Cho Ω RN là một tập khác rỗng đo được (Lebesgue) và hàm sốf : ΩR ! R. Với mỗi hàm số u :Ω!R, ta xác định hàm sốF (u) :Ω!Rbởi
F (u)(x) = f(x; u(x)):
Ta được ánh xạF : u 7! F (u) và gọi là toán tử Nemytski. Trong mục này ta sẽ nghiên cứu tính chất của toán tửF.
Định nghĩa. Hàm sốf :ΩR!Rđược gọi là mộthàm Carathéodory, viếtf 2CAR(ΩR), nếu hai điều kiện sau đây thoả mãn
(M) với mỗiu 2R, hàm số x 7! f(x; u)là đo được (Lebesgue) trên Ω; (C) với h.k.n.x 2Ω, hàm sốy 7! f(x; u)là liên tục trênR.
Đương nhiên, nếuf liên tục trênΩRthìf 2CAR(ΩR).
Mệnh đề 1.3. Nếuu :Ω!Rlà hàm đo được vàf 2CAR(ΩR)thìF (u)là hàm đo được trên trênΩ.
đếnutrênΩ. Giả sử
t = Xk
i=1
iΩi
là một hàm bậc thang trênΩ, trong đóΩ1;Ω2; : : : ;Ωk là các tập đo được rời nhau sao choΩ=Sk i=1Ωi, Ωi là hàm đặc trưng của tậpΩi. Khi đó
f(x; t(x)) =Xk
i=1
f(x; i)Ωi
là hàm đo được do hàm sốx 7! f(x; u)là đo được với mỗi ucố định. Mặt khác, với h.k.n.x 2Ω, hàm sốR3 u 7! f(x; u) liên tục nên
f(x; u(x)) = limn!1f(x; tn(x)): Từ đóF (u)() = f(; u())là hàm đo được trênΩ.
Bổ đề 1.4. Nếu1¶p < 1vàa; b ¾0thì
(a + b)p
¶2p 1(ap+ bp): (1.1)
Chứng minh. Nếu p = 1thì (1.1) hiển nhiên đúng. Vớip > 1, hàm số f(t) = tp là lồi trên[0; 1), vì cóf0(t) = ptp 1 ¾0; 8t¾0, nên ta có fa + b 2 ¶ 1 2 f(a) + f(b)hay a + b 2 !p ¶ 1 2 ap+ bb : Từ đây ta nhận được (1.1).
Mệnh đề 1.5. Giả sử Ω là một tập mở trong RN, f 2 CAR(ΩR) và p; q ¾ 1. Giả sử tồn tại hàm
g 2 Lq(Ω)và hằng sốc 2Rsao cho
jf(x; u)j¶g(x) + cjujpq (1.2)
với h.k.n.x 2 Ωvà mọi u 2R. Khi đó toán tử Nemytski F là ánh xạ liên tục từLp(Ω)vàoLq(Ω);
Chứng minh. Vớiu 2 Lp(Ω), theo Mệnh đề 1.3,F (u)(x)là hàm đo được. Mặt khác, từ (1.2) ta có kf(; u())kLq(Ω) ¶kg() + cju()jpqkLq(Ω)
¶kgkLq(Ω)+ ckjujpqkLq(Ω)= kgkLq(Ω)+ ckukpq
Lp(Ω): VậyF (u) 2 Lq(Ω).
Bây giờ ta chứng tỏ F là toán tử liên tục từ Lp(Ω)vào Lq(Ω). Giả sửfung Lp(Ω),un ! u trong Lp(Ω). Khi đó, có dãy confukngcủa dãy fungvàv 2 Lp(Ω)sao cho
ukn(x) ! u(x) h.k.n.x 2Ω; (1.3)
jukn(x)j ¶v(x)h.k.n.x 2Ω: (1.4)
Do hàm sốR3 u 7! f(x; u)liên tục nên
hay
F (ukn)(x) F (u)(x) ! 0h.k.n.x 2Ω: Mặt khác, sử dụng Bổ đề 1.4 và giả thiết (1.2), ta có, với h.k.n.x 2Ω,
jF (ukn)(x) F (u)(x)jq = jf(x; ukn(x)) f(x; u(x))jq
¶2q 1(jf(x; ukn(x))jq+ jf(x; u(x))jq)
¶22q 2(2jg(x)jq+ cqjv(x)jp+ cqju(x)jp) 2 L1(Ω): Đến đây áp dụng định lí hội tụ bị chặn để nhận được
kF (ukn) F (u)kLq(Ω)! 0
hay F (ukn) ! F (u) trong Lq(Ω). Từ đây, theo Mệnh đề 2.2 (i), ta nhận được F (un) ! F (u) trong Lq(Ω). Mệnh đề được chứng minh xong.