Xem thêm đề thi đáp án khác page: Page: Luyện đề thi quốc gia môn Toán - Thầy Đặng Thành Nam THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI - BÁO THTH T9/2015 Câu (1,0 điểm). Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − 3x + 9x . Câu (1,0 điểm). Tìm m để hàm số y = x − 3(m + 1)x + 9x − m có điểm cực trị x1 , x2 thoả mãn x1 − x2 = . Câu (1,0 điểm). a) Cho số phức z thoả mãn 2(z − 1) = 3z + (i − 1)(i + 2) . Tính 2z − z . b) Giải phương trình log (x − 2) + log (x − 2) = log (7 − 2x) . π Câu (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫ (3 − cos 3x)sin x dx . Câu (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm I(-1;2;3) mặt phẳng (P) có phương trình là: 4x + y – z – = 0. Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) tìm toạ độ tiếp điểm. Câu (1,0 điểm). π⎞ π ⎛π ⎞ ⎛ a) Cho < a < sin a + sin ⎜ − a ⎟ = . Tính tan ⎜ a + ⎟ . ⎝2 ⎠ ⎝ 4⎠ b) Gọi M tập hợp số tự nhiên có chữ số phân biệt thành lập từ số 0, 1, 4, 6. Chọn ngẫu nhiên số từ M, tính xác suất để chọn số mà số không chia hết cho 4. ! = 30 ,SA ⊥ (ABC) , góc Câu (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, ABC mặt phẳng (SBC) (ABC) 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ trọng tâm G tam giác ABC đến mặt phẳng (SBC). Câu (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I(1;4), đỉnh A nằm đường thẳng có phương trình 2x + y – = 0, đỉnh C nằm đường thẳng có phương trình x – y + = 0. Tìm toạ độ đỉnh A, B, C, D hình vuông cho. Câu (1,0 điểm). Giải bất phương trình 32x − 16x − 9x − 2x − + ≥ . Câu 10 (1,0 điểm). Cho số thực dương x, y, z thoả mãn 1 + 18 + 18 ≤ . Tìm giá trị nhỏ 18 x y z biểu thức P= x 2015 + y 2015 y 2015 + z 2015 z 2015 + x 2015 + + . x1997 + y1997 y1997 + z1997 z1997 + x1997 ----HẾT---- Thầy: Đặng Thành Nam Xem thêm đề thi đáp án khác page: Page: Luyện đề thi quốc gia môn Toán - Thầy Đặng Thành Nam LỜI GIẢI THAM KHẢO THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Câu (1,0 điểm). Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − 3x + 9x . Bạn đọc tự giải. Câu (1,0 điểm). Tìm m để hàm số y = x − 3(m + 1)x + 9x − m có điểm cực trị x1 , x2 thoả mãn x1 − x2 = . Ta có: y' = 3x − 6(m + 1)x + 9; y' = ⇔ x − 2(m + 1)x + = (1) . Yêu cầu toán tương đương với (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1 − x2 = . ⎧⎪ m > −1+ ∨ m < −1− ⎧⎪ Δ ' = (m + 1)2 − > ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎩ x1 − x2 = ⎪⎩(x1 − x2 ) = ⎧⎪ m > −1+ ∨ m < −1− ⎧⎪ m > −1+ ∨ m < −1− ⎡ m = −3 ⇔⎨ ⇔ ⇔⎢ ⎨ 2 ⎣m = ⎩⎪(x1 + x2 ) − 4x1 x2 = ⎩⎪ 4(m + 1) − 4.3 = Vậy giá trị cần tìm m m = - m = 3. . Câu (1,0 điểm). a) Cho số phức z thoả mãn 2(z − 1) = 3z + (i − 1)(i + 2) . Tính 2z − z . b) Giải phương trình log (x − 2) + log (x − 2) = log (7 − 2x) . a) Đặt z = a + b.i (a,b ∈!) , theo ta có: 2(a + bi − 1) = 3(a − bi) + (i − 1)(i + 2) ⇔ 2(a − 1) + 2bi = 3a − 3bi − + i . ⎧a = ⎧a − = ⎪ ⇔ (a − 1) + (1− 5b)i = ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇒ z = 1+ i ⎩1− 5b = ⎪⎩b = Vậy số phức cần tìm z = 1+ i . ⎧x − > b) Điều kiện: ⎨ ⇔2 Phương trình tương đương với: 3log (x − 2) − log (x − 2) = log (7 − 2x) ⇔ log (x − 2) = log (7 − 2x) ⇔ log (x − 2)2 = log (7 − 2x) . ⎡ x = −1(l) ⇔ (x − 2)2 = − 2x ⇔ x − 2x − = ⇔ ⎢ ⎣ x = 3(t / m) Thầy: Đặng Thành Nam Xem thêm đề thi đáp án khác page: Page: Luyện đề thi quốc gia môn Toán - Thầy Đặng Thành Nam Vậy nghiệm phương trình x = 3. π Câu (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫ (3 − cos 3x)sin x dx . π π Ta có: I = ∫ (3 − 2(4 cos x − 3cos x))sin x dx = ∫ −(8 cos x − cos x − 3)sin x dx . Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx . Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = Vì vậy, I = ∫ (8t − 6t − 3)dt = ( 2t − 3t − 3t ) π ⇒t = . . = 3− Câu (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm I(-1;2;3) mặt phẳng (P) có phương trình là: 4x + y – z – = 0. Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) tìm toạ độ tiếp điểm. 4.(−1) + − − Vì mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) nên bán kính R = d(I;(P)) = = 2. + 12 + (−1)2 Vậy mặt cầu cần tìm (S) :(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = . Toạ độ tiếp điểm H hình chiếu vuông góc I lên (P). ⎧ x = −1+ 4t ⎪ Phương trình IH qua I vuông góc với (P) ⎨ y = + t ,t ∈! . ⎪z = − t ⎩ Thay x, y, z từ phương trình IH vào phương trình (P) ta được: ⎛ 8⎞ 4(−1+ 4t) + (2 + t) − (3 − t) − = ⇔ 18t − = ⇔ t = ⇒ H ⎜ ; ; ⎟ . ⎝ 3 3⎠ ⎛ 8⎞ Vậy tiếp điểm H ⎜ ; ; ⎟ . ⎝ 3 3⎠ Câu (1,0 điểm). π⎞ π ⎛π ⎞ ⎛ sin a + sin ⎜ − a ⎟ = . Tính tan ⎜ a + ⎟ . ⎝2 ⎠ ⎝ 4⎠ b) Gọi M tập hợp số tự nhiên có chữ số phân biệt thành lập từ số 0, 1, 4, 6. Chọn ngẫu nhiên số từ M, tính xác suất để chọn số mà số không chia hết cho 4. π a) Vì < a < ⇒ < sin a < 1;0 < cos a < 1; tan a > , theo ta có: a) Cho < a < Thầy: Đặng Thành Nam Xem thêm đề thi đáp án khác page: Page: Luyện đề thi quốc gia môn Toán - Thầy Đặng Thành Nam sin a + cos a = ⇔ sin a = 2(1− cos a) ⇒ sin a = 2(1− cos a)2 ⇔ (1− cos a) = 2(1− cos a)2 . ⎡ cos a = 1(l) ⇔ (1− cos a)(1+ cos a − 2(1− cos a)) = ⇔ ⎢ ⎢ cos a = (t / m) ⎣ π ⎞ tan a + 2 + 9+4 ⎛ = =− Suy ra: tan a = . − = ⇒ tan a = 2 , tan ⎜ a + ⎟ = ⎝ ⎠ 1− tan a 1− 2 cos a b) Số phần tử thuộc M 3.3! = 18 số, nên không gian mẫu n(Ω) = 18 . Gọi A biến cố chọn ngẫu nhiên số từ M, tính xác suất để chọn số mà số không chia hết cho 4. Một số thuộc M chia hết cho có chữ số tận 04 16 40 60 64. + Số số có tận 04 2!.1 = số. + Số số có tận 64 1.1.1 = số. + Số số có tận 16 1.1.1 = số. + Số số có tận 40 2!.1 = số. + Số số có tận 60 2!. = số. Vậy M có tất + 1+ 1+ + = số chia hết cho 4, 10 số không chia hết cho 4. Vì n(A) = 10. n(A) 10 = = . Xác suất cần tính P(A) = n(Ω) 18 ! = 30 ,SA ⊥ (ABC) , góc Câu (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, ABC mặt phẳng (SBC) (ABC) 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ trọng tâm G tam giác ABC đến mặt phẳng (SBC). a2 AB.AC sin120 = . Gọi M trung điểm BC, ta ⎧ BC ⊥ AM ! = (SBC);(ABC) ! = 60 . ⇒ BC ⊥ (SAM ) ⇒ SMA ⎨ ⎩ BC ⊥ SA Tam giác vuông ABM a a AM = ABsin 30 = ⇒ SA = AM tan 60 = . 2 a a2 a3 . = Vì vậy, VS.ABC = SA.SABC = (đvtt). Ta có: SABC = ( có: ) có Tính d(G; (SBC)). Ta có: d(G;(SBC)) = d(A;(SBC)) (1) . Thầy: Đặng Thành Nam Xem thêm đề thi đáp án khác page: Page: Luyện đề thi quốc gia môn Toán - Thầy Đặng Thành Nam Kẻ AH vuông góc SM AH ⊥ SM ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH = d(A;(SBC)) (2) . K, BC ⊥ AH đó: mà 1 4 16 a = 2+ = + = ⇒ AH = (3) . 2 AH SA AM a 3a 3a a Từ (1), (2), (3) suy ra: d(G;(ABC)) = . 12 Tam giác vuông SAM có: Câu (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I(1;4), đỉnh A nằm đường thẳng có phương trình 2x + y – = 0, đỉnh C nằm đường thẳng có phương trình x – y + = 0. Tìm toạ độ đỉnh A, B, C, D hình vuông cho. J Đề chuối quá! Gọi A(a; – 2a) I trung điểm AC nên C( – a; + 2a). Mặt khác C thuộc đường thẳng x – y + =0 nên (2 – a) – (7 + 2a) +2 =0 óa = - 1, Suy ra: A(-1; 3), C(3; 5). Tìm B, D đơn giản; em tự tính. Câu (1,0 điểm). Giải bất phương trình 32x − 16x − 9x − 2x − + ≥ . Điều kiện: x ≥ . Bất phương trình tương đương với: 64x − 32x + ≥ 18x + 18 2x − = 9( 2x − + 1)2 ⇔ 4(4x − 1)2 ≥ 9( 2x − + 1)2 1⎞ ⎛ ⇔ 2(4x − 1) ≥ 3( 2x − + 1) ⎜ 4x − ≥ 0,∀x ≥ ⎟ ⎝ 2⎠ ⇔ 8x − 2x − − ≥ ⇔ 8(x − 1) + 3(1− 2x − 1) ≥ . ⎡ ⎤ ⇔ 2(x − 1) ⎢ 4(x + 1) − ≥0 1+ 2x − ⎥⎦ ⎣ ⇔ 2(x − 1) ⎡⎣ 4x + 1+ 4(x + 1) 2x − ⎤⎦ ≥ ⇔ x ≥ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = [1;+∞ ) . Câu 10 (1,0 điểm). Cho số thực dương x, y, z thoả mãn 1 + 18 + 18 ≤ . Tìm giá trị nhỏ 18 x y z biểu thức P= Thầy: Đặng Thành Nam x 2015 + y 2015 y 2015 + z 2015 z 2015 + x 2015 + + . x1997 + y1997 y1997 + z1997 z1997 + x1997 Xem thêm đề thi đáp án khác page: Page: Luyện đề thi quốc gia môn Toán - Thầy Đặng Thành Nam x m + y m x m−n + y m−n ≥ ,∀m > n > . x n + yn Thật bất đẳng thức tương đương với: 2(x m + y m ) ≥ (x n + y n )(x m−n + y m−n ) Với x, y số thực dương ta có: ⇔ x m + y m − x m−n y n − x n y m−n ≥ ⇔ x n (x m−n − y m−n ) + y n (y m−n − x m−n ) ≥ . ⇔ (x n − y n )(x m−n − y m−n ) ≥ Bất đẳng thức cuối đúng, dấu xảy x = y. Áp dụng ta có: x 2015−1997 + y 2015−1997 P≥∑ = x18 + y18 + z18 ≥ ≥ 3. 1 + + x18 y18 z18 Dấu xảy x = y = z = 1. Vậy giá trị nhỏ P 3. Thầy: Đặng Thành Nam . = x 2015 + y 2015 x 199 7 + y 199 7 + y 2015 + z 2015 y 199 7 + z 199 7 + z 2015 + x 2015 z 199 7 + x 199 7 . HẾT Xem thêm đề thi và đáp án khác tại page: Page: Luyện đề thi quốc gia môn Toán. P = x 2015 + y 2015 x 199 7 + y 199 7 + y 2015 + z 2015 y 199 7 + z 199 7 + z 2015 + x 2015 z 199 7 + x 199 7 . Xem thêm đề thi và đáp án khác tại page: Page: Luyện đề thi quốc gia môn Toán - Thầy. Xem thêm đề thi và đáp án khác tại page: Page: Luyện đề thi quốc gia môn Toán - Thầy Đặng Thành Nam Thầy: Đặng Thành Nam 1 THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI - BÁO THTH T9 /2015 Câu 1 (1,0