kiến thức cơ bản vành và modul

trình bày về kiến thức cơ bản vành và modul

Lu~n van Thl,1c sI Toan: MQt vai me rQt18 CUB djnh Iy Jacobson Trang 1

KIENTRUe eo BAN

§1 VANHvA MODUL

Trang ca lu~n van nay, neu khong n6i gl them, cac vanh dtiQcxet

d€u thuQc lOp vanh don gian nha't: khong giao hodn va khong nh(1'tthie't

co ehlia ddn vj 1.

Cl,l th€ ta c6:

.

Dinh n2hia: M()t vanh la m()t nhom e()ng Abel R eung vdi m()t phep nhan

phan ph{fi (hai phia) d{fi vdi phep e()ng.

Cac khai ni~m vanh con, Ideal m()t phia (trai hai;ic philO dtiQc hi€u nhti thtiong l~ MQt Ideal hai phia dtiQc gQi tAt la mQt Ideal.

Cac khai ni~m d6ng ea'u, dang ea'u va cac djnh ly dang ea'u d€u

dtiQc xem la da: quell thuQc.

Cac modul tren mQt vanh R (hoi;ic R-modul) dtiQc xem la tde d()ng

tit hen phdi:

Dinh nghia: M()t R-modulla m()t nhom e()ng Abel M eung vdi m()t tde d()ng ngoai tit R VaG M (tlie la m()t dnh X(l tit M x R VaG M bie'n e(ip (m, r) thanh mr E M) saD eho:

1) m( a + b) =ma + mb

2) (m + n)a =ma + na

3) (ma)b =m(ab)

vdi mq i m, n E M va mq i a, b E R.

Neu R c6 chua phffn tli'don vi 1 va neu m1 =m, 'v'm E M thl ta n6i MIa mQt R-modul unitary.

Dinh nghia: M()t R-modul M dztrfe gqi la trung thanh (hay R tde d()ng trung

thanh tren M) ne'u mtJi khi Mr =(0) thi phdi keD rhea r =O.

CV hu'dng d&n: PC& - T&!)Uj Tu'dn8Tri

Lu~n ven Thf;lc si Toiln: MQl vili me rQng CUBdjnh 15'JBcobson Trang 2

Ta c6 th€ d~c tntng rnQt R-modul M trung thanh qua khai ni~rn sail:

Dinh n2hia: Cho M za mQtR-modul thi ta gQi cai linh hoa cua M la:

A(M) = {r E R/Mr =(O)}

Khi d6 ta c6:

R-modul M la trung thanh khi va chi khi A(M) =(0).

Menh ct@CtJ l)tA(M) la mQt ideal cua R va M la mQt R/A(M)-modul trung thanh.

Bay gio cho Mia rnQtR-rnodul GQi E(M) la t~p ta't ca cac tv d6ng ca'u cua nh6rn cQngM thi E(M) Ia rnQtvanh theo cac phep toaD tv nhien.

Ngoai fa, ne'u vdi rn6i a E R ta dinh nghla rnQt anh x~ Ta: M ~ M

xac dinh bdi mTa = ma, Vm E M Do Mia rnQtR-modul nen Tala rnQttv d6ng ca'u cua nh6rn cQng M V~y ta c6 Ta E E(M).

L~i xet ~: R ~ E(M) cho bdi a~ = Tathi~larnQtd6ng ca'u vanh va

Ker~ =A(M) Den ta c6:

Menh d@(1.1.2): R/A(M) dang cdu WYimQt vanh con cua E(M).

N6i rieng, ne'u M la rnQtR-modul trung thanh thi ta c6 A(M) =(0).

Khi d6 ta c6 th€ xern R nhu rnQt vanh con cua vanh cac tv d6ng ca'u nh6rn cQng cua M hay R la mQt vanh cac t1l dang cdu nhom cQng nao do

GuaM.

Bay gio ta Hrn cac ph§n tu cua E(M) giao hoan vdi rnQi Ta khi a ch~y kh~p R.

. Dinh nghia: Ta gQi cai tam hoa cua R tren M la t(jp:

C(M) = {\jf E E(M)/Ta\jf = \jfTa> Va E R}

Lu~nvanThf;lcsi Toen:MN vBimes rQII8CUB dinhly Jacobson Trang 3

Menh d~(1.1.3): C(M) la ml)t vanh con cua E(M) va chinh la vanh cac t1;l

dang cdu R-modul cua M.

Dinh nghia: M du(Jc gQi la ml)t R-modul bat khd qui ne'u MR *- (0) va M chi

co cac modul con la (0) va ban than M.

Ke't qua c6 di~n san Ia n~n tang cho nhi~u phat tri~n moi trong 1:9 thuye't v~lllh:

Menh d~(1.1.4): (B6 d~ Schur) Ntu M la ml)t R-modul bat khd qui thi C(M)A

la ml)t vanh chiao

MQt vanh chia cfing con duQc gQi la mQt thi.

San day ta se ma ta ban cha't cua cac R-modul ba't kha qui.

Menh d~(1.1.5): Ntu M la ml)t R-modul bat khd qui thi M dang cdu wJi RIp

nhu ml)t R-modul wJi p la ml)t ideal phdi t6i d(Ii cua R va co tinh chat la

tan t(Ii ml)t phdn ta a E R sao cho x - ax E p wJi mQi x E R.

Ddo l(Ii, vdi mtJi ideal phdi t6i d(Ii p cua R thoa tinh chat tren thi RIp la ml)t R-modul bat khd qui.

Dinh nghia: Ml)t ideal phdi p cua R thoa cac tinh chat neu trong mfnh di

(1.1.5) du(JcgQi la ml)t ideal phdi t6i d(Ii chinh qui cua R.

Ne'u R co ddn vi thl mQi ideal phai cua no d~u chinh qui (vI ddn vi (trai) cua R se dong vai tro cua a).

Tit dinh nghla na y ta co:

M la ml)t R-modul bat khd qui khi va chi khi M dang cdu wJi RIp nhu ml)t R-modul wJi p la ml)t ideal phdi t6i d(Ii chinh qui cua R.

GV h\fcng d&n: DG6 - T& 5Ui Ttfdn8 Tri IIVThtfc hien:Dhan Trtfdll8 Linh

Lu~n van Th(lc 131Toan: MQt viti IDC'J rQo8 cue djoh I)' Je.cobsoo Trang 4

§2 CAN JACOBSON

Dinh nghia: Can (Jacobson) cua R, kf hifu J(R), la tqp t{{tcd cae phdn tit

cua R linh hoa mQiR-modul hilt khd qui.

D(ic bift, ne'u R kh6ng co modul b(it khd qui thi ta d(it J(R) =R.

Nhan xet:

1) Thtfc fa, ~o nhi~u lo~i din khac nhau cua illC)tvanh nhu'ng trong

lu~n van nay chung ta chi xet cac can Jacobson cua R va gQivan tat la

can cua R.

2) VI J(R) =nA(M) vdi phftn giao lily tren illQi R-modul b(ft khd qui

M Ma cac A(M) d~u la ideal hai phia cua R nen J(R) cling la illC)tideal hai phfa cua R.

3) £>€ th~t chinh xac ta cftn noi ra J(R) la can phdi cua R VIno du'Qc dinh nghla dtfa vao cac R-modul phdi Ta cling co th€ dinh nghla tu'dng ttf cho can trai cua R Tuy nhien hai khai ni~ill nay thtfc ra la trung nhau VI v~y ta khong cftn nha'n ill~nh thu~t ngu trai ho~c phdi.

Sail day la illC)ts6 d~c tru'ng khac cua can Jacobson:

Dinh nghia: Cho p la m(}t ideal phdi cua R thi ta dtnh nghfa:

(p : R) ={x E R / Rx c p}.

Khi P Ia illC)tideal phcii t6i d~i chinh qui cua R va nSu d~t M =RIp thl A(M) =(p : R) va la ideal hai phfa IClnnh{{tcua R chaa trong p V~y

ta co:

Menh d~ (1.2.1): J(R) = n( p : R) VCliP chqy qua mQi ideal phdi t6'i dqi chfnh qui cua R va (p: R) la ideal hai phfa IClnnhllt cua R chaa trong p.

Ngoai ra ta con co:

CV hlfc'5°8 d&n: pc<£> - T<£>5Ui TlfC:5°8 Tri

Lu~n van Th\lc St Tolin: MQt viii me rQn8 cua dinh 15'Jacobson Trang 5

Menh d~ (1.2.2): J(R) = np wJi p ch(ly qua mQi ideal phdi tfJ'id(li chinh

qui cua R.

Cu6i cung la mQt di;lctnlng tren cac ph~n tli'cua J(R):

Dinh nghia:

1) MQt phdn ta a E R du:r;cgQi la t{ta chinh qui phdi ntu t6n t(li mQt

phdn ta a' E R saD cho a + a' + aa' =O.

Ta gQi a' la t{ta nghich ddo phdi cua a.

.It

2) Ta noi mQt ideal phdi cua R la t{ta chinh qui phdi ntu mQi phdn tit

cua no dgu la t{ta chinh qui phdi.

Tir khai ni~m nay ta co:

Menh d~ (1.2.3): J(R) la mQt ideal phdi t{ta chinh qui phdi cua R va chIia

mQi ideal phdi t{ta chinh qui phdi cua R.

[hay: J(R) la ideal phdi t{ta chinh qui phdi t(;'id(li duy nh(1'tcua RJ

Nhan xet:

1) Ne'u a E J(R) thlluon t6n t(;lia' va cling co a' E J(R).

2) Ne'u R co don vi 1 thl ph~n tli' a E R la tl!a chinh qui phai khi va chi khi 1 + a khd nghich phdi trong R.

3) Ta cling co th~ dinh nghIa tu'ong tl! cho ph~n tli' t{ta chinh qui trdi

trong R.

4) Ne'u mQt ph~n tli'a E R d6ng thai la tl!a chinh qui trai va phai thl cac tl!a nghich dao trai va phai cua a la trung nhau.

Trong mQt so' tru'ang hQp, mQt ideal phai co th~ du'Qc chung minh la tl!a chinh qui phai bang cach chi r6 cac tl!a nghich dao phai cua cac ph~n tli' trong no.

Lu~nvan Thf,lcsI Toan: MQtviii md rQn8 cua dinh 11Jacobson Trang 6

Binh n2hia:

1) Mfjt pht1n ta a E R du(/c gQi la lay linh ntu an =0 wJi mfjt so'tl;t nhien n nao do.

2) Mfjt ideal phdi (trdi, hai phia) p cua R la nil ntu mQi pht1n ta cua

no d~u lay linh.

3) Mfjt ideal phdi (trdi, hai phia) p cua R la lay linh ntu t6n t(;lisf;' tl;t

nhien m saD cho ala2 am = 0 wJi mQi aj, a2, ,am E p.

Nhan xet: .#I

1) Ne'u I, I Hi hai ideal phai (treii, hai phia) cua R, ta ki hi~u II la

nhom con cfjng cua R sinh bdi ta-t ca cac tich ab vdi a E I, b E I Khi do,

II la illQt ideal phai (trai, hai phia) cua R.

B~ng qui n~p ta cling dinh nghIa 11=I va r =r-1 I vdi illQi n > 1 Khi do ta co:

Mfjt ideal phdi p cua R la lay linh khi va chi khi pm=(0) wJi mfjt sO' tl;tnhien m nao do.

2) Trong khi mQi ideal phdi lay linh d~u la nil thl co nhii'ng nil ideal

khong nhdt thitt la lay linh.

3) Gia sa am=0 va d~t b = -a + a2 - a3 + +( _l)m-lam-l thl b~ng

phep Hnh don gian suy ra a + b + ab =O.

V~y mQi pht1n ta lay linh trong R d~u la tl;tachinh qui phdi Den ta

co:

MQi nil ideal phdi trong R d~u la tl;tachinh qui phdi.

Do do, theo ill~nh d~ (1.2.3) ta cling co:

Menh d~ (1.2.4): MQi nil ideal phdi hoQc trdi cua R d~u chtia trong I(R).

CV hucn8 d&n:DC6 T6 ])liiTudn8Tri liVThuc hien: DhanTrudn8 Linh

Lu~nvan Th~c SI Toan: MQLvat lid rQn8 cua dinh Iy Jacobson Trang 7

Bay gio ta xet ffiQtlOp vanh di:icbi~t:

Dinh nghia: Mf)t vanh R dur;c gQi la mla dan nfu J(R) =(0).

M~nh d~ sail noi leD IQi ich thl!c sl! cua din Jacobson:

Menh d~ (1.2.5): VJi mQi vanh R thl R/J(R) la mf)t vanh mla dan.

V~cac ba-t bie'n cua din Jacobson ta cling co:

Menh d~ (1.2.6): Nfu Ala mf)t ideal cua R thl J(A) =AnJ(R).

He QUa: Nfu R mla ddn thl mQi ideal cua R cung Vl;lY.

Cho.f: Ke't qua tren la sai n€u ta chi gia thi€t A la ideal mQt phia.

Bay gio, ne'u R la mQt vanh va ta ki hi~u Rmla vanh ta-tca cac ma tr~n ca-pm x m vdi cac h~ tu thuQc R thi ta co:

Menh d~ (1.2.7): J(Rm) = J(R)m'

§3 VANHARTINNUADON

Dinh nghia: Mf)t vanh dur;c gQi la Artin phdi nfu mQi t(ip kh6ng r6ng cac

ideal phdi d~u co chlia phdn trl:t6i tiiu.

Ta thu'ong bi) qua chIT"phdi" va noi gQn la vanh Artin.

Cac vanh Artin con co th~ du'Qcdinh nghla tu'dng du'dng thong qua cac day chuy~n giam:

Mf)t vanh R la Artin khi va chi khi mQi day chuy~n gidm cac ideal

phdi cua R: PI ~ P2 ~ ~ Pm~ d~u phdi dang [Tlic la, ki ta mf)t lac

naGdo ta co mQi Pi d~u bang nhau]

GV hudn8 clan:DeS - TS BuiTudn8Tri tIVThuchien:DhanTrudn8 Linh

Lu~n van Tht;lc SI Toan: MQl vai me rQn8 cua djnh 15'Jacobson Trang 8

Voi cac v~lllh Artin thl din cua no r~t d:';icbi<%t:

Menh d~ (t.3.1 ): Niu R la mQt vanh Artin thi I( R) la mQt ideal lay linh.

He qua: Niu R la Artin thi mQi nil ideal (phdi, trdi ho(ic hai phfa) cua R

diu lay linh.

Dinh nghia: MQt pht1n ta e;;/:.0 trong R dl/(Jc gQi la mQt lay dang niu ta co

2

e =e.

Menh (1.3.2): Cho R la mQt vanh khong co ideal lay linh khdc (0) va gid sa

p ;;/:.(0) la mQt ideal phdi to'i tiiu cua R Khi do ta co p =eR vdi mQt lay dang e;;/:.OnaG do cua R.

Ta da: bie't trong mQt vanh Artin thl mQt ideal phai g6m loan ph~n tii' lfiy linh thl chinh no cling lily linh [H<%qua cua m<%nhd~ (1.3.1)] Con di~u ngu<;1cl~i, d6i voi mQt ideal phai co chua mQt ph~n tii' khong lily linh thl sao ? D6i voi v~n d~ nay ta co:

Menh d~ (1.3.3): Cho R la mQt vanh va gid sa vdi mQt a E R naG do ma ta

co a2 - a lay linh Khi do, ho(ic a lay linh, ho(ic co mQt da thac vdi h~ so'

nguyen q(x) saD cho e =aq(a) la lay dang khdc O.

Menh d~ (1.3.4): Niu R la mQt vanh Artin va p ;;/:.(0) la mQt ideal phdi

khong lay linh cua R thi P co chaa mQt lay dang khdc O.

Truong h<;1pd:';icbi<%tkhi xet vanh eRe voi e la mQt lily dAng thl ta

co:

Menh d~ (1.3.5): Cho e la mQt lay dang trong mQt vanh R tuy y thi ta co J(eRe) =eI(R)e.

Menh d~ (1.3.6): Cho R la mQt vanh khong co ideal lay linh khdc (0) va

gid sa e la mQt lay dang trong R Khi do, eR la mQt ideal phdi to'i tiiu cua R khi va chi khi eRe la mot vanh chiao0 .

ev hu'cn8clan:pes - TS Blii Tu'c'Jn8Tri tIV Thu'c hien: Phan Tru'c'Jn8Linh

Lu~n van Th~c SI Toan: MQl viti IDesrQn8 cua dinh It Jacobson Trang 9

Thay tli phdi thanh tli trai trong ffi~nh d~ tIeD r6i ket hQp hai ke't

qua d€ suy fa:

He qua: Ntu R khong co ideal lay linh khac (0) va e la mQt lay dang trong

R thl eR la mQt ideal phdi to'i tiiu cua R khi va chi khi Re la mQt ideal trai to'itiiu cua R.

Ta chuy€n sang nghien CUllcac vanh co din d~c bi~t, ClJth€ la (0),

ma tntoc het la cac vanh Artin ml'a ddn.

Tntoc tien~ ta kh~ng dinh cac vanh nhtt v~y thljc slj t6n t<;ti.Ket qua sail la ffi(>tdinh ly c6 di€n quail trQng cua Maschke.

Dinh nghia: Cho F la mQt trztiJng, G la mQt nhom hflu h{}n cap orGY Ta gQi

d{}i sO'nhom cua G tren F, ki hifu F(G) la {Laigi / ai E F, gi E G} vtii

cac pht1n ta cua nhom xem nhzt dQc ltJ-ptuytn tinh tren F, phep cQng theo each tT!nhien va phep nhan sa dl;lng lutJ-tphan phO'i va phep tinh gigj theo phep nhan trong G.

Tli dinh nghla tIe n ta co:

Menh d~ (1.3.7): (Dinh ly Maschke) Cho G la mQt nhom hflu h{}n cap orGY

va F la mQt trztiJng co di;icso' 0 hoi;ic di;icsO'P vtii p{ o( G) Khi do F( G)

la naa dan.

Cho y: Ta cling lttu y ding F(G) kh6ng la ml'a ddn neu d~c s6 cua F la ttoc cua orGY.

Trd l<;tivoi cac vanh Artin ml'a ddn M~nh d~ (1.3.2) kh~ng dinh

ding ffi(>tideal phai t6i ti€u trong ffi(>tvanh khong co nil ideal khac (0)

thi dttQc sinh bdi ffi(>tlUy d~ng Thljc fa, di~u ki~n t6i ti€u la kh6ng c~n thie't cho trttong hQp cac vanh Artin ml'a ddn Do la kh~ng dinh cua:

Menh d~ (1.3.8): Cho R la mQt vanh Artin naa dan va p *-(0) la mQt ideal

phdi cua R Khi do thl P =eR vtii mQt lay dang e naG do trong R.

Tli ffi~nh d~ nay ta co:

GVhudn8diln:pes - TS ])lii Tudn8 Tri tlV Thuc hieD: Phan Trudn8 Linh

Lu~n van Th\lc SI Toan: MQLVEtime rQn8 cua djnh It Jacobson Trang 10

He qua 1: Nfu R la m(}t vanh Artin nz/a dan va A *- (0) la m(}t ideal cua R thi A =eR =Re wJi e la m(}t lay dang nao do thu(}c tam cua R.

He Qua 2: MQi vanh Artin mla dan diu co dan vi hai phia.

Di€u nay kh£ng dinh tinh nll'a ddn keo theo sl! t6n t~i ddn vi trong m(>tvanh Artin.

Tu cac k€t qua nay ta cling chung minh dtiQc:

Menh (1.3.9): M(}t ideal cua m(}t vanh Artin mla dan cang la m(}t vanh

Artin mla Jan.

D€ nghien CUllca"utruc cua cac vanh Artin nll'a ddn ta c§n:

Dinh nghia: M(}t vanh R la dan nfu R2 *-(0) va R khong co ideal nao khac

(0) va ban than R.

Nhan xet:

1) Di€u kit%nR2 *- (0) trong dinh nghla d€ lo~i tru kha Dang tgm thtiong khi R la m(>t nhom c(>ng co p ph§n tll', p nguyen to', trong do tich cua hai phgn tll' ba"tky la O.

2) N€u R co dan vi thl d~ chung minh tinh dan se suy ra tinh mla

dan.

3) Co nhii'ng vi dl;l v6 nhii'ng vanh ddn co can rieng (khong t§m thtiong)

4) Tuy v~y ta l~i co: M(}t vanh Artin dan thi phai la mla Jan.

5) Co nhii'ng vanh ddn khong co chua tidc cua 0 va thl!C sl! khong

la m(>tvanh chiao

6) MQi ideal t6i tiiu A*- (0) trong m(>t vanh Artin nll'a ddn R d€u la

vanh Artin ddn.

GV hl1dn8 clan: PG~ - T~ Bui Tl1C:5n8 Tri IIVThl1Chien: Phan Trl1C:5n8 Linh

Lu~nvan Th1;lcsl Toan: MQlval ffidrQn8 cua dinh 15'Jacobson Trang 11

Tli nhfi'ngnh~n xet tren ta co the chung minh:

Menh (1.3.10): (Dinh ly Wedderburn) MQi vanh Artin mla ddn diu la t6ng tr1;tctie'p cua m(}t sfy'hllu hCJncae vanh Artin ddn.

Hdn nlla, ne'u R la m(}t vanh Artin mla ddn va R =Al EB EB Ak V(li

cae Ai diu ddn thi cae Ai se chCJYqua mQi ideal t(5'itiiu cua R.

A?

""

Ta bilt d~u ml;lcnay voi mQt khai ni~m cd ban trong ly thuy6t vanh Loqi vanh d~c bi~t ma ta gioi thi~u (j day dong vai fro d6i voi cac vanh mta ddn t6ng quat tu'dng tt! nhu' vai fro cua cac vanh ddn trong tru'ong hQp vanh Artin mi'a ddn

Dinh n2ma: M(}t vanh R dltc;fCgQi la nguyen thuy ne'u no co m(}t modul h(]'t

khd qui trung thanh.

Nhan xet:

1) MQt vanh nhu' th6 dung ra phai noi la mQt vanh nguyen thuy hen

phdi VImQi modul du'Qcxet d~u la modul phai.

Ta cling co the dinh nghIa tu'dng tt! cho vanh nguyen thuy hen trai

va noi chung, hai khai ni~m do la khac nhau

2) N6u M la mQt R-modul ba't kha qui va A(M) ={r E R / Mr =(D)}

thl RlA(M) Ia mQt vanh nguyen thuy [theo m~nh d~ (1.1.1)].

3) D~c bi~t, n6u pia mQt ideal phai t5i dqi chinh qui cua R va d~t

M =RIp thIA(M) =(p: R) nen RI(p: R) Ia mQt vanh nguyen thuy.

I:HU<H.Ttr NHIEt

00548

GV hudn8 d&n:PG8 - T8 Bui Tudn8 Tri IIV Thuc hien: Phan Trudn8 Linh

Lu~n van Thl;tc ,IIIToan: MQLVEtiffid rQn8 cua djnh If Jacobson Trang 12

Menh d~ (1.4.1): Mi)t vanh R la nguyen thuy khi va chi khi trong R t6n tc;ti

mi)t ideal phdi chinh qui to'i dc;tip saD cho (p : R) =(0) Khi do R con la

nrla dan va ntu them R giao hoan thl no la mi)t truiJng.

Tntoc day ta da bi€t t6n tqi cac vanh ddn co din rieng cua no Nhu'ng d~ chung minh ding mi)t vanh ddn d6ng thiJi Gang nrla ddn thl

phdi la mi)t vanh nguyen thuy.

Bay giO, cho R Ia mQt vanh nguyen thuy va gia sa M la mQt modul ba't kha qui trung thanh cua R N€u d~t C(M) =~ la cai tam hoa cua R tren M thl theo b6 d~ Schur, ~ la mQt vanh chiao Ta co the xem M la mQtkh6ng gian vectd phai tren ~ trong do, voi m E M, a E ~ thl ma la tac dQng cua a, xem nhu' mQtphftn ta cua E(M), leD m.

Dinh nghia: R du(lC gQi la tac di)ng day d(ic len M (hay R day d(ic tren M)

ntu wJi mQi n va mQi VI, , Vndi)c l~p tuytn tinh tren ~ va mQi n pht1n ta

Wi, ,Wn E M thl t6n tc;timi)t r E R saD cho Wi=vir, Vi =1, 2, , n.

Nhan xet:

N€u M hilu hc;tnchdu tren ~ va R tac dQng vita trung thanh, vita

day d(ic tren M thl R dcing cdu voi Homel M, M) =~n la vanh cac n x n

ma tr~n tren ~ voi n = dim!:lM.V~y tinh day d~c la slj t6ng quat hoa cua

vanh ta't ca cac phep bi€n d6i tuy€n tinh.

K€t qua cd ban ma tu do toaD bQ ly thuy€t ca'u truc cua cac vanh duqc phat trieD la dinh ly day d~c sail day cua Jacobson va Chevalley:

Menh d~ (1.4.2): (Dtnh If day d(ic) Cho R la mi)t vanh nguyen thuy va M

la R-modul hilt khd qui trung thanh Ntu ~ =C(M) thi R la mi)t vanh day drJccac bitn d6i tuytn tinh cua M tren ~.

Dinh ly day d~c cho phep ta co nhi~u k€t lu~n v~ cac vanh nguyen

thiiy va lien ht%chung voi cac vanh ma tr~n

GV hl1dn8d&n:pes - TS Blii Tl1cn8 Tri IIVThl1Chien: Phan Trl1cn8 Linh