tuyển tập đề thi thử có lời giải

________________________________________________________________________________ Câu I. 1) Khảo sát sỷồ biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x2 - x + . x - 2) Tìm trục Oy điểm từ kẻ đỷợc tiếp tuyến đến đồ thị (C). 3) Xác định a để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol y = x2 + a. Câu II. Cho hệ phỷơng trình x + y + xy = m 2 x + y = m 1) Giải hệ với m = 5. 2) Với giá trị m hệ có nghiệm? Câu III. 1) Cho bất phỷơng trình x2 + 2x(cosy + siny) + 0. Tìm x để bất phỷơng trình đ ợc nghiệm với y. 2) Giải phỷơng trình lỷợng giác sin x(tgx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + Câu IVa. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc, cho elip E) : x2 y2 = 1, + ________________________________________________________________________________ hai đỷờng thẳng (D) : ax - by = 0, (D) : bx + ay = 0, với a2 + b2 > 0. 1) Xác định giao điểm M, N (D) với (E), giao điểm P, Q (D) với (E). 2) Tính theo a, b diện tích tỷỏ giác MPNQ. 3) Tìm điều kiện a, b, để diện tích lớn nhất. 4) Tìm điều kiện a, b, để diện tích nhỏ nhất. Câu IVb. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC với ba góc nhọn. Trên đỷờng thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) A, lấy điểm M. Dỷồng BNCM , BHCM . Đỷờng thẳng KH cắt (d) N. 1) Chỷỏng minh : BNCM 2) Chỷỏng minh : BMCN 3) Hãy cách dỷồng điểm M (d) cho đoạn MN ngắn nhất. ___________________________________________________________ Câu 1) Bạn đọc tự giải nhé! 2) Lấy A(0, b) điểm Oy. Đờng thẳng qua A, với hệ số góc k có phơng trình : y = kx + b. Ta có y = x2 x + 1 =x+ ; y' = x x (x 1)2 Hoành độ tiếp điểm đờng thẳng y = kx + b với đồ thị (C) nghiệm hệ x + x = kx + b 1 =k (x 1)2 x+ 1 = x+ b x (x 1)2 bx2 2(1 + b)x + (1 + b) = (1) y b = : (1) trở thành 2x + = x = y b : (1) có nghiệm ' = (1 + b)2 b(1 + b) b (b 0) Thành thử điểm Oy từ đợc tiếp tuyến đến đồ thị (C) điểm có tung độ b 1. 3) Hoành độ tiếp điểm parabol y = x2 + a với đồ thị (C) nghiệm hệ : x + x = x + a o 1 = 2x (x 1)2 Từ phơng trình thứ hai, suy : x(2x2 5x + 4) = x = 0. Thay vào phơng trình đầu đợc a = - 1. Câu II. Đặt S = x + y, P = xy, ta đến hệ : S + P = m S 2P = m 1) Với m = ta đợc : S + P = S 2P = P=5S S2 + 2S 15 = S = 5, S = 3. Với S = 5, ta có P = 10, loại điều kiện S2 4P không đợc nghiệm đúng. x = 2, y = 1, Với S = 3, ta có P = đợc x = y = 2. 2) Trong trờng hợp tổng quát, P = m - S S2 + 2S 3m = . ___________________________________________________________ Để phơng trình có nghiệm, cần phải có : ' = + 3m m . Khi gọi S1 S2 nghiệm : S1 = + 3m , S2 = + + 3m . a) Với S = S1 P = m S1 , điều kiện S2 4P trở thành (1 + + 3m)2 4(m + + + 3m) (m + 2) + 3m , không đợc nghiệm m m + > 0. b) Với S = S2 P = m S2 , điều kiện S2 4P trở thành : (1 + + 3m)2 4(m + + 3m) + 3m m + . Vì m + > 0, bình phơng hai vế bất phơng trình đến m2 8m m . Cùng với m suy đáp số : m 8. Câu III. 1) Hiển nhiên với x = bất phơng trình đợc nghiệm với y. Xét x > cosy + sin y + x2 . 2x Hàm f (y) = cosy + siny có giá trị lớn , giá trị nhỏ , phải có : 1+ x x2 2x + 2x < x 1, x +1. Xét x < cosy + sin y 1+ x 2x + x2 x2 + 2x + x , 2x +1 x < . Tóm lại giá trị phải tìm : x , + x 1, | x | +1 , | x | hay : 2) Điều kiện : x + k ( k Z). Chia hai vế cho cos2 x ta đợc phơng trình tơng đơng : tg2 x(tgx + 1) = 3tgx(1 tgx) + 3(1 + tg2 x) tg2 x(tgx + 1) 3(tgx + 1) = (tgx + 1)(tg2 x 3) = tgx = tgx = +1 x x = + k x = + k ( k Z) ________________________________________________________________________________ Câu IVa. Cần để ý đỷờng thẳng (D), (D) vuông góc với chúng có phỷơng trình tham số x = at' (D) : y = bt' x = bt (D) : y = at 1) Thay biểu thức (D) vào phỷơng trình (E), ta đỷợc giá trị tham số t ứng với giao điểm M, N. Từ suy chẳng hạn (do có trao đổi vai trò M, N): M 6b 9a + 4b , , N 9a + 4b ,- , Q 4a + 9b 6a 6b 9a + 4b ,- . 2 9a + 4b , . 2 4a + 9b 6a Tỷơng tự: P 6a 4a + 9b 6b 6a 4a + 9b 6b 2) Tứ giác MPNQ hình thoi, với diện tích 72(a + b ) S = 2OM.OP = (9a + 4b )(4a + 9b ) . (1) 3) Để ý phỷơng trình (D) (D) có dạng (hay đẳng cấp) a, b, tức thay cho a b, ta viết ka kb với k 0. Do vậy, coi a + b = 1. Khi (1) trở thành S= 72 (4 + 5a )(4 + 5b ) = 72 36 + 25a b 72 = 12, dấu = xảy ab = 0, tức a = b = 0. (Khi cặp đỷờng thẳng (D) (D) trùng với cặp hệ trục tọa độ). 4) Vẫn với giả thiết a + b = 1, theo ta có S= 72 36 + 25a b ________________________________________________________________________________ Vì 2|ab| Ê a + b = suy a b Ê , dấu = xảy |a| = |b|, S 72 36 + 25 = 144 , 13 144 , xảy |a| = |b|, tức cặp đỷờng thẳng (D), (D) cặp phân giác y x = hệ 13 trục tọa độ Oxy. suy S = Câu IVb. (Hình bên) 1) BK AC, BK AM ịBK(ACM)ịBKCM. Cùng với BH CM, suy (BKH) CM ị BN CM. 2) Do (BKH) CM ị KH CM. Vậy K trực tâm tam giác CMN, ta đỷợc MK CN. Cùng với BK CN ị (BMK) CN ị BM CN. 3) Vì K trực tâm tam giác CMN, nên AM.AN = AK.AC Vậy M di chuyển d, tích AM.AN không đổi ị MN = = AM + AN nhỏ AM = AN. Khi AM = AK.AC, AM đỷờng cao tam giác vuông CMK, cạnh huyền CK, K điểm đối xứng K qua A. _______________________________________________________________ Câu I. 1) Giả sử phỷơng trình x2 + ax + b = có nghiệm x1 x2, phỷơng trình x2 + cx + d = có nghiệm x3 x4. Chỷỏng tỏ 2(x1 + x3)(x1 + x4)(x2 + x3)(x2 + x4) = = 2(b - d)2 - (a2 - c2)(b - d) + (a + c)2(b + d). 2) a, b, c số tùy ý thuộc đoạn [0 ; 1]. Chỷỏng minh : a b c + + + (1 - a)(1 - b)(1 - c) 1. b + c +1 a + c +1 a + b +1 Câu II. 1) Giải phỷơng trình sin3x + cos3x = - sin4x. 2) k, l, m độ dài trung tuyến tam giác ABC, R bán kính đỷờng tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chứng minh k+l+m 9R . Câu III. Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm A(3, 0) parabol (P) có phỷơng trình y = x2. 1) M điểm thuộc parabol (P), có hoành độ xM = a. Tính độ dài đoạn AM, xác định a để AM ngắn nhất. 2) Chỷỏng tỏ đoạn AM ngắn nhất, AM vuông góc với tiếp tuyến M parabol (P). Câu IVa. Cho hai số nguyên dỷơng p q khác nhau. Tính tích phân I = cospx cosqx dx. _______________________________________________________________ Câu Va. Cho hai đỷờng tròn (C1) x2 + y2 - 6x + = 0, (C2) x2 + y2 - 12x - 6y + 44 = 0. Xác định phỷơng trình đờng thẳng tiếp xúc với đỷờng tròn trên. Câu IVb. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi với đỷờng chéo AC = 4a, BD = 2a, chúng cắt O. Đỷờng cao hình chóp SO = h. Mặt phẳng qua A, vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lỷỳồt B, C, D. 1) Xác định h để BCD tam giác đều. 2) Tính bán kính r hình cầu nội tiếp hình chóp theo a h. Câu Vb. Hai góc nhọn A, B tam giác ABC thỏa mãn điều kiện tg2A + tg2B = 2tg2 A+B . Chỷỏng tỏ ABC tam giác cân. ________________________________________________________________________________ Câu I. 1) Đặt A = (x + x )(x + x )(x + x )(x + x ) Ta có (x1 + x3)(x1 + x4) = x12 + x1 (x + x ) + x x = -(ax1 + b) - cx1 + d = (d - b) - (a +c)x1, (x + x )(x + x ) = (d - b) - (a + c)x , A = [(d - b) - (a + c)x ][(d - b) - (a + c)x ] = (d - b) + (a + c)(b - d)(x + x ) + (a + c) x x = = (b - d)2 - (a + c)(b - d)a + (a + c)2b. Vai trò hai phỷơng trình nhỷ biểu thức A, nên ta có: A = (b - d) - (a + c)(b - d)a + (a + c) b. Cộng hai biểu thức A suy kết quả. 2) Không giảm tổng quát xem a Ê b Ê c theo bđt Côsi ta có a + b + + - a + - b = (a + b + 1)(1 - a)(1 - b) Ê Suy (1 - a)(1 - b) Ê 1 - c ị (1 - a)(1 - b)(1 - c) Ê a + b + a + b + a b c + + + (1 - a)(1 - b)(1 - c) b + c +1 a + c +1 a + b +1 a b c - c Ê + + + = 1. a + b +1 a + b +1 a + b +1 a + b +1 Từ Câu II. 1) Ta có sin x + cos x Ê sin x + cos x = 1, - sin x 1. Vậy dấu = xảy ta có đồng thời sin x + cos x = sinx = ị x = + 2k (k ẻ Z). sin x = 2) Giả sử k, l, m độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C ________________________________________________________________________________ 2k2 + a2 = b2 + c2 , b2 2l + = a + c2 , 2 ị k2 + l2 + m2 = (a2 + b2 + c2). c2 2m + = a2 + b2 2 Mặt khác a + b + c = 4R (sin A + sin B + sin C), 4sin A + 4sin B + 4sin C = 2(1 - cos2A) + 2(1 - cos2B) + 4(1 - cos C) = = + 4cosCcos(A - B) - 4cos C = + cos (A - B) - [2cosC - cos(A - B)] Ê 9, suy ra: k + l2 + m2 9R . k + l + m 9R 9R k + l + m Nh vậy: ịk+l+mÊ . 3 Câu III. 1) Vì M thuộc P, nên M có tung độ a , AM = (x M - x A ) + (y M - y A ) = a + (a - 3) . Hàm f(a) =a + (a - 3) có đạo hàm f(a) = 4a + 2(a - 3) = 2(a - 1)(2a + 2a + 3), suy a = 1, f(a) đạt giá trị nhỏ nhất. Vậy đoạn AM ngắn M M (1 , 1). 2) Với M (1 , 1) đỷờng thẳng AM có hệ số góc y - yA k= M = - . xM - xA Vì P có phỷơng trình y = x ị y = 2x, nên M tiếp tuyến P có hệ số góc k = 2, suy tiếp tuyến vuông góc với đỷờng thẳng AM. _______________________________________________________________ Câu I. 1) Bạn tự giải nhé! 2) x1, x2, x3 nghiệm phỷơng trình 2x3 - x2 - a = x3 ị x3 - x2 a - =0 2 x2 a - = (x - x1)(x - x2)(x - x3). Từ suy x1 + x2 + x3 = , x1x2 + x2x3 + x3x1 = 0. 2 Vậy :x 12 + x 22 + x 23 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x1x2 + x2x3 + x3x1) = . Câu II. 1) Điều kiện để có nghĩa : - Ê x Ê 1. Khi nhân hai vế với + x + - x > 0, ta đỷợc bất phỷơng trình tỷơng đỷơng 2x Ê x( + x + - x). (1) Nếu x = 0, (1) đỷợc nghiệm. Nếu < x Ê 1, (1) tỷơng đỷơng với 2Ê + x + - x Ê + - x2 Ê - x2 không đỷợc nghiệm. Nếu - Ê x < 0, (1) tỷơng đỷơng với + x + - x - x đ ợc nghiệm. Vậy đáp số - Ê x Ê 0. 2) Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác, nên |b - c| < a (b - c)2 < a2, |c - a| < b (c - a)2 < b2, |a - b| < c (a - b)2 < c2. Cộng vế tỷơng ứng đến kết cần chứng minh. Câu III. 1) Điều kiện : sinxsin2xsin3x 0. Biến đổi phỷơng trình cho dỷới dạng sin5x = ị sinxsin5x = - 1. + sin2xsin3x sinxsin2xsin3x Vậy phải có: ỡsin x = ù a) Hoặc ù ù ù ợsin 5x = -1 _______________________________________________________________ Vì sinx = ị x = p p + 2kp (k ẻ Z) ị5x = + 2kp ị sin5x = 2 mâu thuẫn. ỡùsin x = -1 b) Hoặc ùớ ùùợsin 5x = Lập luận nhỷ trên, ta gặp mâu thuẫn. Vậy phỷơng trình cho nghiệm. 2) Tứ giác IAJB đ ợc nội tiếp đỷờng tròn đỷờng kính IJ = 2R. Gọi O ^ ^ điểm IJ, đặt IOA = a, IOB = b. Thế a b a b IA = 2Rsin , IB = 2Rsin , JA = 2Rcos , JB = 2Rcos . 2 2 Từ IA > IB suy JA < JB. Ta định hỷớng đỷờng thẳng IJ theo hỷớng từ J đến I (Hình 71), lấy O làm gốc tọa độ, đặt OM = x. Thế a b AM2 = R2 + x2 - 2Rxcosa = (R - x)2 + 4Rxsin2 , BM2 = R2 + x2 - 2Rxcosb = (R - x)2 + 4Rxsin2 . 2 Vì sin a b a b > 0, < cos > sin < cos , nên 2 2 a) x (I M phía O) AM2 BM2 ta có a a sin (R - x) + 4Rxsin 2 AM 2 = IA ; Ê 1Ê = b b BM IB sin (R - x) + 4Rxsin 2 b) x Ê (J M phía O) AM2 Ê BM2 ta có AM = BM a a cos 2 = JA . Từ suy kết luận. b b JB - 4Rxcos cos 2 (R + x) - 4Rxcos (R + x) __________________________________________________________________ Câu IVa. 1) k x k x k + k k x k x k k +1 k xdx < k kdx = k = k k +1 kdx < k xdx k n k +1 k n n +1 xdx = xdx < k< xdx = xdx . k =1 k k =1 k k =1 n n 2) Ta có : n xdx = x3/ n n +1 = n3/ xdx = [(n + 1)3/ 1] , n 3/ 2 < n k < [(n + 1)3/ 1] 3 k =1 (*) a) Với n = 100 n = 99 ta có : 100 k > 666,6 k =1 b) Từ (*) n 2 n + < k < n3/ k =1 n 99 k =1 3/ k > 666 666,6 < 100 k < 666 + 10 = 676 k =1 n lim k= . 3/ 3/ n n n k =1 Câu IVb. 1) V = h(B + B'+ BB') = a h .Đờng trung đoạn d = h2 + a2 a + 4h = Vậy S toàn phần = a(5a + 4h + a ) . 2) Hình cầu đờng kính OO' = h tiếp xúc với cạnh bên h IJ = (IJ AA' , I tâm hình cần). Dễ thấy AIA' vuông I, : IJ2 = JA'.JA = O'A'.OA = a h 2.a = a . Từ : = a h = 2a. 2 3) S chỏm cầu = Rh . a SCC1 h1 O'K JA' = = = = = . SCC2 h2 OK JA a 2 Ta có : 4) V1 = h12 R h1 h h h 7h = = 162 , h h3 10 h3 V2 = V V1 = = 162 81 _______________________________________________________________ Câu I. Giải hệ phỷơng trình 2 ỡ ù ù x + y + 2xy = 2. ù x+ y=4 ù ợ 2) Giải bất phỷơng trình x + Câu II. 1) Giải phỷơng trình 8sinx = x+ < x. . + cosx sinx 2) Chứng minh tam giác ABC có cạnh a, b, c có diện tích 1, a4 + b4 + c4 16. Câu III. 1) Với giá trị đối số x hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất: y = lg2x + . lg x + 2 2) Xác định m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + cắt trục hoành điểm với hoành độ lập thành cấp số cộng. Câu IVa.Trong mặt phẳng cho đỷờng tròn x2 + y2 = R2 điểm M(xo, yo) nằm đỷờng tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MT1 MT2 với đỷờng tròn, T1, T2 tiếp điểm. 1) Viết phỷơng trình đỷờng thẳng T1T2. 2) Giả sử điểm M chạy đỷờng thẳng (D) cố định, không cắt đỷờng tròn cho : chứng minh đỷờng thẳng T1T2 qua điểm cố định. ^ Câu IVb.Trong mặt phẳng (P) cho tam giác OAB có góc AOB = a (0o < a < 90o), cạnh OA = a, OB = b. (D) đỷờng thẳng vuông góc với (P) O. Trên (D) lấy điểm C khác O. Gọi H trực tâm tam giác CAB. Qua H dựng đỷờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (CAB), cắt (P) K. 1) Chứng minh K trực tâm tam giác OAB, HK cắt (D) D : chứng minh AD vuông góc với BC, AC vuông góc với BD. 2) Tính tích số OC.OD theo a, b, a. Xác định C để tứ diện ABCD tích nhỏ nhất. 3) Khi C di động (D), chứng minh tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thuộc đỷờng thẳng cố định. __________________________________________________________________ Câu I. 2 x + y + 2xy = 1) x + y = (1) (2) Điều kiện : x 0, y 0. Từ (1) suy : xy . Từ (1) (2) : (x + y)2 2xy + 2xy = ; x + y = 16 xy Dẫn tới phơng trình : (16 xy)2 2xy + 2xy = Đặt 2t 64t + 256 + 2t = xy = t , t 4.(4) t 32t + 128 + t = t 32t + 128 = t . (5) Với điều kiện(4), bình phơng vế phơng trình (5) ta đợc : t 32t + 128 = 64 + t 16t t = 4. Xét hệ phơng trình x + y = xy = 4. (6) Hệ (6) có nghiệm x = y = 4. 2) x + x + < x (1) Điều kiện : x 0. (2) Với điều kiện (2) : x + x + > . + x > Từ (1) 3x2 + 6x > . x < Kết hợp với điều kiện (2), nghiệm (1) : x > 33 Câu II. (1) + cosx sin x Điều kiệnn : x k , k Z . (2) 2 (1) 8sin x cosx = sin x + cosx 1) 8sin x = 4(1 cos2x) cosx = sin x + cosx 3cosx cos2x cosx sin x = cosx sin x = cos3x cos x + = cos3x 2 x + = 3x + 2k x + = 3x + 2k, k Z x = + k (3) x = + k , k Z 12 Hai họ nghiệm (3) thỏa mãn điều kiện(2). Vậy phơng trình (1) có nghiệm : x1 = + k x2 = + k , k Z 12 __________________________________________________________________ 2) Theo công thức Hêrông : 16 = (a + b + c) (a + b c) (a + c b) (b + c a) = = [(a + b)2 c2 ][c2 (a b)2 ] (a + b2 + 2ab c2 )c2 (vì c2 (a b)2 c2 ) (2a + 2b2 c2 )c2 = 2a c2 + 2b2 c2 c4 a + b4 + c4 . a = b2 = c2 a + b4 + c4 = 16 a = b = c. a = b Câu III. 1) Xét y = lg2 x + lg2 x + (1) Đặt lg2 x = t , t ; (1) trở thành y(t) = t + 2t + . t+2 (t + 1)(t + 3) > với t 0. hàm số y(t) đồng biến khoảng [ ; + ). (t + 2)2 1 Suy : f(t) f(0) = với t 0. Do hàm số (1) đạt giá trị nhỏ : yo = xo = 1. 2 Ta có : y'(t) = 2) y = x4 2(m + 1)x2 + 2m + (1) Xét phơng trình : x 2(m + 1)x2 + 2m + = (2) Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm có hoành độ tơng ứng lập thành cấp số cộng phơng trình (2) có nghiệm lập thành cấp số cộng. Điều xảy phơng trình bậc : t 2(m + 1)t + 2m + = (3) có nghiệm dơng t1, t thỏa mãn điều kiện : t t1 = t1 ( t1 ), t > t1 hay t = t1 t = 9t1 (4) Phơng trình (3) có nghiệm dơng khác : ' = (m + 1)2 2m > m > 2m (5) + > 2(m + 1) > m 0. Tìm m để nghiệm dơng t1 < t thỏa mãn điều kiện (4). Theo định lí Viét : t1 + t = 2(m + 1) t1t = 2m + Từ (4) 10t1 = 2(m + 1) 9t1 = 2m + 9m2 32m 16 = Với m1 = ; t1 = , t = ; m2 = Vậy m = m = cấp số cộng. m1 = m2 = . : t1 = , t = 1. 9 đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm có hoành độ tơng ứng lập thành _______________________________________________________________ Câu IVa. 1) Giả sử T1 = (x1 , y1), T2 = (x2 , y2). Phỷơng trình tiếp tuyến T1 xx1 + yy1 - R2 = ;tiếp tuyến qua M(xo , yo), nên ta có xox1 + yoy1 - R2 = 0, (1) Tỷơng tự T2: xox2 + yoy2 - R2 = 0. (2) Từ (1) (2) suy (x1 , y1) (x2 , y2) nghiệm phỷơng trình xox + yoy - R2 = 0, phỷơng trình đỷờng thẳng T1T2. 2) Giả sử đ ờng thẳng D có ph ơng trình tham số x = a + at y = b + bt (t ẻ R). Vì D không qua gốc tọa độ O, nên a a ị ab - ba ạ b b (có thể chứng minh kết mạnh : D không cắt đỷờng tròn, nên (ab - ba)2 > (a2 + b2)R2). Nếu M(xo , yo) ẻ D, tồn t để xo = a + at yo = b + bt, đỷờng thẳng T1T2 có phỷơng trình (a + at)x + (b + bt)y - R2 = (ax + by)t + (ax + by - R2) = 0. Khi M chạy D, t thay đổi. Đỷờng thẳng T1T2 qua điểm cố định (x , y) hệ phỷơng trình ax + by = _______________________________________________________________ ax + by = R2 có nghiệm (x , y). Vì hệ có định thức D= ab = ba - ab 0, a b nên có nghiệm x = bR aR . , y = ab - ba ba - a b Tóm lại : đỷờng thẳng T1T2 qua điểm cố định (x , y). Câu IVb. 1) Dựng đỷờng cao AJ CI DABC, H giao điểm AJ CI. Trong mặt phẳng (COI) dựng Hx ^ CI ị Hx ^ AB (vì AB ^ (COI)) ị Hx ^ (ABC). Hx cắt OI K ; AK cắt OB F. HK ^ (ABC) ị HK ^ BC ị (AFJ) ^ BC ị Theo cách dựng AJ ^ BC BC ^ AF ị (BCO) ^ AF ị BO ^ AF. (1) CO ^ AF Vì AB ^ (BOI) ị AB ^ OI. (2) Từ (1), (2) suy K trực tâm DABO ; D thuộc HK nên DA thuộc mặt phẳng (AFJ). Do BC ^ (AFJ) nên BC ^ AD.Chứng minh tỷơng tự ta có AC ^ (BHK) ị AC ^ BD. ^ ^ ^ 2) HK ^ (ABC) ị HK ^ CI ị ODK = CIO phụ với OCI ị tam giác vuông DKO đồng dạng với tam giác vuông OD OK ị OC.OD = OI.OK. (3) ICO = OI OC Nhỷng tứ giác BIKF nội tiếp đỷờng tròn đỷờng kính BK, theo hệ thức lỷợng đỷờng tròn ta có _______________________________________________________________ OB.OF = OI.OK. (4) Từ (3), (4) suy OC.OD = OB.OF = abcosa; VABCD = VCABO + VDABO = dt(ABO).(OC + OD). Vậy VABCD nhỏ (OC + OD) nhỏ ; nhỷng tích OC.OD không đổi nên (OC + OD)min OC = OD = abcos a, minVABCD = 1 . . absina . abcosa = absin a 3 abcos a. 3) Mặt cầu ngoại tiếp ABCD cắt (BCD) theo đỷờng tròn ngoại tiếp BCD. Đỷờng tròn cắt đỷờng OB B (Hình vẽ), theo hệ thức lỷợng đỷờng tròn ta có : OB.OB = OC.OD = abcosa. Suy OB không đổi mà B B khác phía O nên B cố định. Mặt cầu ngoại tiếp ABCD qua A ; B ; B cố định nên tâm thuộc đỷờng thẳng D vuông góc với mặt phẳng (A, B, B) tâm đỷờng tròn ngoại tiếp DABB. Suy D cố định. _______________________________________________________________ Câu I. 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 1. 2) Tìm điều kiện a b, cho đỷờng thẳng y = ax + b cắt đồ thị điểm khác A, B, C, với B trung điểm đoạn AC. Câu II. 1) Giải biện luận theo a, b, phỷơng trình cosax + cos2bx - cos(a + 2b)x = 1. 2) Chứng minh tam giác ABC tam giác tù, thì(1 + sin2A)(1 + sin2B)(1 + sin2C) > 4. Câu III. 1) Cho a = x2 + 2x + , b = x2 + , c = x2 + 4x + 5. a) Với giá trị x a, b, c độ dài cạnh tam giác ? b) Chứng minh bán kính r đỷờng tròn nội tiếp tam giác đỷợc tính theo công thức r = (x - 2x - 1) (x + 6x + 7). ỡx + y = a 2) Giải biện luận theo tham số a hệ phỷơng trình ùớ ùợ x + y = a Câu IVa. Trên mặt phẳng tọa độ, cho điểm A(1, 1). Hãy tìm điểm B đỷờng thẳng y = 3, điểm C trục hoành, cho ABC tam giác đều. Câu Va. Tính tích phân I(m) = ũ x - 2x + m dx Câu IVb. Trên cạnh AD hình vuông ABCD cạnh a, ngỷời ta lấy điểm M với AM = x (0 < x < a), nửa đỷờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) A, lấy điểm S cho AS = y > 0. 1) Chứng minh nhị diện cạnh SB hình chóp S.ABCM nhị diện vuông. 2) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC). 3) Gọi I trung điểm đoạn SC, H hình chiếu vuông góc I lên CM. Tìm tập hợp điểm H M chạy AD S chạy Ax. _______________________________________________________________ Câu I. 1) Đề nghị bạn hãytự giải nhé! 2) Khi phỷơng trình x3 - 3x2 - 9x + = ax + b (1) phải có ba nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 2x2 = x1 + x3 (1) tỷơng đỷơng với:x3 - 3x2 - (9 + a)x + - b = . (2) Vì đỷờng cong y1 = x3 - - 3x2 - (9 + a)x + - b nhận điểm uốn tâm đối xứng nên để có 2x2 = x1 + x3 cần thiết điểm uốn phải thuộc trục hoành (x2 hoành độ điểm uốn). y"1 = 6x - 6; y"1 = x2 =1, y1(1) = ị -10 - a - b = ị a + b = -10. Điều kiện đủ : thay a = -(b + 10) vào (2) ta có: x3 - 3x2 - [9 - b - 10]x + - b = x3 - 3x2 + (1 + b)x + - b = (x - 1) [x2 - 2x - + b] = 0. (3) Để (3) có ba nghiệm phân biệt, f(x) =x2-2x-1+b, ta phải có: ỡùD' = - b > ùớ b 4. Câu III. 1) a) Để a, b, c tạo thành ba cạnh tam giác ta phải có: 2x2 + 2x + > x2 + 4x + a+b>c b+c>a 2x2 + 4x + > x2 + 2x + 2x2 + 6x + > x2 + c+a>b x2 - 2x - > x2 + 2x + > x2 + 6x + > 0. Giải hệ này, ta đỷợc : -Ơ < x < - - - + < x < b) Ta có : r = p= S = p p(p - a) (p - b) (p - c) ; (*) p2 1 (a + b + c) = (3x2 + 6x + 9) = (x2 + 2x + 3); 2 p-a= (x + 2x + 3); p-b= (x + 6x + 7); p-c= (x - 2x - 1). Thế vào (*) đỷợc:r = (x - 2x - 1)(x + 6x + 7). + < x < +Ơ. _______________________________________________________________ 2) Thế y = a - x vào phỷơng trình thứ hệ, ta có: x4 + (x - a)4 = a4. Đặt t = x - ổ a a ửữ có ỗỗ t + ữữ ỗố 2 ữứ ổ a ửữ + ỗỗ t - ữữ = a4 2t4 + 3a2t2 - a4 = 0. ỗố ữ 2ứ Đặt t2 = z (z 0) ta có: 2z2 + 3a2z - a = 0. (1) Nếu a = có z1 = z2 = ị t = ị x = 0, y = 0. Nếu a (1) có hai nghiệm: z1 < < z2. (Loại z1); z2 = - 3a + 4a a a2 ị t1,2 = . = 4 Từ hệ có hai nghiệm x1 = 0, y1 = a x2 = a, y2 = 0. Kết luận : hệ có hai nghiệm:x1 = 0, y1 = a x2 = a, y2 = 0. ________________________________________________________________ Câu IVa. y Giả sử ta tìm đợc điểm B(xB ,3) đờng thẳng y = điểm C(xC ,0) trục hoành cho ABC đều. Do đờng thẳng (AC) song song với trục tung trục hoành nên có phơng trình d B y = k (x 1) + (k 0) . A k . Từ xC = k Gọi M(x M ,y M ) trung điểm đoạn thẳng AC, ta có : M O C x 2k x M = 2k y = . M Vì đờng thẳng trung trực (d) đoạn thẳng AC qua M (d) (AC) nên (d) có phơng trình : 1 2k y = (x x M ) + hay y = x + , k k 2k Do B d nên 5k + 2k 1 2k x = = xB hay + B 2k k 2k Cuối AB = AC nên cách viết đẳng thức dới dạng tọa độ, ta đến phơng trình 25k + 22k = k = / . Vậy, cặp điểm tơng ứng B, C tìm đợc đờng thẳng y = trục hoành để tam giác ABC : 5k + 2k k B ,3 , C ,0 2k k với k = / k = / . Câu Va. Đặt f(x) = x2 + m , ' = m. a) Khi ' hay m 1: Do f() 0, x nên I(m) = | f(x) | dx = f(x)dx = x3 = (x2 2x + m)dx = x2 + mx = m . b) Khi ' > hay m < 1. Dấu f(x) đợc cho kết x f(x) ta có : 1 m + 1+ m + ________________________________________________________________ f(0) = m , m < < + m . Với m : f (0) nên m ; + m ta có : f(x) 0, x [ ; 1]. Vậy 1(m) = | f(x) | dx = f(x)dx = m. Với < m < : f(0) > nên < m < , f(x) > 0, x [0,1 m] f(x) 0, x [1 m;1] 1 m Vậy I(m) = | f(x) | dx = x = x2 + mx ( x x + m)dx + 1 m x + + x2 mx ( x + x m)dx = 1 m 1 m = 4(m) m + 3m Câu IVb. BC SA 1) BC (SAB) BC AD S I B (SBC) (SAB). 2) Gọi O giao điểm hai đờng chéo AC BD, kẻ MK // BD. Vì BD AC BD (SAC) MK (SAC). BD SA K A C H O M H D Độ dài MK khoảng cách từ M tới (SAC) : x 2MK x MK AM = hay = MK = . OD AD a a 3) IO// SA IO (ABCD) ; IH MC OH MC (định lí ba đờng vuông góc). Vậy H nằm đờng tròn đờng kính OC mặt phẳng (ABCD). q1 hình 44. Nhận xét : Khi M AD, H OHH q1 , CH' cắt AD M'. Chứng minh IH' CM'. Điều hiển nhiên nhờ định lí đảo Đảo lại : lấy H' OHH định lí ba đờng vuông góc. q1 . Kết luận : Tập hợp hình chiếu H I CM OHH [...]... , AB1 = 2a Nếu B'C'D' là tam giác đều thì B'KC' là nửa tam giác đều, vậy B1AC' là nửa tam giác đều, suy ra : 4ah 2 h + 4a 2 = AC' = AB1 3 = 2a 3 h = 2a 3 Khi đó SO = h = 3OA , suy ra SAC là tam giác đều, vậy C' là trung điểm của SC 2) Hình chóp S.ABCD có thể tích : 1 4 V = SO.dt(ABCD) = ha 2 3 3 Tam giác SAB có cạnh AB = a 5 và đờng cao hạ từ đỉnh S SH = do đó có diện tích s = 4a 2 + 5h2 , 5 a 4a... (2) đều có nghiệm x1 = 0 Giải (a 1)x + a 2 + a + 2b = 0 Nếu a 1 có nghiệm x2 = a 2 + a + 2b 1 a Nếu a = 1 ta có : 0x = 2(1 + b) (3) Với b 1 thì (3) vô nghiệm ; với b = -1 thì (3) nghiệm đúng với x Kiểm tra x2 có thỏa mãn điều kiện x2 a ? x2 a a 2 + a + 2b a a 2 + a + 2b 1 a a a 2 2(a 2 + b) 0 b a 2 x 2 a a 2 + a + 2b a a 2 + a + 2b a 2 a b a 1 a Kết luận : với b 1 , (1) có. .. ) có tâm I1 (3, 0) , bán kính R1 = 2 , (C2 ) có tâm I 2 (6, 3) , bán kính R2 = 1 Ta tìm đờng thẳng tiếp xúc với (C1 ) và (C2 ) dới dạng x = m Từ điều kiện tiếp xúc ta có hệ : | 3 m |= 2 | 6 m |= 1 m = 5 Vậy đờng thẳng đúng x = 5 là đờng thẳng tiếp xúc với (C1 ) và (C2 ) Mọi đờng thẳng tiếp xúc với (C1 ) và (C2 ) khác với đờng thẳng đứng đều có dạng ax y + b = 0 Theo điều kiện tiếp xúc, ta có. .. Cho m là một số nguyên dỷơng, hãy tìm cỷồc trị của hàm số y = xm(4 - x)2 Khảo sát sỷồ biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 Câu II 1) ABC là một tam giác bất kì Chỷỏng minh rằng với mọi số x ta đều có 1+ 1 2 x cosA + x(cosB + cosC) 2 2) Giải phỷơng trình cosx + 10 1 1 = + sinx + 3 sinx cosx Câu III 1) Giải và biện luận theo a, b phỷơng trình ax + b x- b = x- a x+a 2) Cho 3 số a, b, c thỏa... = + 1 - cos - 2y 2 3 3 3 2 2 - 2y = + 2y + cos - cos 2 3 3 2sin 3 3 2 sin2y = sin2y = 2 2 3 Do (4) nên chỉ có nghiệm duy nhất : y = , và do vậy x = 2 6 Vậy : nếu bài toán có nghiệm thì phải có x = 2, y = /6 o o o o Thử lại, thấy thỏa mãn tất cả các điều kiện đặt ra (đề nghị tự kiểm tra) Đáp số : x = 2 ; y = 6 o o 2) a) a 2 = b 2 + c 2 - 2bccosA =(b - c) 2 + 2bc(1 - cosA) A a A A a2... x +1 = m x-3 1) Giải phỷơng trình với m = -3 2) Với giá trị nào của m thì phỷơng trình có nghiệm ? Câu II 1) Cho hàm số y = x + x 2 - x + 1 Tìm miền xác định của hàm số ; tính đạo hàm và xét dấu của nó 2) Tìm a để hệ sau đây có nghiệm: 15x 2 11xy + 2y 2 = 7 x < y 2a 2 x + 3ay < 0 Câu III 1) Giải phỷơng trình log 3 (sin x 1 x - sinx) + log (sin + cos2x) = 0 2 3 2 2) Chỷỏng tỏ rằng có thể tính diện... a 2 a b a 1 a Kết luận : với b 1 , (1) có nghiệm duy nhất x1 = 0 Nếu a = 1 thì : với b = 1, (1) có nghiệm là x 1 Nếu a 1 ; 0 thì : 2 với b a , b - a, (1) có hai nghiệm x1 = 0, a 2 + a + 2b x2 = 1 a với b = a 2 hoặc b = - a thì (1) có một nghiệm x1 = 0 Nếu a = 0 thì (1) có một nghiệm x2 = 2b nếu b 0 ; (1) sẽ vô nghiệm nếu b = 0 2) Vì a 2 + b2 + c2 = 1 nên - 1 a, b, c 1 Do... 1 3x - 1 1 ị x 1 2 0 . 2 x[a 1)x a a 2b] 0+++= (2) Với a, b (2) đều có nghiệm 1 x0= . Giải 2 (a 1)x a a 2b 0+++= . Nếu a 1 có nghiệm 2 2 aa2b x 1a ++ = Nếu a = 1 ta có : 0x = 2(1 + b). (3) Với b 1 thì (3). số y=x m (4-x) 2 . Khảo sát sỷồ biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khim=1. Câu II. 1) ABC là một tam giác bất kì. Chỷỏng minh rằng với mọi số x ta đều có 1+ 1 2 x 2 cosA + x(cosB + cosC). 2) Giải phỷơng trình cosx. 1 x 2 = y b 0 : (1) có nghiệm khi 2 '(1b) b(1b)0= + + b 1 (b 0) Thành thử các điểm trên Oy từ đó có thể đợc ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C) là các điểm có tung độ b 1. 3)