Mối quan hệ của nhị thức và phân phối poisson

đề tài: Mối quan hệ của nhị thức và phân phối poisson

Đề tài :Mối quan hệ của nhị thức và phân phối poisson

I Phân phối nhị thức:

a Định nghĩa: ĐLNN rời rạc X được gọi là phân phối theo quy

luật nhị thức, ký hiệu X B(n,p) nếu nó nhận các giá trị 0,1… n với xác xuất tương ứng:

q=1-p

chú ý : trong trường hợp X B(n,p) với n=1 ta nói phân phối theo quy luật không- một, ký hiệu X A(p)

khi đó bảng phân phối xác xuất của X là

x 0 1

p Q p

Ta dễ thấy rằng nếu X A(p), thì E(X)=p; Var(X)=pq

b Các số đặc trưng của phân phối nhị thức

Nếu X B(n,p) thì E(X)=np, Var(X)=npq Còn Mod(X) là số nguyên thỏa mãn điều kiện :np-q Mod(X) np+q

II Phân phối poisson:

a Định nghĩa: ĐLNN rời rạc X được gọi là phân phối theo quy

luật poisson nếu nó có thể nhận các giá trị :0,1 n, với các xác xuất tương ứng

Trong đó 0 là tham số.

Nếu X có phân phối poisson với tham số ta ký hiệu X P( )

b Các số đặc trưng

Nếu X P( ) thì E(X)= , Var(X)= Còn Mod(X)là số nguyên thảo mãn điều kiện

III Mối liên hệ giữa nhị thức và phân phối poisson.

Giả sử X B(n,p) khi n lớn , p khá bé thì X có phân phối xấp xỉ phân phối Poisson với tham số =np Khi đó

P(X=k)=

Chứng minh

Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với tham số(n,p)và =np Trong đó n khá lớn và p khá bé

Ta có P(X=K)=

=

=

Do n khá lớn và p khá bé nên:

Khi đó ta có thể thay công thức bernoulli bằng công thức poisson ( đpcm)

IV Ví dụ

Bài ví dụ 1) Một trạm điện thoại trung bình một giờ có 240 lần

gọi đến tìm xác suất để trong 1 phút a) Không có lần gọi nào

b) Có từ 2 đến 3 lần gọi

Giải Gọi X là số lần gọi điện thoại trong 1 phút

Bài ví dụ 2: Nước giải khát được chở từ sài gòn đi vũng tàu, mỗi xe chở 1000 chia bia sài gòn, 2000 chai coca và 800 chai nước trái cây Xác suất để một chai mỗi loại bị bể trên đường đi tương ứng là 0,2%,0,11%,và 0,3% Nếu không quá một chai bị bể thì lái xe được thưởng

a) Tính xác suất có ít nhất một chai bia sài gòn bị bể

b) Tính xác suất để lái xe được thưởng

c) Lái xe phải trở ít nhất mấy chuyến để xác suất có ít nhất một chuyến được thưởng không nhỏ hơn 0,9?

Giải

Gọi là ĐlNN chỉ số chai bai SG bị bể trong một chuyến khi đó

Vì khá lớn , khá bé có phân phối poisson

bị bể trong một chuyến Khi đó , có phân phối poisson

P(2000;0,0011)=P(2,2)

P(800;0,003)=P(2,4)

a) Xác suất để có ít nhất một chai bia sài gòn bị bể là

b) Tính xác suất lái xe được thưởng

Theo giả thiết, lái xe được thưởng khi có không quá một chai bị bể, nghĩa là

+ + 1

P(2); P(2,2) ; P(2,4) nên

lái xe được thưởng là P( + + 1 )=P( + + =0)+P( + + =1)

=0,0103

c) Lái xe phải chở ít nhất mấy chuyến để xác suất có ít nhất 1 chuyến được thưởng không nhỏ hơn 0,9?

Gọi n là số chuyến xe cần thực hiện

A là biến cố có ít nhất 1 chuyến xe được thưởng

Yêu cầu bài toán là xác định n nhỏ nhất sao cho P(A) 0,9

Biến cố độc lập của A là A không có chuyến nào được thưởng

Theo câu b xác suất để lái xe được thưởng trong 1 chuyến là P=0,0103

Do đó theo công thức bernoulli ta có

Suy ra

n