Những hằng đẳng thức đáng nhớ

A/ ĐẶT VẤN ĐỀ: Hằng đẳng thức đáng nhớ nội dung quan trọng cần thiết để học sinh sử dụng giải nhiều toán lớp 8. Vì học vận dụng kiến thức này, Học Sinh thường gặp phải thuận lợi khó khăn sau đây: 1. Thuận lợi: - Vận dụng tốt đẳng thức đáng nhớ để giải toán, Học Sinh tiết kiệm thời gian, giải gọn hạn chế nhiều sai sót biến đổi. - Hằng đẳng thức đáng nhớ công cụ thiếu vốn kiến thức Học Sinh, để vận dụng giải toán từ lúc bắt đầu học lớp trên. - Khi vận dụng đẳng thức tốt, Học Sinh có kết bất ngờ, đầy hứng thú. Kích thích tinh thần say mê học toán. 2. Khó khăn: - Học Sinh thường gặp toán mà biến đổi thấy cần áp dụng dạng đẳng thức nào. - Phạm vi vận dụng đẳng thức để giải toán rộng, nên áp dụng. - Khi vận dụng đẳng thức Học Sinh nhầm lẫn luỹ thừa, biểu thức, dấu, … dẫn đến bế tắc.  Do để vận dụng tốt đẳng thức vào giải toán Đại Số lớp (Chương I: phép nhân phép chia đa thức) Học Sinh cần: o Học thuộc lòng đẳng thức đáng nhớ o Biết phối hợp với số kiến thức khác o Sử dụng xác đẳng thức mà nội dung toán yêu cầu. o Kết hợp với biến đổi, tính toán. B/ NỘI DUNG: gồm phần I. Những đẳng thức đáng nhớ:  đẳng thức:(SGK) Với A, B biểu thức • (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 • (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 • A2 – B2 = (A + B)(A – B) • (A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 +B3 • (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 • A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) • A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB +B2) Sổ tích lũy chuyên môn Toán  Các đẳng thức liên quan: • (A + B)2 = (A –B)2 + 4AB • (A – B)2 = (A +B)2 – 4AB • A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB (A+B) • A3 + B3 = (A – B)3 + 3AB (A – B) • (A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC)  Các đẳng thức dạng tổng quát: • (A + B)n = An + n An-1B + . . .+ n ABn-1 + Bn • An – Bn = (A – B) (An-1 + An-2B + . . . +ABn-2 + Bn-1) • (A1 + A2 + . . . +An)2 = A12 + A22 + . . . + An2 + 2(A1A2 + A1A3+. . . +An-1An) II. Áp dụng: Chúng tạm chia theo nội dung sau, tất sử dụng đẳng thức để giải. 1. Thực phép tính:  Phương pháp: - Xem biểu thức cho có dạng đẳng thức nào. - Biến đổi biểu thức cho để xuất dạng đẳng thức. - Thực đẳng thức hợp lý ta có kết (có thể kết không gọn).  Bài tập: 1. (a – b – c) – (a –b + c)2 2. (a – x – y )3 – (a + x – y )3 3. (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a – 1)(a2 + 1)(a – 2) 4. (1 – x - 2x3 + 3x2)(1 – x + 2x3 – 3x2) 5. (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 + a +1) Giải: 5. (a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 + a +1) = (a + 1) (a – 1) (a2 – a + 1) (a2 + a +1) = [(a + 1) (a2 – a +1)] [(a – 1) (a2 + a + 1)] = (a3 +1) (a3 – 1) = (a3)2 – = a6 – 2. Rút gọn biểu thức:  Phương pháp: a) Xem biểu thức cho có dạng đẳng thức nào. b) Biến đổi biểu thức cho để xuất dạng đẳng thức. c) Thực đẳng thức hợp lý ta có kết qủa thường kết gọn).  Bài tập: a) (2x + y) (4x2 – 2xy + y2) – (2x – y) (4x2 + 2xy + y2) b) 2(2x + 1) (3x – 1) + (2x +1)2 + (3x – 1)2 c) (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x –y +z) . (y – z) d) (x – 3) (x + 3) – (x - 3)2 e) (x2 – 1) (x +2) – (x – 2) (x2 + 2x +4) Giải: c) (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x –y +z) (y – z) = (x – y + z)2 - 2(x – y + z) (z – y) + (z – y)2 = [(x – y + z) – (z – y)]2 = (x – y + z –z + y)2 = x2 Sổ tích lũy chuyên môn Toán 3. Tính nhanh:  Phương pháp:  Xem biểu thức cho có dạng đẳng thức nào.  Biến đổi thêm, bớt vào biểu thức cho để xuất dạng đẳng thức.  Thực đẳng thức phép tính ta có kết quả.  Bài tập: a) 34 . 54 – (152 + 1) (152 – 1) b) 452 + 402 – 152 + 80 . 45 c) 502 – 492 + 482 – 472 + . . . +22 - 12 d) 3(22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) (216 + 1) e) (3 +1) (32 +1) (34 + 1) (38 + 1) (316 + 1) Giải: e) (3 +1) (32 +1) (34 + 1) (38 + 1)(316 + 1) = .(32 – 1) (32 + 1) (34 + 1) (38 + 1) (316 + 1) = .(34 - 1) (34 + 1)(38 + 1)(316 + 1) = . ( 38 - 1) (38 + 1) (316 + 1) = . (316 - 1) (316 + 1) = . (332 – 1) 4. Tính giá trò biểu thức:  Phương pháp:  Dựa vào đẳng thức thu gọn biểu thức.  Thay giá trò biến vào biểu thức thu gọn.  Thực phép tính số ta có kết quả.  Bài tập: a) x2 – 2xy - 4z2 + y2 x = 6, y = - 4, z = 45 b) x3 + 9x2 + 27x + 27 x = 97 c) 27 x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 x = 8, y = 25 d) x2 - y2 tại: x = 87, y = 13 e) 5x2z – 10xyz + 5y2z x = 124, y = 24, z = Giải: a) x2 – 2xy - 4z2 + y2 =( x2 – 2xy + y2 – 4z2 = (x – y)2 – (2z)2 =(x – y + 2z) (x – y – 2z) =(6 + + 90) (6 + – 90) =100 . (-80) = - 8000 5. Phân tích đa thức thành nhân tử:  Phương pháp: a) Bản thân đẳng thức dạng phân tích đa thức thành nhân tử. Sổ tích lũy chuyên môn Toán b) Dựa vào đẳng thức để tìm nhân tử chung, nhóm hạng tử, tách hạng tử, thêm bớt hạng tử. c) Biết kết hợp để đưa đa thức dạng tích đa thức.  Bài tập: a) (a + b) (a3 – b3) – (a – b) (a3 + b3) b) x6 – y6 c) x(y + z)2 + y(x + z)2 + z(x + y)2 – 4xyz d) x8 + x4 + e) x3 – 3x2 + 3x – – y3 Giải: c. x(y + z)2 + y(x + z)2 + z(x + y)2 – 4xyz = x(y2 + 2yz + z2) + y(x2 + 2xz + z2) + z(x + y)2 – 4xyz = xy2 + 2xyz + xz2 + x2y + 2xyz + yz2 + z(x + y)2 – 4xyz =(xy2 + x2y) + (xz2 + yz2) + z(x + y)2 =xy(y + x) + z2(x + y) + z(x + y)2 =(x + y) [xy + z2 + z(x + y)] =(x + y) (xy + z2 + zx + zy) =(x + y) [(x(y +z) + z(y + z)] =(x + y) (y + z) (x + z) 6. Chứng minh: có nhiều dạng a) Phương pháp:  Chia hết: a) Dựa vào đẳng thức b) Phân tích đa thức cho vềù dạng tích. Trong có thừa số chia hết cho số đó. c) Phân tích đa thức cho thành tổng. Trong số hạng phải chia hết cho số đó.  Biểu thức không phụ thuộc vào biến: a) Dựa vào đẳng thức. b) Ta thực phép tính rút gọn kết không chứa biến.  Biểu thức dương âm: a) Dựa vào đẳng thức b) Đưa biểu thức dạng f(x) > với ∀ x f(x,y) > với ∀ x, y f(x) < với ∀ x f(x,y) < vơiù ∀ x, y  Chứng minh đẳng thức: a) Chú ý điều kiện cho phù hợp với đẳng thức nào. b) Biến đổi biểu thức để sử dụng điều kiện. b) Bài tập: a) x6 + 3x2y2 + y6 = với x2 + y2 = b) (x – 1)3- (x + 1)3+ 6(x + 1) (x – 1) không phụ thuộc vào biến x. 2007 c) Số có dạng + 23 số nguyên tố. d) Cho A = (2x + y + 3)2 – (2x – y -1)2. Chứng minh rằng: A M4 ( với x,y thuộc z) A > (với x > 0, y > 0) e) Nếu x, y, z độ dài cạnh tam giác A = 4x2y2 – (x2 + y2 - z2)2 dương. Sổ tích lũy chuyên môn Toán Giải: Ta biết: 32007M3 Đặt 32007 = 3n 2007 Ta có: + 23 = + 23n = 13 + (2n)3 = (1 + 2n) ( – 2n + 22n) (tích thừa số khác + 23n) 2007 Vậy: + 23 số nguyên tố. 7. Tìm giá trò nhỏ (hoặc lớn nhất) biểu thức:  Phương pháp:  Nhỏ nhất: Min f(x) = m +Dựa vào đẳng thức chứng minh: f(x) ≥ m (m số) ∃ x0 : f(x0) = m c)  Lớn nhất: Max f(x) = M +Dựa vào đẳng thức chứng minh: f(x) ≤ M (M số) ∃ x0: f(x0) = M  Thông thường để làm loại toán ta phải biến đổi để sử dụng đẳng thức bình phương tổng (hoặc hiệu), cộng (trừ) với số . Lưu ý: hệ số x2 tam thức bậc âm(hoặc dương) để tìm giá trò lớn (hoặc nhỏ nhất).  Trường hợp: biểu thức phân thức mà tử số kết nghòch đảo với giá trò đa thức.  Trường hợp: biểu thức có biến ta nhóm lại làm cho biến trên.  Bài tập: a) x2 - x + b) x – x2 c) x2 + y2 – x – 6y + 10 2 d) x − − x e) x + x + Giải: c) x2 + y2 – x – 6y + 10 = (x2 – x + 1) + ( y2 – 6y + 9) 1 = (x2 – 2. x . + + ) + (y – 3)2 4 3 =(x - )2 + + (y – 3)2 ≥ 4 Vậy giá trò nhỏ biểu thức Khi: (x => x - ) = (y – 3)2 = =0 => y – = Sổ tích lũy chuyên môn Toán =>y = 8. Làm tính chia đa thức cho đa thức:  Phương pháp:  Xem đa thức bò chia đa thức chia dạng đẳng thức nào.  Biến đổi đa thức dạng tích rút gọn ta có kết quả.  Bài tập: a. (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) : (x2 – 2xy +y2) b. (x2 – 2xy +y2) : (y – x) c. (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) : (x + y) d. (4x2 – 9y2) : (2x – 3y) e. (27x3 – 1) : (3x – 1) Giải: e. (27x3 – 1) : (3x – 1) = [(3x)3 – 1] : (3x – 1) = (3x – 1) (9x2 + 3x + 1) : ( 3x – 1) = 9x2 + 3x + 9. Tìm x:  Phương pháp:  Dựa vào đẳng thức phân tích vế thành tích đa thức.  Thu gon thừa số, nhận xét giải phương trình ax + b = 0, tìm x. Bài tập: a. (x – 2)3 – (x – 3) (x2 + 3x + 9) + 6(x + 1)2 = 15 b. 2x3 – 50x = c. 5x2 – 4(x2 – 2x +1) – = d. x3 – x = e. 27x3 – 27x2 + 9x – = Giải: c. 5x2 – 4(x2 – 2x +1) – = => 5(x2 – 1) – 4(x – 1)2 = => 5(x + 1) . (x – 1) – 4(x – 1)2 = => (x - 1) . [5(x + 1) – 4(x – 1)] = => (x - 1) . (5x + – 4x + 4) = => (x – 1) . (x + 9) = x - = => x = x + = => x = - =>x = 10. Một số dạng khác: Nói chung đẳng thức áp dụng nhiều dạng toán khác nhau. Nên tuỳ toán yêu cầu ta có vận dụng phù hợp.  Phương pháp:  Xem xét toán thấy dạng đẳng thức hay không.  Biến đổi để sử dụng đẳng thức.  Phối hợp phương pháp để giải toán. Bài tập: Sổ tích lũy chuyên môn Toán a) Tìm x, y, z, t thoả mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 + t2 = (1) xy + yz + zt + tx = (2) b) Tìm x, y, z, t thoả mãn điều kiện: x+y+z=6 x2 + y2 + z2 = 12 c) Phân tích đa thức 4x3 + 8x2 – 9x – 18 thành tích ba đa thức bậc có dạng (x + a) (2x + b) (2x + c) . Tính a. b. c d) Cho a + b = -3, ab = 4. Tính : a3 + b3 e) Cho a + b = 10, ab = -11. Tính : (a – b)2 f) Cho x2 – 2x = 2. Tính : E = (x4 – 4x3 + 4x2) + 5(x2 – 2x) + g) Hiệu bình phương số tự nhiên liên tiếp 11. Tìm số ấy. Giải: a) x2 + y2 + z2 + t2 = (1) xy + yz + zt + tx = (2) x2 +2 y2 + 2z2 + 2t2 = (1’) => 2xy + 2yz + 2zt + 2tx = (2’) (1’) – (2’) = x2 +2 y2 + 2z2 + 2t2 - 2xy + 2yz + 2zt + 2tx = => (x2 – 2xy + y2) + (y2 – 2yz + z2) + (z2 – 2zt + t2) + (t2 – 2tx + x2) = => (x – y)2 + (y – z)2 + (z – t)2 + (t – x)2 = (x – y)2 = x–y=0 x=y (y – z) = => y – z = => y=z => (z – t) = z–t =0 z=t (t – x) = t–x=0 t=x => x = y = z =t Do (1): 4x2 = 1 x2 = ⇒ x ± Vậy: x = y = z = t = ± Sổ tích lũy chuyên môn Toán . 2. Rút gọn biểu thức:  Phương pháp: a) Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào. b) Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức. c) Thực hiện các hằng đẳng thức hợp lý ta. sử dụng hằng đẳng thức để giải. 1. Thực hiện các phép tính :  Phương pháp: - Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào. - Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức. -. Phương pháp:  Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.  Biến đổi hoặc thêm, bớt vào biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức.  Thực hiện hằng đẳng thức và các phép tính ta