®Ị kh¶o s¸t chÊt lỵng häc sinh giái Mơn : Tốn Lớp Năm học : 2009 – 2010 Thời gian làm : 120 phút Câu : Giải phương trình : x −1 x + + + x − x − ( x − 2) . (4 − x) a) 6x2 - x - = b) Câu : Cho x + y + z = x2 + y2 + z2 Rút gọn : ( y − z ) + ( z − x) + ( x − y ) Câu : Chứng minh khơng tồn x thỏa mãn : a) 2x4 - 10x2 + 17 = b) x4 - x3 + 2x2 - x + = Câu : Cho tam giác ABC, điểm D nằm cạnh BC cho điểm O nằm đoạn AD cho DB = ; DC OA = . Gọi K giao điểm BO AC. Tính tỷ OD số AK : KC. Câu : Cho tam giác ABC có góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự P Q cho HP = HQ. Gọi M trung điểm BC. Chứng minh tam giác MPQ cân M. hướng dẫn giải Câu (Bạn đọc tự giải) Câu 2: Từ x + y + z = ⇒ x2 + y2 + z2 = - 2(xy + yz + zx) (1) Ta có: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy + yz + zx) (2) Từ (1) (2) suy ra: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = - 6(xy + yz + zx) (3) Thay (1) (3) vào biểu thức A ta có: A= - 2(xy + yz + zx) = - 6(xy + yz + zx) Câu 3: a) 2x4 - 10x2 + 17 = ⇔ 2( x4 - 5x2 + 17 25 ) = ⇔ 2(x4 - 2. x2 + ) + =0 2 ) + Vì 2(x2 - )2 + =0 > với x nên khơng tồn x để 2x4 - 10x2 + 17 = b) x - x + 2x - x + = ⇔ (x2 + 1)(x2 - x + 1) = ⇔ 2(x2 - Vì vế phải ln dương với x nên khơng tồn x để x4 - x3 + 2x2 - x + = Câu 4: Từ D kẻ DM // BK áp dụng định lí Talét vào ∆ AOK ta có: A AK AO = = (1) KM OD KM CD = = (2) Tương tự, ∆ CKB thì: CK DB AK = Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: CK K M O B D Câu Gọi giao điểm AH BC I Từ C kẻ CN // PQ (N ∈ AB), Tứ giác CNPQ hình thang, có H trung điểm PQ, hai cạnh bên NP CQ đồng quy A nên K N trung điểm CN ⇒ MK đường trung bình ∆ BCN ⇒ MK // CN ⇒ MK // AB (1) H trực tâm ∆ ABC nên CH ⊥ A B (2) M B Từ (1) (2) suy MK ⊥ CH ⇒ MK đường cao ∆ CHK (3) Từ AH ⊥ BC ⇒ MC ⊥ HK ⇒ MI đường cao ∆ CHK (4) Từ (3) (4) suy M trực tâm ∆ CHK ⇒ MH ⊥ CN ⇒ MH ⊥ PQ ∆ MPQ có MH vừa đường trung tuyến vừa đường cao nên cân M C A P H Q K I C . ®Ò kh¶o s¸t chÊt lîng häc sinh giái Môn : Toán Lớp 8 Năm học : 2009 – 2010 Thời gian làm bài : 120 phút Câu 1 : Giải phương trình : a) )4(.)2( 2 4 3 2 1 xxx x x x −− + − + + − − b)