Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 43 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
43
Dung lượng
3,39 MB
Nội dung
g l¬i Bài tập luyện thi vào lớp 10 ĐỀ BÀI Bài Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm A B. Vẽ đường kính AC AD (O) (O’). Tia CA cắt đường tròn (O’) F , tia DA cắt đường tròn (O) E. . 1. Chứng minh tứ giác EOO’F nội tiếp 2. Qua A kẻ cát tuyến cắt(O) (O’) M N. Chứng MC không đổi đường thẳng MN quay quanh A minh tỉ số NF 3. Tìm quỹ tích trung điểm I MN 4. Gọi K giao điểm NF ME. Chứng minh đường thẳng KI qua điểm cố đònh đường thẳng MN quay quanh A 5. Khi MN // EF. Chứng minh MN = BE + BF Bài Cho hình vuông ABCD cố đònh . E điểm di động cạnh CD (E C D ). Tia AE cắt đường thẳng BC F. Tia Ax vuông góc với AE A cắt đường thẳng DC K. CKF . 1. Chứng minh CAF 3. Chứng minh KAF vuông cân 4. Chứng minh đường thẳng BD qua trung điểm I KF 5. Gọi M giao điểm BD AE. Chứng minh IMCF nội tiếp ID 6. Chứng minh điểm E thay đổi vò trí cạnh CD tỉ số CF không đổi. Tính tỉ số đó? Bài Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) . M điểm thuộc cung nhỏ AC. Vẽ MH BC H , vẽ MI AC I ICM 1. Chứng minh IHM 2. Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB K.Ch/ minh MK BK 3. DF cắt EB M, HF cắt EC N.Chứng minh MIH ~ MAB Bài tập luyện thi vào lớp 10 4. Gọi E trung điểm IH F trung điểm AB. Chứng minh tứ giác KMEF nội tiếp . Suy ME EF Bài Từ điểm A đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B C hai tiếp điểm ).Vẽ CD AB D cắt (O) E. Vẽ EF BC F; EH AC H. 1. Chứng minh tứ giác EFCH , EFBD nội tiếp 2. Chứng minh EF2 = ED. EH 3. Chứng minh tứ giác EMFN nội tiếp 4. Chứng minh MN EF Bài Cho đường tròn (O) điểm A đường tròn .Vẽ tiếp tuyến AM cát tuyến ACD ( tia AO nằm hai tia AM AD). Gọi I trung điểm CD. 1. Chứng minh tứ giác AMOI nội tiếp đường tròn. Xác đònh tâm K. 2. Gọi H giao điểm MN OA .Chứng minh CHOD nội tiếp 3. Đường tròn đường kính OA cắt (O) N. Vẽ dây CB MO cắt MN F. Chứng minh CFIN nội tiếp 4. Tia DF cắt AM K. Chứng minh KE AM Bài Cho OM = 3R , MA , MB hai tiếp tuyến , AD // MB , MD cắt (O) C , BC cắt MA F , AC cắt MB E. 1. Chứng minh MAOB nội tiếp 2. Chứng minh EB2 = EC.EA 3. Chứng minh E trung điểm MB 4. Chứng minh BC.BM = MC.AB 5. Tia CF phân giác MCA 6. Tính S BAD theo R Bài Cho MA , MB hai tiếp tuyến (O). C điểm thuộc cung nhỏ AB. Vẽ CD AB . CE MA , CF MB 1. Chứng minh tứ giác sau nội tiếp : DAEC , DBFC 2. Chứng minh CE.CF = CD2 7:00 02/03/2011 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 3. AC cắt ED H, BC cắt DF K. Chứng minh CHDK nội tiếp 4. Chứng minh HK // AB 5. Chứng minh HK tiếp tuyến chung hai đường tròn ngoại tiếp CKF CEH 6. Gọi I giao điểm thứ hai hai đường tròn (CKF) (CEH). Chứng minh đường thẳng CI qua trung điểm AB Bài Cho đường thẳng d cắt (O;R) C D. M điểm di động d (M đường tròn MC < MD ). Vẽ hai tiếp tuyến MA , MB (A B hai điểm) , H trung điểm CD 1. Chứng minh MIHF OHEI tứ giác nội tiếp 2. Chứng minh MA2 = MC.MD 3. Chứng minh CIOD nội tiếp 4. Chứng minh 4IF.IE = AB2 5. Chứng minh M di động đường thẳng AB điểm qua điểm cố đònh Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) ; hai đường cao AD BE cắt H ( D BC ; E AC ; AB < AC ) 1. Chứng minh tứ giác AEDB CDHE nội tiếp 2. Chứng minh OC vuông góc với DE 3. CH cắt AB F. Chứng minh : AB AC BC AH.AD + BH.BE + CH.CF = 4. Đường phân giác AN BAC cắt BC N , cắt đường tròn (O) K.(K khác A). Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp CAN. Chứng minh KO CI cắt điểm thuộc đường tròn (O). Bài 10 Cho (O;R) dây BC = 2a cố đònh. M tia đối tia BC. Vẽ đường tròn đường kính MO cắt BC E , cắt (O) A D (A cung lớn ). AD cắt MO H , cắt OE N. BC 1. Chứng minh MA tiếp tuyến (O) MA2 = MB.MC 2. Chứng minh tứ giác MHEN nội tiếp 3. Tính ON theo a R 4. Tia DE cắt (O) F. Chứng minh ABCF hình thang cân Bài 11 Cho nửa đường tròn (O;R) , đường kính AB . C điểm AB , K trung điểm BC. AK cắt (O) M . Vẽ CI vuông góc với AM I cắt AB D. 1. Chứng minh tứ giác ACIO nội tiếp . Suy số đo góc OID 2. Chứng minh OI tia phân giác COM 3. Chứng minh CIO ~ CMB . Tính tỉ số 4. Tính tỉ số IO MB AM . Từ tính AM , BM theo R BM 5. Khi M điểm cung BC.Tính diện tích tứ giác ACIO theo R Bài 12 900 ). Gọi I , K trung Cho ABC (AC > AB BAC điểm AB AC. Các đường tròn (I ) đường kính AB (K ) đường kính AC cắt điểm thứ hai D . Tia BA cắt (K) E ; tia CA cắt (I) F . 1. Chứng minh B,C, D thẳng hàng 2. Chứng minh BFEC nội tiếp 3. Gọi H giao điểm thứ hai tia DF với với đường tròn ngoại tiếp AEF. So sánh DH DE Bài 13 Cho đường tròn (O) dây AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm đường tròn . Từ điểm E cung lớn AB kẻ đường kính EF cắt dây AB D. Tia CE cắt (O) điêm I. Các tia AB FI cắt K 1. Chứng minh EDKI nội tiếp 2. Chứng minh CI.CE =CK.CD 3. Chứng minh IC tia phân giác đỉnh I AIB 4. Cho A , B , C cố đònh. Chứng minh đường tròn (O) thay đổi Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 qua A , B đường thẳng FI qua điểm cố đònh Bài 14 Cho ABC vuông A. Trên cạnh AC lấy điểm D . Vẽ đường tròn (O) đường kính CD.Đường tròn (I ) đường kính BC cắt (O) E. AE cắt (O) F. 1. Chứng minh ABCE nội tiếp = ACF 2. Chứng minh BCA 3. Lấy điểm M đối xứng với D qua A ; N đối xứng với D qua đường thẳng BC. Chứng minh BMCN nội tiếp 4. Xác đònh vò trí D để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có bán kính nhỏ Bài 15 C nhọn . đường tròn đường kính AB AC Cho ABC có B cắt H. Một đường thẳng d tùy ý qua A cắt hai đường tròn M N. 1. Chứng minh H BC 2. Tứ giác BCNM hình ? Tại sao? 3. Gọi I K trung điểm BC MN. Chứng minh bốn điểm A , H, I , K đường tròn .Từ suy quỹ tích I d quay quanh A 1. Xác đònh vò trí d để MN có độ dài lớn Bài 16 Cho hai đường tròn (O) (O’) có bán kính cắt A B. Vẽ cát tuyến qua B cắt (O) E , cắt (O’) F. 1. Chứng minh AE = AF 2. Vẽ cát tuyến BCD vuông góc với AB (C (O) ; D (O’) ), Gọi K giao điểm CE FD. Chứng minh AEKF ACKD tứ giác nội tiếp 3. Chứng minh EKF cân 4. Gọi I trung điểm EF. Chứng minh I , A , K thẳng hàng 5. Khi EF quay quanh B I K di chuyển đường nào? Bài 17 Từ điểm A đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB AC với (O). Vẽ dây BD // AC. AD cắt (O) K. Tia BK cắt AC I. 1. Chứng minh IC2 = IK.IB 2. Chứng minh BAI ~ AKI 3. Chứng minh I trung điểm AC 4. Tìm vò trí điểm A để CK AB Bài 18 Cho đường tròn (O;R)và điểm A cố đònh với OA = 2R. BC đường kính quay quanh O. Đường tròn ngoại tiếp ABC cắt đường thẳng AO I. 1. Chứng minh OI.OA = OB.OC. Suy I điểm cố đònh 2. Trường hợp AB , AC cắt (O) D E. DE cắt OA K. a. Chứng minh tứ giác KECI nội tiếp b. Tính AK theo R c. Gọi N giao điểm đường tròn ngoại tiếp ADE với OA. Chứng minh tứ giác BOND nội tiếp . Suy N điểm cố đònh 3. Tìm vò trí BC để diện tích ABC lớn 4. Tìm vò trí BC để bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC nhỏ nhất. Bài 19 Cho đường tròn (O; R) dây AB cố đònh. M điểm di chuyển cung lớn AB . Vẽ hình bình hành MABC. Vẽ MH BC H cắt (O) K. BK cắt MC F. 1. Chứng minh tứ giác FKHC nội tiếp . Suy K trực tâm MBC 2. Tia phân giác AMB cắt (O) E cắt tia CB N.Chứng minh MBN cân. Suy N thuộc cung tròn cố đònh tâm O’ M di chuyển cung lớn AB 3. Chứng minh AB tiếp tuyến (O’) 4. Khi AB = R . Tính diện tích tứ giác OEO’B theo R Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài 20 Cho đường tròn (O; R) dây AB cố đònh ( AB < 2R ) . Một điểm M tùy ý cung lớn AB ( M A , B ) . Gọi I trung điểm dây AB (O’) đường tròn qua M tiếp xúc với AB A. Đường thẳng MI cắt (O) ; (O’) giao điểm thứ hai N , P. 1. Chứng minh IA2 = IP.IM 2. Chứng minh tứ giác ANBP hình bình hành 3. Chứng minh IB tiếp tuyến đường tròn (MBP) 4. Chứng minh M di chuyển P chạy cung tròn cố đònh Bài 21 Cho ABC có góc A tù , đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đường kính AC giao điểm thứ hai H. Một đường thẳng d quay quanh A cắt đường tròn (O) (O’) M N cho A nằm M N. 1. Chứng minh H BC tứ giác BCNM hình thang vuông HM 2. Chứng minh tỉ số không đổi HN 3. Gọi I trung điểm MN , K trung điểm BC. Chứng minh điểm A , H , I , K thuộc đường tròn I di chuyển cung tròn cố đònh 4. Xác đònh vò trí đường thẳng d để diện tích MHN lớn Bài 22 Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tia Ax By vuông góc với AB. Một đường thẳng d thay đổi cắt Ax M , cắt By N cho AM.BN = a2. vuông 1. Chứng minh AOM ~ BON MON 2. Gọi H hình chiếu O MN. Chứng minh đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn cố đònh H. 3. Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp MON chạy tia cố đònh 4. Tìm vò trí đường thẳng d cho chu vi AHB đạt giá trò lớn , tính giá trò lớn theo a Bài 23 Cho ABC có ba góc nhọn với trực tâm H. Vẽ hình bình hành BHCD. Đường thẳng qua D // BC cắt đường thẳng AH E. 1. Chứng minh A , B , C , D , E thuộc đường tròn 2. Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , chứng minh OAC BE = CD BAE 3. Gọi M trung điểm BC , đường thẳng AM cắt OH G. Chứng minh G trọng tâm ABC Bài 24 Cho ba điểm cố đònh A , B , C thẳng hàng ( theo thứ tự ). Một đường tròn (O) thay đổi qua B, C . Từ điểm A kẻ tiếp tuyến AM , AN đến đường tròn (O). Đường thẳng MN cắt AO AC H K 1. Chứng minh M , N di động đường tròn cố đònh 2. Gọi I trung điểm BC. Vẽ dây MD // BC. Chứng minh DN qua điểm cố đònh 3. Chứng minh đường tròn (OHI) qua điểm cố đònh Bài 25 Cho ABC có A 450 , BC = a . O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC B’ C’ chân đường cao hạ từ B C xuống cạnh tương ứng .Gọi O’ điểm đối xứng O qua đường thẳng B’C’. 1. Chứng minh A , B’ , O’ , C’ thuộc đường tròn tâm I 2. Tính B’C’ theo a 3. Tính bán kính đường tròn (I) theo a Bài 26 Cho đường tròn (O;R) điểm M cho OM = 2R. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA MB với (O) 1. Chứng minh AMB tính MA theo R AB vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA 2. Qua điểm C thuộc cung nhỏ E cắt MB F. Chứng minh chu vi MEF không đổi C chạy cung nhỏ AB 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 3. OF cắt AB K , OE cắt AB H. Chứng minh EK OF. = 900 . Tính EF diện tích OHK theo R 4. Khi sđ BC Bài 27 Cho đường tròn (O;R) dây BC cố đònh. Điểm A di chuyển .Các đường cao BD CE cắt H. cung lớn BC 1. Chứng minh BEDC nội tiếp đường tròn 2. Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB AC M N. Chứng minh MN // ED điểm B, C , M , N thuộc đường tròn 3. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ A qua điểm cố đònh 4. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ H qua điểm cố đònh O’ 5. Tìm độ dài BC để O’ thuộc đường tròn (O) Bài 28 Cho đường tròn (O ; R) có dây BC = R .Vẽ đường tròn (M) đường kính BC. Lấy điểm A (M) (A (O) ). AB , AC cắt (O) D E. Đường cao AH ABC cắt DE I. 1. Chứng minh AD.AB = AE.AC 2. Chứng minh I trung điểm DE 3. AM cắt ED K. Chứng minh IKMH nội tiếp Bài 30 Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B . Tiếp tuyến chung gần B hai đường tròn tiếp xúc với (O) (O’) C D. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O) (O’) M N. Các đường thẳng BC BD cắt đường thẳng MN P Q; đường thẳng CM DN cắt E. Chứng minh : 1. Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD 2. EPQ cân Bài 31 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ). Đường tròn tâm (O’) tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với hai cạnh AB AC I K . Gọi E giao điểm thứ hai MK với (O). 1. Chứng minh ME tia phân giác AMC 2. Tia phân giác Mx BMC cắt IK F . Chứng minh tứ giác FKCM FIBM nội tiếp 3. Chứng minh BIF ~ FKC 4. Chứng minh FM2 = MB.MC 5. Chứng minh tia CF phân giác BCA Bài 32 Cho đường tròn (O;R) hai đường kính AB CD vuông góc với . I điểm di động bán kính OB ( I B O ).Tia CI cắt đường tròn E. 1. Chứng minh OIED nội tiếp 2. Chứng minh CI.CE = 2R2 3. DB cắt CE H. AE cắt CD K. Chứng minh HK // AB 4. Chứng minh diện tích tứ giác ACIK không đổi I di động OB ( I O B ) Bài 33 Cho đường tròn (O;R) dây cung AB cố đònh . Gọi M điểm , AB . Lấy điểm C tùy ý trên cung nhỏ MB cung nhỏ kẻ tia Ax vuông góc với tia CM H , cắt đường thẳng BC K. 4. Tính DE tỉ số AH theo R AK 5. Tìm vò trí điểm A để diện tích ADE lớn Bài 29 Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt P Q. Tiếp tuyến chung gần P hai đường tròn tiếp xúc với (O) A tiếp xúc với (O’) B. Tiếp tuyến cỏa (O) P cắt (O’) điểm thứ hai D (D P), đường thẳng AP cắt đường thẳng BD K. Chứng minh : 1. Bốn điểm A , B , Q , K thuộc đường tròn 2. BPK cân 3. Đường tròn ngoại tiếp PQK tiếp xúc với PB KB 11 12 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 1. Chứng minh CM tia phân giác ACK 2. Chứng minh M tâm đường tròn ngoại tiếp ABK AKB không phụ thuộc vào vò trí điểm C sđ 3. Tia KM cắt tia AB E cắt đường tròn điểm thứ hai F. Chứng minh tích ME.MF không đổi C di động tính tích theo R MAB Bài 34 Cho đường tròn (O;R) điểm M cho OM = 2R. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA MB với (O) 1. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp MO AB 2. Chứng minh AMB tính MA theo R AB vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA 3. Qua điểm C thuộc cung nhỏ E cắt MB F. OF cắt AB K .OE cắt AB H. Chứng minh EK OF 4. Chứng minh EF = 2HK Bài 35 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ). Đường cao BE tam giác kéo dài cắt đường tròn (O) K . Kẻ KD vuông góc với BC D . 1. Chứng minh điểm K ; E ; D ; C thuộc đường tròn . Xác đònh tâm đường tròn AKD 2. Chứng minh KB phân giác 3. Tia DE cắt đường thẳng AB I . Chứng minh KI AB 4. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OA , cắt AB H . Chứng minh CH // KI Bài 36 Cho hình vuông ABCD cạnh a. M , N hai điểm di động AD 450 . BM , BN cắt AC E F. DC cho MBN 1. Chứng minh NE BM 2. Gọi H giao điểm ME NF. Chứng minh HF.HM =HE.HN 3. Tia BH cắt MN I. Tính BI theo a. Suy đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố đònh. 4. Cho a = 5, AM = . Tính EF. Bài 37 Cho đường tròn (O;R) điểm A cố đònh đường tròn . Một có số đo không đổi quay quanh A cắt đường tròn B góc nhọn xAy C.Vẽ hình bình hành ABDC. Gọi E trực tâm BDC. 1. Chứng minh E thuộc đường tròn (O;R) 2. Gọi H trực tâm ABC. Chứng minh EH , BC AD đồng quy điểm I quay quanh A cho Ax Ay cắt (O;R) 3. Khi góc xAy H di chuyển đường cố đònh ? Bài 38 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Một đường thẳng d qua tâm O hình vuông cắt AD BC E F. Từ E kẻ đường thẳng song song với BD , từ F kẻ đường thẳng song song với AC , chúng cắt I. 1. Chứng minh A , I , B thẳng hàng 2. Kẻ IH EF H. Chứng minh H thuộc đường tròn cố đònh d quay quanh O 3. Đường thẳng IH cắt đường trung trực AB K. Chứng minh AKBH nội tiếp . Suy K cố đònh 4. Tìm vò trí đường thẳng d để diện tích tứ giác AKHB lớn Bài 39 Cho đường tròn (O;R) dây AB cố đònh . I điểm cung AB . M điểm di động cung lớn AB . K trung điểm AB. lớn Vẽ tia Ax vuông góc với đường thẳng MI H cắt đường thẳng MB C. 1. Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp 2. Chứng minh AMC tam giác cân 3. Chứng minh M di động C thuộc đường cố đònh 4. Gọi E điểm đối xứng với A qua I F điểm đối xứng với B qua đường thẳng MI. Chứng minh tứ giác AFEB nội tiếp 13 14 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 5. Tìm vò trí M để chu vi ABM lớn 6. Tìm vò trí M để chu vi ACM lớn Bài 40 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. C trung điểm AO. Vẽ đường thẳng Cx AB C cắt đường tròn I, K điểm di động đoạn CI ( K C I), Tia AK cắt (O) M. Đường thẳng Cx cắt đường thẳng BM D, cắt tiếp tuyến M (O) N 1. Chứng minh AK.AM = R2 2. Chứng minh NMK cân 3. Khi K trung điểm CI. Tính diện tích ABD theo R 4. Chứng minh K di động đoạn CI tâm đường tròn ngoại tiếp ADK thuộc đường thẳng cố đònh. Bài 41 Cho đường tròn (O ;R) đường kính AB. I điểm thuộc AO cho AO = 3IO. Qua I vẽ dây CD AB. Trên CD lấy K tùy ý . Tia AK cắt (O) M. 1. Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp 2. Chứng minh đường thẳng AM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp MKC 3. Chứng minh tâm P đường tròn ngoại tiếp CMK thuộc đường cố đònh 4. Tính khoảng cách nhỏ DP Bài 42 Cho ABC cân A nội tiếp đường tròn (O;R). M điểm thuộc cung nhỏ AC. Tia AM cắt tia BC D. 1. Chứng minh ADC ACM 2. Chứng minh AC = AM. AD 3. Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp MCD 4. Lấy E điểm thuộc tia đối tia MB cho ME = MC. Chứng minh ABDE nội tiếp . 5. Chứng minh C thuộc cung tròn cố đònh . Xác đònh tâm cung tròn này. Bài 43 Cho đường tròn (O;R) đường thẳng d không cắt đường tròn . Vẽ OH d H. M điểm thuộc d. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA MB với (O) ( A , B tiếp điểm ). 1. Chứng minh tứ giác MAOH nội tiếp 2. Đường thẳng AB cắt OH I. Chứng minh IH.IO = IA.IB 3. Chứng minh I cố đònh M chạy đường thẳng d. 4. Cho OM = 2R , OH = a. Tính diện tích MAI theo a R Bài 44 Cho đường tròn (O;R) điểm A đường tròn . Vẽ đường thẳng d OA A. Lấy điểm M d . Vẽ tiếp tuyến MC với (O) C tiếp điểm ). 1. Chứng minh điểm M , A , O , C thuộc đường tròn. 2. AC cắt (O) B, Tiếp tuyến B (O) cắt MC E , cắt đường thẳng d D. Chứng minh M, E, O, D thuộc đường tròn 3. Chứng minh A trung điểm MD 4. Chứng minh EOD ~ COA. 5. Cho OM = 2R OA = a. Tính DE theo a R Bài 45 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)( AB < AC ). Kẻ đường cao AH đường kính AD đường tròn (O). Phân giác cắt (O) E. BAC 1. Chứng minh AE phân giác HAD 2. Chứng minh AB.AC = AH.AD ABC 3. Chứng minh HAD ACB 4. EO cắt AC F , BF cắt AH M. Chứng minh AFM cân 5. Cho AB = , AC = , R = 3. Tính BC (lấy chữ số thập phân ) Bài 46 . Trên Cho ABC nội tiếp (O;R). M điểm cung nhỏ BC dây AM lấy điểm E cho ME = MB . 1. Chứng minh MBE 15 16 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Chứng minh CBM = ABE Tìm vò trí điểm M cho tổng MA + MB + MC lớn nhỏ E chạy đường cố đònh Khi M chạy BC Gọi F giao điểm AM BC. Chứng minh 1 MF MB MC 2 2 6. Chứng minh MA MB MC R Bài 47 Cho đường tròn (O;R) dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với . AB ). M điểm thuộc cung nhỏ BC AB K.( D thuộc cung nhỏ DM cắt AB F. 1. Chứng minh tứ giác CKFM nội tiếp 2. Chứng minh DF. DM = AD2 3. Tia CM cắt đường thẳng AB E. Tiếp tuyến M (O) cắt AF I. Chứng minh IE = IF FB KF 4. Chứng minh EB KA Hd : d) Chú ý F trực tâm CDE . Suy : KE.KF = KC.KD Bài 48 ABC cắt AC Cho ABC vuông A ( AB < AC ). Tia phân giác M. Đường tròn (O) đường kính MC cắt tia BM H, cắt BC N. 1. Chứng minh tứ giác BAHC nội tiếp 2. Chứng minh HC2 = HM.HB 3. HO cắt BC K . Chứng minh K trung điểm NC 4. Cho AB = cm , HC = cm. Tính độ dài cạnh BC. Bài 49 Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB CD vuông góc với nhỏ. AE cắt DC N , CE cắt AB M. E điểm thuộc DB 1. Chứng minh tứ giác NOBE nội tiếp 2. Chứng minh AN. AE = 2R2 3. Chứng minh ANC ~ MAC. Tìm vò trí E để diện tích NEN lớn 4. Biết AM = 3BM. Tính DN EB theo R Bài 50 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) với AB < AC. cắt BC E cắt (O) D. Tia OD cắt BC Phân giác BAC K.Tiếp tuyến A (O) cắt đường thẳng BC M . 1. Chứng minh tứ giác MAOK nội tiếp 2. Chứng minh MA2 = MB.MC 3. Chứng minh MA = ME 4. Kẻ tiếp tuyến MF (O) ( F tiếp điểm ). Chứng minh tia FE v đường thẳng DO cắt điểm thuộc (O). 5. Biết BE = a EC = b. Tính AM theo a b. Bài 51 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Phân giác cắt BC D cắt đường tròn E. góc BAC Vẽ DK AB DM AC K M. 1. Chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp KM AE 2. Chứng minh AD.AE = AB.AC 3. Chứng minh MK = AD. sin BAC 4. So sánh diện tích tứ giác AKEM diện tích ABC Bài 52 Cho điểm A đoạn BC cho AB = 2AC . Vẽ đường tròn (O;R) đường kính AB đường tròn (O’) đường kính AC. 1. Chứng minh (O) (O’) tiếp xúc 2. Lấy điểm H đoạn OB cho OH = OB. Vẽ tia Hx vuông góc AB cắt (O) D. Tia DA cắt (O’) M. Vẽ đường kính MN (O’). OD cắt BN K. Chứng minh OD // MN tính OK theo R 3. Chứng minh BN tiếp tuyến (O’) 4. DA cắt BN E. Tính diện tích BEA theo R 2. 3. 4. 5. 17 18 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài 53 Cho AOB cân O ( AOB 900 ). Trên cạnh AB lấy điểm M , vẽ MC // OB MD // OA. Vẽ đường tròn (C;CM) đường tròn (D;DM) cắt điểm thứ hai N. 1. Chứng minh A (C ; CM) B (D;DM) 2. Chứng minh ANB ~ CMD 3. Chứng minh N thuộc đường cố đònh M chạy AB 4. Chứng minh ONM vuông Bài 54 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Vẽ đường cao AH ABC , đường kính AD. Gọi E F hình chiếu C B lên AD. M trung điểm BC. 1. Chứng minh tứ giác ABHF BFOM nội tiếp 2. Chứng minh HE // BD AB. AC .BC 3. Chứng minh S ABC = 4R 4. Chứng minh M tâm đường tròn ngoại tiếp EFH Bài 55 Cho đường tròn (O;R) dây BC cố đònh , A điểm di chuyển . Vẽ đường cao BE CF ABC cắt H. cung lớn BC 1. Chứng minh AFE ACB ) . AN cắt 2. Vẽ bán kính ON BC M ( N cung nhỏ BC BC D. Chứng minh AB.NC = AN.BD 3. AH cắt (O) K . Chứng minh : BC. AK = AB.CK + AC.BK 4. Chứng minh tâm I đường tròn ngoại tiếp ADC thuộc đường cố đònh A di chuyển cung lớn BC Bài 56 Cho hai đường tròn (O;R) (O’: r) (R > r) cắt Avà B. Vẽ đường kính AC (O) đường kính AD (O’). M điểm thuộc cung nhỏ BC. MB cắt (O’) N. AN theo R r 1. Chứng minh C , B , D thẳng hàng. Tính tỉ số AM 19 2. CM DN cắt E. Ch. minh tứ giác AMEN nội tiếp 3. Chứng minh điểm E thuộc đường cố đònh M thay đổi 4. Chứng minh AMB ~ AED Bài 57 Cho ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB AC E D . 1. Chứng minh AD.AC = AE.AB 2. Gọi H giao điểm BD CE , K giao điểm AH BC. Chứng minh BHK AED 3. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với (O) với M , N tiếp điểm .Chứng minh KA phân giác NKM 4. Chứng minh ba điểm M, N , H thẳng hàng Bài 58 Cho (O;R) điểm P đường tròn . Từ P vẽ hai tia Px , Py cắt góc nhọn. đường tròn A B cho xPy 1. Vẽ hình bình hành APBM. Gọi K trực tâm ABM. Chứng minh K thuộc đường tròn (O) 2. Gọi H trực tâm APB , I trung điểm AB. Chứng minh H , I , K thẳng hàng 3. Khi hai tia Px Py quay quanh P cho Px Py cắt không đổi H chạy đường cố đònh đường tròn xPy nào. Bài 59 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Điểm M di . Từ M kẻ MH AB MK AC. động trên cung nhỏ BC 1. Chứng minh MBC ~ MHK 2. Gọi D giao điểm HK BC. Chứng minh MD BC 3. Tìm vò trí M để độ dài đoạn HK lớn . Bài 60 Cho hai điểm A B thuộc đường tròn (O) ( AB không qua O ) có hai điểm C D lưu động cung lớn AB cho AD // BC ( C 20 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Mà KA = KB K điểm cung AB K cố đònh . 4. Tìm vò trí đường thẳng d để diện tích tứ giác AKBH lớn Ta có dt AKBH = dt AKB + dt AHB . Mà dt AKB không đổi Dó dt AKBH lớn dt AHB lớn H O Khi đường thẳng d OK đường thẳng d // AB . 6. Tìm vò trí M để chu vi ACM lớn Ta có chu vi ACM = CM + MA + AC = 2( MA + HA ) MA.sin Mà AHM vuông H HA = MA.sin HMA AMB E Bài 39 AMB ) = 2MA.( + sin AMB ) Chu vi ACM = 2( MA + MA.sin Do AMB không đổi nên chu vi ACM lớn AM lớn AM đường kính đường tròn (O) M điểm đối xứng A qua O. F 1. Chứng minh AHIK nội tiếp ( học sinh tự chứng minh ) 2. Chứng minh AMC cân IMB (đđ) Ta có : CMH IAB IBA ( IA IB ) IMB ( AMIB nội tiếp ) AHM IBA AMH Suy : CMH Bài 40 1. Chứng minh AK.AM = R2 Chứng minh AKC ~ ABM AK.AM = AC.AB I C M O Suy MH phân giác vừa đường cao CMA CMA cân M. 3. Chứng minh C thuộc đường cố đònh A K B 900 IBA không đổi Ta có ACB 900 CMH dựng đoạn AB cố đònh C cung chứa góc = 900 – IBA 4. Chứng minh tứ giác AFEB nội tiếp FMB cân M ( t/ c đối xứng ) AMB AFB ( góc ) AEB có IB = IA = IE IBE cân I AIB AEB ( góc ) tứ giác AFEB nội tiếp . AMB AIB AFB AEB Mà 5. Tìm vò trí M để chu vi AMB lớn ABE vuông B ( đường trung tuyến nửa cạnh tưong ứng ) tứ giác AFEB nội tiếp đường tròn (I) đường kính AE dây AF AE AM + MF AE AM + MB AE Dấu = xảy F E M I . Vậy AM + MB lớn M I Chu vi AMB = AM + MB + AB lớn AM + MB lớn AB ) (vì AB không đổi ) tức M I điểm cung lớn 55 R .2 R R 2 2. Chứng minh NMK cân = H x D N E F Chứng minh CKMB nội tiếp I MBA NKM MBA ( chắn AM ) Mà KMN M K A C O NKM NMK KNM cân N 3. Khi K trung điểm CI .Tính diện tích ABD theo R 1 R2 R CI OI OC R2 2 4 R 3R . CA.CB 2 Chứng minh CK.CD = CA.CB CD = R CK R 1 S ABD = CD. AB R 3.2 R R 2 Ta có CK = 4. Chứng minh K di động đoạn CI tâm đường tròn (ADK) thuộc đường cố đònh 56 B Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Gọi E tâm đường tròn (ADK) ta có EN // AB ( CD ) FN // AK ( FN đường trung bình DAK EF // BK ( AD ) CB2 = BI.BA = EN FN 1 EN = AB R Suy ENF ~ BAK AB AK 2 Do E thuộc đường thẳng d song song với đường thẳng CD cố đònh cách đường thẳng khoảng R.Vậy E thuộc đường thẳng cố đònh. Bài 41 CMK ACD ( chắn CK ) Mà CMK CEK ACD CEK Mà CEK KCE 900 ( CKE vuông ) 900 AC CE ACD KCE C M H I K I B D (O) ) MCB ( chắn MB MAB MCB C, B , E thẳng hàng MCE F đường thẳng CB cố đònh 4. Tính khoảng cách nhỏ đoạn DF 57 O O (F) ) MKE ( chắn ME Mà MCE CO IO R 2. Chứng minh AC = AM.AD Chứng minh AMC ~ ACD ( g-g) AC2 = AM.AD E MAB ( đv ) Ta có KE // AB ( DC ) MKE Ta có : CI = E M B A AC tiếp xúc với (F) C 3. Chứng minh F thuộc đường thẳng cố đònh 4R 4R . BI .CD 8R 8R DH = CB 2R 6 F K Vẽ DH CB H DH không đổi . Ta có : DF nhỏ DF = DH . Ta chứng minh DH.CB = BI.CD Bài 42 1. Chứng minh ADC = ACM ( góc BMD ) AMB ADC MBC Ta có : A ( Mà AMB ABC AB AC ) AMB ABM MBC ADC ABM ACM 1. Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp ( Học sinh tự chứng minh ) 2. Chứng minh đường thẳng AC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp CMK Vẽ đường kính CE đường tròn (F) ngoại tiếp CMK. Ta có : AD AC ( đường kính AB dây CD ). 4R 8R 2R .2 R CB = 3 R2 2R 4R CD = C D 3. Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp MCD Gọi I tâm đường tròn (MCD) . Vẽ đường kính CK đường tròn (I) Chứng minh CK AC ( tương tự câu 41 ) 4. Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp. Suy E D thuộc cung tròn cố đònh. ABC CMD ( hs tự chứng minh ) Ta có EMD AMB ACB AME = AMC AME AMC AEB ACM ADB tứ giác ABDE nội tiếp 5. Chứng minh E thuộc cung tròn cố đònh . Xác đònh tâm cung tròn này. Chứng minh AE = AB = AC E cung tròn tâm A , bán kính AB 58 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 AI .MD R(a R a ) R R 3(a R a ) = . . 2a 8a S IMA = Bài 43 1. Chứng minh MAOH nội tiếp ( hs tự chứng minh ) 2. Chứng minh IH.IO =IA.IB Chứng minh AMBO nội tiếp Bài 44 A OMA OBA OMA ( AMHO nội tiếp ) Mà OHA OBA OHA AIH ~ OIB (g-g) IO.IH = IA.IB O 1. Chứng minh M , C , O , A thuộc đường tròn ( học sinh tự chứng minh ) 2. Chứng minh M , E , O , D thuộc đường tròn D I B d M H 3. Chứng minh I điểm cố đònhkhi M chạy đường thẳng d Gọi D giao điểm OM AB . Ta chứng minh DMHI nội tiếp R2 Suy OI.OH = OD.OM = OA2 = R2 OI = không đổi OH Mà O cố đònh I OH cố đònh I điểm cố đònh. 4. Cho OH = a, OM = 2R. Tính diện tích IAM theo a R. R Khi OM = 2R ta tính : MA = AB = R AD = 2 3R 3R Và MD = MA2 AD 3R OM OH R a DI OI Ta có : ODI ~ OHM MH OM R2 . 4R2 a OI .MH R 4R2 a2 a DI = OM 2R 2a 2 R R 4R a R(a R a ) AI = AD + DI = 2a 2a BEO Chứng minh BCO OMD BEO OMD Mà BCO MDOE nội tiếp 3. Chứng minh A trung điểm MD Ta có : DOA ( BOAD nội tiếp ) DBA ECB ( EB = EC ) DBA ACM ( đđ) ECB O E C ACM AOM ( ACOM nội tiếp ) A D M OA phân giác củ DOA MOA a DOM Mà OA đường cao DOM cân A A trung điểm DM. 4. Chứng minh EOD ~ COA ( Học sinh tự chứng minh ) 5. Cho OM = 2R OA = a. Tính DE theo a R. Ta có : MH = 59 B OB OE OB.OM 2R OE OA OM OA a 4R R OE OB R2 a2 a a Chứng minh OBE ~ OAM OBE vuông EB = OBD vuông DB = OD OB R R R Suy ED = BD – BE = R 60 R R(a a ) a2 a a d Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài 45 Bài 46 AHD 1. Chứng minh AE phân giác Ta có : OE BC ( dk – dc ) OE // AH AEO EAH ( AEO cân ) Mà AEO DAE EAD HAE AHD AE phân giác 2. Chứng minh AB.AC = AH.AD Chứng minh AHB ~ ACD ( g – g ) 1. Chứng minh MBE Ta có MB = ME (gt) MBE cân A Mà BME AB ) ACB 600 ( chắn MBE tam giác 2. Chứng minh CBM = ABE F O EBM EBC 60 EBC Ta có : MBC M B C H = 3. Chứng minh HAD ABC - ACB D E DAC ( AHB ~ ACD ) Ta có : ABC ADC ; BAH ABC 900 BAH 900 ( HAD DAC ) ACB 900 HAC (900 BAH ) 900 ( HAD DAC ) = HAD ABC ACB 4. Chứng minh AFM cân FMA ( slt ) HAC ( đ v ) MFE EFC CFE ( F trung trực BC ) Mà BFE AMF AMF cân F Suy : FAM 5. Cho AB = , AC = ; R = 3. Tính BC (lấy chữ số thập phân) Ta có AH = AB. AC 4.5 10 AD 2.3 125 5 10 AC AH 52 3 100 11 11 5 (2 11 5) = = 5, BC = BH + HC = 3 BH = 61 AB AH 16 EBC 600 EBC ABE ABC ABE Do : MBC O E B D F C M Từ chứng minh : ABE = CBM ( c-g-c ) 3. Tìm vò trí M để tổng MA + MB + MC lớn Từ ABE = CBM AE = MC ME = MB Suy : MA + MB + MC = MA + ME + EA = MA + MA = 2MA Vậy tổng MA + MB + MC lớn MA lớn AM đường kính M điểm cung nhỏ BC E chạy đường cố đònh ? 4. Khi M chạy cung nhỏ BC 120 E thuộc cung chứa góc 1200 dựng đoạn Tính BEA AC cố đònh 5. Chứng minh MF = MB + MC MF MF 1 MB MC MF MB MC MF FC FC Ta chứng minh : ( MFC ~ MBA ) MB AB BC MF BF BF ( MFC ~ BFA ) MC AB BC MF MF FB FC BC đpcm Suy : MB MC BC BC BC Ta có : HC = A = + 6. Chứng minh MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 Trên tia đối tia MC lấy điểm D cho MD = MB. MA = CD 62 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 600 Ta chứng minh BMD BDM (KB + BE )KF = KC.KD KF.EB = KB2 – KF.KB FB KF KF. EB = KB.(KB – KF) KF.EB = KA. BF EB KA MB MC MA2 Ta có (MB + MC )2 = MA2 – MB. MC = Bài 48 p dụng đònh lý hàm số cosin BDC ta có : BC = BD + DC – 2DB.DC.cos BDC 3R2 = BM2 + AM2 – 2BM.MA.cos600 3R2 = BM2 + AM2 – 2BM.MA. 3R2 = BM2 + AM2 – BM.AM 3R2 = BM2 + AM2 – BM(BM + MC) 3R2 = BM2 + AM2 – BM2 – BM.MC MB MC MA2 2 3R = AM + 6R2 = 2AM2 + MB2 + MC2 – MA2 MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 1. Chứng minh tứ giác BAHC nội tiếp ( học sinh tự chứng minh ) 2. Chứng minh HC2 = HM.HB Chm HMC ~ HCB ( g-g ) 3. Chứng minh K trung điểm NC DCM DMI A Ta có : MFI MIF cân I MI = FI C FB = O K 5BC = BC2 – 2HC2 BC2 – 5BC – 36 = ( HC = ) K F B I KF EB KA Ta có : F trực tâm CDE KE.KF = KC.KD = KB2 63 N Ta có BN.BC = BM. BH ( hs tự chứng minh ) 5.BC = (BH – MH ).BH 5BC = BH2 – BH.MH 5BC = BH2 – HC2 5BC = BC2 – HC2 – HC2 M D IMF EMF 900 Ta có IME MEI 900 ( FME vuông M ) MFI MFI ( cmt ) IME IEM MIE cân I Mà : IMF IE = IM . Vậy IF = IE . 4. Chứng minh ) MBC ( = MBA Ta có : MCH KHC ( HOC cân ) M O A Mà : MCH KHC MBC BCH 900 ( BHC vuông ) H Do : MBC BCH 900 HKC vuông K HK NC KHC K trung điểm NC ( tính chất đường kính – dây cung ) 4. Cho AB = cm , HC = cm . Tính độ dài cạnh BC. Chứng minh BN = AB = cm ( BAM = BNM ) Bài 47 1. Chứng minh tứ giác CKFM nội tiếp ( học sinh tự chứng minh ) 2. Chứng minh DF.DM = AD2 Chứng minh DF.DM = DK.DC DK.DC = AD2 Suy : DF.DM = AD2 3. Chứng minh IE = IF B E Giải ta : BC = cm Bài 49 1. Chứng minh NOBE nội tiếp ( Học sinh tự chứng minh ) 2. Chứng minh AN.AE = 2R2 Chứng minh AN.AE = AO.AB = R.2R = 2R2 3. Chứng minh ANC ~ MCA 64 C Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 4. Chứng minh đường thẳng FE đường thẳng DO cắt điểm thuộc đường tròn (O) + sđ BC + sđ = (sđ EB ) Ta có : EAC AMC = (sđ EB AC ) Mà : AC BC EAC AMC ) Ta lại có : ACD BAC ( AD BC AM.NC = AC2 = 2R2 SANMC = R2 S ENM = S EAC – SANMC = S EAC – R2 ANC ~ MCA ( g g ) Do : Ta có : NC.MA = AC2 = 2R2 ( cmt ) 3R R AM = 2 D 2R 2R 4R R MA R 2R DN = 2R – 3 NC = lớn. cắt điểm cung BC N O A O M B MAE AME cân M MA = ME Chứng minh : MEA x= ab ab ( AB < AC a < b ) . Vậy MA = ba ba Bài 51 A 1. Chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp KM AE ( học sinh tự chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp ) Ta có AD phân giác BAC Mà DK AB DM AC AKD = AMD DK = DM AK = AM F O 66 M K B C D E 65 C K 5. Cho BE = a EC = b. Tính AM theo a b D F Đặt MA = x ME = x MB = ME – EB = x – a MC = ME + EC = x + b Ta có : MA2 = MB.MC x2 = (x – a)(x + b) x2 = x2 + (b – a)x – ab Bài 50 1. Chứng minh tứ giác MAKO nội tiếp ( Học sinh tự chứng minh ) 2. Chứng minh MA2 = MB.MC ( Học sinh tự chứng minh ) 3. Chứng minh MA = ME E B M R2 3R R C MC = OC OM R 4 R R . MB.MC 2 R Ta có : MBE ~ MCA EB = AC R 2 I A Vậy đường thẳng FE đường thẳng DO E BFM ( chắn BF ) BCF MEF BCF ( góc EFC ) Mà : EFC EFM BFM Do : EFC EFB EFB Tia FE phân giác BFC lớn Tia FE qua điểm BC nhỏ Mặt khác : D điểm BC lớn tia DO qua điểm BC S ENM lớn S EAC lớn E điểm DB 4. Biết AM = 3BM. Tính DN EB theo R Từ AM = 3BM AM + BM = 2R AM = MB MFE Ta có : EMF cân M MEF Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 40 R BD 4R 2R 25 BE = BK 2R 6 4R Ta có DK = BH = ( hs tự chứng minh ) 1 R 4R R . S BDE = BE.DK . 2 15 1 2R 2R S BDA = AB.DH .2 R. 2 5 2R 4R2 2R2 S BAE = S BDA – S BDE = 15 15 AD trung trực KM AE KM 2. Chứng minh AD.AE = AB.AC Chứng minh ABD ~ AEC ( g-g ) 3. Chứng minh MK = AD .sin BAC Vẽ KF AC F. Chứng minh KFM ~ AKD (g-g) KF KM KF = AD. sin BAC MK = AD. AK AD AK 4. So sánh diện tích tứ giác AKEM diện tích ABC ( hs tự chứng minh ) Ta có : 2S ABC = AB.AC.sin BAC ( MK = AD.sin BAC ) 2SAKEM = AE.MK = AE.AD.sin BAC = 2S ABC Mà AE.AD = AB.AC (cmt) 2SAKEM = AB.AC.sin BAC Vậy SAKEM = S ABC Bài 52 Bài 53 1. Chứng minh (O) (O’) tiếp xúc ( Học sinh tự chứng minh ) 2. Chứng minh OD // MN tính OK theo R OAD MAO ' AMO ' Chứng minh ODA OD // MN OK BO O ' N BO ' BO.O ' N R.0,5 R R OK = O'B 2,5 R Ta có : OK // O’N M H O A C K E N D 900 BN O’N BN tiếp tuyến (O’) OKB 4. Tính diện tích BEA theo R 2R R 10 Tính BK = DH = BD = 5 Ta có : ADB vuông D DB2 = BK.BE 67 O' B 3. Chứng minh BN tiếp tuyến (O’) Chứng minh BOK = DOH ( c- g- c ) 1. Chứng minh A (C) B (D) Chứng minh ACM BDM cân CA = CM A (C) DB = DM B (D) 2. Chứng minh ANB ~ CMD Chứng minh DC phân giác NDM CDM NBM DCM Tương tự : NAM ANB ~ CMD ( g-g ) O N D C B A M 3. Chứng minh M di động AB N chạy đường cố đònh Ta có : CMD AOB ( hình bình hành ) CMD ANB ( ANB ~ CMD ) ANB AOB không đổi , mà A , B cố đònh nên 68 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 N cung chứa góc AOB dựng đoạn AB cố đònh 4. Chứng minh ONM vuông NBA MDC OCD ON // CD Chứng minh : NOC Mà CD MN ON MN ONM vuông N. BAO ( tứ giác ABHF nội tiếp ) Do : MHF BAO BAO MFH BAO Và AOB cân BOD MHF MHF cân M BAO MFH MFH MH = MF (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh . Bài 54 Bài 55 A A 1. Chứng minh ABHF BMFO nội tiếp ( Học sinh tự chứng minh ) 2. Chứng minh HE // BD Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp CAD CHE CBD ( chắn CD ) Mà CAD CBD CHE O F M B HE // DB ( góc đồng vò nhau) 3. Chứng minh S ABC = H AB.AC.BC C E D 4R AB. AC AD 1 AB. AC AB. AC .BC Ta có : S ABC = AH.BC = . .BC = 2 AD 4R 4. Chứng minh M tâm đường tròn ngoại tiếp EFH Ta chứng minh : ABH ~ ADC ( g-g ) AH = Ta cần chứng minh ME = MF = MH Ta có tứ giác OM BC ( M trung điểm BC ) 1. Chứng minh AFE = ACB E Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp 2. Chứng minh AB.NC = AN.BD Chứng minh ABD ~ ANC ( g-g ) O 3. Chứng minh BC.AK = AB.CK + AC.BK F H Vẽ đường kính AI (O). B Chứng minh BKIC hình thang cân D M S = S BI = CK ; BK = CI BKC BCI K Mà SABKC = S ABC + BKC N SABIC = S ABC + BCI SABKC = SABIC 2SABKC = 2SABI + 2SACI T AK.BC = AB.BI + AC.CI G A AK.BC = AB.KC + AC.BK đpcm 4. Chứng minh tâm Q đường tròn ngoại tiếp ADC thuộc đường cố đònh A di chuyển cung lớn BC C I Q O OCB OBC OMEC nội tiếp ( hs tự chứng minh ) OEM MFE MFE OEM Mà BOFM nội tiếp ( cmt ) OBC Gọi Q tâm đường tròn (ADC ) . F Vẽ đường kính CT (Q) cắt tia NO G . B Ta có : TD DC mà NO DC NG // DT EMF cân M ME = MF (1) MFH MHF ( góc MFH ) Ta lại có FMC BOD ( tứ giác BOFM nội tiếp ) Mà FMC MFH MHF BOD N DTC NGC ( chắn DC (Q) ) Mà DTC DAC NAC tứ giác NAGC nội tiếp G (O) NGC 69 70 H D K C M Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 (O) G cố Mà NG BC G điểm cung lớn BC đònh, Do Q đường thẳng CG cố đònh A chạy cung lớn Chứng minh AOKN nội tiếp AON AKN . Do KA phân giác MKN Mà AOM AON AKN AKM . BC 4. Chứng minh M , N , H thẳng hàng Chứng minh KHDC nội tiếp AD.AC = AH.AK Chứng minh AM2 = AD.AC AM2 = AH.AK Bài 56 1. Chứng minh C , B , D thẳng hàng. Tính tỉ số Chứng minh ABC ABD 900 C , D , B thẳng hàng Chứng minh ACM ~ AND AN AD r AM AC R AN AM AKM AMH AHM ~ AMK ( c-g-c ) 1 Mà AKM AOM MON AMH MON 2 1 Mặt khác : AMN MON AMH AMN M , H , N thẳng hàng theo R r A O O' D B 1. Chứng minh K thuộc đường tròn (O) AMB Chứng minh EKFM nội tiếp FKB E H N B K AED AHD = BHK 3. Chứng minh KA phân giác NKM Chứng minh AKOM nội tiếp AKM AOM 71 C O A E M K I O F H P D M 2. Chứng minh BHK = AED Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp APB FKB APBK nội tiếp K đường tròn (APB ) Hay K (O) E A Bài 57 1. Chứng minh AD.AC = AE.AB Chứng minh ABD ~ ACE x Mà : AMB APB ( PAMB hình bình hành ) BCM EAD Chứng minh MAB AMB ACD AED Từ AMB ~ AED Bài 58 N 2. Chứng minh AMEN nội tiếp C ( hs tự chứng minh ) 3. Chứng minh điểm E thuộc đường cố đònh M Chứng minh tứ giác ACED nội tiếp E đường tròn ngoại tiếp ACD cố đònh 4. Chứng minh AMB ~ AED B y 2. Chứng minh H , I , K , thẳng hàng Ta có BH AP ( H trực tâm APB ) AK BM ( K trực tâm AMB ) Mà : AP // BM BH // AK Ta chứng minh : AH // BK ( Ay ) Suy : AKBH hình bình hành . Mà I trung điểm AB I trung điểm HK K , H , I thẳng hàng . 3. Chứng minh H thuộc đường cố đònh Ta có BK PB PK đường kính (O) O trung điểm PK 72 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Mà I trung điểm KH OI đường trung bình KPH PH = 2OI 2. Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp DMC không đổi APB không đổi AB không đổi OI không đổi PH không đổi Do Vậy H chạy đường tròn tâm P cố đònh có bán kính PH không đổi . DOA DCM DOA Ta có : DOI 2 DOI DCM DOMC nội tiếp Gọi K tâm đường tròn (DCM) Bài 59 1. Chứng minh BMC ~ HMK Chứng minh AKMH nội tiếp K tâm đường tròn (DOC) Vẽ KH OD H H trung điểm OD R Ta có DO = R HO = I A O B K D C H H C (K) không đổi sđ CD = sđ CD không đổi sđ DO không đổi HKO HO KO = không đổi . sin HKO O M A B E Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp DCM không đổi 3. Tìm vò trí M để KH lớn M HK HM HK = BC.sin HBM Ta có : = sin HBM BC BM lớn HBM = Do BC cố đònh HK lớn sin HBM 900 ACM 900 AM đường kính (O) Bài 60 1. Chứng minh I , O , M thẳng hàng Tứ giác ABCD hình thang nội tiếp (O) ABCD thẳng hàng cân M giao điểm hai đường chéo MA = MD Mà IA = ID ( hai tiếp tuyến cắt ) Và OA = OD ( bán kính ) M , O , I thuộc đường trung trực AD M , I , O thẳng hàng 73 K Lại có CD = AB không đổi HAM KHM KAM HKM BCM KAM CBM Mà : HAM CBM HKM BCM KHM Do BCM ~ HKM (g-g ) 2. Chứng minh MD BC Học sinh tự chứng minh D Bài 61 1. Chứng minh IP phân giác EIM PMN Tứ giác MPIN nội tiếp EIP PIM ( PM PN ) Mà PMN PIM EIP IP phân giác EIM K P I H 2. Chứng minh E thuộc cung tròn O cố đònh Chứng minh PI = PM = PM F D M E thuộc cung tròn tâm P có N L bán kính PM G 3. Chứng minh PM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp MFG PGM Chứng minh PMF 74 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Vẽ đường kính ML đường tròn (MFG) Chứng minh PM ML PM tiếp tuyến đường tròn (MFG) 5x2 – 8Rx + 3R2 = x = R ( loại ) x = Bài 63 4. Tính tích PF.PG theo R = PMN Chứng minh PMF ~ PGM (g-g ) PF.PG = PM2 PNM PH = OP.sin = R.sin Vẽ OH PM POH PM = 2R.sin PF.PG = 4R2.sin2 Bài 62 1. Chứng minh QBOA nội tiếp OQ AB ( Học sinh tự chứng minh ) 2. Tìm quỹ tích E Q di chuyển tia Ax Gọi I trung điểm OA B I cố đònh IA = R Ta có IE // Ax ( đường trung bình ) O H y E I x A K Q Vậy E chạy tia Ay // Ax cố đònh cách tia Ax đoạn 3. Tìm quỹ tích H Chứng minh AH // OB BH // OA BOAH hình bình hành Mà OA = OB BOAH hình thoi AH = OA = R Vậy H di chuiyển đường tròn tâm A cố đònh có bán kính R 4. Cho AQ = 2R. Tính KH theo R OAQ có KH // OA KQ AQ R KQ = 2HK HK AO R R A 1. Chứng minh MK // BC DH = DK Chứng minh MK BC vuông góc với AK MK // BC E Chứng minh CB tia phân giác HCK O HCK cân C F H CB trung trực HK I DH = DK B D 2. Chứng minh HM qua trung điểm I BC Chứng minh BHCM hình bình hành K HM BC cắt trung điểm I BC HD HE HF 3. Chứng minh + + =1 AD BE CF 2S BHC = HD.BC ; 2S AHC = HE.AC ; 2S AHB = HF.AB ; 2S ABC = AD.BC = BE.AC = CF.AB Từ ta có : 2S BHC + 2S AHC + 2S AHB = 2S ABC 2SBHC 2SAHC 2SAHB HD HE HF 1 1 2SABC 2SABC 2SABC AD BE CF 4. Chứng minh AD + BE + CF HD HE HF Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức : 1 1 ( với x ; y ; z ) x y z Thật theo BĐT Cauchy ta có : x + y + z 3 xyz (x + y + z) Đặt : HK = x ( < x < R HK < AH = R) . QK = 2x AK = 2(R – x) AHK vuông K AH2 = HK2 + AK2 R2 = x2 + 4(R – x)2 75 3R 3R . Vậy HK = 5 Và : 76 1 1 33 x y z xyz C M Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 1 1 x y z HD HE HF AD BE CF + + p dụng ta có : AD BE CF HD HE HF HD HE HF AD BE CF Mà : 1 + + 9 AD BE CF HD HE HF Nhân hai BĐT theo vế ta có : (x + y + z) N Bài 64 d FBC FCB ( góc FBC ) MFB 600 Do MFB MEB 600 Ta có MEB ACB 600 ( BEAC nội tiếp ) MFB tứ giác BMEF nội tiếp 4. Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố đònh BMF FBK EKB góc chung Ta có : BEK EBK ~ BFK KB = KF.KE ( ) MBE ECB Tương tự ta có : FKC EFM EKC góc chung FKC ~ CKE CK = CF.CE ( ) Từ (1) (2) KC = KB K trung điểm BC . Vậy đường thẳng EF qua trung điểm K BC cố đònh. A Bài 65 E M 1. Chứng minh tứ giác EMNF nội tiếp BFA Chứng minh BMN 2. Chứng minh IMNA hình thang vuông. Tìm độ dài EF theo R để B IMNA hình chữ nhật O F K B C 900 KN NM MNK Tương tự : IM MN IMNA hình thang vuông 1. Chứng minh MBA ~ ACN ACN ( Ta có : MBA AB AC ) 600 AB // CN MAB ANC ( đv ) Ta có : ACN BAC Do : MBA ~ ACN ( g-g ) 2. Chứng minh tích MB.CN không đổi Từ MBA ~ ACN MB AC MB BC AB CN BC CN MB.CN = BC2 không đổi 3. Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp BCN 1200 Ta chứng minh : MBC KNF 900 Chứng minh BNM MB BC ( cmt ) BC CN N O M Để IMNA hình chữ nhật E I A IK = MN K EF = 2MN EF = 4R D 3. Chứng minh tích AI.AK không đổi MN thay đổi Chứng minh KO // BF IO // BE IO OK IOK vuông Mà OA đường cao AI.AK = OA2 = R2 4. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp IBK qua điểm cố đònh khác B Gọi D giao điểm đường tròn (BIK) đường thẳng BA ( D B ) Ta chứng minh AB.AD = AI.AK = R2 AD = R . FMB MBC ~ BCN FBC FMB 180 MBC 600 FBC FCB 600 Mà FCB Vậy D điểm cố đònh ( D đường thẳng AB cố đònh AD = 77 78 R ) F Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 HND FND HND ( góc nội tiếp góc tâm đường tròn (N) ) Mà DAH DAH FND Ta lại có : DAH AEH ( chắn cung AH (O) ) Và : AEH HDM ( tứ giác EMHD nội tiếp ) FND HDM FDN 900 HDM FDN 900 MDN 900 Mà FND Bài 66 1. Chứng minh DE tiếp tuyến (O) ( hs tự chứng minh ) AED ( hs tự chứng minh ) 2. Chứng minh EC phân giác 3. Chứng minh MH AH Ta có M trung điểm AE ; I trung điểm AK IM // BE BEA IMA AHI ( chắn IMA AB ) IHA Mà BEA Suy tứ giác IMHA nội tiếp . Ta lại có : IM AK ( IM // BE AK BE ) AH MH N 4. Chứng minh tứ giác EMHD nội tiếp Suy : BD ND D BD tiếp tuyến đường tròn ( AHD ) 6. Khi M trung điểm OC. Tính diện tích MHC theo R Khi M trung điểm OC. Chứng minh ABE cạnh R ( tứ giác IMHA nội tiếp ) Ta có : AMH AIH BIK Chứng minh AK qua O KE = BK = BIK 90 ( BIK vuông K ) Do : HBE HBE Và : HMC AMH 900 HMC A H I C B O M 3R 3R IK = 2 R 3R R 21 BI = IK BK 16 4 Chứng minh BIM ~ BMH (g – g ) IM BI IM .BM 3R MH MH BM BI Chứng minh AHM ~ MGH ( HG đường cao MHD ) MH 9R MH2 = GH.AM HG = = AM 14 Ta lại có : AK = BM = ) HBE ( chắn HE mà HEC HEC suy : HMC tứ giác EMHC nội tiếp F F D C 9R2 Vậy diện tích MHD = GH .MD 56 K E 5. Chứng minh đường thẳng BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp AHD Gọi N tâm đường tròn (AHD) NHD cân N Bài 67 Vẽ đường cao NF NHD NF phân giác HND 79 R R IM = 80 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 1. Chứng minh tứ giác KMEC nội tiếp KCE BNE Chứng minh điểm O , B , A , E , K thuộc đường tròn đường 1. Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp. Xác đònh tâm I. (học sinh tự chứng minh ) 2. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC K. Chứng minh KF.KE = KB.KC ( Học sinh tự chứng minh ) 3. AK cắt đường tròn (O) M. Chứng minh MFEA nội tiếp Chứng minh KM.KA = KB. KC KM. KA = KF. KE CBA kính OA CKE CBA Mà ME // AB ( OB ) CME CME tứ giác CKME nội tiếp CKE = BFE DEF ( góc tam giác FEN ) Ta có BNE MCK ( BCE BFE DEF MCK ) = BCE = KCE 2. Chứng minh tứ giác EHOF nội tiếp AE AO AH AF góc chung AEH ~ AOF EHA Với EAH AFO Chứng minh AE.AF = AH.AO = AB2 Suy tứ giác EHOF nội tiếp ( góc góc đối diện góc ) 3. Chứng minh tia FM qua trung điểm AB ( cmt ) KCE BNE KCE ( tứ giác KMEC nội tiếp ) DMK BNE Mà DMK MEF Chứng minh KFA ~ KME ( c-g-c) MAF Suy tứ giác AMFE nội tiếp 4. Chứng minh M , H , I thẳng hàng. Chứng minh điểm A , M , F , H , E thuộc đường tròn đường kính AH HM AM ( ) Vẽ đường kính AN (O) NM AM ( ) Từ (1) (2) N , H , M thẳng hàng (3) Chứng minh BHCN hình bình hành H , I , N thẳng hàng (4) Từ (3) (4) M , H , I thẳng hàng Ta có A Suy : KM // FB FEN có K trung điểm EF KM // FN M trung điểm EN D F B N E M M K O E O H F H A D K B C I N C Bài 69 Bài 68 81 82 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 1. 2. 3. 4. Chứng minh CH = DE ( học sinh tự chứng minh ) Chứng minh CA.CD = CB.CE ( học sinh tự chứng minh ) Chứng minh ABED nội tiếp ( học sinh tự chứng minh ) CF cắt AB Q. Hỏi K điểm đặc biệt OCQ. Ta có (O) (K) cắt hai điểm C F OK CF trung điểm I CF ( tính chất hai đường tròn cắt ) OI AH hai đường cao OCQ K trực tâm OCQ 5. Chứng tỏ Q giao điểm DE đường tròn (OKF) Ta cần chứng minh Q , D , E thẳng hàng tứ giác OKFQ nội tiếp Vẽ tiếp tuyến xy (O) C , ta chứng minh xy // DE DE OC mà OK OC nên Q , D , E thẳng hàng ( ý K DE ) Hay Q thuộc đường thẳng DE (1) IKF IKC OKH Ta có KI phân giác CKF FQH Chứng minh HKIQ nội tiếp OKH FQH tứ giác OKFQ nội tiếp Từ OKH Vẽ tiếp tuyến chung xy hai đường tròn . Ta có : BDx B BAD ' Dy DA 'B' AB // A’B’ A' D B ' D AD BD A ' D AD B ' D BD AD BD AA ' BB ' AD BD AA ' CC ' AA ' BB ' CC ' Tương tự ta chứng minh : AD CD AD BD CD Trên BC lấy điểm M cho BMD ACD Ta chứng minh : BMD ~ ACD (g-g) BM.AD = AC.BC (1) A DMC 1800 ( kề bù ) Ta lại có : BMD C D ACD ABD 1800 ( ABDC nội tiếp ) ABD ( BMD ACD ) DMC y I F DMC ~ DBA ( g-g) MC.AD = AB.DC (2) K E O AA ' BB ' CC ' AD BD CD b. Chứng minh AD.BC = AC.BD + AB.CD Hay Q thuộc đường tròn ngoại tiếp OKF (2) Từ (1) (2) Q giao điểm đường thẳng DE đường tròn x ngoại tiếp OKF A a. Chứng minh Q H B O M C B Cộng (1) (2) theo vế ta có : AD.BC = AC.BD + AB.CD D c. Chứng minh : AA1.BC = BB1.AC = CC1.AB Ta chứng minh : AA12 = AD. AA’ ; BB12 = BD.BB’ ; CC12 = CD.CC’ Từ : Bài 70 83 A 84 WWW.MATHVN.COM O AA ' BB ' CC ' AD BD CD AA '. AD BB '.BD CC '.CD AD BD CD Bài tập luyện thi vào lớp 10 AA BB CC12 AA1 BB1 CC1 12 AD BD CD AD BD CD AA1.BC BB1. AC CC1. AB BB1.AC CC1. AB AD.BC BD. AC CD. AB BD. AC CD. AB 2 Mà : AD.BC = AC.BD + AB.CD AA1.BC = BB1.AC = CC1.AB 85 [...]... MFG 4 Tính tích PF.PG theo R và PMN Bài 62 Cho đường tròn (O;R) và một điểm A cố đònh thuộc (O) Vẽ tiếp tuyến Ax, trên tia Ax lấy điểm Q Vẽ tiếp tuyến QB với đường tròn (O) ( B là tiếp điểm ) 1 Chứng minh QBOA nội tiếp và OQ AB 2 Gọi E là trung điểm OQ Tìm quỹ tích của E khi Q di chuyển trên tia Ax 3 Vẽ BK Ax tại K cắt OQ tại H Tìm quỹ tích của H 4 Cho AQ = 2R Tính HK theo R Bài 63 Cho ABC... MCA Ta có AD // MB DB DCB AB ADB ADB Mà FCA ( ACBD nội tiếp ) và FCM DCB ( đ đ ) Suy ra : FCM FCA tia CF là phân giác của MCA 6 Tính diện tích BAD theo R Tính diện tích MAB theo R ( tính MA và tính AH ) Suy ra : S ABD = k2 S E H K C B OG F I N D Bài 6 1 Chứng minh MAOB nội tiếp Học sinh tự chứng minh 2 Chứng minh EB2 = EC.EA EB EA Chứng minh EBC ~ EAB... 1800 44 Bài tập luyện thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 tứ giác AC’O’B’ nội tiếp đường tròn có tâm là I 2 Tính B’C’ theo a OE = 2 OK Trong (K) có C ' KB ' 90 ( sđ B ' C ' 90 ) B’KC’ vuông cân 0 0 C’B’ = KC’ 2 a 2 3 Tính bán kính đường tròn (I) theo a Ta có B ' IC ' 900 ( B ' AC ' 450 ) B’IC’ vuông cân Mà B’C’ = a 2 IB’ = a 1 OC.EF R.R 3( 3 1) R 2 3(... và (O’) tiếp xúc nhau ( Học sinh tự chứng minh ) 2 Chứng minh OD // MN và tính OK theo R Chứng minh ODA OAD MAO ' AMO ' OD // MN OK BO O ' N BO ' BO.O ' N R.0,5 R R OK = O'B 2,5 R 5 Ta có : OK // O’N M H O A C K E N D OKB 900 BN O’N BN là tiếp tuyến của (O’) 4 Tính diện tích BEA theo R 2R 6 2 R 10 Tính BK = DH = và BD = 5 5 Ta có : ADB vuông tại D DB2 = BK.BE... thay đổi của (O) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BM và BN lần lượt tại E và F Gọi I là trung điểm EA và K là trung điểm AF 1 Chứng minh tứ giác EMNF nội tiếp 2 Chứng minh IMNK là hình thang vuông Tính EF theo R để IMNK là hình chữ nhật 3 Chứng minh tích AI.AK không đổi khi MN thay đổi 4 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp IBK luôn đi qua điểm cố đònh ( khác điểm B ) Bài 66 Cho đường tròn (O;R) đường kính... minh IF.IE = IO.IM = IA.IB = 4 1 Chứng minh MA là tiếp tuyến của (O) và MA2 = MB.MC Chứng minh MAO vuông tại A M Chứng minh MAB ~ MCA 2 Chứng minh MHEN nội tiếp Học sinh tự chứng minh 3 Tính ON theo a và R Chứng minh OE.ON = OH.OM = OA2 = R2 O B 5 Chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố đònh Chứng minh OH.OF = OI.OM = OA2 = R2 OF = R2 không đổi OH Từ đó F là điểm cố đònh ( OF không đổi và... thi vào lớp 10 Bài tập luyện thi vào lớp 10 IO BM OAI MCB và COI CAM CBM Chứng minh OCI IO CO 2 Suy ra CIO ~ CMB ( g-g ) MB CB 2 ( do COB vuông cân ) AM và tính MA và MB theo R 4 Tính tỉ số MB GO 1 OG 1 Chứng minh G là trọng tâm của ABC OC 3 OA 3 AM MB OG 1 Chứng minh AOG ~ AMB 3 BM MA OA 3 3 Chứng minh CIO ~ CMB Tính tỉ số SACIO = S R 10 3R... HDO EDO Vẽ OM DE tại M , vẽ ON DH tại N G Suy ra : OM = ON MOD NOD Chứng minh HON = EOM HON EOM HOD EOD HOD = EOD DH = DE Vậy : MB = Tính diện tích tứ giác ACIO theo R M là điểm chính giữa BC AI là phân giác của CAD A G I O H D CAD cân tại A AD = AC = R 2 OD = AD – AO = R 2 R 1 1 R2 2 Ta có : S ACD = CO AD R.R 2 2 2 2 1 R Kẻ đường cao IH... OI không đổi suy ra I cố đònh 2 a Chứng minh KECI nội tiếp A B E O’ O F I C D K O A D B I E DEA DBC ( BDEC nội tiếp ) AIC DBC ( BACI nội tiếp ) B AIC DEA KECI nội tiếp b Tính AK theo R AI = AO + OI = 2R + C K Bài 17 R 5R 2 2 Chứng minh : AK.AI = AE.AD = OA2 – R2 ( vẽ tiếp tuyến từ A của (O) ) OA2 R 2 3R 2 6 R = AK = 5R AI 5 2 1 Chứng minh IC2 = IK.IB Chứng minh IKC ~... dây- cung ) Nên : AB O’B AB là tiếp tuyến của (O’) 1 Chứng minh tứ giác FKHC nội tiếp Suy ra K là trực tâm của MBC Tứ giác AMKB nội tiếp HKB MAB 4 Khi AB = R 3 Tính diện tích tứ giác OEO’B theo R Mà MAB MCB ( ABCM là hình bình hành ) AB = R 3 sđ 1200 EOB 600 và EB = R AB Suy ra : HKB MCB FKHC là tứ giác nội tiếp EO ' B 600 EO’B đều O’B = O’E = R 1 3 . B’C’ theo a 3. Tính bán kính đường tròn (I) theo a Bài 26 Cho đường tròn (O;R) và điểm M sao cho OM = 2R. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với (O) 1. Chứng minh AMB đều và tính MA theo. Tính tỉ số IO MB 4. Tính tỉ số AM BM . Từ đó tính AM , BM theo R 5. Khi M là điểm chính giữa cung BC.Tính diện tích tứ giác ACIO theo R Bài 12 Cho ABC (AC > AB và 0 90BAC ). Gọi. (O’). OD cắt BN tại K. Chứng minh OD // MN và tính OK theo R 3. Chứng minh BN là tiếp tuyến của (O’) 4. DA cắt BN tại E. Tính diện tích BEA theo R Bài tập luyện thi vào lớp 10 19 Bài 53