ ❀ ✮. Đặt ❩ ✉ ❋ ✭✉✮ ❂ ✵ ◆ và ✕ ❃  ✕✶ , trong đó ✕✶ xác định bởi (2.4). Giả sử ❢ ✭t✮❞t với ✉ ✷ ✿ Giả sử các điều kiện sau thoả mãn (i) ❢ ✭✵✮ ❂ ✵; (ii) tồn tại số ♣ ❃ ✶ sao cho ✭◆   ✷✮♣ ❁ ✭◆ ✰ ✷✮ và hằng số ❈ sao cho ❥❢ ✭✉✮❥ ❈ ✭✶ ✰ ❥✉❥♣✮ với mọi ✉ ✷ ❀ (iii) tồn tại các số ♠ ❃ ✵, ✗ ❁ ✕ ✰ ✕✶ sao cho ❥❋ ✭✉✮❥ ✗✷ ✉ ✷ (iv) tồn tại các số ▼ nếu ❥✉❥ ♠❀ ❃ ✵ và ✒ ❃ ✷ sao cho ✵ ❁ ✒❋ ✭✉✮ ✉❢ ✭✉✮ nếu ❥✉❥ ▼✿ Khi đó bài toán (4.1) có nghiệm yếu không tầm thường trong ❍ ✭Ω✮. ✶ ✵ Chứng minh. Đặt ✶ ❥r✉❥ ❞① ✰ ✕ ✉ ❞①   ❋ ✭✉✮❞①✿ ■ ✭✉✮ ❂ ✷ Ω ✷ Ω Ω Từ điều kiện ✭✐✮, theo Hệ quả 1.9, ta có ■ ✷ ❈ ✭❍ ✭Ω✮❀ ✮ và ❩ ❩ ❩ ✷ ✷ ✶ ❩ ❩ ❩ ❤■ ✵✭✉✮❀ ✈✐ ❂ ✶ ✵ Ω r✉r✈❞① ✰ ✕ Ω ✉✈❞①   Ω ❢ ✭✉✮✈❞① ✉❀ ✈ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮. Ta sẽ áp dụng định lí qua núi để chứng tỏ phiếm ✉ ✷ ❍ ✭Ω✮, ✉ ✻❂ ✵. Phần còn lại của chứng minh được chia làm 3 bước. Bước 1: Chứng minh ■ thoả mãn ✭P S ✮. Giả sử dãy ❢✉♥ ❣ ✚ ❍✵✶ ✭Ω✮ thoả mãn với mọi hàm ✶ ✵ ■ có điểm tới hạn ✽ ❁ ■ ✭✉♥ ✮ ✦ ❝ ✷ ■ ✵ ✭✉♥ ✮ ✦ ✵ trong ❍  ✶ ✭Ω✮✿ (4.14) ✿ Ta có ✷■ ✭✉♥✮   ❤■ ✵✭✉♥✮❀ ✉♥✐ ❂ Từ ✭✐✈ ✮ suy ra có hằng số ❈ sao cho ❩ Ω ✭✉♥❢ ✭✉♥✮   ✷❋ ✭✉♥✮✮ ❞①✿ ✉❢ ✭✉✮ ✒❋ ✭✉✮   ❈ với mọi ✉ ✷ ✿ Do đó, Từ đây suy ra ❩ ✷■ ✭✉♥✮   ❤■ ✵✭✉♥✮❀ ✉♥✐ ✭✒   ✷✮ Ω ❋ ✭✉♥✮❞①   ❈ ❥Ω❥✿ ❩ ✭✒   ✷✮ Ω ❋ ✭✉♥✮❞① ✷■ ✭✉♥✮ ✰ ❦■ ✵✭✉♥✮❦❍  ✶ Ω ❦✉♥❦❍✵✶ Ω ✰ ❈ ❥Ω❥✿ ✭ ✮ 24 ✭ ✮ Điều này cùng với (4.14) suy ra tồn tại hằng số ❈ sao cho ❩ Ω ❋ ✭✉♥ ✮❞① ❈ ✰ ❈ ❦✉♥ ❦❍✵✶ ✭Ω✮ ✿ Mặt khác, do ✕ ❃  ✕✶ nên tồn tại ☛ ❃ ✵ sao cho ✶ ❥r✉❥ ❞① ✰ ✕ ✉ ❞① ☛❦✉❦ ✶ ❍✵ Ω ✷ Ω ✷ Ω ❩ ❩ ✷ ✷ ✷ ✭ ✮ với mọi ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮. Do đó, ta nhận được ■ ✭✉♥ ✮ ☛❦✉♥ ❦✷❍✵✶ ✭Ω✮   ❈ ❦✉♥ ❦❍✵✶ ✭Ω✮   ❈✿ Từ đây suy ra dãy ❢✉♥ ❣ bị chặn trong ❍✵✶ ✭Ω✮. Do ❍✵✶ ✭Ω✮ phản xạ và nhúng compact trong ▲♣✰✶ ✭Ω✮ nên tồn tại dãy con ❢✉❦♥ ❣ và ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ sao cho ✎ ✉❦♥ ✯ ✉ trong ❍✵✶✭Ω✮; ✎ ✉❦♥ ✦ ✉ trong ▲♣✰✶✭Ω✮; ✎ ✉❦♥ ✭①✮ ✦ ✉✭①✮ h.k.n. trên Ω; ✎ tồn tại ✇ ✷ ▲♣✰✶✭Ω✮ sao cho ❥✉♥✭①✮❥ ✇✭①✮ h.k.n. trên Ω. Do ❢ ✷ ❈ ✭ ❀ ✮ nên ❢ ✭✉❦♥ ✭①✮✮✉❦♥ ✭①✮ ✦ ❢ ✭✉✭①✮✮✉✭①✮ h.k.n. trên Ω✿ Mặt khác, bởi (ii) ta có ❥❢ ✭✉❦♥ ✭①✮✮✉❦♥ ✭①✮❥ ❈ ✭❥✇✭①✮❥ ✰ ❥✇✭①✮❥♣ ✮ h.k.n. trên Ω✿ ✰✶ Từ đó, áp dụng định lí hội tụ bị chặn nhận được ❩ Ω ❢ ✭✉❦♥ ✮✉❦♥ ❞① ✦ ❩ Ω ❢ ✭✉✮✉❞①✿ Lập luận tương tự ta cũng nhận được ❩ Ω ❢ ✭✉❦♥ ✮✈❞① ✦ ❩ Ω ❢ ✭✉✮✈❞① ✭✈ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮✮✿ Bây giờ ta ta chứng tỏ ■ ✵ ✭✉✮ ❂ ✵. Trước hết, do ✉❦♥ với mọi ✈ ✯ ✉ trong ❍✵✶ ✭Ω✮ nên ❩ ❩ r✉❦♥ r✈❞① ✰ ✕ ✉❦♥ ✈❞① ✦ r✉r✈❞① ✰ ✕ ✉✈❞① ❩ ❩ Ω ✷ ❍ ✭Ω✮. Do đó ta có ✶ ✵ Ω Ω Ω ❤■ ✵✭✉❦♥ ✮❀ ✈✐ ✦ ❤■ ✵✭✉✮❀ ✈✐ với mọi ✈ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮. Nhưng ■ ✵ ✭✉❦♥ ✮ ✦ ✵ trong ❍  ✶ ✭Ω✮ nên ■ ✵ ✭✉✮ ❂ ✵. Ta còn phải chứng tỏ ■ ✭✉✮ ❂ ❝. Từ ■ ✵ ✭✉❦♥ ✮ ✦ ✵ và ✉❦♥ ✯ ✉ trong ❍✵✶ ✭Ω✮ suy ra Đương nhiên ❤■ ✵ ✭✉✮❀ ✉❦♥ ❤■ ✵✭✉❦♥ ✮❀ ✉❦♥   ✉✐ ✦ ✵✿   ✉✐ ✦ ✵. Bây giờ ta có ❤■ ✵✭✉❦♥ ✮   ■ ✵✭✉✮❀ ✉❦♥   ✉✐ ❂ Ω ❥r✭✉❦♥   ✉✮❥ ❞①   Ω ✭❢ ✭✉❦♥ ✮   ❢ ✭✉✮✮ ✭✉❦♥   ✉✮❞①✿ ❩ ❩ ✷ Do đó, ❦✉❦♥   ✉❦❍✵✶ Ω ❂ ❤■ ✵✭✉❦♥ ✮   ■ ✵✭✉✮❀ ✉❦♥   ✉✐ ✷ ✭ ✮ ❩ ✰ Ω ✭❢ ✭✉❦♥ ✮   ❢ ✭✉✮✭✉❦♥   ✉✮✮ ❞① ✦ ✵ ✭♥ ✦ ✶✮✿ Vậy ✉❦♥ ✦ ✉ trong ❍ ✭Ω✮. Từ đó nhận được ■ ✭✉✮ ❂ ❧✐♠ ■ ✭✉❦♥ ✮ ❂ ❝. ♥✦✶ ✶ ✵ 25 Bước 2: Chứng tỏ phiếm hàm ■ thoả mãn các điều kiện (i), (ii), (iii) của Hệ quả 4.4. Đương nhiên ta có ■ ✭✵✮ ❂ ✵. Từ (ii) và (iii) suy ra tồn tại hằng số ❈ sao cho ✗ ❋ ✭✉✮ ✷ ✉✷ ✰ ❈ ❥✉❥♣✰✶ với mọi ✉ ✷ ✿ Từ đây và do ❍✵✶ ✭Ω✮ ✱✦ ▲♣✰✶ ✭Ω✮ ta nhận được ❩ Ω Do đó, ❋ ✭✉✮❞① ✗❩ ✷ Ω ✉✷ ✰ ❈ ❦✉❦♣❍✰✶ với mọi ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮✿ ✵✶ ✭Ω✮ ✶ ❥r✉❥ ❞① ✰ ✕   ✗ ✉ ❞①   ❈ ❦✉❦♣ với mọi ✉ ✷ ❍ ✭Ω✮✿ ❍✵✶ Ω ✷ Ω ✷ Ω Vì ✕   ✗ ❃  ✕ nên tồn tại ☛ ❃ ✵ sao cho ✶ ❥r✉❥ ❞① ✰ ✕   ✗ ✉ ❞① ☛❦✉❦ ✶ với mọi ✉ ✷ ❍ ✭Ω✮❀ ❍✵ Ω ✷ Ω ✷ Ω ❩ ■ ✭✉✮ ❩ ✷ ✰✶ ✷ ✶ ✵ ✭ ✮ ✶ ❩ ❩ ✷ do đó, ✷ ✷ ✭ ✮ ✶ ✵ ■ ✭✉✮ ☛❦✉❦✷❍✵✶ ✭Ω✮   ❈ ❦✉❦♣❍✰✶ với mọi ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮✿ ✵✶ ✭Ω✮ ✶ ☛✎✷ ☛ ✓ ♣ ✶ . Với mọi ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮, ❦✉❦❍✵✶ ✭Ω✮ ❂ ✎, ta có ■ ✭✉✮ ❂ Chọn ✎ ❂ ✷❈ ✷ ❃ ✵✿ Bây giờ ta sẽ chỉ ra tồn tại ✉✵ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ sao cho ❦✉✵ ❦❍✵✶ ✭Ω✮ ❃ ✎ và ■ ✭✉✵ ✮ ❁ ✵. Từ (iv) ta có ✒ ❢ ✭s✮ ❋ ✭s✮ ✒ với mọi s ▼✿ s Tích phần hai vế bất đẳng thức theo s từ ▼ đến t ▼ , ta nhận được ❋ ✭t✮ ☞t✒ với mọi t ▼ và với hằng số ☞ ❃ ✵ nào đó. Từ đây suy ra ❋ ✭t✮ ☞t✒   ❈ với mọi t ✵ và với hằng số ❈ nào đó. Bây giờ lấy ✬ ✷ ❈ ✶✭Ω✮, ✬ ✵, ✬ ✻❂ ✵. Với t ❃ ✵, ta có ✵ ■ ✭t✬✮ t✷ ✒❩ ✓ ❩ ❩ ✒ ✒ ✷ Ω ❥r✬❥ ✰ ✕ Ω ✬ ❞① ✰ ❈ ❥Ω❥   ☞t Ω ✬ ❞① ✦  ✶ ✭t ✦ ✰✶✮✿ ✷ ✷ Từ đây suy ra ■ ✭t✵ ✬✮ ❁ ✵ nếu t✵ đủ lớn, do đó, hàm ✉✵ ❂ t ✬ thoả mãn yêu cầu. ✵ Bước 3: Kết luận. Đến đây, ta có thể áp dụng Hệ quả 4.4 để nhận được hàm ■ ✵ ✭✉✮ ❂ ✵. Hàm ✉ là nghiệm yếu của bài toán. Bài tập 26 ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ sao cho Chương II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHI BIẾN PHÂN §1. Phương pháp điểm bất động 1. Một số định lí điểm bất động Định lí điểm bất động Brouwer Định lí 1.1 (Brouwer, 1912). Giả sử ▼ là một tập con lồi bị chặn khác rỗng trong ❢ ✿ ▼ ✦ ▼ là một ánh xạ liên tục. Khi đó, ❢ có điểm bất động. ◆, ◆ ✶, và Định lí điểm bất động Schauder Định nghĩa. Cho ❳ , ❨ là các không gian Banach, ❚ ✿ ❉✭❚ ✮ ✚ ❳ ✦ ❨ là một toán tử. Ta nói toán tử ❚ là compact nếu (i) ❚ là liên tục; (ii) ❚ biến mỗi tập bị chặn thành tập compact tương đối, nghĩa là, nếu ▼ ✚ ❉✭❚ ✮ là tập bị chặn trong ❳ thì ❚ ✭▼ ✮ là tập compact tương đối trong ❨ . Định lí 1.2 (Schauder, 1936). [2, Th. 5.1.11] Giả sử ▼ là một tập lồi đóng bị chặn khác rỗng trong không gian Banach ❳ . Giả sử ❚ ✿ ▼ ✦ ❳ là ánh xạ compact sao cho ❚ ✭▼ ✮ ✚ ▼ . Khi đó ❚ có điểm bất động. 2. Toán tử Nemytski Cho Ω ✉✿Ω✦ ✚ ◆ là một tập khác rỗng đo được (Lebesgue) và hàm số , ta xác định hàm số ❋ ✭✉✮ ✿ Ω ✦ bởi ❢ ✿ Ω✂ ✦ . Với mỗi hàm số ❋ ✭✉✮✭①✮ ❂ ❢ ✭①❀ ✉✭①✮✮✿ Ta được ánh xạ của toán tử ❋ . ❋ ✿ ✉ ✼✦ ❋ ✭✉✮ và gọi là toán tử Nemytski. Trong mục này ta sẽ nghiên cứu tính chất Định nghĩa. Hàm số ❢ ✿ Ω ✂ ✦ được gọi là một hàm Carathéodory, viết ❢ điều kiện sau đây thoả mãn (M) với mỗi ✉ ✷ , hàm số ① ✼✦ ❢ ✭①❀ ✉✮ là đo được (Lebesgue) trên Ω; (C) với h.k.n. ① ✷ Ω, hàm số ② ✼✦ ❢ ✭①❀ ✉✮ là liên tục trên . Đương nhiên, nếu ❢ liên tục trên Ω ✂ ✷ CAR✭Ω ✂ ✮, nếu hai ✷ CAR✭Ω ✂ ✮. Mệnh đề 1.3. Nếu ✉ ✿ Ω ✦ là hàm đo được và ❢ ✷ CAR✭Ω ✂ ✮ thì ❋ ✭✉✮ là hàm đo được trên trên Ω. Chứng minh. Giả sử ✉ là hàm đo được trên Ω. Khi đó có một dãy hàm bậc thang ❢t♥ ❣ hội tụ h.k.n. thì ❢ 27 đến ✉ trên Ω. Giả sử t❂ ❦ ❳ ✐❂✶ ☛ ✐ ✤Ω ✐ là một hàm bậc thang trên Ω, trong đó Ω✶ ❀ Ω✷ ❀ ✿ ✿ ✿ ❀ Ω❦ là các tập đo được rời nhau sao cho Ω ❂ ✤Ω✐ là hàm đặc trưng của tập Ω✐ . Khi đó ❢ ✭①❀ t✭①✮✮ ❂ ❦ ❳ ✐❂✶ ❙❦ ✐❂✶ Ω✐ , ❢ ✭①❀ ☛✐ ✮✤Ω✐ là hàm đo được do hàm số ① ✼✦ ❢ ✭①❀ ✉✮ là đo được với mỗi ✉ cố định. Mặt khác, với h.k.n. ① ✷ Ω, hàm số ✸ ✉ ✼✦ ❢ ✭①❀ ✉✮ liên tục nên ❢ ✭①❀ ✉✭①✮✮ ❂ ♥❧✐♠ ✦✶ ❢ ✭①❀ t♥ ✭①✮✮✿ Từ đó ❋ ✭✉✮✭✁✮ ❂ ❢ ✭✁❀ ✉✭✁✮✮ là hàm đo được trên Ω. Bổ đề 1.4. Nếu ✶ ♣ ❁ ✶ và ❛❀ ❜ ✵ thì ✭❛ ✰ ❜✮♣ ✷♣  ✭❛♣ ✰ ❜♣✮✿ (1.1) Chứng minh. Nếu ♣ ❂ ✶ thì (1.1) hiển nhiên đúng. Với ♣ ❃ ✶, hàm số ❢ ✭t✮ ❂ t♣ là lồi trên ❬✵❀ ✶✮, vì có ❢ ✵ ✭t✮ ❂ ♣t♣  ✵❀ ✽t ✵, nên ta có ❛✰❜ ✶ ❛✰❜ ♣ ✶ ♣ ❜ ❢ ✷ ✷ ❢ ✭❛✮ ✰ ❢ ✭❜✮ hay ✷ ✷ ❛ ✰❜ ✿ ✶ ✶ ✏ ✑ ✏ ✥ ✑ Từ đây ta nhận được (1.1). Mệnh đề 1.5. Giả sử Ω là một tập mở trong ❣ ✷ ▲q ✭Ω✮ và hằng số ❝ ✷ sao cho ◆, ❢ ✷ ✦ CAR✭Ω ✂ ✏ ✑ ✮ và ♣❀ q ✶. Giả sử tồn tại hàm ♣ ❥❢ ✭①❀ ✉✮❥ ❣✭①✮ ✰ ❝❥✉❥ q (1.2) với h.k.n. ① ✷ Ω và mọi ✉ ✷ . Khi đó toán tử Nemytski ❋ là ánh xạ liên tục từ ▲♣ ✭Ω✮ vào ▲q ✭Ω✮; Chứng minh. Với ✉ ✷ ▲♣ ✭Ω✮, theo Mệnh đề 1.3, ❋ ✭✉✮✭①✮ là hàm đo được. Mặt khác, từ (1.2) ta có ♣ ❦❢ ✭✁❀ ✉✭✁✮✮❦▲q Ω ❦❣✭✁✮ ✰ ❝❥✉✭✁✮❥ q ❦▲q Ω ♣ ♣ ❦❣❦▲q Ω ✰ ❝❦❥✉❥ q ❦▲q Ω ❂ ❦❣❦▲q Ω ✰ ❝❦✉❦▲q ♣ Ω ✿ ✭ ✮ ✭ ✮ ✭ ✮ ✭ ✮ ✭ ✮ Vậy ❋ ✭✉✮ ✷ ▲q ✭Ω✮. Bây giờ ta chứng tỏ ❋ là toán tử liên tục từ ▲♣ ✭Ω✮ vào ▲q ✭Ω✮. Giả sử ▲♣ ✭Ω✮. Khi đó, có dãy con ❢✉❦♥ ❣ của dãy ❢✉♥ ❣ và ✈ ✷ ▲♣ ✭Ω✮ sao cho ✉❦♥ ✭①✮ ✦ ✉✭①✮ h.k.n. ① ✷ Ω❀ ❥✉❦♥ ✭①✮❥ ✈✭①✮ h.k.n. ① ✷ Ω✿ Do hàm số ✸ ✉ ✼✦ ❢ ✭①❀ ✉✮ liên tục nên ❢ ✭①❀ ✉❦♥ ✭①✮✮ ✦ ❢ ✭①❀ ✉✭①✮✮ h.k.n. ① ✷ Ω 28 ✭ ✮ ❢✉♥❣ ✚ ▲♣✭Ω✮, ✉♥ ✦ ✉ trong (1.3) (1.4) hay ❋ ✭✉❦♥ ✮✭①✮   ❋ ✭✉✮✭①✮ ✦ ✵ h.k.n. ① ✷ Ω✿ Mặt khác, sử dụng Bổ đề 1.4 và giả thiết (1.2), ta có, với h.k.n. ① ✷ Ω, ❥❋ ✭✉❦♥ ✮✭①✮   ❋ ✭✉✮✭①✮❥q ❂ ❥❢ ✭①❀ ✉❦♥ ✭①✮✮   ❢ ✭①❀ ✉✭①✮✮❥q ✷q  ✭❥❢ ✭①❀ ✉❦♥ ✭①✮✮❥q ✰ ❥❢ ✭①❀ ✉✭①✮✮❥q ✮ ✷ q  ✭✷❥❣✭①✮❥q ✰ ❝q ❥✈✭①✮❥♣ ✰ ❝q ❥✉✭①✮❥♣✮ ✷ ▲ ✭Ω✮✿ ✶ ✷ ✷ ✶ Đến đây áp dụng định lí hội tụ bị chặn để nhận được ❦❋ ✭✉❦♥ ✮   ❋ ✭✉✮❦▲q Ω ✦ ✵ ✭ ✮ hay ❋ ✭✉❦♥ ✮ ✦ ❋ ✭✉✮ trong ▲q ✭Ω✮. Từ đây, theo Mệnh đề 2.2 (i), ta nhận được ❋ ✭✉♥ ✮ ✦ ❋ ✭✉✮ trong ▲q ✭Ω✮. Mệnh đề được chứng minh xong. 3. Áp dụng cho phương trình elliptic nửa tuyến tính Giả sử Ω là một miền trong ◆. Xét bài toán ✽ ❁ ✿  ∆✉ ❂ ❢ ✭①❀ ✉✮ trong Ω❀ trên ❅ Ω✿ ✉❂✵ (1.5) Định nghĩa. Hàm ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.5) nếu ❩ ❩ Ω đúng với mọi ✈ r✉✭①✮r✈✭①✮❞① ❂ Ω ❢ ✭①❀ ✉✭①✮✮✈✭①✮❞① (1.6) ✷ ❍ ✭Ω✮, với giả thiết là vế phải của đẳng thức trên hữu hạn. ✶ ✵ Ta đưa ra một số giả thiết (H✶ ) Ω là miền bị chặn trong ◆ . (H✷ ) ❢ ✷ ❈❆❘✭Ω ✂ ✮ và tồn tại ❤ ✷ ▲✷ ✭Ω✮ và hằng số ✕, ✵ ✕ ❁ ✕✶ , sao cho ❥❢ ✭①❀ s✮❥ ❤✭①✮ ✰ ✕❥✉❥ với h.k.n. ① ✷ Ω❀ ✽✉ ✷ ✿ (1.7) Định lí 1.6. Với các giả thiết (H✶ ), (H✷ ), bài toán (1.5) có ít nhất một nghiệm yếu ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮. Chứng minh. Chứng minh được chia làm 4 bước. Bước 1: Đưa bài toán về phương trình toán tử. Trước hết, nhắc lại rằng Hilbert với tích vô hướng ❍✵✶ ✭Ω✮ là một không gian ❩ ✭✈❀ ✇✮❍✵✶ Ω ❂ Ω r✉✭①✮r✈✭①✮❞①❀ ✈❀ ✇ ✷ ❍ ✭Ω✮❀ ✶ ✵ ✭ ✮ và chuẩn tương ứng là ❦✈ ❦ ❂ Với mỗi ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ cố định, ánh xạ ✈ ✼✦ ❩ Ω ✒❩ ✓ Ω ✶ ✷ ❥r✈❥ ❞① ✿ ✷ ❢ ✭①❀ ✉✭①✮✮✈✭①✮❞① 29 ❍✵✶ ✭Ω✮. Theo định lí biểu diễn Riesz, tồn tại phần tử duy là các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên nhất ❚ ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ sao cho ❩ ✭❚ ✉❀ ✈✮❍✵✶ Ω ❂ Ω ❢ ✭①❀ ✉✭①✮✮✈✭①✮❞① với mọi ✈ ✷ ❍ ✭Ω✮. Từ đó ta được toán tử ❚ ✿ ❍ ✭Ω✮ ✦ ❍ ✭Ω✮, ✉ ✼✦ ❚ ✉. Viết lại (1.6) thành ✭✉❀ ✈✮❍✵✶ Ω ❂ ✭❚ ✉❀ ✈✮❍✵✶ Ω với mọi ✈ ✷ ❍ ✭Ω✮✿ ✭ ✮ ✶ ✵ ✶ ✵ ✶ ✵ ✭ ✮ ✶ ✵ ✭ ✮ Điều này tương đương với ✉ ❂ ❚ ✉✿ Như vậy, ✉ ✷ ❍ ✭Ω✮ là nghiệm yếu của bài toán (1.5) khi và chỉ khi ✉ là điểm bất động của toán tử ❚ . ✶ ✵ Bước 2: Chứng tỏ tồn tại r ❃ ✵ đủ lớn sao cho ❚ ❇r ✚ ❇r . Ta có ❦❚ ✉❦ ❂ s✉♣ ✭❚ ✉❀ ✈✮❍✵✶✭Ω✮ ❦✈❦ ✶ s✉♣ ❦✈ ❦ ♣✶✕ ✒❩ ❩ ❂ s✉♣ Ω ❢ ✭①❀ ✉✭①✮✮✈✭①✮❞① ❦✈❦ ✶ ❥❢ ✭①❀ ✉✭①✮✮❥ ❞① ✓ ✷ Ω ✶ ✒❩ ❥❤✭①✮ ✰ ✕❥✉✭①✮❥❥ Ω ✶ ✷ ✒❩ ✓ ✷ ✶ ♣✶✕ ❦❤❦▲✷ Ω ✰ ✕❦✉❦▲✷ Ω ♣✶ ❦❤❦ ✷ ✰ ✕ ❦✉❦✿ ✏ ✭ ✮ ❥✈✭①✮❥ ❞① ✷ ✶ ✷ Ω ✓ ✶ ✷ ✑ ✭ ✮ ✶ ▲ ✭Ω✮ ✕✶ Vì ✕✶ ✕ ❁ ✶ nên ta có thể chọn r ❃ ✵ đủ lớn sao cho ✕✶ ♣✶✕ ❦❤❦▲✷ Ω ✰ ✕✕ r ❁ r✿ Khi đó, với mọi ✉ ✷ ❇r ta có ❦❚ ✉❦ ❁ r hay ❚ ❇r ✚ ❇r . Bước 3: Chứng minh ❚ là toán tử compact. Giả sử ▼ là một tập bị chặn trong ❍ ✭Ω✮ và ❢✇♥ ❣ là một dãy bất kì trong ❚ ✭▼✮. Lấy dãy ❢✉♥ ❣ ✚ ▼ sao cho ❚ ✉♥ ❂ ✇♥ ❀ ✽♥✿ Do không gian ❍ ✭Ω✮ phản xạ và ❢✉♥ ❣ là dãy bị chặn trong ❍ ✭Ω✮ nên ❢✉♥ ❣ có dãy con hội tụ yếu đến ✉ ✷ ❍ ✭Ω✮. Để đơn giản kí hiệu, ta coi ✉♥ ✯ ✉ trong ❍ ✭Ω✮ (có nên ????). Mặt khác, do ❍ ✭Ω✮ ✚✚ ▲ ✭Ω✮ nên dãy ❢✉♥ ❣ có dãy con, lại vẫn kí hiệu là ❢✉♥ ❣, hội tụ đến ✉ trong ▲ ✭Ω✮. ✭ ✮ ✶ ✶ ✶ ✵ ✶ ✵ ✷ ✶ ✵ ✶ ✵ ✶ ✵ ✶ ✵ ✷ Bây giờ, ta có ❦❚ ✉♥   ❚ ✉❦ ❂ s✉♣ ✭❚ ✉♥   ❚ ✉❀ ✈✮❍✵✶ Ω ❦✈❦ ✶ ❂ s✉♣ ❦✈ ❦ ✶ ❦✈❦ ✶ ✭ ✮ ☞❩ ☞ ☞ ☞ Ω ❬❢ ✭①❀ ✉♥✭①✮✮   ❢ ✭①❀ ✉✭①✮✮❪✈✭①✮❞① s✉♣ ❦❢ ✭✁❀ ✉♥✭✁✮✮   ❢ ✭✁❀ ✉✭✁✮✮❦▲✷ Ω ❦✈❦▲✷ Ω ♣✶ ❦❢ ✭✁❀ ✉ ✭✁✮✮   ❢ ✭✁❀ ✉✭✁✮✮❦ ✷ ✿ ✕✶ 30 ✭ ✮ ♥ ▲ ✭Ω✮ ☞ ☞ ☞ ☞ ✭ ✮ (1.8) Từ giả thiết (H✷ ) và Mệnh đề 1.5 ta thấy, toán tử Nemytski ✉ ✼✦ ❢ ✭✁❀ ✉✭✁✮✮ từ ▲✷ ✭Ω✮ và ▲✷ ✭Ω✮ là liên tục nên vế phải của (1.8) dần tới 0 khi ♥ ✦ ✶. Từ đó ✇♥ ❂ ❚ ✉♥ ✦ ❚ ✉ trong ❍✵✶ ✭Ω✮, và như vậy, ❚ ✭▼✮ là tập compact tương đối. Mặt khác, do toán tử Nemytski ✉ ✼✦ ❢ ✭✁❀ ✉✭✁✮✮ là liên tục từ ▲✷ ✭Ω✮ ✦ ▲✷ ✭Ω✮ và ❍✵✶ ✭Ω✮ ✱✦ ▲✷ ✭Ω✮ nên từ (1.8) ta thấy, nếu ✉♥ ✦ ✉ trong ❍✵✶ ✭Ω✮ thì ❚ ✉♥ ✦ ❚ ✉ trong ❍✵✶ ✭Ω✮, do đó, ❚ là toán tử liên tục. Vậy ❚ là toán tử compact. Bước 4 : Kết luận. Từ các bước 2 và 3 ta thấy, có thể áp dụng định lí điểm bất động Schauder (Định lí 1.2) để khẳng định rằng toán tử ❚ có điểm bất động ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮. Theo Bước 1, ✉ là nghiệm yếu của bài toán (1.5). §2. Phương pháp toán tử đơn điệu 1. Toán tử đơn điệu Một số kết quả của giải tích hàm Mệnh đề 2.1. Giả sử ❳ là một không gian Banach, tập con trù mật trong ❳ ✄ . Khi đó, nếu ❢✉♥❣ là một dãy bị chặn trong ❳ , ✉ ✷ ❳ và ❉ là ❤❢❀ ✉♥✐ ✦ ❤❢❀ ✉✐ ❀ ✽❢ ✷ ❉❀ thì ✉♥ ✯ ✉. Chứng minh. Giả sử ❣ ✷ ❳ ✄. Ta có ❥ ❤❣❀ ✉♥✐   ❤❣❀ ✉✐ ❥ ❂ ❥ ❤❣   ❢❀ ✉♥✐ ✰ ❤❢❀ ✉♥   ✉✐ ✰ ❤❢   ❣❀ ✉✐ ❥ ❦❣   ❢ ❦✭❦✉♥❦ ✰ ❦✉❦✮ ✰ ❥ ❤❢❀ ✉♥✐   ❤❢❀ ✉✐❥✿ Từ đây ta thấy, với mọi ✎ ❃ ✵, có thể chọn ❢ đủ bé để ✷ ❉ và chọn ♥ đủ lớn sao cho ❦❣   ❢ ❦ và ❥ ❤❢❀ ✉♥✐   ❤❢❀ ✉✐❥ ❥ ❤❣❀ ✉♥✐   ❤❣❀ ✉✐ ❥ ❁ ✎✿ Vậy ❤❣❀ ✉♥ ✐ ✦ ❤❣❀ ✉✐, và do đó, ✉♥ ✯ ✉. Mệnh đề 2.2. Giả sử ❳ là một không gian Banach, ❢✉♥ ❣ là một dãy trong ❳ , ✉ ✷ ❳ là một điểm cố định. (i) Nếu mỗi dãy con của dãy ❢✉♥ ❣ đều có một dãy con hội tụ đến ✉ thì ✉♥ ✦ ✉. (ii) Nếu mỗi dãy con của dãy ❢✉♥ ❣ đều có một dãy con hội tụ yếu đến ✉ thì ✉♥ ✯ ✉. Chứng minh. (i) Nếu ✉♥ ✻✦ ✉ thì tồn tại ✎ ❃ ✵ và dãy con ❢✉❦♥ ❣ của dãy ❢✉♥❣ sao cho ✵ ❦✉❦♥   ✉❦ ✎ ❀ ✽♥✿ ✵ (2.1) Theo giả thiết, có dãy con ❢✉❤❦♥ ❣ của dãy con ❢✉❦♥ ❣ sao cho ✉❤❦♥ ✦ ✉. Điều này mẫu thuẫn với (2.1). (ii) Nếu ✉♥ ✻✯ ✉ thì tồn tại phiếm hàm ❢ ✷ ❳ ✄ sao cho dãy ❤❢❀ ✉♥ ✐ ✻✦ ❤❢❀ ✉✐. Lập luận tương tự như trên cho dãy số ❢❤❢❀ ✉♥ ✐❣ ta cũng sẽ dẫn đến mâu thuẫn. 31 Sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình Xét hệ phương trình ❣❦ ✭①✮ ❂ ✵❀ ① ❂ ✭①✶ ❀ ①✷ ❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ①◆ ✮ ✷ ◆ ❀ ❦ ❂ ✶❀ ✷❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ◆✿ trong đó ❣✶ ❀ ❣✷ ❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ❣◆ là những hàm ◆ biến cho trước. Mệnh đề 2.3. Giả sử ❦①❦ ❘❣. Nếu ❣❦ ✿ ❇ ✭✵❀ ❘✮ ✦ ◆ ❳ ❦❂✶ là các hàm liên tục trên hình cầu đóng (2.2) ❇ ✭✵❀ ❘✮ ❂ ❢① ✷ ❣❦ ✭①✮①❦ ✵ với mọi ① thoả mãn ❦①❦ ❂ ❘ thì hệ (2.2) có nghiệm ① thoả mãn ❦①❦ ◆ ✿ (2.3) ❘. ❣✭①✮ ❂ ✭❣✶ ✭①✮❀ ❣✷ ✭①✮❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ❣◆ ✭①✮✮. Giả sử phản chứng rằng ❣✭①✮ ✻❂ ✵ với mọi ① ✷ ❣ ✭ ①✮ ❇ ✭✵❀ ❘✮. Đặt ❢ ✭①✮ ❂  ❘ ❦❣✭①✮❦ , ta được ánh xạ liên tục ❢ từ ❇ ✭✵❀ ❘✮ vào chính nó. Theo định lí điểm bất động Brouwer, tồn tại ① ✷ ❇ ✭✵❀ ❘✮ sao cho ① ❂ ❢ ✭①✮. Ta thấy ❦①❦ ❂ ❦❢ ✭①✮❦ ❂ ❘. Mặt khác, ta có Chứng minh. Đặt ◆ ❳ ❦❂✶ ❣❦ ✭①✮①❦ ❂  ❘ ✶ ❦❣✭①✮❦ ◆ ❳ ❦❂✶ ❢❦ ✭①✮①❦ ❂  ❘ ✶ ❦❣✭①✮❦ ◆ ❳ ❦❂✶ ①✷❦ ❁ ✵✿ Điều này mâu thuẫn với (2.3). Toán tử đơn điệu Định nghĩa. Giả sử ❳ là một không gian Banach thực, ❆ ✿ ❳ ✦ ❳ ✄ là một toán tử. Ta nói (i) ❆ là đơn điệu nếu ❤❆✉   ❆✈❀ ✉   ✈✐ ✵ với mọi ✉❀ ✈ ✷ ❳✿ (ii) ❆ là đơn điệu nghiêm ngặt nếu ❤❆✉   ❆✈❀ ✉   ✈✐ ❃ ✵ với mọi ✉❀ ✈ ✷ ❳❀ ✉ ✻❂ ✈✿ (iii) ❆ là đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số ❝ ❃ ✵ sao cho ❤❆✉   ❆✈❀ ✉   ✈✐ ❝❦✉   ✈❦ (iv) ❆ là cưỡng nếu ✷ với mọi ✉❀ ✈ ✷ ❳✿ ❤❆✉❀ ✉✐ ❂ ✰✶✿ ❧✐♠ ❦✉❦✦✶ ❦✉❦ Mệnh đề 2.4. Giả sử ❳ là không gian Banach phản xạ, ❆ ✿ ❳ ✦ ❳ ✄ là toán tử đơn điệu và hemi-liên tục. Khi đó (i) ❆ là đơn điệu cực đại, nghĩa là, với ✉ ✷ ❳ và ❜ ✷ ❳ ✄ cố định, nếu ❤❜   ❆✈❀ ✉   ✈✐ ✵❀ ✽✈ ✷ ❳ thì ❆✉ ❂ ❜. 32 (2.4) (ii) Nếu và ✉♥ ✯ ✉ trong ❳❀ ❆✉♥ ✯ ❜ trong ❳ ✄ ❤❆✉♥❀ ✉♥✐ ✦ ❤❜❀ ✉✐ thì ❆✉ ❂ ❜. ❂ ✉   t✇ với t ❃ ✵. Do ❤❜   ❆✈❀ ✉   ✈✐ ✵❀ ✽✈ ✷ ❳ nên ❤❜   ❆✭✉   t✇✮❀ ✇✐ ✵✿ Vì ❆ là hemi-liên tục nên cho t ✦ ✵ ta được ❤❜   ❆✉❀ ✇✐ ✵❀ ✽✇ ✷ ❳✿ Chứng minh. (i) Xét ✈ ✰ Điều này cùng với (2.4) suy ra ❤❜   ❆✉❀ ✇✐ ❂ ✵❀ ✽✇ ✷ ❳ hay ❜   ❆✉ ❂ ✵✿ (ii) Do ❆ là đơn điệu, ta có ❤❆✉♥❀ ✉♥✐   ❤❆✈❀ ✉♥   ❤❆✉♥   ❆✈❀ ✈✐✐ ❂ ❤❆✉♥   ❆✈❀ ✉♥   ✈✐ ✵ với mọi ✈ ✷ ❳ và mọi ♥. Cho ♥ ✦ ✶, ta được ❤❜❀ ✉✐   ❤❆✈❀ ✉✐   ❤❜   ❆✈❀ ✈ ✵✐ ❀ và do đó, ❤❜   ❆✈❀ ✉   ✈✐ ✵✿ Theo (i), ta nhận được ❆✉ ❂ ❜. Tính demi-liên tục và hemi-liên tục Định nghĩa. Cho toán tử ❆ ✿ ❳ (i) ❆ là demi-liên tục nếu (ii) ✦ ❳ ✄. Ta nói ❆ là hemi-liên tục nếu hàm số liên tục trên ❬✵❀ ✶❪ với mọi ✉❀ ✈❀ ✇ ✉♥ ✦ ✉ ✮ ❆✉♥ ✯ ❆✉✿ ✷ ❳. t ✼✦ ❤❆✭✉ ✰ t✈✮❀ ✇✐ Mệnh đề 2.5. Cho toán tử ❆ ✿ ❳ ✦ ❳ ✄ trên không gian Banach ❳ . Khi đó (i) Nếu ❆ là đơn điệu thì ❆ bị chặn địa phương, nghĩa là, với mọi ✉ ✷ ❳ , tồn tại lân cận ❯ ✭✉✮ của ✉ trong ❳ sao cho ❆✭❯ ✭✉✮✮ là tập bị chặn trong ❳ ✄ ; (ii) Nếu ❳ phản xạ còn ❆ là đơn điệu và hemi-liên tục thì ❆ là demi-liên tục. Chứng minh. (i) Giả sử phản chứng rằng ❆ là đơn điệu nhưng không bị chặn địa phương. Khi đó tồn tại ✉ ✷ ❳ và dãy ❢✉♥ ❣ sao cho ✉♥ ✦ ✉ và ❦❆✉♥ ❦ ✦ ✶✭♥ ✦ ✶✮✿ 33 Bằng cách thay ✉♥ bởi ✉♥   ✉, ta có thể coi ✉ ❂ ✵. Đặt ❛♥ ❆ ta có ❂ ✭✶ ✰ ❦❆✉♥❦❦✉♥❦✮  . Từ tính đơn điệu của ✶ ✝❛♥ ❤❆✉♥❀ ✈✐ ❛♥✭❤❆✉♥❀ ✉♥✐   ❤❆✭✝✈✮❀ ✉♥ ✞ ✈✐✮ ❛♥ ✭❦❆✉♥ ❦❦✉♥ ❦ ✰ ❦❆✭✝✈✮❦❦✉♥ ✞ ✈❦✮✿ Từ đây suy ra s✉♣ ❥ ❤❛♥❆✉♥❀ ✈✐ ❥ ❁ ✶❀ ✽✈ ✷ ❳✿ ♥ Theo định lí Banach-Steinhaus, tồn tại số ▼ sao cho s✉♣ ❦❛♥❆✉♥❦ ▼✿ ♥ Bây giờ đặt ❜♥ ❂ ❦❆✉♥❦. Ta có ❜♥ ❛ ♥ ✶ ▼ ❂ ✭✶ ✰ ❜♥ ❦✉♥ ❦✮▼ hay ❜♥ ✭✶   ❦✉♥ ❦▼ ✮ ▼❀ ✽♥✿ Từ đây, vì ❦✉♥ ❦ ✦ ✵, ta thấy dãy ✭❜♥ ✮ bị chặn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết phản chứng. (ii) Giả sử ✉♥ ✦ ✉. Khi đó ❢✉♥ ❣ bị chặn, nên theo (i), dãy ✭❆✉♥ ✮ cũng bị chặn. Do ❳ ✄ phản xạ nên toán tử dãy con ❢✉❦♥ ❣ của ❢✉♥ ❣ sao cho ❆✉❦♥ ✯ ❜ ✷ ❳ ✄ . Do đó, ❤❆✉❦♥ ❀ ✉❦♥ ✐ ✦ ❤❜❀ ✉✐ ✿ Đến đây, theo Mệnh đề 2.4, ta có ❆✉ ❂ ❜. Như vậy ❆✉❦♥ ✯ ❆✉. Theo Mệnh đề 2.2 (ii), ❆✉♥ ✯ ❆✉. Định lí chính về toán tử đơn điệu Định lí 2.6 (Browder, 1963). Giả sử ❳ là không gian Banach thực, phản xạ và ❆ ✿ ❳ ✦ ❳ ✄ là toán tử đơn điệu, cưỡng và hemi-liên tục. Xét phương trình toán tử ❆✉ ❂ ❜ tách được. Giả sử (2.5) trong đó ❜ ✷ ❳ ✄ cho trước. Khi đó (i) Với mọi ❜ ✷ ❳ ✄ , phương trình (2.5) có nghiệm trong ❳ . Hơn nữa, tập nghiệm là bị chặn, lồi và đóng. (ii) Nếu giả thiết thêm rằng ❆ là đơn điệu nghiêm ngặt thì phương trình trên có nghiệm duy nhất trong ❳. Chứng minh. Chứng minh được chia làm 6 bước. ✄ , đặt Bước 1: Thiết lập nghiệm xấp xỉ Galerkin. Giả sử ❢✇❦ ❣✶ ❦❂✶ là một cơ sở của ❳ . Với mỗi ♥ ✷ ❳♥ ❂ s♣❛♥❢✇✶ ❀ ✇✷ ❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ✇♥ ❣✿ Giả sử ✉♥ ❂ ♥ P ❦❂✶ ❝♥❦ ✇❦ là nghiệm của phương trình Galerkin: ❤❆✉♥❀ ✇❦ ✐ ❂ ❤❜❀ ✇❦ ✐ ❀ ❦ ❂ ✶❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ♥✿ Đặt 34 ❣✭✉✮ ❂ ❤❆✉   ❜❀ ✉✐ ❀ ❣❦ ✭✉✮ ❂ ❤❆✉   ❜❀ ✇❦ ✐ ❀ ❦ ❂ ✶❀ ✷❀ ✿ ✿ ✿ ✿ (2.6) Từ tính cưỡng của ❆, ta có ❣✭✉✮ ❂ ✰✶✿ ❧✐♠ ❦✉❦✦✶ ❦✉❦ Từ đây suy ra tồn tại ❘ ❃ ✵ sao cho ❣✭✉✮ ❃ ✵ nếu ❦✉❦ ❘✿ (2.7) ❣❦ ✭✉♥ ✮ ❂ ✵❀ ✉♥ ✷ ❳♥ ❀ ❦ ❂ ✶❀ ✷❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ♥✿ (2.8) Viết lại phương trình (2.6) dưới dạng Đây là một hệ gồm ♥ phương trình phi tuyến với ẩn là ✭❝♥ ❀ ❝♥ ❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ❝♥♥✮ ✷ ✶ ✷ ♥ Theo Mệnh đề 2.5, toán tử ❆ là demi-liên tục. Do đó, ánh xạ liên tục trên ❳ . Đặc biệt, ánh xạ ✉ ✼✦ ❣❦ ✭✉✮ ✭❝♥ ❀ ❝♥ ❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ❝♥♥✮ ✼✦ ❣❦ ✭✉♥✮ ✶ liên tục trên ♥. ✿ ✷ Mặt khác, từ (2.7) suy ra, với mọi ✉♥ ♥ ❳ ❦❂✶ ✷ ❳♥ mà ❦✉♥❦ ❂ ❘, ta có ❣❦ ✭✉♥ ✮❝♥❦ ❂ ❣✭✉♥ ✮ ❃ ✵✿ Từ đây, theo Mệnh đề 2.3, hệ (2.8) có nghiệm. Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm. Nếu ✉ là nghiệm của (2.5) thì ❣ ✭✉✮ ❂ ✵, nên theo (2.7) ta có ❦✉❦ ❘✿ (2.9) ❦✉♥❦ ❘✿ (2.10) Tương tự, nếu ✉♥ là nghiệm của phương trình (2.8) thì Bước 3: Tính bị chặn của dãy dương r và ▼ sao cho ❢❆✉♥❣. Theo Mệnh đề 2.5, ❆ bị chặn địa phương nên tồn tại các số ❦✈❦ r ✮ ❦❆✈❦ ▼✿ Do ❆ là đơn điệu nên hay ❤❆✉♥   ❆✈❀ ✉♥   ✈✐ ✵✿ ❤❆✉♥❀ ✈✐ ❤❆✉♥❀ ✉♥✐ ✰ ❤❆✈❀ ✈✐   ❤❆✈❀ ✉♥✐ ✿ Từ phương trình Galerkin (2.8), ta có Từ đây cùng với (2.10) suy ra Ta có ❤❆✉♥❀ ✉♥❀ ✐ ❂ ❤❜❀ ✉♥✐ ❀ ✽♥✿ ❥ ❤❆✉♥❀ ✉♥✐ ❥ ❦❜❦❦✉♥❦ ❦❜❦❘❀ ✽♥✿ ❦❆✉♥❦ ❂ s✉♣ r  ❤❆✉♥❀ ✈✐ ❦✈❦ r s✉♣ r  ✭❤❆✈❀ ✈✐ ✰ ❤❆✉♥❀ ✉♥✐   ❤❆✈❀ ✉♥✐✮ ❦✈❦ r r  ✭▼r ✰ ❦❜❦❘ ✰ ▼❘✮❀ ✽♥✿ ✶ ❂ ✶ ❂ ✶ 35 Bước 4: Chuyển qua giới hạn và sự tồn tại nghiệm. Do không gian ❳ là phản xạ và ❢✉♥ ❣ bị chặn nên dãy này có dãy con hội tụ yếu đến ✉ ✷ ❳ . Để đơn giản kí hiệu, ta coi chính dãy ❢✉♥ ❣ hội tụ yếu đến ✉. Từ phương trình Galerkin (2.8), ta có ❧✐♠ ❤❆✉♥❀ ✇✐ ❂ ❤❜❀ ✇✐ ❀ ✽✇ ✷ ♥✦✶ ✶ ❙ ❳♥ trù mật trong ❳ ♥❂✶ mọi ✇ ✷ ❳ , nghĩa là, Do và dãy ✶ ❬ ♥❂✶ ❳♥ ✿ (2.11) ❢❆✉♥❣ bị chặn trong ❳ ✄ nên, theo Mệnh đề 2.1, (2.11) đúng với ❆✉♥ ✯ ❜ trong ❳ ✄ ✿ (2.12) Hơn nữa, từ phương trình Galerkin (2.8) ta có ❧✐♠ ❤❆✉♥❀ ✉♥✐ ❂ ♥❧✐♠ ✦✶ ❤❜❀ ✉♥ ✐ ❂ ❤❜❀ ✉✐ ✿ ♥✦✶ Đến đây ta có thể áp dụng Mệnh đề 2.4 để khẳng định rằng trình 2.5. (2.13) ❆✉ ❂ ❜. Vậy ✉ là nghiệm của phương Bước 5: Chứng minh tập nghiệm bị chặn, lồi và đóng. Gọi ❙ là tập nghiệm của phương trình 2.5. Từ Bước 2 và Bước 4 ta thấy ❙ là một tập bị chặn khác rỗng. Để chứng minh ❙ là lồi, giả sử ✉✶ ❀ ✉✷ ✷ ❙ , nghĩa là ❆✉❦ ❂ ❜❀ ❦ ❂ ✶❀ ✷✿ Với ✉ ❂ t✶ ✉✶ ✰ t✷ ✉✷ , t✶ ❀ t✷ ✷ ❬✵❀ ✶❪, t ✰ t ❂ ✶, ta có ✶ ✷ ❤❜   ❆✈❀ ✉   ✈✐ ❂ ✷ ❳ ❦❂✶ t❦ ❤❆✉❦   ❆✈❀ ✉❦   ✈✐ ✵❀ ✽✈ ✷ ❳✿ Từ đây, theo Mệnh đề 2.4 (i), ta nhận được ❆✉ ❂ ❜, nghĩa là, ✉ ✷ ❙ . Vậy ❙ là lồi. Để chứng minh ❙ là đóng, giả sử ❆✈♥ ❂ ❜ với mọi ♥ và ✈♥ ✦ ✉. Khi đó ❤❜   ❆✈❀ ✉   ✈✐ ❂ ♥❧✐♠ ✦✶ ❤❆✈♥   ❆✈❀ ✈♥   ✈ ✐ ✵❀ ✽✈ ✷ ❳✿ Lại theo Mệnh đề 2.4 (i), ta có ❆✉ ❂ ❜ hay ✉ ✷ ❙ . Vậy ❙ là đóng. Bước 6: Chứng minh b). Giả sử ❆ là đơn điệu nghiêm ngặt và ✉, ✈ là hai nghiệm phân biệt của phương trình 2.5. Khi đó ❤❆✉   ❆✈❀ ✉   ✈✐ ❃ ✵✿ Nhưng điều này không thể xảy ra vì ❆✉ ❂ ❆✈ ❂ ❜. 2. Áp dụng cho phương trình elliptic giả tuyến tính Xét bài toán ✽ ❃ ❁ ❃ ✿ trong đó ♣ 36 ◆ P   ✐ ❅✐✭❥❅✐✉❥♣  ❅✐✉✮ ❂ ❣ ❂✶ ✉❂✵ ✷ trong Ω trên ❅ Ω❀ ✷. Giả sử q là số mũ liên hợp của ♣, nghĩa là, ♣✶ ✰ ✶q ❂ ✶. (2.14) ✗♣✶✭Ω✮ ta xét chuẩn Nhắc lại rằng trên không gian ❲ ✒❩ ❦✉❦ ❂ ✓ ✶ ♣ ❥r ✉❥♣ ❞① ✿ Ω ✗♣✶✭Ω✮ bởi ❲q ✶✭Ω✮, và dạng đối ngẫu giữa ❲ ✗♣✶✭Ω✮ và ❲q ✶✭Ω✮ bởi ❤✁❀ ✁✐. Kí hiệu không gian liên hợp của ❲ Mệnh đề 2.7. Cho số thực ♣ ✷. Tồn tại số ❝ ❃ ✵ sao cho ✭❥✉❥♣  ✉   ❥✈❥♣  ✈✮✭✉   ✈✮ ❝❥✉   ✈❥♣❀ ✽✉❀ ✈ ✷ ❀ ✷ với quy ước rằng ✭❥✉❥♣ ✷ ✉✮❥✉❂✵ ✷ (2.15) ❂ ✵. Chứng minh. Bằng cách thay ✉❀ ✈ lần lượt bởi  ✉❀  ✈ , ta thấy rằng chỉ cần xét hai trường hợp ✵ ✈ ✉ và ✈ ✵ ✉. Giả sử ✵ ✈ ✉. Ta có ❥✉❥♣  ✉   ❥✈❥♣  ✈ ❂ ✉♣    ✈♣  ❂ ✷ ✷ ✶ ✉ ✈ ❩ ✵ Nếu ✈ ✉ ✈ ❩ ✶ ✵ ✭♣   ✶✮✭t ✰ ✈✮♣  ❞t ✷ ✭♣   ✶✮t♣  ❞t ❂ ✭✉   ✈✮♣  ✿ ✷ ✶ ✵ ✉, sử dụng Bổ đề 1.4, ta có ❥✉❥♣  ✉   ❥✈❥♣  ✈ ❂ ✉♣  ✰ ❥✈❥♣  ✷ ✷ ✶ ✷  ♣✭✉ ✰ ❥✈❥✮♣  ❂ ✷  ♣✭✉   ✈✮♣  ✿ ✶ ✷ ✶ ✷ ✶ Từ đó ta thấy trong cả hai trường hợp, (2.15) đúng với ❝ ❂ ✷✷ ♣ . Ta đưa ra một số giả thiết: (H✶ ) Ω là miền bị chặn trong (H✷ ) Giả sử ❣ ✷ ❲q ✶ ✭Ω✮. Đặt ❛✭✉❀ ✈✮ ❂ ◆. ❩ ◆ ❳ Ω ✐❂✶ ❥❅✐✉✭①✮❥♣  ❅✐✉✭①✮❅✐✈✭①✮❞①❀ với ✉❀ ✈ ✷ ❲✗♣ ✭Ω✮✿ ✷ ✶ ✗♣✶✭Ω✮, ta có ❅✐✉ ✷ ▲♣✭Ω✮, ✐ ❂ ✶❀ ✷❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ◆ . Do q Với ✉ ✷ ❲ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ✏ ❥❅✐✉❥♣  ❅✐✉ q ❂ ❥❅✐✉❥♣  ✷ ✶ ✑ ❂ ♣  ♣ ✶ nên ♣ ♣ ✶ ❂ ❥❅✐✉❥♣ ✷ ▲ ✭Ω✮❀ ✶ nghĩa là, ❥❅✐ ✉❥♣ ✷ ❅✐ ✉ ✷ ▲q ✭Ω✮❀ ✐ ❂ ✶❀ ✷❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ◆✿ Do đó, ❛✭✉❀ ✈ ✮ ✷ với mọi ✉❀ ✈ ✗♣✶✭Ω✮ được gọi là nghiệm yếu của bài toán nếu Định nghĩa. Hàm số ✉ ✷ ❲ ❛✭✉❀ ✈✮ ❂ ❤❣❀ ✈✐ với mọi ✈ ✷ ❲✗♣ ✭Ω✮. ✶ ✷ ❲✗♣ ✭Ω✮✿ ✶ (2.16) Định lí 2.8. Với các giả thiết (H✶ ), (H✷ ), bài toán (2.14) có duy nhất một nghiệm yếu. Chứng minh. Chứng minh được chia làm 4 bước. 37 Bước 1: Đưa bài toán về phương trình toán tử. Sử dụng bất đẳng thức H¨ older ta có ☞❩ ☞ ☞ ☞ ❥❛✭✉❀ ✈✮❥ ❂ ◆ ❳ Ω ✐❂✶ ◆ ❳ ✒❩ ✐❂✶ ❥❅✐✉✭①✮❥ ❅✐✉✭①✮❅✐✈✭①✮❞① ♣ ✷ ❥❅✐✉❥♣ Ω ✓ ✶ q ✒❩ ♣ ❥❅✐✈❥♣ Ω ✓ ☞ ☞ ☞ ☞ ✶ ♣ ✗♣✶✭Ω✮✿ ❈ ❦✉❦ q ❦✈❦❀ ✽✉❀ ✈ ✷ ❲ ✗♣✶✭Ω✮, ánh xạ ✈ ✼✦ ❛✭✉❀ ✈✮ là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên Điều này suy ra, với mỗi ✉ ✷ ❲ ✗♣✶✭Ω✮. Do đó tồn tại phần tử ❆✉ ✷ ❲q ✶✭Ω✮ sao cho ❲ ❤❆✉❀ ✈✐ ❂ ❛✭✉❀ ✈✮❀ ✽✈ ✷ ❲✗♣ ✭Ω✮✿ ✗♣ ✭Ω✮ ✦ ❲q  ✭Ω✮ và ✉ ✷ ❲ ✗♣ ✭Ω✮ là nghiệm yếu của bài toán (2.14) khi và Từ đó ta được toán tử ❆ ✿ ❲ ✶ ✶ ✶ ✶ chỉ khi ✉ là nghiệm của phương trình toán tử ❆✉ ❂ ❣✿ (2.17) Bước 2: Tính đơn điệu và cưỡng của toán tử ❆. Từ Mệnh đề 2.7 ta có, với mọi ✉❀ ✈ ✷ ❲✗♣ ✭Ω✮, ✶ ❤❆✉   ❆✈❀ ✉   ✈✐ ❂ ❛✭✉❀ ✉   ✈✮   ❛✭✈❀ ✉   ✈✮ ◆ ❂ Ω ✭❥❅✐✉❥♣  ❅✐✉   ❥❅✐✈❥♣  ❅✐✈✮✭❅✐✉   ❅✐✈✮❞① ❩ ❝ ❳ ❩ ✐❂✶ ◆ ❳ Ω ✐❂✶ ✷ ✷ ❥❅✐✉   ❅✐✈❥♣❞① ❂ ❝❦✉   ✈❦♣✿ Từ đây suy ra ❆ là toán tử đơn điệu nghiêm ngặt và cưỡng. ✗♣✶✭Ω✮ và ✉♥ Bước 3: Tính liên tục của toán tử ❆. Giả sử ❢✉♥ ❣ ✷ ❲ ✦ ✉ trong ❲✗♣ ✭Ω✮. Khi đó ✶ ❅✐ ✉♥ ✦ ❅✐ ✉ trong ▲♣ ✭Ω✮❀ ✐ ❂ ✶❀ ✷❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ◆✿ Theo Mệnh đề 1.5, toán tử Nemytski ❋ ✿ ▲♣ ✭Ω✮ ✦ ▲q ✭Ω✮❀ ✉ ✼✦ ❥✉❥♣ ✷ ✉❀ là liên tục. Từ đó ❋ ✭❅✐ ✉♥ ✮ ✦ ❋ ✭❅✐ ✉✮ trong ▲q ✭Ω✮❀ ✐ ❂ ✶❀ ✷❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ◆✿ Sử dụng bất đẳng thức H¨ older ta có ❥ ❤❆✉♥   ❆✉❀ ✈✐ ❥ ❂ ☞ ◆ ☞❩ ❳ ☞ ☞ ☞ Ω ✐❂✶ ◆ ❳ ✐❂✶ ✥ ✭❋ ✭❅✐✉♥✮   ❋ ✭❅✐✉✮✮❅✐✈ ❞① ❦❋ ✭❅✐✉♥✮   ❋ ✭❅✐✉✮❦▲q Ω ❦❅✐✈❦▲♣ Ω ◆ ❳ ✐❂✶ 38 ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ✭ ✮ ❦❋ ✭❅✐✉♥✮   ❋ ✭❅✐✉✮❦ ✭ ✮ ✦ q ▲q ✭Ω✮ ✶ q ❦✈❦✿ Từ đây suy ra ❦❆✉♥   ❆✉❦❲q ✶ Ω ✭ ✮ ✥ ◆ ❳ ✐❂✶ ❦❋ ✭❅✐✉♥✮   ❋ ✭❅✐✉✮❦ ✦ q ▲q ✭Ω✮ ✶ q ✦ ✵ ✭♥ ✦ ✶✮✿ ✗♣✶✭Ω✮ ✦ ❲q ✶✭Ω✮ là toán tử liên tục. Do đó, ❆ ✿ ❲ Bước 4: Kết luận. Đến đây ta thấy toán tử ❆ thoả mãn tất cả các giả thiết của Định lí 2.6 với ❳ ❂ ✗♣✶✭Ω✮ với mọi ❣ ✷ ❲q ✶✭Ω✮. ✗♣✶✭Ω✮. Từ đó, phương trình (2.17) luôn có nghiệm yếu duy nhất trong ❲ ❲ 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Badiale M., Serra E., Semilinear elliptic equations for beginners: existence results via the variational approach, Universitext, Springer-Verlag London Dordrecht Heidelbaerg New York, 2011. [2] Drábek P., Milota J., Methods of nonlinear analysis, applications to differential equations, Birkh¨ auser Advanced Texts, Springer Verlag, 2007. [3] Nguyễn Mạnh Hùng, Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2007. [4] Evans L.C., Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 19, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1998. [5] Cazenave T., An introduction to semilinear elliptic equations, Editora do IM-UFRJ, Rio de Janeiro, 2006. 41 [...]... dãy con ❢✉❦♥ ❣ của dãy ❢✉♥❣ sao cho ✵ ❦✉❦♥   ✉❦ ✎ ❀ ✽♥✿ ✵ (2.1) Theo giả thiết, có dãy con ❢✉❤❦♥ ❣ của dãy con ❢✉❦♥ ❣ sao cho ✉❤❦♥ ✦ ✉ Điều này mẫu thuẫn với (2.1) (ii) Nếu ✉♥ ✻✯ ✉ thì tồn tại phiếm hàm ❢ ✷ ❳ ✄ sao cho dãy ❤❢❀ ✉♥ ✐ ✻✦ ❤❢❀ ✉✐ Lập luận tương tự như trên cho dãy số ❢❤❢❀ ✉♥ ✐❣ ta cũng sẽ dẫn đến mâu thuẫn 31 Sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình Xét hệ phương trình ❣❦ ✭①✮ ❂ ✵❀ ① ❂ ✭①✶ ❀ ①✷... là nghiệm của phương trình Galerkin: ❤❆✉♥❀ ✇❦ ✐ ❂ ❤❜❀ ✇❦ ✐ ❀ ❦ ❂ ✶❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ♥✿ Đặt 34 ❣✭✉✮ ❂ ❤❆✉   ❜❀ ✉✐ ❀ ❣❦ ✭✉✮ ❂ ❤❆✉   ❜❀ ✇❦ ✐ ❀ ❦ ❂ ✶❀ ✷❀ ✿ ✿ ✿ ✿ (2.6) Từ tính cưỡng của ❆, ta có ❣✭✉✮ ❂ ✰✶✿ ❧✐♠ ❦✉❦✦✶ ❦✉❦ Từ đây suy ra tồn tại ❘ ❃ ✵ sao cho ❣✭✉✮ ❃ ✵ nếu ❦✉❦ ❘✿ (2.7) ❣❦ ✭✉♥ ✮ ❂ ✵❀ ✉♥ ✷ ❳♥ ❀ ❦ ❂ ✶❀ ✷❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ♥✿ (2.8) Viết lại phương trình (2.6) dưới dạng Đây là một hệ gồm ♥ phương trình phi tuyến... có ❆✉ ❂ ❜ hay ✉ ✷ ❙ Vậy ❙ là đóng Bước 6: Chứng minh b) Giả sử ❆ là đơn điệu nghiêm ngặt và ✉, ✈ là hai nghiệm phân biệt của phương trình 2.5 Khi đó ❤❆✉   ❆✈❀ ✉   ✈✐ ❃ ✵✿ Nhưng điều này không thể xảy ra vì ❆✉ ❂ ❆✈ ❂ ❜ 2 Áp dụng cho phương trình elliptic giả tuyến tính Xét bài toán ✽ ❃ ❁ ❃ ✿ trong đó ♣ 36 ◆ P   ✐ ❅✐✭❥❅✐✉❥♣  ❅✐✉✮ ❂ ❣ ❂✶ ✉❂✵ ✷ trong Ω trên ❅ Ω❀ ✷ Giả sử q là số mũ liên hợp của ♣, nghĩa... Từ đây, theo Mệnh đề 2.2 (i), ta nhận được ❋ ✭✉♥ ✮ ✦ ❋ ✭✉✮ trong ▲q ✭Ω✮ Mệnh đề được chứng minh xong 3 Áp dụng cho phương trình elliptic nửa tuyến tính Giả sử Ω là một miền trong ◆ Xét bài toán ✽ ❁ ✿  ∆✉ ❂ ❢ ✭①❀ ✉✮ trong Ω❀ trên ❅ Ω✿ ✉❂✵ (1.5) Định nghĩa Hàm ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.5) nếu ❩ ❩ Ω đúng với mọi ✈ r✉✭①✮r✈✭①✮❞① ❂ Ω ❢ ✭①❀ ✉✭①✮✮✈✭①✮❞① (1.6) ✷ ❍ ✭Ω✮, với giả thiết là vế... đương nhiên là lồi Từ đó Bài tập ✸ Xét hàm số ❢ ✭t✮ ❂ ☛❥t❥♣  t ✰ ☞ ❥t❥q  t ✰ ✌t❀ ◆ ✰✷ trong đó ☛ ❁ ✵, ☞ ✷ , ✌ ✷ và ✶ ❁ q ❁ ♣ Chứng minh rằng rằng ❢ thoả mãn các điều ◆  ✷ Bài tập 1.7 Giả sử ◆ ✶ kiện (H✸ ) và (H✹ ) 16 ✶ Bài tập 1.8 Giả sử Ω là một miền bị chặn trong ◆ Cho ❢ ✿ Ω ✂ ✦ là hàm liên tục H¨ older địa phương và tồn tại hàm số ❛✶ ✭①✮ ✷ ▲✷ ✭Ω✮ và các số ❛✷ ❃ ✵, ✵ ❁ q ❁ ✶ sao cho ❥❢ ✭①❀ ✉✮❥ ❛ ✭①✮... Lipschitz Từ tính liên tục Lipschitz của ❣ , ❤, ■ dễ dàng kiểm tra Lipschitz địa phương Hơn nữa, ❱ ✭✉✮ ✶ với mọi ✉ ✷ ❍ Bây giờ, với mỗi ✉ ✷ ❍ , xét bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân (4.7) ❱ là liên tục ✽ ❁ ❞✑ ✭t✮ ❂ ❱ ✭✑✭t✮✮ ✭t ❃ ✵✮❀ ✑✭✵✮ ❂ ✉✿ ❞t (4.8) ✿ Vì ❱ bị chặn và Lipschitz địa phương nên, theo Bổ đề 4.1, bài toán (4.8) có nghiệm duy nhất ✑ ❂ ✑ ✭t❀ ✉✮ (t ✵❀ ✉ ✷ ❍ ) Hạn chế ✑ ✭t❀ ✉✮ trên... theo (2.7) ta có ❦✉❦ ❘✿ (2.9) ❦✉♥❦ ❘✿ (2.10) Tương tự, nếu ✉♥ là nghiệm của phương trình (2.8) thì Bước 3: Tính bị chặn của dãy dương r và ▼ sao cho ❢❆✉♥❣ Theo Mệnh đề 2.5, ❆ bị chặn địa phương nên tồn tại các số ❦✈❦ r ✮ ❦❆✈❦ ▼✿ Do ❆ là đơn điệu nên hay ❤❆✉♥   ❆✈❀ ✉♥   ✈✐ ✵✿ ❤❆✉♥❀ ✈✐ ❤❆✉♥❀ ✉♥✐ ✰ ❤❆✈❀ ✈✐   ❤❆✈❀ ✉♥✐ ✿ Từ phương trình Galerkin (2.8), ta có Từ đây cùng với (2.10) suy ra Ta có ❤❆✉♥❀ ✉♥❀ ✐... là nghiệm yếu của bài toán Bài tập 26 ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ sao cho Chương II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHI BIẾN PHÂN §1 Phương pháp điểm bất động 1 Một số định lí điểm bất động Định lí điểm bất động Brouwer Định lí 1.1 (Brouwer, 1912) Giả sử ▼ là một tập con lồi bị chặn khác rỗng trong ❢ ✿ ▼ ✦ ▼ là một ánh xạ liên tục Khi đó, ❢ có điểm bất động ◆, ◆ ✶, và Định lí điểm bất động Schauder Định nghĩa Cho ❳ , ❨ là các không... lớp ❈ ✶ trên ❍✵✶ ✭Ω✮ b) Xét bài toán ✽ ❁ ✿  ∆✉✭①✮ ❂ ❢ ✭①❀ ✉✭①✮✮❀ ① ✷ Ω ✉✭①✮ ❂ ✵❀ ① ✷ ❅ Ω✿ (2.18) Hàm ✉ ✷ ❍✵✶ ✭Ω✮ gọi là nghiệm yếu của bài toán (3.4) nếu ❩ ❩ Ω với mọi ✈ r✉r✈❞① ❂ Ω ❢ ✭①❀ ✉✮✈❞① ✷ ❍ ✭Ω✮ Chứng minh rằng bài toán (3.4) có ít nhất một nghiệm yếu ✶ ✵ §3 Cực trị ràng buộc Xét bài toán ✽ ❁ ✿  ∆✉ ✰ ✕✉ ❂ ❛❥✉❥♣  ✉ ✶ ✉❂✵ trong Ω trên ❅ Ω❀ (3.1) ✕ và ❛ là các số thực cho trước Định lí 3.1 (Nhân... đến ✉ Từ phương trình Galerkin (2.8), ta có ❧✐♠ ❤❆✉♥❀ ✇✐ ❂ ❤❜❀ ✇✐ ❀ ✽✇ ✷ ♥✦✶ ✶ ❙ ❳♥ trù mật trong ❳ ♥❂✶ mọi ✇ ✷ ❳ , nghĩa là, Do và dãy ✶ ❬ ♥❂✶ ❳♥ ✿ (2.11) ❢❆✉♥❣ bị chặn trong ❳ ✄ nên, theo Mệnh đề 2.1, (2.11) đúng với ❆✉♥ ✯ ❜ trong ❳ ✄ ✿ (2.12) Hơn nữa, từ phương trình Galerkin (2.8) ta có ❧✐♠ ❤❆✉♥❀ ✉♥✐ ❂ ♥❧✐♠ ✦✶ ❤❜❀ ✉♥ ✐ ❂ ❤❜❀ ✉✐ ✿ ♥✦✶ Đến đây ta có thể áp dụng Mệnh đề 2.4 để khẳng định rằng trình 2.5 ... 31 Áp dụng cho phương trình elliptic giả tuyến tính 36 Chương I PHƯƠNG TRÌNH NỬA ELLIPTIC TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN §1 Tóm... ❆ đơn điệu nghiêm ngặt ✉, ✈ hai nghiệm phân biệt phương trình 2.5 Khi ❤❆✉   ❆✈❀ ✉   ✈✐ ❃ ✵✿ Nhưng điều xảy ❆✉ ❂ ❆✈ ❂ ❜ Áp dụng cho phương trình elliptic giả tuyến tính Xét toán ✽ ❃ ❁ ❃ ✿ ♣ 36... ✷ ❳ ✄ cho dãy ❤❢❀ ✉♥ ✐ ✻✦ ❤❢❀ ✉✐ Lập luận tương tự cho dãy số ❢❤❢❀ ✉♥ ✐❣ ta dẫn đến mâu thuẫn 31 Sự tồn nghiệm hệ phương trình Xét hệ phương trình ❣❦ ✭①✮ ❂ ✵❀ ① ❂ ✭①✶ ❀ ①✷ ❀ ✿ ✿ ✿ ❀ ①◆ ✮ ✷ ◆ ❀