tối ưu hóa hệ thống quang học

TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG QUANG HỌC* Florian Bociort Đại học công nghệ Delft, Hà Lan MỞ ĐẦU Tính tối ưu hóa có lẽ đặc điểm quan trọng phần mềm thiết kế quang học đại. Cho hệ xuất phát, phần mềm tự động thay đổi thông số hệ để làm cho hệ trở nên tốt đến mức theo nghĩa mà nói rõ phần sau này. Mục đích thiết kế HTQH tìm hệ thống có thông số kết cấu định mà thỏa mãn tập hợp tiêu (tức dung sai cho phép sai lệch ảnh) đòi hỏi ứng dụng cho trước. Khuôn khổ thiết kế quang học đại mô hình toán học – xây dựng chủ yếu sở định luật quang hình học – mà cho phép xác định thuộc tính chất lượng ảnh hàm thông số hệ thống (các độ cong bề mặt, khoảng cách mặt, …). Trong đánh giá chất lượng ảnh hệ thống có thông số kết cấu biết công việc đơn giản, chất thiết kế quang học giải toán ngược: Cho trước yêu cầu chất lượng ảnh (tức cho trước dung sai chất lượng ảnh so với ảnh sai lệch), người thiết kế cần phải tìm tập hợp thông số hệ thống mà tạo nên chất lượng ảnh cần thiết. Do thực tế hệ thống quang học có hàng tá thông số mối quan hệ thông số hệ thống với sai lệch ảnh có tính phi tuyến cao nên việc giải toán ngược phức tạp. TỔNG QUAN Nhờ tiến lĩnh vực tối ưu hóa, việc thiết kế HTQH thực cách tự động. Để tiến hành tối ưu hóa cách tự động, người thiết kế cần phải xác định trước vấn đề sau: i) Một cấu hình HTQH xuất phát ii) Một hàm thông số hệ thống mà biểu thị định lượng chất lượng hệ – gọi hàm mục tiêu hay hàm sai lệch (vì đại lượng quan tâm chủ yếu sai lệch ảnh) iii) Một tập hợp thông số hệ thống mà thay đổi cách tự động trình thiết kế (các biến trình thiết kế) * Encyclopedia of Optical Engineering DOI: 10.1081/E-EOE 120009685 Copyright D 2003 by Marcel Dekker, Inc. All rights reserved. Translated by Lê Hoàng Hải - HVKTQS Một tập hợp ràng buộc mà giới hạn phạm vi thay đổi biến tối ưu, chẳng hạn tính định yêu cầu công nghệ Trên quan điểm toán học, HTQH với N biến tối ưu coi điểm không gian N chiều. Quá trình tối ưu hóa thực (lặp lặp lại) thuật toán số để cố gắng tìm cực tiểu (có ràng buộc) hàm sai số phi tuyến N biến, cấu hình xuất phát. Gần đây, tiến phần mềm thuật toán hỗ trợ vô giá cho cố gắng người thiết kế để lựa chọn đòi hỏi nói cho việc tối ưu hóa. Tuy nhiên, việc đưa thiết kế tốt đòi hỏi can thiệp người có kỹ năng. Trong trình thiết kế đại, việc tối ưu hóa tự động kèm theo việc đánh giá kết người thiết kế. Vì trách nhiệm người thiết kế giám sát trình tối ưu hóa để bảo đảm trình thiết kế tiến đến gần đích mong muốn, để thực thay đổi cần thiết yêu cầu tối ưu hóa nói trên. iv) CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG Cần phải phân biệt tối ưu hóa toàn cục tối ưu hóa cục bộ. Để đơn giản, ta xét trường hợp ràng buộc nào. Một điểm không gian nghiệm mô tả vectơ x = (x1, x2, … , xN) có thành phần N biến tối ưu. Việc xác định cực tiểu hàm mục tiêu mà đạt tới từ cấu hình hệ thống xuất phát gọi tối ưu hóa cục bộ. Bắt đầu từ cấu hình xuất phát, thuật toán tối ưu hóa thu nhỏ giá trị hàm sai số f cách thay đổi vectơ x nghiệm tìm (hoặc tới đủ gần) cực tiểu hàm f. Khi gradient hàm f triệt tiêu:  f f f f ( x)   , , ., x N  x1 x     thay đổi nhỏ biến tối ưu dẫn tới tăng hàm f. Khi hàm có nhiều cực tiểu địa phương, việc tìm cực tiểu thấp cực tiểu địa phương gọi tối ưu hóa toàn cục. Trong phần việc tối ưu hóa cục bàn luận, việc tối ưu hóa toàn cục bàn luận ngắn gọn mục “Tối ưu hóa toàn cục”. Hình Translated by Lê Hoàng Hải - HVKTQS Để hiểu cách trực giác cách thức tối ưu hóa cục (không ràng buộc), ta xét hàm mục tiêu phụ thuộc vào biến. Trong trường hợp hàm mục tiêu coi cao độ bề mặt, điểm xuất phát xem bóng đặt vị trí cho trước. Thuật toán tối ưu hóa làm cho bóng lăn xuống vùng thấp đến điểm mà độ dốc theo hướng. Hình biểu diễn cực tiểu địa phương A, B C bao quanh đường “bình độ” (tức đường mà hàm mục tiêu có độ lớn không đổi) tương tự đồ khu vực không gian chiều. Trong cực tiểu này, C cực tiểu thấp – tức cực tiểu toàn cục. Ở đây, điều quan trọng phải hiểu chất việc tối ưu hóa chi tiết cụ thể trình này. Do trình tối ưu hóa minh họa qua việc sử dụng thuật toán đơn giản – phương pháp độ dốc lớn (steepest descent method) (Một phương pháp mạnh – phương pháp bình phương tối thiểu tắt dần (DLS) thảo luận sau). Ở điểm “bản đồ”, hướng có độ dốc lớn hướng mà f không đổi dấu. Hướng (các mũi tên điểm M N hình 1) luôn vuông góc với đường bình độ. Phương pháp độ dốc lớn tổng hợp sau: i) Tại điểm xuất phát, xác định số hướng có độ dốc lớn ii) Dọc theo hướng này, xác định cực tiểu f iii) Lấy điểm cực tiểu tìm điểm xuất phát iv) Lặp lại thủ tục độ dốc theo hướng có độ dốc lớn xấp xỉ 0. Trong đa số trường hợp, việc tối ưu hóa cục đưa cấu hình xuất phát tới cực tiểu địa phương gần nhất. Chẳng hạn, trình độ dốc lớn lặp lặp lại bắt đầu điểm M hình hội tụ cực tiểu A. Trên hình 1, vùng điểm xuất phát mà hội tụ cực tiểu B, A C thể tương ứng vùng trắng, xám nhạt, xám đậm. Tuy nhiên, vị trí cấu hình xuất phát “bề mặt” hàm mục tiêu yếu tố mà xác định cực tiểu hội tụ tới. Đôi cực tiểu địa phương tìm phụ thuộc vào đặc tính, hay chí vào việc sử dụng thuật toán tối ưu hóa cụ thể đó. Chẳng hạn, điểm xuất phát N gần cực tiểu toàn cục C cực tiểu địa phương A. Tuy nhiên, vòng lặp thứ chạy theo hướng tới A phương pháp độ dốc lớn nhất, nên điểm N hội tụ phía cực tiểu A. Đôi thay đổi tham số thuật toán (như hệ số tắt dần phương pháp DLS) hữu ích để thoát khỏi cực tiểu địa phương tồi. CẤU HÌNH XUẤT PHÁT Do thiết kế quang học hàm mục tiêu thường có độ phi tuyến cao nên thường tồn nhiều cực tiểu địa phương. Như trên, kết tối ưu hóa cục phụ thuộc nhiều vào việc lựa chọn cấu hình ban đầu. Sự lựa chọn không tốt cấu hình xuất phát thường dẫn tới lời giải có chất lượng thấp. Việc lựa chọn cấu hình xuất phát cho toán tối ưu hóa vấn đề khó khăn thiết kế HTQH. Một cách truyền thống, việc lựa chọn thực sở kinh nghiệm, sáng chế sở liệu thấu Translated by Lê Hoàng Hải - HVKTQS kính, tính toán giải tích dựa sở khử loại quang sai sơ cấp, cảm nhận trực giác, thường qua số phép tính toán thử đánh giá sai số. Những tiến gần tối ưu hóa toàn cục làm giảm bớt khó khăn số trường hợp phát triển kỹ thuật tối ưu hóa toàn cục mong đợi. Đối với loại HTQH biết rõ, cấu hình xuất phát hữu dụng thu cách điều chỉnh thiết kế có sẵn theo yêu cầu mới. Tuy nhiên, điều thường xảy sau thay đổi đặc tính, số tia sáng qua hệ thống. Các tình trạng số tia sáng chịu phản xạ toàn phần không vào bề mặt thường hay xảy độ thị giới tăng lên. Trong đa số trường hợp, hàm mục tiêu dựa việc tính đường truyền tia nên ta tính mà tia sáng không qua toàn hệ thống. Một “chiến lược” mà thường trợ giúp ta để biến đổi điểm xuất phát không tốt sang điểm mà tính đường truyền tia sau: 1) hạ thấp độ / thị giới; 2) tối ưu hóa; 3) khôi phục đặc tính trở lại giá trị mong muốn. Việc thu nhỏ độ / thị giới mang tia sáng tới gần vùng cận trục chúng qua toàn hệ. Các tia mà trước không qua toàn hệ tính qua toàn hệ có lẽ có góc tới lớn bề mặt mà trước chúng không truyền qua được. Tuy nhiên, góc lớn có xu hướng gây nên quang sai lớn. Qua việc tối ưu hóa góc giảm khả mà tia sáng nói không qua giảm đặc tính mong muốn khôi phục lại. HÀM MỤC TIÊU Việc lựa chọn hàm mục tiêu điều quan trọng để thiết kế thành công. Hàm mục tiêu xác định đích mà cần đạt sau trình tối ưu hóa. Vì việc tối ưu hóa đưa hệ thống phía đích này, người thiết kế cần phải bảo đảm hàm mục tiêu phản ánh xác yêu cầu thiết kế thực tế. Với nhiệm vụ thiết kế ta cần phải xác định số đặc tính hệ thống (được gọi toán hạng) giá trị đích tương ứng. Các toán hạng quang sai tia hay quang sai mặt sóng tia riêng biệt, hệ số quang sai, thông số thấu kính cần giữ giới hạn định,… Một cách điển hình, thường có nhiều toán hạng biến tối ưu, chẳng hạn, lượng lớn tia sáng cần tính đường truyền. Sự cần thiết phải cực tiểu hóa hàm mục tiêu xuất từ thực tế ta mong chờ tất toán hạng đồng thời đạt tới xác giá trị đích mà đạt tới phạm vi bình phương tối thiểu. Hàm mục tiêu định nghĩa tổng bình phương có trọng số:  wi ai ( x)  a~i  f ( x)   wi Trong toán hạng, wi trọng số tương ứng đại lượng có dấu ~ biểu thị giá trị đích cho toán hạng tương ứng (đôi thân hàm f mà bậc gọi hàm mục tiêu). Các bình phương định nghĩa phản ánh thực tế Translated by Lê Hoàng Hải - HVKTQS sai lệch dương âm toán hạng khỏi giá trị đích chúng xem có hại nhau. Rõ ràng, tình trạng lý tưởng, tất toán hạng giá trị đích chúng, giá trị f 0. Phần mềm thiết kế quang học đại thường đưa cho người thiết kế hàm mục tiêu ngầm định quang sai mặt sóng bình phương trung bình (RMS) (hữu ích hệ thống gần giới hạn nhiễu xạ) kích thước vết bình phương trung bình (hữu ích trường hợp hệ xa giới hạn nhiễu xạ). Người sử dụng tinh chỉnh hàm sai số ngầm định cho phù hợp với yêu cầu thiết kế cụ thể [2]. Thông thường phạm vi rộng toán hạng cung cấp sẵn người sử dụng định nghĩa toán hạng theo ý muốn. Khi tốc độ máy tính điều cần cân nhắc, người sử dụng cần điều chỉnh hàm mục tiêu tối ưu hóa. Ở giai đoạn đầu, việc dụng số toán hạng (chẳng hạn lượng nhỏ tia sáng chọn cách kỹ lưỡng) cải thiện tốc độ [3]. Các hệ số quang sai cho người thiết kế khả sử dụng hiểu biết sâu sắc tránh trường hợp tia sáng không qua toàn hệ. Khi thiết kế gần tới kết cuối cùng, hàm mục tiêu cần đánh giá xác việc đòi hỏi trình tính toán phức tạp thời gian hơn. Điều làm, chẳng hạn, cách tăng số toán hạng (ví dụ cách tính nhiều tia hơn). Phụ thuộc vào tiêu chí tính cuối cùng, hàm mục tiêu sở hàm MTF phân bố lượng tính theo vòng tròn hữu ích để tới thiết kế cuối cùng. Nếu việc tối ưu hóa không tiến triển theo mong đợi, người sử dụng nên điều tra cách hoạt động toán hạng để thấy chúng có thực điều mà ta dự định hay không. Việc thay đổi toán hạng trọng số chúng thường giải vấn đề này. Điều chỉnh hàm mục tiêu hữu ích việc thiết kế toàn cục. Nếu người thiết kế muốn đưa nghiệm khỏi cực tiểu địa phương tồi x0, chiến lược hữu ích đầy tiềm cộng thêm vào hàm sai số f toán hạng “thoát”:  a E ( x )  exp   x  x0  t  Trong tham số t trọng số tương ứng wE chọn cách kinh nghiệm [4]. Không toán hạng thông thường mà có giá trị gần với giá trị đích chúng lân cận x0, aE có giá trị cực đại đó. Bằng cách này, cực tiểu địa phương f biến thành cực đại địa phương. Mặt khác, toán hạng thực tế giá trị đích (bằng 0) điểm không gian thông số mà cách xa x0. Do toán hạng “thoát” đẩy lời giải khỏi cực tiểu địa phương biết làm cho việc tối ưu hóa tìm cực tiểu địa phương tốt hơn. CÁC BIẾN TỐI ƯU Các thông số sử dụng để mô tả hệ thống dùng để làm biến tối ưu. Ví dụ độ cong bề mặt (hay bán kính bề mặt), khoảng cách mặt, hệ số phi cầu. Translated by Lê Hoàng Hải - HVKTQS Thậm chí, tính chất vật liệu chiết suất độ tán sắc hay hệ số thay đổi chiết suất dùng làm biến (trong phạm vi giới hạn cho trước). Tuy nhiên, tính chất thủy tinh biến liên tục nên sau tối ưu hóa ta cần thay giá trị thực tế gần hệ phải tối ưu hóa lại với biến lại. Các lựa chọn (option) bổ sung để tối ưu hóa việc chọn thủy tinh trở nên sẵn có tối ưu hóa toàn cục. Người thiết kế cần phải chọn tham số hệ thống nên dùng làm biến tối ưu tham số nên giữ không đổi. Nói chung, số biến tối ưu nhiều, có hội để tìm lời giải tốt. Tuy nhiên, nhiều trường hợp, người thiết kế không nên đặt tất thông số hệ thống làm biến. Chẳng hạn, ta thấy trình tối ưu có xu hướng tăng độ dày thủy tinh tạo nên cải thiện nhỏ chất lượng ảnh. Vì độ dày thủy tinh lớn dẫn tới tăng khối lượng giá thành sản phẩm, ta nên cố định biến tương ứng đạt tới giá trị mà cho chất lượng ảnh chấp nhận được. Các trường hợp vài biến có tác dụng tương tự lên hàm mục tiêu gây tác dụng không mong muốn lên trình tối ưu hóa nên tránh. Chẳng hạn, bề mặt phi cầu sử dụng, việc tối ưu hóa tất số hạng biến dạng đa thức làm cho hệ số conic, đa số trường hợp, trở nên thừa dùng làm biến tối ưu. Điều thấy từ công thức quang sai Seidel, hệ số đa thức bậc hệ số conic có tác dụng: thay đổi số hạng Seidel gây thay đổi hệ số conic bù cách xác thay đổi số hạng biến dạng bậc [3]. (Sử dụng hệ số conic biến, với hệ số đa thức, có ý nghĩa số hệ số đa thức thấp hệ số conic đóng vai trò hệ số bậc cao hơn). Trong thiết kế quang học, số ràng buộc mà thường xuyên xuất liên hệ với thông số hệ thống định biểu thức toán học đơn giản. Chẳng hạn, mặt phẳng ảnh giữ vị trí ảnh cận trục cách điều chỉnh độ dày khoảng không khí phía sau bề mặt cuối tiêu cự giữ giá trị cho trước cách điều chỉnh độ cong mặt cuối cùng. Các thông số độ cong cuối khoảng không khí cuối ví dụ trở thành “lời giải” phương trình xem biến loại trừ. Trong trình tối ưu hóa, giá trị thông số điều chỉnh liên tục hàm biến tối ưu. Các thông số hệ thống điều khiển “solves” cần phải phân biệt với biến tối ưu. Bất kỳ lúc có thể, ta nên đặt ràng buộc việc sử dụng “solve” thay cho biến tối ưu lưu đồ tính toán nội chương trình đơn giản hóa, thời gian tính toán nguy đình trệ giảm đi. VÍ DỤ TỐI ƯU HÓA Thứ tự mà thông số hệ thống dùng làm biến tối ưu xác định hướng cực tiểu địa phương mà lời giải hội tụ. Đôi lúc, người thiết kế có kinh nghiệm có lý để mong đợi dạng lời giải định, họ chọn để sử dụng lượng giới hạn Translated by Lê Hoàng Hải - HVKTQS biến giai đoạn đầu tối ưu hóa, với hy vọng lựa chọn họ hướng lời giải phía cực tiểu mong muốn. Các biến lại sử dụng giai đoạn sau. Việc sử dụng tất biến cách đồng thời dẫn tới kết khác. Tình trạng minh họa ví dụ đơn giản. Một hệ thống bao gồm thấu kính với vật vô xa tối ưu hóa theo cách khác thu hai kết khác nhau. Hình Đối với hệ xuất phát, lựa chọn đơn giản lấy là: hệ có bề mặt phẳng, song song bề mặt thứ có độ cong điều khiển “solve” để giữ tiêu cự giá trị không đổi định (có thể có lựa chọn tốt hơn, lựa chọn minh họa điểm chủ yếu bàn luận đây). Hình biểu diễn đường truyền tia từ điểm vật trục (các tia song song với quang trục không gian vật) đường truyền tia từ đỉnh vật (tạo nên góc nghiêng 200 so với quang trục không gian vật). Chất lượng ảnh cấu hình xuất phát thấp. Điều nhận thấy ta nhìn vào tia từ đỉnh vật: giao điểm tia thấp với tia giao điểm tia cao với tia không nằm gần theo phương dọc trục lẫn theo phương ngang trục. Hình Hàm mục tiêu dùng loại kích thước vết RMS, tính toán cho vị trí thị giới bước sóng. Để đơn giản, biến độ cong bề mặt đầu tiên, khoảng cách mặt giữ không đổi. Trong chiến lược tối ưu hóa đầu tiên, mặt phẳng ảnh giữ solve thứ hai vị trí cận trục nó. Sau tối ưu hóa, ta thu hệ thống hình (gọi triplet Cooke). Chất lượng ảnh rõ ràng tốt nhiều, với vật trục trục, tia có giao điểm chung. Cả hai điểm ảnh nằm mặt phẳng (mặt phẳng ảnh). Cách mà độ cong bề mặt thay đổi sau số chu kỳ tối ưu hóa khác thể hàng đầu (a) bảng 1. Translated by Lê Hoàng Hải - HVKTQS Bảng Trong ví dụ này, ta tự hỏi việc giữ mặt phẳng ảnh ví trí cận trục lại hữu ích. Ta biết rõ hệ tối ưu, vị trí tốt mặt phẳng ảnh không xác vị trí cận trục, điều gợi ý ta nên sử dụng vị trí mặt phẳng ảnh biến phụ trợ. Khi việc tối ưu hóa thực hiên lại với chiến lược thứ hai này, ta thu hình dạng bề mặt nối tiếp thể hàng thứ hai (b) bảng 1. Ta thấy dạng cuối thiết kế không giống thu với chiến lược thứ nhất. Điều ngạc nhiên thật biến phụ trợ sử dụng, hàm mục tiêu cuối sau lần chạy thứ hai lớn sau lần chạy thứ 3,5 lần. Điều giải thích sau, lần chạy thứ hai lời giải tới cực tiểu địa phương hơn. Sự phân tích quang sai cho thấy rằng, trường hợp thứ hai, hệ thống có cầu sai bậc ba cong trường lớn. Vì hai loại quang sai cân tới mức độ định defocus (dịch chuyển mặt phẳng ảnh), việc tối ưu hóa “sử dụng sai” bậc tự defocus, làm theo cách đơn giản thực cân quang sai sớm mà không thực trước việc thu nhỏ hai quang sai Seidel lớn nói trên. Vì bị “bẫy” vào cực tiểu địa phương tồi mà thoát được. Loại cực tiểu địa phương tồi thường xuyên xảy thiết kế HTQH [1]. Với chiến lược thứ nhất, việc defocus không phép lời giải định xứ cực tiểu địa phương. Bằng cách này, việc tối ưu hóa có hội để giảm nhỏ cầu sai bậc ba cong trường từ ban đầu. Khi dạng hệ thống biểu diễn hình 3, việc dịch chuyển vị trí mặt phẳng ảnh thực cải thiện lời giải. Nhờ thế, dạng hệ giữ không thay đổi. Thật không may, thành công chiến lược để tránh cực tiểu địa phương tồi phụ thuộc (tới mức độ lớn) vào may rủi. Thậm chí khác biệt nhỏ việc tiến hành thuật toán tối ưu hóa cục ảnh hưởng tới kết quả. CÁC RÀNG BUỘC Việc tối ưu hóa HTQH chịu tác động dạng ràng buộc khác (hay điều kiện biên). Về mặt toán học, toán tối ưu hóa có ràng buộc phát biểu sau: Hãy cực tiểu hóa hàm f(x) thỏa mãn điều kiện: ci(x) = pi với i = 1, 2, …, m < N (các ràng buộc dạng đẳng thức) Translated by Lê Hoàng Hải - HVKTQS dj(x)  qj với j = 1, 2, … n (các ràng buộc dạng bất đẳng thức). Các ví dụ ràng buộc là: giữ tiêu cự không đổi trình tối ưu hóa (ràng buộc dạng đẳng thức), ngăn chặn trường hợp độ dày mép thấu kính hai mặt lồi trở nên âm độ cong bề mặt có xu hướng tăng nhiều (ràng buộc dạng bất đẳng thức). Ở dạng đơn giản nhất, ràng buộc dạng bất đẳng thức xuất biến tối ưu hóa phép thay đổi khoảng định. Trong ví dụ chiều thể hình 4, biến (ví dụ độ dày thấu kính khoảng cách không khí mặt) phép thay đổi nhận giá trị dương. Ta thấy biến bị hạn chế khoảng cho trước, có loại cực tiểu: 1) cực tiểu mà tiếp tuyến với đường cong nằm ngang (A); 2) cực tiểu điểm kết thúc khoảng (B). Một cách tổng quát hơn, cực tiểu nằm biên khoảng thay đổi phép (như trường hợp B nói trên), nhiều ràng buộc dạng bất đẳng thức trở thành ràng buộc dạng đẳng thức dj(x) = qj. Các ràng buộc gọi ràng buộc chủ động (active). Nếu tập hợp ràng buộc chủ động biết ràng buộc lại (là ràng buộc không chủ động) bỏ qua cực tiểu địa phương biết chúng ảnh hưởng tới tối ưu hóa. Một cách cục bộ, tình trạng trở thành tình trạng ràng buộc dạng đẳng thức [5]. Ta dễ dàng thấy từ hình rằng, cực tiểu địa phương A, yêu cầu biến x ràng buộc không chủ động mà ảnh hưởng tới kết tối ưu hóa. Hình Để giải ràng buộc dạng đẳng thức, việc dùng solve khả dĩ, đề cập trên, chúng lựa chọn ưu tiên. Đối với ràng buộc dạng đẳng thức bất đẳng thức, nói chung có hai cách khác để giải quyết, chúng có ưu điểm nhược điểm. Cách dễ thấy bổ sung số hạng “phạt” (penalty term) vào hàm mục tiêu. Các ràng buộc trở thành toán hạng mà điều khiển tối ưu hóa phía giá trị đích tương ứng. Với cách ràng buộc không cưỡng cách chặt chẽ, chúng nhân nhượng tới mức độ lệch chúng khỏi giá trị đích cực tiểu hóa với toán hạng khác (ví dụ quang sai). Sự tăng trọng số liên quan cưỡng ràng buộc cách chặt chẽ hơn. Đối với ràng buộc dạng bất đẳng thức, toán hạng tương ứng thực cách khác với toán Translated by Lê Hoàng Hải - HVKTQS hạng thông thường: Chúng đóng góp giá trị khác vào hàm sai số biên bị vi phạm; trái lại chúng đơn giản bỏ qua. Hình Cách thứ hai – gọi phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange multiplier) – cho phép điều khiển tốt ràng buộc. Để hiểu phương pháp này, trước tiên ta xét trường hợp chiều đơn giản. Trong hình đường cong C ứng với ràng buộc dạng đẳng thức: c(x1, x2) = p Tại điểm dọc theo C, gradient c(x1, x2) (mũi tên OA) vuông góc với tiếp tuyến đường cong. Như thích trước, tối ưu hóa không ràng buộc, f triệt tiêu cực tiểu (ở hướng độ dốc). Trong trường hợp có ràng buộc, điểm O cực tiểu, phải hướng độ dốc dọc theo đường cong C. Điều có nghĩa O, thành phần f dọc theo tiếp tuyến cần phải biến hoặc, cách tương đương, f định hướng dọc theo OA f = c Đối với định hướng khác (chẳng hạn OB), f có thành phần (OB’) dọc theo C, tức O cực tiểu có ràng buộc. Trong trường hợp tổng quát, vectơ gradient m hàm ràng buộc ci độc lập, cực tiểu địa phương, f viết là: f  1c1  2c2  .   m cm Cực tiểu có ràng buộc tìm cách tìm cực tiểu không ràng buộc hàm Lagrange liên kết f L ( x,  )  f ( x)  1c1 ( x )  2 c2 ( x )  .  m cm ( x) Tuy nhiên N thành phần x, hệ số 1, 2,…, m (được gọi nhân tử Lagrange) cần phải xác định. Cùng với m phương trình ràng buộc ci(x) = pi, việc thủ tiêu thành phần fL cung cấp N + m phương trình cần thiết [6]. Các nhân tử Lagrange thu cách cho biết “áp lực” áp ràng buộc tương ứng lên hàm mục tiêu cung cấp thông tin hữu ích tác dụng ràng buộc. Phương pháp mở rộng để xử lý ràng buộc dạng bất đẳng thức. Translated by Lê Hoàng Hải - HVKTQS 10 PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU TẮT DẦN Về mặt lịch sử, phương pháp độ dốc lớn bàn luận thuật toán tối ưu hóa sử dụng thiết kế HTQH. Tuy nhiên, nhược điểm khác (chẳng hạn tốc độ hội tụ chậm đường bình độ kéo dài bất thường), ngày nhiều phương pháp hiệu áp dụng [2, 3]. Trong đa số trường hợp, chương trình thiết kế HTQH ngày sử dụng biến thể phương pháp bình phương tối thiểu tắt dần (DLS) [7,8] để tối ưu hóa cục bộ. Sau bàn luận ý tưởng phương pháp (trình bày chi tiết xin đọc tài liệu 10). Như bàn luận trên, tất toán hạng đạt giá trị đích chúng, ta có hệ phương trình mà số phương trình nhiều biến số. Khi việc cực tiểu hóa hàm sai số f dẫn tới lời giải bình phương tối thiểu hệ phương trình (nghĩa dẫn tới thỏa mãn tốt cách “tập hợp” yêu cầu này). Nếu toán hạng hàm tuyến tính vectơ biến tối ưu x, lời giải bình phương tối thiểu tính với bước tính. Khi thay đổi cần thiết x để biến đổi hệ xuất phát thành hệ tối ưu tính trực tiếp phương pháp đại số tuyến tính thông thường [9]. Tuy nhiên, phụ thuộc toán hạng vào x thực tế phi tuyến nên cần phải dùng kỹ thuật lặp phức tạp hơn. Xung quanh giá trị x tại, toán hạng xấp xỉ cách cục hàm tuyến tính biến tối ưu. Vì thế, khai triển chuỗi Taylor ai, số hạng không đổi số hạng bậc giữ lại. Hệ số số hạng bậc đạo hàm riêng phần ai xi . Các hệ số tính toán số cách xác định thay đổi toán hạng số gia nhỏ biến. Giá trị x, cho x + x, gradient f 0, kết phương trình bình phương tối thiểu tuyến tính. Tuy vậy, phi tuyến bị bỏ qua f không xác 0. Với lần lặp lại x thay x + x. Tuy nhiên, giai đoạn này, giá trị tính x có xu hướng lớn đến mức mà phép gần tuyến tính trở nên vô nghĩa vòng lặp trở nên phân kỳ. Để ngăn chặn điều này, phương pháp DLS hàm mục tiêu thay bởi: f D  f  p x  Trong p gọi hệ số tắt dần. Sự điều chỉnh hàm mục tiêu phép cực tiểu f fD (x biến đó). Tuy vậy, fD tăng bậc hai theo chiều dài x vectơ thay đổi, số hạng tắt dần ngăn cản thay đổi lớn biến tối ưu. Một tính chất thú vị phương pháp DLS cung cấp giá trị tốt x chiều dài x bị giới hạn tới giá trị cho trước. Điều thấy cách giả sử để bảo toàn hợp lý tính tuyến tính, độ lớn cực đại cho phép vectơ thay đổi giá trị h đó. Nếu ràng buộc trở thành chủ động, fD giải thích hàm Lagrange fL tương ứng với ràng buộc dạng đẳng thức: Translated by Lê Hoàng Hải - HVKTQS 11 (x)2 = h2 p xem nhân tử Lagrange tương ứng. Cách làm cách khác để đưa vào tắt dần trở nên thành công việc giới hạn x tới độ lớn tối ưu. Các chương trình thiết kế HTQH đại thường sử dụng chiến lược riêng để đưa vào tắt dần để chọn hệ số tắt dần tối ưu. TỐI ƯU HÓA TOÀN CỤC Nhờ tăng cách nhanh chóng tốc độ máy tính thập kỷ qua, thiết kế quang học bổ sung nhiều phương pháp tối ưu hóa với kỹ thuật tính toán mạnh mẽ giúp ta thoát khỏi cực tiểu địa phương tồi. Trong nhiều lĩnh vực mà tối ưu hóa toàn cục sử dụng, thiết kế HTQH thách thức lớn nhất. Ngay với hệ quang có độ phức tạp trung bình, số chiều lớn không gian tham số, tính phi tuyến hàm mục tiêu nhiều ràng buộc phi tuyến, bảo đảm cực tiểu toàn cục toán học tìm lần tính toán. Tuy nhiên, với khoảng thời gian đủ dài, thuật toán “stimulated annealling” [11], “global synthesis” [12], thuật toán gen [13] phuơng pháp “escape function” [4] tìm lời giải tốt đáng kể (mà làm kinh ngạc chuyên gia) so với lời giải tìm tối ưu hóa cục bộ. Các kỹ thuật khác “expert systems”, “multistart” mạng nơron khảo sát. Các nghiên cứu để cải tiến thuật toán tối ưu hóa toàn cục cần thiết, tối ưu hóa toàn cục có tác động to lớn tới phương pháp luận thiết kế HTQH đại. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Smith, W.J. Modern Lens Design: A Resource Manual; McGraw-Hill: New York, 1992; pp. 8–9, 12–13, 15. 2. Sinclair, D.C. Optical Design Software. In Handbook of Optics, 2nd Ed.; McGraw-Hill: New York, 1995; Vol. 1, 34.18–34.23. 3. Shannon, R.R. The Art and Science of Optical Design; Cambridge University Press: Cambridge, UK, 1997; pp. 334–355, 563. 4. Isshiki, M.; Ono, H.; Hiraga, K.; Ishikawa, J.; Nakadate, S. Lens design: Global optimization with escape function. Opt. Rev. (Jpn.) 1995, 6, 463–470. 5. Fletcher, R. Practical Methods of Optimization; John Wiley: New York, 1987; 142. 6. Stengel, R.F. Optimal Control and Estimation; Dover: New York, 1994; 36–39. 7. Levenberg, K. A method for the solution of certain non-linear problems in least squares. Q. Appl. Math. 1944, 2, 164. 8. Feder, D.P. Automatic optical design. Appl. Opt. 1963, 2, 1209–1226. 9. Kidger, M.J. Use of the Levenberg–Marquardt (damped least-squares) optimization method in lens design. Opt. Eng. 1993, 32, 1731–1739. 10. Hayford, M.J. Optimization methodology. Proc. SPIE 1985, 531, 68–81. Translated by Lê Hoàng Hải - HVKTQS 12 11. Forbes, G.W.; Jones, A.E.W. Towards global optimization with adaptive simulated annealing. Proc. SPIE 1991, 1354, 144–151. 12. Kuper, T.G.; Harris, T.I. Global optimization for lens design—An emerging technology. Proc. SPIE 1992, 1780, 14 – 28 13. Moore, K.E. Algorithm for global optimization of optical systems based on genetic competition. Proc. SPIE 1999, 3780, 40–47. Translated by Lê Hoàng Hải - HVKTQS 13 [...]... nên khá thành công trong việc giới hạn x tới một độ lớn tối ưu Các chương trình thiết kế HTQH hiện đại thường sử dụng chiến lược riêng để đưa vào sự tắt dần và để chọn hệ số tắt dần tối ưu TỐI ƯU HÓA TOÀN CỤC Nhờ sự tăng một cách nhanh chóng tốc độ của máy tính trong các thập kỷ qua, thiết kế quang học đã được bổ sung nhiều phương pháp tối ưu hóa với các kỹ thuật tính toán mạnh mẽ giúp ta có thể thoát... đáng kể (mà đôi khi làm kinh ngạc cả những chuyên gia) so với những lời giải tìm được bằng sự tối ưu hóa cục bộ Các kỹ thuật khác như “expert systems”, “multistart” và mạng nơron cũng đã và đang được khảo sát Các nghiên cứu tiếp theo để cải tiến thuật toán tối ưu hóa toàn cục vẫn cần thiết, hiện nay sự tối ưu hóa toàn cục có tác động to lớn tới phương pháp luận thiết kế HTQH hiện đại TÀI LIỆU THAM KHẢO... phương tối thiểu tắt dần (DLS) [7,8] để tối ưu hóa cục bộ Sau đây chỉ bàn luận ý tưởng cơ bản của phương pháp này (trình bày chi tiết hơn xin đọc các tài liệu 9 và 10) Như đã bàn luận ở trên, nếu tất cả các toán hạng ai đạt được giá trị đích của chúng, ta sẽ có một hệ phương trình mà số phương trình nhiều hơn biến số Khi đó việc cực tiểu hóa hàm sai số f dẫn tới lời giải bình phương tối thiểu của hệ phương... (nghĩa là dẫn tới sự thỏa mãn tốt nhất một cách “tập hợp” các yêu cầu này) Nếu các toán hạng là các hàm tuyến tính của vectơ biến tối ưu x, lời giải bình phương tối thiểu sẽ có thể tính được chỉ với một bước tính Khi đó sự thay đổi cần thiết x để biến đổi hệ xuất phát thành hệ tối ưu có thể tính được trực tiếp bằng phương pháp đại số tuyến tính thông thường [9] Tuy nhiên, do sự phụ thuộc của các toán hạng... các cực tiểu địa phương tồi Trong nhiều lĩnh vực mà tối ưu hóa toàn cục hiện được sử dụng, thiết kế HTQH là một trong những thách thức lớn nhất Ngay cả với các hệ quang có độ phức tạp trung bình, do số chiều lớn của không gian tham số, do tính phi tuyến của hàm mục tiêu và nhiều ràng buộc phi tuyến, không có gì bảo đảm rằng cực tiểu toàn cục về toán học được tìm ra trong một lần tính toán Tuy nhiên,... biến tối ưu Vì thế, trong khai triển chuỗi Taylor của ai, chỉ các số hạng không đổi và số hạng bậc nhất được giữ lại Hệ số của các số hạng bậc nhất là các đạo hàm riêng phần ai xi Các hệ số này được tính toán số bằng cách xác định sự thay đổi của toán hạng đối với một số gia nhỏ của các biến Giá trị x, sao cho đối với x + x, gradient của f bằng 0, là kết quả của các phương trình bình phương tối. ..PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU TẮT DẦN Về mặt lịch sử, phương pháp độ dốc lớn nhất được bàn luận ở trên là thuật toán tối ưu hóa đầu tiên được sử dụng trong thiết kế HTQH Tuy nhiên, do những nhược điểm khác nhau (chẳng hạn tốc độ hội tụ chậm khi các đường bình độ kéo dài hoặc... hàm mục tiêu sẽ được thay thế bởi: 2 f D  f  p x  Trong đó p được gọi là hệ số tắt dần Sự điều chỉnh hàm mục tiêu này là được phép vì các cực tiểu của f và fD là như nhau (x biến mất tại đó) Tuy vậy, do fD tăng bậc hai theo chiều dài x của vectơ thay đổi, số hạng tắt dần ngăn cản những thay đổi lớn của các biến tối ưu Một tính chất thú vị của phương pháp DLS là nó cung cấp giá trị tốt nhất của . 1 TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG QUANG HỌC * Florian Bociort Đại học công nghệ Delft, Hà Lan MỞ ĐẦU Tính năng tối ưu hóa có lẽ là đặc điểm quan trọng nhất của các phần mềm thiết kế quang học. biến tối ưu. Việc xác định cực tiểu của hàm mục tiêu mà có thể đạt tới từ một cấu hình hệ thống xuất phát được gọi là tối ưu hóa cục bộ. Bắt đầu từ một cấu hình xuất phát, thuật toán tối ưu hóa. liên tục nên sau khi tối ưu hóa ta cần thay bằng giá trị thực tế gần nhất và hệ phải được tối ưu hóa lại với các biến còn lại. Các lựa chọn (option) bổ sung để tối ưu hóa việc chọn thủy tinh