Câu 1. Giải phương trình a. x − 10 x + 27 = − x + x − b. 2011 − x − 2006 − x = Câu 2. Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = 2(1 − m) .x + , với m tham số m ≠ . m−2 m−2 a. Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) qua. b. Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) lớn nhất. Câu 3. a. Cho B = 11 .1122 .225 3 ; B số gồm n chữ số 1, n + chữ số chữ số 5. n n+1 Chứng minh B số phương. b. Cho p số nguyên tố; p ≥ . Chứng minh p + số nguyên tố thì: p + hợp số. c. Chứng minh không tồn cặp giá trị nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x − − y = 2011 d. Cho x; y; z > x + y + z ≥ , chứng minh: x3 y z + + ≥1 y z x2 Câu 4. Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường tròn. Từ P kẻ tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O), (A, B tiếp điểm); OP cắt AB M. Qua M kẻ dây cung CD đường tròn (O), (CD khác AB CD không qua O). Hai tiếp tuyến (O) C D cắt Q. Chứng minh: a) AB < CD ; b) PQ vuông góc với PO P. Câu 5. Cho đường thẳng xy; đường tròn (O) điểm A nằm đừơng tròn (O), xy không cắt (O). Dựng đường tròn tâm K tiếp xúc với (O) A tiếp xúc với đường thẳng xy. (Chỉ trình bày cách dựng biện luận) Hết./. Câu Nội dung cần đạt Ý a x − 10 x + 27 = − x + x − , Điều kiện: x ≤ ≤ Điểm 0,25 HS biến đổi: VT = ( x − 2.x.5 + 25) + = ( x − 5) + ≥ , Dấu “=” xẩy x = VP = 1. − x + 1. x − ≤ (12 + 12 )(6 − x + x − 4) = , Dấu “=” xẩy x = Vậy nghiệm: x = thỏa mãn điều kiện x ≤ ≤ 0,25 0,25 1, 75 2011 − x − 2006 − x = , ĐK: ≤ x ≤ 2006 Nhân vế với : b 0,25 2011 − x + 2006 − x > biến đổi đưa hệ PT: 2011 − x − 2006 − x = 81 32095 ⇔ 2011 − x = ⇔ 2011 − x = ⇔ x=± 16 2011 − x + 2006 − x = 32095 thỏa mãn. 2(1 − m) .x + (d) : y = ; với m tham số, m ≠ 1; m−2 m−2 Gọi ( x0 ; y0 ) điểm cố định (d) qua: Thay vào PT (d) ta có: 0,25 Đối chiếu điều kiện: x = ± a y0 = 0,5 2(1 − m) .x0 + , Với m ⇔ my0 − y0 = x0 − 2mx0 + , ∀m m−2 m−2 0,5 y0 + x0 = x0 = ⇔ m( y0 + x0 ) − y0 − x0 − = 0; ∀m ⇔ ⇔ −2 y0 − x0 − = y0 = − Nhận thấy (d) không qua O 0,5 ;0 ÷ Tìm tọa độ giao điểm A đồ thị hàm số với trục Ox: A m −1 Giao điểm B đồ thị hàm số với trục Oy: B 0; ÷ m−2 0,25 Ta có: ∆ AOB vuông O có khoảng cách từ O đến (d) OH (đường cao) nên: b 1 1 (m − 2) 1 = + ⇔ = ( m − 1) + = + Hay OH x A2 yB2 OH OH OA2 OB ⇔ OH = ⇔ OH = a ⇔ OH = 2 4(m − 1) + (m − 2) 5m − 12m + 5( m2 − ) + 5 ≤ = ; Dấu “=” xẩy x = . 5 n + + 22 .22.10 + 11 .1122 .225 = 11 .11.10 3 123 B= n n +1 n n +1 B= 0,25 Xét m = ⇒ y = −2 ; K/c từ O đến (d) < . Vậy OH max = ⇔ x = 1, 75 0,25 2, 0,25 10n − n + 10n +1 − 102( n +1) − 10n + + 2.10n + + 25 .10 + 2. .10 + = 9 0,25 102( n +1) + 10.10n +1 + 25 10n +1 + n+1 = = ÷ ( 10 + ) M3 Nên B số phương p số nguyên tố; p ≥ nên p lẻ p không chia hết cho ⇒ p + chẵn ⇒ ( p + 1)M2 ; p b 0,2 chia cho dư 0,3 HS lập luận để chứng tỏ p + hợp số. x − − y = 2011 ⇔ x = y + 2013 ⇒ x lẻ, đặt x = 2k + 1;(k ∈ Z ) thay vào ta có: y = 4k + 4k − 2012 ⇔ y = 2k + 2k − 1006 (1) ⇒ y chẵn, y = 2t ; (t ∈ z ) c Thay x; y vào (1) biến đổi: 2t = k (k + 1) − 503 (2) 0,25 Xét thấy VT (2) chẵn; VP (2) số lẻ k(k+1) chẵn (Tích số nguyên liên tiếp). Vậy dấu “=” (2) xẩy ⇔ Không tồn cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x − − y = 2011 x; y > ; xét x + y = x + y + y ≥ 3 x . y = 3xy ⇔ d Chứng minh tương tự: 0,25 x3 ≥ 3x − y y2 y3 z3 ; ≥ y − z ≥ z − x Cộng vế theo vế ta có: z2 x2 x3 y3 z x3 y z + + ≥ x + y + z − (2 x + y + z ) = x + y + z = ⇔ + + ≥ (Đpcm) y2 z x2 y2 z2 x2 0,25 0,25 P B C 2, M O N Q 0,25 A D a b Gọi giao điểm QO CD N. HS áp dụng tính chất tiếp tuyến cắt Q để suy ra: CD ⊥ QO N, ⇒ ∆ MNO vuông N ⇒ OM>ON ⇒ AB . ≤ 0,25 0,25 0,25 1, 75 b 2 2 2011 2006 2x x− − − = , ĐK: 2 0 2006x≤ ≤ Nhân 2 vế với : 2 2 2011 2006 0x x− + − > và biến đổi đưa về hệ PT: 2 2 2 2 2 2 2011 2006 2 9 81 32095 2011 2011 5 4 16 4 2011 2006 2 x. 2 2 1p + là hợp số. c. Chứng minh không tồn tại cặp giá trị nguyên ( ; )x y thỏa mãn: 2 2 2 2 2011x y− − = d. Cho ; ; 0x y z > và 1x y z+ + ≥ , chứng minh: 3 3 3 2 2 2 1 x y z y z x +. Câu 1. Giải phương trình a. 2 10 27 6 4x x x x− + = − + − b. 2 2 2011 2006 2x x− − − = Câu 2. Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2(1 ) 2 . 2 2 m y x m m − = + −