de thi hsg so 8

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 Môn toán - thời gian 150 phút Năm học: 2006 - 2007 Bài 1: (4đ). Cho biểu thức: P = x x x x xx xx + + + 3 3 1 )3(2 32 3 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P với x = 14 - 6 5 c) Tìm GTNN của P. Bài 2( 4đ). Giải các phơng trình. a) 34 1 2 ++ xx + 5 1 6316 1 3512 1 158 1 222 = ++ + ++ + ++ xxxxxx b) 12611246 =+++++ xxxx Bài 3: ( 3đ). Cho parabol (P): y = x 2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc k đi qua điểm M(0;1). a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. b) Gọi hoành độ của A và B lần lợt là x 1 và x 2 . Chứng minh rằng : |x 1 -x 2 | 2. c) Chứng minh rằng :Tam giác OAB là tam giác vuông. Bài 4: (3đ). Cho 2 số dơng x, y thỏa mãn x + y =1 a) Tìm GTNN của biểu thức M = ( x 2 + 2 1 y )( y 2 + 2 1 x ) b) Chứng minh rằng : N = ( x + x 1 ) 2 + ( y + y 1 ) 2 2 25 Bài 5 ( 2điểm). Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi I là giao điểm các đ- ờng phân giác, M là trung điểm của BC. Tính góc BIM. Bài 6:( 2đ). Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M BC. Các đờng tròn đờng kính AM, BC cắt nhau tại N ( khác B). BN cắt CD tại L. Chứng minh rằng : ML vuông góc với AC. Bài 7 ( 2điểm). Cho hình lập phơng ABCD EFGH. Gọi L và K lần lợt là trung điểm của AD và AB. Khoảng cách từ G đến LK là 10. Tính thể tích hình lập phơng. ------------- Ht --------------- Đáp án Bài 1 ( 4 điểm). 1 S : 8 Câu a: 2 điểm. Điều kiện để giá trị của biểu thức P xác định : x0; x 9 ( 0,5 đ). Rút gọn: P = 3 3 1 )3(2 )3)(1( 3 + + + x x x x xx xx = )1)(3( )1)(3()3(23 2 + ++ xx xxxxx = )1)(3( 33181223 + + xx xxxxxxx = )1)(3( 2483 + + xx xxxx = )1)(3( )8(3)8( + ++ xx xxx = 1 8 + + x x ( 1,5 điểm) Câu b :1 điểm x = 14 - 6 5 = ( 5 ) 2 - 2.3. 5 + 9 = ( 5 - 3) 2 x = 3 - 5 Khi đó P = 153 85614 + + = 54 5622 = 11 5258 Câu c: 1 điểm P = 42922 1 9 1 1 9 1 1 91 1 8 = + ++= + += + + = + + x x x x x x x x ( áp dụng BĐT CôSi cho 2 số dơng 1 9 ;1 + + x x ) Dấu"=" xảy ra 1 9 1 + =+ x x x = 4 ( thỏa mãn điều kiện) Vậy minP = 4, đạt đợc khi x = 4. Bài 2: 4 điểm ( mỗi câu 2 điểm). a) x 2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x+ 3) x 2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5) x 2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7) x 2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9) ĐKXĐ : x -1; x -3; x -5; x -7; x -9 ( 0,5đ) pt 5 1 )9)(7( 1 )7)(5( 1 )5)(3( 1 )3)(1( 1 = ++ + ++ + ++ + ++ xxxxxxxx 5 1 ) 9 1 7 1 7 1 5 1 5 1 3 1 3 1 1 1 ( 2 1 = + + + + + + + + + + + xxxxxxxx 5 1 ) 9 1 1 1 ( 2 1 = + + xx 5( x + 9 - x -1) = 2( x+1)( x+9) 2x 2 + 20x + 18 - 40 = 0 x 2 + 10x - 11 = 0 Phơng trình có dạng a + b + c = 0 x 1 = 1; x 2 = -11. x 1 ; x 2 thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy tập nghiệm của phơng trình là : S = { } 1;11 b) ĐKXĐ: x -2. ( 0,5 điểm) Pt 1)32()22( 22 =+++ xx | |22 + x + | 2 + x -3| = 1 | |22 + x + | 3 - 2 + x | = 1 áp dụng BĐT |A|+ |B| | A + B| ta có : | |22 + x + | 3 - 2 + x | 1 Dấu "=" xảy ra khi : ( 22 + x )( 3 - 2 + x ) 0 2 2 + x 3 2 x 7 Vậy tập nghiệm của phơng trình là : S = { } 72/ xx Bài 3: 3 điểm ( mỗi câu 1 điểm) Đờng thẳng (d) có hệ số góc k và đi qua điểm M (0;1) nên (d0 có tung độ gốc là 1. Ph- ơng trình đờng thẳng (d) là : y = kx+1 a) Phơng trình hoành độ giao điểm của ( P) và (d) là: x 2 - kx - 1 = 0 (1) = k 2 + 4 > 0 với mọi k Phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt đpcm. 2 b) Ta có : x 1 + x 2 = k ; x 1 .x 2 = -1 x 2 = - 1 1 x | x 1 - x 2 | = | x 1 + 1 1 x | = |x 1 | +| 1 1 x | ( vì x 1 và 1 1 x cùng dấu) mà |x 1 | +| 1 1 x | 2. Vậy | x 1 - x 2 | 2 Cách 2: ( x 1 - x 2 ) 2 = k 2 + 4 4 | x 1 - x 2 | 2 c) Giải sử A(x 1 ;y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ). Gọi phơng trình đờng thẳng OA là y= k 1 x , ta có : y 1 = k 1 .x 1 k 1 = 1 1 x y = 1 1 2 1 x x x = Gọi phơng trình đờng thẳng OB là y= k 2 x , ta có : y 2 = k 2 .x 2 k 1 = 2 2 x y = 2 2 2 2 x x x = Ta có : k 1 .k 2 = x 1 .x 2 = -1 . Vậy OA OB AOB vuông. Bài 4: ( 3 điểm) ( mỗi câu 1,5 điểm) a) Ta có : M = ( x 2 + 2 1 y )( y 2 + 2 1 x ) = 2 22 222 ) 1 ( )1( xy xy yx yx += + Mặt khác : xy + xy 1 = ( xy + ) 16 1 xy + xy16 15 ( 1). áp dụng BĐT Côsi : xy + xy16 1 2 16 1 = 2 1 (2). 2 1 2 = + yx xy xy 4 1 ( 3) Từ (1), (2) và (3) ta có : xy + xy 1 2 1 + 4 1 .16 15 = 4 17 (xy + xy 1 ) 2 ( 4 17 ) 2 = 16 289 Vậy minM = 16 289 , đạt đợc khi = = yx xy xy 16 1 x = y = 2 1 b) áp dụng BĐT : A 2 + B 2 2 )( 2 BA + , ta có : N = ( x + x 1 ) 2 + ( y + y 1 ) 2 2 )( 2 xy yx yx + ++ = 2 ) 1 1( 2 xy + Mặt khác : (x + y) 2 4xy ( do ( x -y) 2 0) 1 4xy xy 4 1 N 2 25 2 4 1 1 1 2 ) 1 1( 2 2 = + + xy . Vậy N 2 25 . Dấu "=" xảy ra khi = =+ yx yx 1 x = y = 2 1 Bài 5: ( 2 điểm). Vẽ hình đúng, ghi GT, KL . ( 0,5 điểm). Tính góc BIM. ( 1,5 điểm) Từ giả thiết ABC vuông tại A có: AB = 6cm, AC = 8cm. BC = )(10 22 cmACAB =+ MC = MB = 5cm Gọi B' là giao điểm của BI và AC. Ta có : CB CB IB IB AB AB ''' == 3 A M B C' I C B' 2 1 106 8'''' = + = + = + + == CBAB AC CBAB CBAB CB CB AB AB AB' = 2 1 .AB = 3cm CB' = 2 1 .CB = 5cm CB' = CM IMC = IB'C ( c.g.c) góc IMC = IB'C góc AB'B = góc IMB Tam giác AB'B đồng dạng với tam giác IBM góc BIM = góc BAB' mà góc BAB' = 90 0 góc BIM = 90 0 Bài 6: ( 2 điểm). Gọi E là giao điểm của AC và ML Ta có: góc NCD = gócNCB (cùng phụ với goc BCN) góc NBC = góc NAM ( cùng chắn cung MN) Tam giác NCL đồng dạng với tam giác NAM NM NL NA NC = Mặt khác : góc ANC = góc MNL ( cùng bằng 90 0 + gócMNC) tam giác ANC đồng dạng với tam giác MNL góc NAC = góc NML hay góc NAE = góc NME Tứ giác AMEN nội tiếp E thuộc đờng tròn đờng kính AM góc AEM = 90 0 hay ML vuông góc với AC ( đpcm). Bài 7: ( 2điểm). Vẽ hình đúng, ghi GT, KL : ( 0,5điểm). Gọi I là chân đờng vuông góc kẻ từ G đến LK. Gọi độ dài cạnh hình lập phơng là 2a( a > 0), ta có: Tam giác ALK vuông tại A LK = 22 AKAL + = 22 aa + = a 2 Tam giác DHG vuông tại H. DG 2 =DH 2 + HG 2 = 8a 2 Tam giác LDG vuông góc tại D ( Vì AD mp(DCGH) ADDG) LG 2 = LD 2 + DG 2 =a 2 + 8a 2 = 9a 2 Từ LDG = KBG (c.g.c) ( Vì có : góc LDG = góc KBG = 90 0 , LD = KB , DG = BG). GL = GK GLK cân tại G. I là trung điểm của LK IL =LK : 2 = 2 2a LIG vuông tại I nên ta có: LG 2 = LI 2 + IG 2 hay 9a 2 = 2a 2 :4 + 100 a 2 = 200: 17 a = 17 210 Vậy độ dài cạnh hình lập phơng là 17 220 Thể tích hình lập phơng là 1717 216000 ( đơn vị diện tích). 4 E D A B M C N L L B D C F GH E K I A . )1)(3()3(23 2 + ++ xx xxxxx = )1)(3( 33 181 223 + + xx xxxxxxx = )1)(3( 2 483 + + xx xxxx = )1)(3( )8( 3 )8( + ++ xx xxx = 1 8 + + x x ( 1,5 điểm) Câu b :1 điểm. ( 5 - 3) 2 x = 3 - 5 Khi đó P = 153 85 614 + + = 54 5622 = 11 52 58 Câu c: 1 điểm P = 42922 1 9 1 1 9 1 1 91 1 8 = + ++= + += + + = + + x x x x x x x