ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2010
Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 06 – 06 – 2010 Câu 1 ( 2,0 điểm )
Cho biểu thức P x 2x : x 1 2 .
9 x
1) P có nghĩa x 0
x 3; x 25
9 x 9 x x 3 x x 3 x (3 x )(3 x ) (3 x ) x
x x (3 x ) x
2) P 4
3
3
5
x
4
3
x
x
Câu 2 ( 2,0 điểm )
1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x2+4x + 1 = y4 (x 2 y2 )(x 2 y2 ) 3(*)
ì x, y nguyên và 2 2
(I) và ( )
II
x y x y Giải (I) ta được 01
x
y Giải (II) ta được 43
x
3
2)
x 3(y x) 1 x y 3(y x) 1 y (x y)3 3(y x) 1 y
x 1
x 2
y 1
y 1
y 1
Câu 3 ( 2,0 điểm )
Cho phương trình ẩn x: (m-10)x2 + 2(m-10)x + 2 =0 (3)
1) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1; x2
Với m=10 phương trình (3) trở thành 2=0 nên (3) vô nghiệm khi m=10
Với m10 phương trình (3) trở thành phương trình bạc hai ẩn x có ’=(m-12)(m-10) (3) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì ' 0 (m-12)(m-10) >0 m>12 hoặc m<10 2) Chứng minh rằng khi đó ta có: 3 3 2 2
x x x x x x 4 Với m>12 hoặc m<10 theo Vi ét ta có:
1 2
2 2 10
x x m
khi đó 3 3 2 2
x x x x x x 4
2
(x x )[(x x ) 3x x ] x x (x x ) 4 2(4 ) ( 2) 4
m 10 m 10
Trang 2
m 12 m 10
Câu 4 ( 3,0 điểm )
E
F
J
K I
D
C B
A
O M
N
1) Dễ thấy D, O, M, N, A nội tiếp đường tròn đường kinh AO
2) Ta thấy BDM ONM OMN=CDN
3) Từ K kẻ đường vuông góc với BC đường này cắt AO tại J kẻ JEAB; JFAC khi
đó JE=JF(*)
Ta có OI//KJ ( cùng BC); OM//JE ( cùng AB) theo Talets ta có:
//
MI KE
AK AJ AE Tương tự ta có NI//KF => K, F, E thẳng hàng=>
KEJ KFJ
Dễ thấy KEJ KBJ; KFJ KCJ =>KBJ CKJ BJCcân tại J nên KB=KC (ĐPCM)
Câu 5 ( 1,0 điểm )
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6 Chứng minh rằng:
b c a a b c 2 a b b c c a b c a a b c (ĐPCM) Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z = 1
CM: 2 2 2
3
(a 1) ( b 1) ( c 1) 2 a 2b 2c (1)
(a b ) (b c ) (c a ) 0 2(a b c ) 2( ab bc ca ) (2)
3(a b c ) 3 2(a+b+c+ab+bc+ca) a b c 3 (ĐPCM)
HẾT