Biờn son : Nguyn c Thng PHN I : HM S V TH I. KHO ST V V TH HM S 1. Kho sỏt v v th hm s trựng phng Vớ d 1: Kho sỏt v v th ca hm s y = x x Gii: 1. Tp xỏc nh: D = Ă ( y = f ( x ) = x x ) 2. S bin thiờn: * Chiu bin thiờn: y ' = x x = x = hoc x = y = ax + bx + c, (a 0) . 1.Tp xỏc nh: D = R. 2. S bin thiờn: * Chiu bin thiờn: - o hm y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b). - Xột du y' t ú suy s ng bin, nghch bin ca hm s. * Cc tr: - Nu qua x0 m y' i du t (+) sang (-) thỡ hm s t cc i ti x0 ; yC = y(x0). - Nu qua x0 m y' i du t (-) sang (+) thỡ hm s t cc tiu ti x0 ;yCT = y(x0). * Gii hn: - Hm s ng bin trờn cỏc khong (1;0) xCT = yCT = f( )= v xCT = yCT = f(1 )= * Bng bin thiờn: 3. V th: - Biu din cỏc im cc tr (nu cú) lờn h trc to . - Tỡm giao im ca th vi cỏc trc to , cỏc im c bit v biu din chỳng lờn h trc to . * Gii hn: lim y = + lim y = + x + x * Bng bin thiờn: 3. th: Ta cú: x = x x2 = x = th ct Ox ti im: * Lu ý: +) Khong phi cha + , y luụn cựng du a -6 -4 -1 -2 ax + b (ac 0) . cx + d 1. Tp xỏc nh: D = R \ { x0 } vi x0 = d c 2. S bin thiờn: ad cb y = (cx + d ) . * Chiu bin thiờn: - Nu y' > thỡ hm s ng bin trờn mi khong ( ; x0 ) ,( x0 ; + ). - Nu y' < thỡ hm s nghch bin trờn mi khong ( ; x0 ),( x0 ; + ). * Cc tr: Hm s khụng cú cc tr. * Gii hn v tim cn: - Tỡm cỏc gii hn x , x ( x0 ) . - th hm s nhn ng thng x = x0 -2 -3 -3 -4 Vớ d 1: Kho sỏt v v th ca hm s y = 1. Tp xỏc nh: D = Ă \{1} 2. S bin thiờn ca hm s y'= 2x x < 0x D ( x 1) * Chiu bin thiờn: Hm s nghch bin trờn cỏc khong ( ;1 ) v ( 1; + ). * Cc tr: Hm s khụng cú cc tr. * Gii hn v tim cn: lim y = ; lim y = x + x => th hm s nhn ng thng y=2 lm tim cn ngang lim y = lim+ + x x 2x = + x ; lim y = lim x x 2x = x => th hm s nhn ng thng x=1 lm tim cn ng lm tim cn ng v ng thng y= -1 y(0)=-3 nờn th ct Oy ti im: (0;-3). 2. Kho sỏt v v th hm phõn thc : f ( x ) = x -2x -3 ( 3;0) v ( 3;0) . y= (1; +) ; * Cc tr: Hm s t cc i ti x = ; yC=f(0)= Hm s t cc tiu ti hai im : +, a > lim (ax + bx + c) = . x , a < v hm s nghch bin trờn cỏc khong (; 1) v (0;1) . a lm tim cn ngang. c * Bng bin thiờn: 3. th - V cỏc ng tim cn lờn h trc to . - Tỡm giao im ca th vi cỏc trc to , cỏc im c bit v biu din chỳng lờn h trc ta . Ti liu lu hnh ni b ễn mụn Toỏn cho hc sinh lp 1,2 thi tt nghip Biờn son : Nguyn c Thng 3. th - Giao ca th hm s v Ox: y=0=>x=1/2 - Giao ca th hm s v Oy: x=0=>y=1 - th hm s nhn im I(1;2) lm tõm i xng. 3. Kho sỏt v v th hm s bc ba y = ax3 + bx + cx + d , a . a) Cỏc bc kho sỏt : 1. Tp xỏc nh: D = R. 2. S bin thiờn: * Chiu bin thiờn: - o hm y' = 3ax2 + 2bx + c. - Xột du y' t ú suy s ng bin, nghch bin ca hm s. * Cc tr: - Nu qua x0 m y' i du t (+) sang (-) thỡ hm s t cc i ti x0 ; yC = y(x0). - Nu qua x0 m y' i du t (-) sang (+) thỡ hm s t cc tiu ti x0 ;yCT = y(x0). * Gii hn: +, a > , a < (ax3 + bx + cx + d ) = - xlim + , a > +, a < (ax3 + bx + cx + d ) = - xlim * Bng bin thiờn: 3. V th: - Biu din cỏc im cc tr (nu cú) lờn h trc to . - Tỡm giao im ca th vi cỏc trc to , cỏc im c bit v biu din chỳng lờn h trc to . Vớ d:Kho sỏt v v th hm s y = -x3+ 3x2+1 Gii: 1.Tp xỏc nh: D = R. . S bin thiờn: * Chiu bin thiờn: - Ta cú : y = -3x2 + 6x y = x = hoc x = . Du y : Hm s ng bin trờn cỏc khong (- ; 0) v (2;+ ) Hm s nghch bin trờn khong (0; 2) * Cc tr: Hm s t cc i ti x = 2, yC = Hm s t cc tiu ti x = 0, yCT = * Gii hn: lim y = +, x lim y = x + * Bng bin thiờn: b) Mt s tớnh cht ( s dng cn cha chng minh) * im un l tõm i xng . * im un l trung im ca an thng ni im cc i v cc tiu . * thỡ luụn ct trc hon ti ớt nht mt im v nhiu nht im . * Nu y = cú hai nghim phõn bit thỡ hm s cú im cc i v cc tiu , ú Ti liu lu hnh ni b ễn mụn Toỏn cho hc sinh lp 1,2 thi tt nghip Biờn son : Nguyn c Thng * Nu y = cú nghim kộp hoc vụ nghim thỡ hm s khụng cú cc tr. S CHUNG V KHO ST HM S 1. Tp xỏc nh. Tỡm TX ca hm s. 2. S bin thiờn. * Xột chiu bin thiờn ca hm s: + Tớnh y. + Tỡm cỏc im x i: f(xi)=0 hoc f(xi) khụng xỏc nh. + Xột du y v suy chiu bin thiờn ca hm s. * Tỡm cc tr. * Tỡm cỏc gii hn ti vụ cc, cỏc gii hn vụ cc suy tim cn (nu cú). * Lp bng bin thiờn (Ghi cỏc kt qu tỡm c vo bng bin thiờn). 3. th: Da vo bng bin thiờn v cỏc yu t xỏc nh trờn v th. Xỏc nh thờm mt s im c bit khỏc 3. V th: - Giao trc tung ti im (0;1) - i qua im (-1;5), (3;1) +) th hm s nhn im (1; 3) lm tõm i xng BI TP: Bi 1: Kho sỏt v v th hm s . a) y = f ( x) = x + 3x ; f ( x) = x + x ; d) y = f ( x ) = x + ; e) y = f ( x) = x ; y = x3 3x + c) b) y = f) y = x 3x + x + Bi 2: Kho sỏt v v th cỏc hm s . a) y= 2x +1 x ; b) y= 2x +1 x +1 ; c) y= x Bi 3: Kho sỏt v v th cỏc hm s . x + x2 ; 2 b) y = f ( x) = x x . ; c) y = f ( x) = x + x a) y = f ( x) = Bi 4: Kho sỏt v v th cỏc hm s . a) c) 2x +1 x +1 y = sin( x + ) vi x [ 0;3 ] ; d) y = x2 2x + ; y = e x +1 b) y= II.CC BI TON NG DNG HM S THNG GP Bi toỏn 1: Vit phng trỡnh tip tuyn ti im trờn th . PHNG PHP: * Hm s y = f(x) cú th (C), im Mo(xo;yo) thuc (C) . Tip tuyn ti Mocú h s gúc k=f(xo)v cú phng trỡnh : y yo = f(xo)(x xo) vit phng trỡnh tip tuyn trờn cn xỏc nh: xo , yo v f(xo) Vớ d 1: Cho ng cong (C) y = x3. Vit phng trỡnh tip tuyn vi ng cong : a.Ti im A(-1 ; -1) b.Ti im cú honh bng c.Ti im cú tung bng Gii: y = f(x) = x3 , f(x) = 3x2 xỏc nh trờn R . a) Ta cú A(-1 ; -1) thuc (C) xo = - , yo = - , f(-1) = Vy tip tuyn : y + = 3(x + 1) hay y = 3x + b)Ta cú x0= -2 yo= f (2) = f '(2) = 12 Phng trỡnh tip tuyn l : y = 12(x+2) hay y =12x + 16 c)Ta cú tung y0= f(x0)= x03 = x0= Vớ d 3: Cho hm s y= 2x + (C). Vit phng trỡnh x2 tip tuyn ca th (C),bit h s gúc ca nú bng -5. Gii: * Tip tuyn ti im (xo; yo) cú h s gúc bng ch : = x0 = hay x0 = . ( x0 2)2 * Vi x0 = y0 =f (3) = v y(3) = Phng trỡnh tip tuyn cn tỡm l: y 7= 5(x 3) hay y = 5x + 22 * Vi x0 = y0(1) = -3 v y(1) = Phng trỡnh tip tuyn cn tỡm l: y + = -5(x 1) hay y = -5x + * Vy cú tip tuyn cú h s gúc l k = l f(xo) = -5 Ti liu lu hnh ni b ễn mụn Toỏn cho hc sinh lp 1,2 thi tt nghip Biờn son : Nguyn c Thng f(x0)=12 Phng trỡnh tip tuyn l: d1 : y = 5x + 22 v d2: y = -5x + y = 12(x+2) hay y = 12x + 16 Vớ d 3: Cho ng cong (C) y = x3. Vit phng trỡnh tip tuyn ti cỏc im trờn (C): a) Bit tip tuyn song song vi ng thng y = 3x + 1. b*)Bit tip tuyn vuụng gúc vi ng thng (d) : 2x + 3y = Gii: Ta cú : y = f(x) = x3 , f(x) = 3x2 xỏc nh trờn R . a) Vỡ tip tuyn song song vi y = 3x + H s gúc ca tip tuyn bng f(x0) = 3. x02 = x0 = Vi xo=1 f(xo)=1 Phng trỡnh tip tuyn l: y = 3(x 1) + hay y = 3x ( tha nón) . Vi x0=-1 f(x0)= Phng trỡnh tip tuyn l: y = 3(x +1) hay y = 3x + ( tha nón) Vớ d 4. Cho hm s y = x x + cú th (C) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn ct tia Ox v tia Oy ln lt ti A v B cho OB = 2OA. Gii: H s gúc ca tip tuyn : OB k= tan = = OA Gi s (xo;yo) l cỏc tip im f(xo) = xo2 = xo = yo = f(0) = Vy tip tuyn : y = 2(x 0) hay y = 2x + BI TP: Bi 1:Cho hm s y = f ( x ) = x + (C).Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im A nm trờn (C) cú honh bng -1 . S: y = x y = f ( x) = x .Vit phng trỡnh tip Bi 2:Cho hm s tuyn ca th ti giao im ca nú vi trc Ox. S: y = x y = f ( x) = x x . Vit phng trỡnh Bi3 :Cho hm s tip tuyn ca th hm s ti cỏc im un . . y= x (C).Vit phng trỡnh tip tuyn ca Bi : Cho hm s (C) ti im thuc (C) cú honh l 3. * Chỳ ý : ng thng d1: y = k1 x + b1 v d2: y = k2 x + b2 { k1 = k b b +) Song song +) Vuụng gúc k1.k = * Bi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn i qua im (thuc chng trỡnh nõng cao). Theo CT nõng cao : +) Hai hm s y =f(x) v y =g(x) tip xỳc ti cỏc im tha { f ( x) = g ( x) f '( x ) = g '( x ) : +) ng thng y =kx + b l tip tuyn ca ũ th hm s y =f(x) ch : { f ( x ) = kx + b f '( x ) = k Ti liu lu hnh ni b ễn mụn Toỏn cho hc sinh lp 1,2 thi tt nghip Biờn son : Nguyn c Thng Bi toỏn 2: Bi toỏn tng giao. PHNG PHP: * Cho hai hm s y =f(x) cú th (C1) v y =g(x) cú th (C2) +) Phng trỡnh honh giao im : f(x) = g(x) (1). +) S giao im ca (C1) v (C2) bng s nghim ca phng trỡnh (1) +) Khi ú cỏc giao im (xo; f(xo) ) * ng thng y = m ( y = k(m)) l ng thng song song trc honh ct trc tung ti im ( ;m) Dng 1. Da vo th (hoc bng bin thiờn) bin lun s nghim ca phng trỡnh . Vớ d 1. Cho hm s y = x3 3x2 + (C) .Tỡm to cỏc giao im ca th (C) v ng thng y=4 Gii: Phng trỡnh honh giao im : x3 3x2 + = x3 3x2 = x = hoc x = +) Vi x = Giao im (0 ;4) +) Vi x = Giao im (3 ;4) Vớ d 2. Tỡm to cỏc giao im ca th hm s y = 2x3 + 3x2 (C)v hm s y = 6x2 2x + (P) Gii: Phng trỡnh honh giao im : 2x3 + 3x2 = 6x2 2x + 2x3 3x2 + 2x 1= (x 1)(2x2 x + 1) x=1 +) Vi xo = yo = 6xo2 2xo + Giao im (1 ;5) Vớ d 3. Cho hm s: y = x + 3x a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s. b)Tu theo giỏ tr ca m, bin lun s nghim ca phng trỡnh: x + x = m Hng dn b) S nghim ca phng trỡnh l s giao im ca th y = x + x v y = m Da vo th ta cú kt qu bin lun: * * * 3 x x + (C) a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (C) b) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh x3 6x2 + m = cú nghim thc phõn bit. Gii: b) x3 6x2 + m = m x3 x + = + 4 phng trỡnh cú nghim phõn bit thỡ ng thng m y = + ct (C) ti im phõn bit ,khi ú : Vớ d 4. Cho hm s y = < m +5 < 12 < m + 20 < 20 32 < m < Vy vi m ( 32; ) thỡ phng trỡnh cú nghim thc phõn bit. m > m < -1 Ph ơng trình có nghiệm m = m = -1 ph ơng trình có nghiệm -1< m < 3: Ph ơng trình có nghiệm. Vớ d 5. a) Kho sỏt th hm s y = x + x b) Bin lun s nghim phng trỡnh: sin3x - 2cos2x = m + theo tham s m . Gii: b) t sinx = t ( t 1) Phng trỡnh sin3x - 3cos2x = m + tr thnh : t3 3(1 t2) = m t3 +3t2 = m Xột hm s : [ ] y =f(t) = t3 +3t24 trờn 1;1 * Da vo th hm s y = x + x Ta cú th hm s y =f(t) (nột liờn trờn hỡnh ) * Vy + Vi m1 phng trỡnh vụ nghim +Vi m (m +1)2 m2 > 2m + > * Gi s x1 v x2 l hai nhim ca (*), m> x1 + x2 = m + x .x = m ú A(x1 ;y1)vi y1 = 2x1+1 v B(x2 ;y2)vi y2 = 2x2 + * Vỡ A v B nm v cựng mt phớa vi trc honh y1.y2 > (2x1 + 1)( 2x2 + 1) > x1 x2 + 2(x1 + x2 ) + > 4m2 + 2(2m + 2) + > 4m2 + 4m + > ( luụn ỳng ) * Vy m > ữ thỡ(Cm) trc honh ti im phõn bit . 20 ct ng thng ti im phõn bit Vớ d 3. Xỏc nh m parabol y = x2 2mx + 1+m2 ct ng thng y = 2x + ti hai im phõn bit A v B nm v cựng mt phớa vi trc honh . Gii: * Phng trỡnh honh giao im : x2 2mx + 1+ m2 = 2x + x2 2(m+1)x + m2 = (*) * parabol ct ng thng ti hai im phõn bit thỡ phng trỡnh (*) phi cú hai nghim phõn bit , ú : mx x + (Cm) ct trc honh ti im phõn bit . Gii: * Phng trỡnh honh giao im : mx x + = mx x + 20 = (1) * t x2 = t , Phng trỡnh (1) tr thnh : mt 6t + 20 = (2) * hm s (Cm) ct trc honh ti im phõn bit thỡ (1) cú nghim phõn bit ,suy (2) cú nghim dng phõn bit ,khi ú : a m0 ' > 20m > m > S > / m > m < < m < 20 20 P > 20 / m > *Vy m 0; m ; + 3; + *Vy Vớ d 2. Xỏc nh m hm s y = tha bi toỏn . BI TP: Bi 1: Cho hm s y = f ( x) = x + x . a) kho sỏt hm s . b) Bin lun s nghim phng trỡnh x3 + x + m = tu theo giỏ tr ca tham s m. Bi 2: Cho hm s y = f ( x ) = x + x . 2 a) Kho sỏt v v th hm s . b) Bin lun s nghim phng trỡnh x + x + m = tu theo giỏ tr ca tham s m. Bi 3: Xỏc nh m hm s y = mx + x + 2m .ct ng thng y = 3x m ti im phõn bit tha x1 + x2 + x3 = Bi 4: . Bi 5: Cho hm s y = f ( x ) = 2x + .Tỡm cỏc giỏ tr m x ng thng y = mx + ct th hm s ó cho ti im phõn bit. (S: m < -12 hoc m > 0) *nh lý v du tam thc bc hai : f(x) = ax2 + bx + c (a 0) b 2 = b 4ac , ' = b ' ac, b ' = * ) Nu < 0( < 0) thỡ a.f(x) >0 vi x R b x 2a * ) Nu = 0( = 0) thỡ a.f(x) >0 vi * ) Nu > 0( = 0) , tam thc cú hai nghim (x1 x2 x < x1 ( ) ( ; x1 x ; + a.f(x) >0 (hay x a.f(x) thỡ hm s c cc tiu ti xi; + f (xi) < thỡ hm s c cc i ti xi) Chỳ ý: Qui tc thng dựng vi hm s lng giỏc hoc vic gii phng trỡnh f(x) = phc tp. Vớ d 1. Tỡm cc tr ca hm s y = x + x 36 x 10 Gii: Cỏch 1(Qui tcI ) * Tp xỏc nh : D = R Cỏch 1(Qui tc II) * Tp xỏc nh : D = R * Ta cú: y ' = x + x 36 y ' = x + x 36 x = y ' = x + x 36 = x = x = y ' = x + x 36 = x = * y= 12x + * Mt khỏc : y(2) = 30 > nờn hm s t cc tiu ti x = v yct = - 54 y(-3) = -30 < nờn hm s t cc i ti x = -3 v yc =71 * Ta cú: * Bng bin thiờn. Vy x =-3 l im cc i v yc =71 x= l im cc tiu v yct = - 54 Bi tp: Tỡm cc tr ca cỏc hm s sau: a ) y = 10 + 15x + 6x x f) y = x - sin2x + ; ; b) y = x x + 432 ; c) y = x - x g) y = - 2cosx - cos2x ; d) y = x+1 x +1 ; e) y = ; h) y = 2sinx + cos2x với x [0; ] - 3x 1-x Dng 2. Xỏc lp hm s bit cc tr . Phng phỏp: tỡm iu kin cho hm s y = f(x) t cc tr ti x = a * B1: Tớnh y = f(x) * B2: Gii phng trỡnh f(a) = tỡm c m * B3: Th li giỏ tr a tho iu kin ó nờu ( vỡ hm s t cc tr ti a thỡ f(a) = khụng k C hay CT) Vớ d 1. Tỡm m hm s y = x3 3mx2 +(m -1)x +2 t cc tiu ti x = Gii: y ' = 3x 6mx + m . Hm s t cc tr ti x = thỡ y(2) = 3.(2) m.2 + m = m = Vi m = ta c hm s: y = x3 3x2 + c : x = y ' = 3x x y ' = x = ti x = hm s t giỏ trcc tiu . Vy m = l giỏ tr cn tỡm Bi 1. Xỏc nh m hm s y = mx + x + 5x + đạt cực đại x = Bi 2. Tỡm m hm s y = x mx + (m ) x + có cực trị x = 1. Khi hàm số có CĐ hay CT Bi 3. Tỡm m hm s y = x mx + m x đạt cực tiểu x = Bi 4. Tỡm cỏc h s a, b, c cho hm s: f ( x ) = x + ax + bx + c t cc tiu ti im x = 1, f(1) = -3 v th ct trc tung ti im cú tung bng Ti liu lu hnh ni b ễn mụn Toỏn cho hc sinh lp 1,2 thi tt nghip Biờn son : Nguyn c Thng Dng 3. Tỡm m hm s cú cc tr v cc tr tho mt tớnh cht no ú. B1: Tỡm m hm s cú cc tr. B2: Vn dng cỏc kin thc khỏc Chỳ ý: * Hm s y = ax3 + bx + cx + d (a 0) cú cc tr v ch phng trỡnh y = cú hai nghim phõn bit. * Cc tr ca hm phõn thc y = p( x ) Q( x ) . Gi s x0 l im cc tr ca y, thỡ giỏ tr ca y(x0) cú th c tớnh bng hai cỏch: hoc y ( x0 ) = P ( x0 ) y(x ) = Q( x0 ) P '( x0 ) Q '( x0 ) Bi 1. Tỡm m hm s y = x 3mx + 2. Với giá trị m hàm số có CĐ, CT? Bi 2. Cho hm s y = x + ã 12 x 13 . Tỡm a hm s cú cc i, cc tiu v cỏc im cc tiu ca th cỏch u trc tung. m Bi 3. Hm s y = x 2(m + 1) x + mx . Tỡm m hm s cú cc i cc tiu. x + mx m Bi 4. Cho hm s y = . Xỏc nh m hm s x+2 cú cc i v cc tiu. Bi toỏn 6: im co Vớ d 1: Cho hm s y= Vớ d . Xỏc nh m cỏc hm s sau cú cc i v cc tiu x + mx 2m a)y = x + mx + (m + 6) x ; b)y = x+2 Hng dn. a. TX: R y ' = x + mx + m + . hm s cú cc tr thỡ phng trỡnh: x + mx + m + = có nghiệm phân biệt m > ' = m2 m > m < b. TX: Ă \ { 2} (2 x + m)( x + 2) ( x + mx 2m 4) x + x + 4m + = ( x + 2)2 ( x + 2)2 Hàm số có cực đại, cực tiểu y ' = có hai nghiệm phân biệt y' = x + x + 4m + = có hai nghiệm phân biệt khác -2 ' > m > m . bộ Ôn tập môn Toán cho học sinh lớp 1,2 thi tốt nghiệp 9 + ∞ + ∞ 0 2 + - y y' + ∞ 1 0 x Biên soạn : Nguyễn Đức Thắng Tài liệu lưu hành nội bộ Ôn tập môn Toán cho học sinh lớp 1,2 thi tốt. Bảng biến thi n: Tài liệu lưu hành nội bộ Ôn tập môn Toán cho học sinh lớp 1,2 thi tốt nghiệp 2 Biên soạn : Nguyễn Đức Thắng * Nếu y’ = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số không có. 2 * Vậy có 2 tiếp tuyến có hệ số góc là k = –5 là Tài liệu lưu hành nội bộ Ôn tập môn Toán cho học sinh lớp 1,2 thi tốt nghiệp 3 Biên soạn : Nguyễn Đức Thắng ⇒ f’(x 0 )=12 ⇒ Phương trình