I. CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH 1. Nhìn chữ số tận Vì số phương bình phương số tự nhiên nên thấy số phương phải có chữ số tận chữ số ; ; ; ; ; 9. Từ em giải toán kiểu sau : Bài toán : Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 số phương. Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 ; ; ; 1. Do số n có chữ số tận nên n số phương. Chú ý : Nhiều số cho có chữ số tận số ; ; ; ; ; số phương. Khi bạn phải lưu ý thêm chút : Nếu số phương chia hết cho số nguyên tố p phải chia hết cho p2. Bài toán : Chứng minh số 1234567890 số phương. Lời giải : Thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0) không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90). Do số 1234567890 số phương. Chú ý : Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0), không chia hết cho (vì hai chữ số tận 90) nên 1234567890 không số phương. Bài toán : Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số số phương. Lời giải : Ta thấy tổng chữ số số 2004 nên 2004 chia hết cho mà không chia hết nên số có tổng chữ số 2004 chia hết cho mà không chia hết cho 9, số số phương. 2. Dùng tính chất số dư Chẳng hạn em gặp toán sau : Bài toán : Chứng minh số có tổng chữ số 2006 số phương. Chắc chắn em dễ bị “choáng”. Vậy toán ta phải nghĩ tới điều ? Vì cho giả thiết tổng chữ số nên chắn em phải nghĩ tới phép chia cho cho 9. Nhưng lại không gặp điều “kì diệu” toán 3. Thế ta nói điều số ? Chắc chắn số chia cho phải dư 2. Từ ta có lời giải. Lời giải : Vì số phương chia cho có số dư mà (coi tập để em tự chứng minh !). Do tổng chữ số số 2006 nên số chia cho dư 2. Chứng tỏ số cho số phương. Tương tự em tự giải toán : Bài toán : Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 số phương. Bài toán : Chứng minh số : n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không số phương. Bây em theo dõi toán sau để nghĩ tới “tình huống” mới. Bài toán : Chứng minh số : n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không số phương. Nhận xét : Nếu xét n chia cho 3, em thấy số dư phép chia 1, không “bắt chước” cách giải toán ; ; ; 6. Nếu xét chữ số tận em thấy chữ số tận n nên không làm “tương tự” toán ; 2. Số dư phép chia n cho dễ thấy nhất, 3. Một số phương chia cho cho số dư ? Các em tự chứng minh kết : số dư 1. Như em giải xong toán 7. 3. “Kẹp” số hai số phương “liên tiếp” Các em thấy : Nếu n số tự nhiên số tự nhiên k thỏa mãn n < k < (n + 1)2 k không số phương. Từ em xét toán sau : Bài toán : Chứng minh số 4014025 không số phương. Nhận xét : Số có hai chữ số tận 25, chia cho dư 1, chia cho dư 1. Thế tất cách làm trước không vận dụng được. Các em thấy lời giải theo hướng khác. Lời giải : Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042. Chứng tỏ 4014025 không số phương. Bài toán : Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không số phương với số tự nhiên n khác 0. Nhận xét : Đối với em làm quen với dạng biểu thức nhận A + số phương (đây toán quen thuộc với lớp 8). Các em lớp 6, lớp chịu khó đọc lời giải. Lời giải : Ta có : A + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2. Mặt khác : (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A. Điều hiển nhiên n ≥ 1. Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 < A < A + = (n2 + 3n +1)2. => A không số phương. Các em rèn luyện cách thử giải toán sau : Bài toán 10 : Hãy tìm số tự nhiên n cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n số phương. Gợi ý : Nghĩ đến (n2 - n + 1)2. Bài toán 11 : Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không số phương. Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho phép chia cho 4. Bài toán 12 : Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, mảnh bìa ghi số số từ đến 1001 cho hai mảnh ghi số giống nhau. Chứng minh : Không thể ghép tất mảnh bìa liền để số phương. Bài toán 13 : Chứng minh : Tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp số phương. Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho 4. Bài toán 14 : Chứng minh số 333333 + 555555 + 777777 không số phương. Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho … chục (?) Bài toán 15 : Lúc đầu có hai mảnh bìa, cậu bé tinh nghịch cầm mảnh bìa lên lại xé làm bốn mảnh. Cậu ta mong làm đến lúc số mảnh bìa số phương. Cậu ta có thực mong muốn không ? Để kết thúc viết này, muốn chúc em học thật giỏi môn toán từ đầu bậc THCS cho nói riêng với quý thầy cô : nguyên tắc chung để chứng minh số tự nhiên không số phương, dựa vào điều kiện cần để số số phương (mà quý thầy cô biết : điều kiện cần đời dùng để … phủ định !). Từ quý thầy cô sáng tạo thêm nhiều toán thú vị khác. II. CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Các bạn giới thiệu phương pháp chứng minh số số phương TTT2 số 9. Bài viết này, muốn giới thiệu với bạn toán chứng minh số số phương. Phương pháp : Dựa vào định nghĩa. Ta biết rằng, số phương bình phương số tự nhiên. Dựa vào định nghĩa này, ta định hướng giải toán. Bài toán : Chứng minh : Với số tự nhiên n an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương. Lời giải : Ta có : an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Với n số tự nhiên n2 + 3n + số tự nhiên, theo định nghĩa, an số phương. Bài toán : Chứng minh số : Lời giải : Ta có : số phương. Vậy : số phương. Phương pháp : Dựa vào tính chất đặc biệt. Ta chứng minh tính chất đặc biệt : “Nếu a, b hai số tự nhiên nguyên tố a.b số phương a b số phương”. Bài toán : Chứng minh : Nếu m, n số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n m - n 4m + 4n + số phương. Lời giải : Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2 (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*) Gọi d ước chung lớn m - n 4m + 4n + (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + chí hết cho d. Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d. Từ 8m + chia hết cho d m chia hết cho d ta có chia hết cho d => d = 1. Vậy m - n 4m + 4n + số tự nhiên nguyên tố nhau, thỏa mãn (*) nên chúng số phương. Cuối xin gửi tới bạn số toán thú vị số phương : 1) Chứng minh số sau số phương : 2) Cho số nguyên dương a, b, c đôi nguyên tố nhau, thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/c. Hãy cho biết a + b có số phương hay không ? 3) Chứng minh rằng, với số tự nhiên n 3n + không số phương. 4) Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 2004 số phương. 5) Chứng minh : Nếu : n hai số tự nhiên a số phương. . số tự nhiên, theo định nghĩa, a n là số chính phương. Bài toán 2 : Chứng minh số : là số chính phương. Lời giải : Ta có : Vậy : là số chính phương. Phương pháp 2 : Dựa vào tính chất đặc biệt thiệu với các bạn bài toán chứng minh một số là số chính phương. Phương pháp 1 : Dựa vào định nghĩa. Ta biết rằng, số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. Dựa vào định nghĩa này,. I. CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH 1. Nhìn chữ số tận cùng Vì số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên có thể thấy ngay số chính phương phải có chữ số tận cùng là một