42 bài hh phẳng có đâpns

HÌNH HỌC PHẲNG ƠN THI ĐẠI HỌC HÌNH HỌC PHẲNG ƠN THI ĐẠI HỌC 1) Trong mp(Oxy) cho tam giác ABC biết A = ( 1; ) , phương trình đường cao (BH): x − y + = , Phương trình đường phân giác (CD) x + y − = . Tìm toạ độ điểm B, C 2 2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): ( x − 1) + ( y + 1) = . Một đường tròn (C') tiếp xúc với Oy tiếp xúc với (C). Tìm tâm (C') biết tâm thuộc đường thẳng (d): x − y = . 3) Cho ∆ ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: x + y + = phân giác CD x + y − = . Viết phương trình đường thẳng BC HD: Điểm C ∈ CD : x + y − = ⇒ C ( t ;1 − t ) .  t +1 − t  ; Suy trung điểm M AC M  ÷.   Điểm  t +1  − t M ∈ BM : x + y + = ⇒  + = ⇔ t = −7 ⇒ C ( −7;8 ) ÷+   Từ A(1;2), kẻ AK ⊥ CD : x + y − = I (điểm K ∈ BC ). Suy AK : ( x − 1) − ( y − ) = ⇔ x − y + = . x + y −1 = ⇒ I ( 0;1) . x − y +1 = Tọa độ điểm I thỏa hệ:  Tam giác ACK cân C nên I trung điểm AK ⇒ tọa độ K ( −1;0 ) . Đường thẳng BC qua C, K nên có phương trình: x +1 y = ⇔ 4x + 3y + = −7 + 4) Cho hình bình hành ABCD có diện tích 4. Biết A(1;0), B(0;2) giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C vàuuu D. r Ta có: AB = ( −1; ) ⇒ AB = . Phương trình AB là: 2x + y − = . I ∈ ( d ) : y = x ⇒ I ( t ; t ) . I trung điểm AC BD nên ta có: C ( 2t − 1; 2t ) , D ( 2t ; 2t − )  5 8 8 2 | 6t − | t = ⇒ C  ; ÷, D  ; ÷ = ⇔     Ngồi ra: d ( C ; AB ) = CH ⇔ 5 t = ⇒ C ( −1;0 ) , D ( 0; −2 ) Mặt khác: S ABCD = AB.CH = (CH: chiều cao) ⇒ CH = 5 8 8 2 Vậy tọa độ C D C  ; ÷, D  ; ÷ C ( −1;0 ) , D ( 0; −2 ) 3 3 3 3 5) Trªn Oxy cho Elip x2 y2 + = (a > b > 0) biÕt a2 b2 a2 − b2 = h×nh ch÷ nhËt c¬ së c¾t Ox a t¹i A, A’, c¾t Oy t¹i B, B’. LËp ph¬ng tr×nh Elip biÕt diƯn tÝch h×nh trßn néi tiÕp h×nh thoi ABA’B’ cã diƯn tÝch b»ng 4π . HD: . gt: DiƯn tÝch h×nh trßn néi tiÕp h×nh thoi ABA’B’ b»ng 4π GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ HÌNH HỌC PHẲNG ƠN THI ĐẠI HỌC ⇒ b¸n kÝnh ®êng trßn r = . O lµ t©m h×nh trßn, kỴ OK ⊥ AB’ ⇒ r = OK = .XÐt tam gi¸c vu«ng OAB’ ta cã: 1 1 1 = + ⇔ = + (1) 2 a OK OA OB b . Tõ gt: B a2 − b2 = ⇔ a = 2. a − b a 2 ⇔ a = 2a − 2b ⇔ a = 2b (2) A’ A O B’ K . a2 vµ b2 ®ỵc t×m tõ hƯ (1); (2) a = 2b a = 12  ⇔ 1  b =  + =4 b a VËy ElÝp tho¶ yªu cÇu bµi to¸n co pt lµ: x2 y2 + =1 12 6) Trªn Oxy cho ®êng th¼ng d1: 2x-y-1=0, d2: 2x+y-3=0. Gäi I lµ giao ®iĨm cđa d1 vµ d2; A lµ ®iĨm thc d1, A cã hoµnh ®é d¬ng kh¸c (0 < xA ≠ 1). LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng () ®i qua A, c¾t d2 t¹i B cho diƯn tÝch IAB b»ng vµ IB = 3IA • 2 x − y − = x = ⇒ 2 x + y − =  y = I = d1 ∩ d2 ⇒ t¹o ®é cđa I lµ n0 cđa hƯ  VËy I(1; 1) • Tõ gt d1 cã VTPT n1 = (2;−1); d2 cã VTPT n = ( 2;1); • Gäi ϕ lµ gãc cđa d1 vµ d2 −1 = ⇒ sin φ = 5 IA = IA.3IA. = 5 ⇒ cos φ = ⇒ S ∆IAB A I • ϕ ⇒ IA = ⇒ IB 2B= 45 Tõ gt: S ∆IAB = 6IB=3TA .∀A ∈ d1 ⇒ A(a,2a − 1) víi a > 0, a ≠ =0 alo¹i 2 2 IA = ⇔ ( a − ) + ( a − ) = ⇔ ( a − ) = ⇔ . pt a =  a = ⇒ A(2;3) * .∀B ∈ d 21 ⇒ B(a,3 − 2b) ⇒ IB = (b − 1) + (2 − 2b) = 5(b − 1) b = ⇒ B( 4;−5) IB = 45 ⇔ (b − 1) = ⇔  b = −2 ⇒ B (−2;7) • Víi A(2;3); B(4;5) pt cÇn t×m lµ x−2 y−3 = ⇔ x + y − 11 = 4−2 −5−3 • Víi A(2;3); B(-2;7) pt cÇn t×m lµ x−2 y −3 = ⇔ x+ y −5 = −2−2 7−3 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ HÌNH HỌC PHẲNG ƠN THI ĐẠI HỌC 7) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB M (−1;2) , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I (2; −1) . Đường cao tam giác kẻ từ A có phương trình: x + y + = . Tìm tọa độ đỉnh C . uuur HD: AB qua M nhận MI = (3, −3) làm vtpt nên có pt: x − y + = x − y + =  −4  ⇒ A ; ÷ Tọa độ A nghiệm hệ :   3 2 x + y + =  −2  M (−1;2) trung điểm AB nên B  ; ÷  3 r BC nhận n = (2;1) làm vtcp nên có p t: −2  x = + 2t    −2 ⇒ C + 2t ; + t ÷    y = + t    10     10   IB = IC ⇒ IB = IC ⇒  2t − ÷ +  t + ÷ =  ÷ +  ÷ 3    3    t = 0,loai (do C ≡ B) ⇒ t =   14 47  Vậy C  ; ÷  15 15  8) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B ( −12;1) , đường phân giác góc A có 1 2 3 3 phương trình: x + y − = . Trọng tâm tam giác ABC G  ; ÷.Viết phương trình đường thẳng BC .  x = − 2t ⇒ H ( − 2t ; t ) y = t  Gọi H hình chiếu B d :  uuur uur BH = ( 17 − 2t ; t − 1) ⊥ ud = ( −2;1) ⇒ −2 ( 17 − 2t ) + t − = ⇒ t = ⇒ H ( −9;7 ) Gọi M điểm đối xứng B qua d uuuur uuuuuuur ⇒ BM = BH ⇒M ( −6;13) ∈ AC A ∈ d ⇒ A ( − 2a; a ) ⇒ C ( + 2a;1 − a ) uuur uuuur MA / / MC ⇒ a = −2 ⇒ C ( 4;3) Vậy BC : x − y + 20 = 9) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng qua M ( 2;1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích . x y HD: Gọi d ĐT cần tìm A ( a;0 ) , B ( 0; b ) giao điểm d với Ox, Oy, suy ra: d : + = . a b Theo giả thiết, ta có: + = 1, ab = . a b Khi ab = 2b + a = . Nên: b = 2; a = ⇒ d1 : x + y − = . GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ HÌNH HỌC PHẲNG ƠN THI ĐẠI HỌC 1  10) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) , cho điểm M  3; ÷ . Viết phương trình tắc elip 2  ( ) qua điểm M nhận F1 − 3;0 làm tiêu điểm 11) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d qua điểm A(1; 2) cắt đường tròn (C) có phương trình ( x − 2) + ( y + 1) = 25 theo dây cung có độ dài r HD : G/s véc tơ pháp tuyến d n(a; b) ,vì d qua điểm A(1;2) nên d có phương trình d: a(x – 1)+ b(y –2) = hay d: ax + by – a – 2b = ( a2 + b2 > 0) Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) (C) đến d 3. d ( I,d ) = 2a − b − a − 2b a2 + b2 = ⇔ a − 3b = a + b a = ⇔ 8a + 6ab = ⇔  a = − b  • a = 0: chọn b = ⇒ d: y – = • a = − b : chọn a = 3, b = – ⇒ d: 3x – y + = 12) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 2x – 2y – = 0, (C2): x2 + y2 – 8x – 2y + 16 = 0. HD: (C1): ( x − 1)2 + ( y − 1) = có tâm I1 (1; 1) , bán kính R1 = 2. (C2): ( x − 4) + ( y − 1)2 = có tâm I (4; 1) , bán kính R2 = 1. Ta có: I1 I = = R1 + R2 ⇒ (C1) (C2) tiếp xúc ngồi A(3; 1) ⇒ (C1) (C2) có tiếp tuyến, có tiếp tuyến chung A x = // Oy * Xét tiếp tuyến chung ngồi: (∆) : y = ax + b ⇔ (∆) : ax − y + b = ta có:  a + b −1   2 =2  a=  a = −  d ( I1 ; ∆ ) = R1  a +b   4 ⇔  ⇔ hay    d ( I ; ∆ ) = R2  4a + b − = b = − b = +  a + b2   4  Vậy, có tiếp tuyến chung: (∆1 ) : x = 3, (∆2 ) : y = − 4+7 2 4−7 x+ , (∆3 ) y = x+ 4 4 13) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x – 6y + = điểm M( 1; - 8).Viết phương trình đường thẳng d qua M cho d cắt (C) hai điểm A,B phân biệt mà diện tích tam giác ABI đạt giá trị lớn nhất.Với I tâm đường tròn (C). §trßn (C) cã t©m I(- 2; 3) & b¸n kÝnh R = 2. Gi¶ sư pt®t (d) : Ax + By – A + 8B = víi A2 + B2 > Lu«n cã ∆BIA c©n t¹i I víi IA = IB = ; S∆BIA = IA.IB.sinAIB = 2sinAIB 11B − A =  S∆BIA ≤ DÊu = ∆AIB vu«ng c©n t¹i I hay d(I ; (d)) =  A2 + B  7A2 – 66BA + 119B2 =  (A – 7B)(7A – 17B) =  VËy cã hai ®êng th¼ng d tho¶ m·n: 7x + y + = & 17x + 7y + 39 = 14) Cho A(1 ; 4) hai đường thẳng b : x + y – = ; c : x + y – = 0. Tìm điểm B b , điểm C c cho tam giác ABC vng cân A Gäi B(b ; - b) & C( c ; - c) => AB (b - ; - - b) ; AC (c - ; - c)  AB. AC = (b − 1)(c − 1) = (b + 1)(5 − c)  & ABC vu«ng c©n t¹i A    2 2  AB = AC (b − 1) + (b + 1) = (c − 1) + (5 − c) GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ HÌNH HỌC PHẲNG ƠN THI ĐẠI HỌC (b + 1)(5 − c)  b − = .(1)  c −1 v× c = kh«ng lµ n0 nªn hƯ   (5 − c ) (b + 1) . + (b + 1) = (c − 1) + (5 − c) (2)  (c − 1) 2 Tõ (2)  (b + 1) = (c - 1) . Víi b = c – thay vµo (1) => c = ; b = => B(2 ; 1) & C( ; 5). Víi b = - c thay vµo (1) => c = ; b = - => B(- ; 5) & C(2 ; 7). KÕt ln :cã hai tam gi¸c tho¶ m·n: B(2 ; 1) & C( ; 5) hc B(- ; 5) & C(2 ; 7). 15) Trong hƯ to¹ ®é Oxy ®êng th¼ng (d): x – y +1 =0 vµ ®êng trßn (C): x + y + x − y = .T×m ®iĨm M thc ®êng th¼ng (d) mµ qua M kỴ ®ỵc hai ®êng th¼ng tiÕp xóc víi ®êng trßn (C) t¹i A vµ B cho ·AMB =600. 16) Trong mỈt ph¼ng víi hƯ to¹ ®é Oxy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD biÕt ph¬ng tr×nh c¹nh BC:x + 2y - = ph¬ng tr×nh ®êng chÐo BD: 3x + y – = 0,®êng chÐo AC ®i qua M(-5;2).H·y t×m täa ®é c¸c ®Ønh cđa h×nh ch÷ nhËt ABCD. 17) Phương trình hai cạnh tam giác mặt phẳng tọa độ 5x - 2y + = 0; 4x + 7y – 21 = 0. viết phương trình cạnh thứ ba tam giác đó, biết trực tâm trùng gốc tọa độ O Giả sử AB: 5x - 2y + = 0; AC: 4x + 7y –r21 = Vậy A(0;3) Đường cao đỉnh BO qua O nhận VTCP a = (7; - 4) AC làm VTPT Vây BO: 7x - 4y = B(-4;-7) A nằm Oy, đường cao AO trục OY, Vậy AC: y + = 18) Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + = 0. Tìm M thuộc trục tung cho qua M kẽ hai tiếp tuyến (C) mà góc hai tiếp tuyến 600. HD: (C) có tâm I(3;0) bán kính R = M ∈ Oy ⇒ M(0;m) Qua M kẽ hai tiếp tuyến MA MB ( A B hai tiếp điểm)  ·AMB = 600 (1) Vậy   ·AMB = 1200 (2) Vì MI phân giác ·AMB IA (1) ⇔ ·AMI = 300 ⇔ MI = ⇔ MI = 2R ⇔ m + = ⇔ m = m sin 300 IA (2) ⇔ ·AMI = 600 ⇔ MI = R ⇔ m2 + = Vơ nghiệm ⇔ MI = sin 60 3 Vậy có hai điểm M1(0; ) M2(0;- ) 19) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Lập phương trình đường thẳng qua A(8 ;6) tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích 12 Giả sử (d) qua A(8;6) cắt trục Ox, Oy điểm M(a;0), N(0;b) a,b khác 0.Khi x y (d) có phương trình + = . Vì (d) qua A nên + = (1) a b a b 8  + =1 lại có S ∆OAB = ab = 12 (2). Từ (1) (2) ta có hệ  a b  ab = 24  GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ HÌNH HỌC PHẲNG ƠN THI ĐẠI HỌC  a =  x y x y b = −6 ⇔ − = 1, − + =  a = −8 từ có đường thẳng thoả mãn điều kiện   b = 20) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy viết phương trình cạnh hình chữ nhật ABCD .Biết AB = 2BC , A, B thuộc đường thẳng qua M( − ;1 ), B, C thuộc đường thẳng qua N(0 ; 3), A,D thuộc đường thẳng qua P(4 ; -1/3), C,D thuộc đường thẳng qua Q(6 ;2) HD : Phương trình AB có dạng: y = k(x + 4/3) + DC: y = k(x - 6) + , BC: x + ky – 3k = , AD: x + ky -4 + k/3 = Vì AB = 2BC nên d(AD,BC)=2d(AB,DC) hay d(P;BC) = 2d(M;DC) k  − − 3k − k − − 6k + k =  10k − 12 = − 44k 3 = ⇔ ⇔ 2 1+ k 1+ k 10k − 12 = 44k − k = −  17 Với k = 1/3 ta có phương trình cạnh hình chữ nhật là: AB: y = 1/ 3( x + / 3) + 1, DC : y = 1/ 3( x − 6) + 2, BC : x + 1/ y − = 0, AD : x + 1/ y − 35 / = Với k = -3/17 ta có phương trình cạnh hình chữ nhật là: AB : y = −3 /17( x + / 3) + 1, DC : y = −3 /17( x − 6) + 2, BC : x − /17 y + /17 = 0, AD : x − /17 y − − /17 = 21) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ). Viết PT đường thẳng (Δ) vng góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 cắt đường tròn (C) A; B cho AB = Đường tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5 Gọi H trung điểm AB AH=3 IH AB suy IH =4 Mặt khác IH= d( I; Δ ) I Vì Δ || d: 4x-3y+2=0 nên PT Δ có dạng 3x+4y+c=0 A H B có đt thỏa mãn tốn: 3x+4y+29=0 3x+4y-11=0 d(I; Δ )= x y2 − =1 22) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình: điểm M(2; 1). Viết phương trình đường thẳng d qua M, biết đường thẳng cắt (H) hai điểm A, B mà M trung điểm AB. HD: Giả sử d qua M cắt (H) A, B : với M trung điểm AB 3x 2A − 2y 2A = (1)  2 A, B ∈ (H) : ⇒ 3x B − 2y B = (2) M trung điểm AB nên : xA + xB = (3) yA + yB = (4) (1) − (2) ta có : 3(x2A - x2B) - 2(y2A - y2B) = (5) Thay (3) (4) vào (5) ta có : 3(xA -xB)-(yA-yB) = ⇔ 3(2xA-4)-(2yA- 2) = ⇔ 3xA - yA = Tương tự : 3xB - yB = 5. Vậy phương trình d : 3x - y - = 23) Cho hình tam giác ABC có diện tích 2. Biết A(1;0), B(0;2) trung điểm I AC nằm trênuuu đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C. r HD: Ta có: AB = ( −1; ) ⇒ AB = . Phương trình AB là: x + y − = . GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ HÌNH HỌC PHẲNG ƠN THI ĐẠI HỌC I ∈ ( d ) : y = x ⇒ I ( t ; t ) . I trung điểm AC: C (2t − 1;2t ) Theo ra: S ∆ABC t = = AB.d (C , AB) = ⇔ . 6t − = ⇔  t =  3 24) Trong mỈt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(1;1) , B (−2; 5) , ®Ønh C n»m trªn ®êng th¼ng x − = , vµ träng t©m G cđa tam gi¸c n»m trªn ®êng th¼ng x − y + = . TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC. 1− + + + yC y = 1, yG = = + C . §iĨm G n»m trªn ®êng Ta cã C = (4; yC ) . Khi ®ã täa ®é G lµ xG = 3 th¼ng x − y + = nªn − − yC + = , vËy yC = , tøc lµ Từ ta có điểm C(-1;0) C( ; ) thoả mãn C = (4; 2) . Ta cã AB = (−3; 4) , AC = (3;1) , vËy AB = , AC = 10 , AB. AC = −5 . 1 15 DiƯn tÝch tam gi¸c ABC lµ S = AB . AC − AB. AC = 25.10 − 25 = 2 25) Trong mỈt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2;−1) , B (1;− 2) , träng t©m G cđa tam gi¸c n»m trªn ®êng th¼ng x + y − = . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 V× G n»m trªn ®êng th¼ng x + y − = nªn G cã täa ®é G = (t ; − t ) . Khi ®ã AG = (t − 2;3 − t ) , 1 AG . AB − AG. AB = (t − 2) + (3 − t ) − = AB = (−1;−1) VËy diƯn tÝch tam gi¸c ABG lµ S = 2 2t − 2t − NÕu diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diƯn tÝch tam gi¸c ABG b»ng 13,5 : = 4,5 . VËy = 4,5 , suy t = hc t = −3 . VËy cã hai ®iĨm G : G1 = (6;−4) , G = (−3;−1) . V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn xC = xG − ( xa + xB ) vµ yC = yG − ( ya + y B ) . Víi G1 = (6;−4) ta cã C = (15;−9) , víi G = ( −3;−1) ta cã C =(−12;18) ( ) ( ) [ ] 26)Trong mặt phẳng oxy cho ∆ABC có A(2;1) . Đường cao qua đỉnh B có phương trình x3y - = .Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y +1 = . Xác định tọa độ B C . Tính diện tích ∆ABC . r +AC qua A vng góc với BH có VTPT n = (3;1) AC có phương trình 3x + y- 7=0  AC …… ⇒ C(4;- 5) CM + xB + y B + +1 = ; M thuộc CM ta 2 + Tọa độ C nghiệm hệ  + xB + yB = xM ; = yM 2  + xB + y B + +1 =  + Giải hệ  ta B(-2 ;-3)  xB − yB − = + Tính diện tích ∆ABC . GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ HÌNH HỌC PHẲNG ƠN THI ĐẠI HỌC + Tọa độ H nghiệm hệ …. Tính Diện tích S = 14  x =  x − 3y − = ⇔  3x + y − = y = −  10 ; AC = 10 1 10 AC.BH = .2 10. = 16 ( đvdt) 2 BH = 27) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ x + y – = 2x – y + = 0. Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC 28) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ∆ : x + y + = , ∆ ' :3 x − y + 10 = điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆ , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’. HD: Tâm I đường tròn thuộc ∆ nên I(-3t – 8; t) 3( −3t − 8) − 4t + 10 = (−3t − + 2) + (t − 1) Theo yc k/c từ I đến ∆ ’ k/c IA nên ta có 2 +4 Giải tiếp t = -3 Khi I(1; -3), R = pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25 29)Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I ( 1; −2;3) . Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y + x = . Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) , biết góc tiếp tuyến trục tung 30o . Ta có: Hệ số góc tiếp tuyến ( ∆ ) cần tìm ± . ( C ) : ( x + 1) + y = ⇒ I ( −1;0 ) ; R = Do đó: ( ∆1 ) : x − y + b = tiếp xúc (C) ⇔ d ( I , ∆1 ) = R b− = ⇔ b = ±2 + . KL: ( ∆1 ) : x − y ± + = . Và : ( ∆ ) : x + y + b = tiếp xúc (C) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔ ⇔ b− = ⇔ b = ±2 + . KL: ( ∆ ) : x + y ± + = . 30)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình cạnh tam giác ABC biết trực tâm H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B K (0; 2) , trung điểm cạnh AB M (3;1) .+ Đường thẳng AC vng góc với HK nên nhận uuur HK = (−1; 2) làm vtpt AC qua K nên ( AC ) : x − y + = 0. Ta dễ có: ( BK ) : x + y − = . + Do A ∈ AC , B ∈ BK nên giả sử A(2a − 4; a ), B (b; − 2b). Mặt khác M (3;1) trung điểm AB nên ta có hệ: GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ HÌNH HỌC PHẲNG ƠN THI ĐẠI HỌC  2a − + b = 2a + b = 10 a = ⇔ ⇔ .   a + − 2b =  a − 2b = b = Suy ra: A(4; 4), B(2; − 2). uuur + Suy ra: AB = (−2; − 6) , suy ra: ( AB) : 3x − y − = . uuur + Đường thẳng BC qua B vng góc với AH nên nhận HA = (3; 4) , suy ra: ( BC ) : x + y + = 0. KL: Vậy : ( AC ) : x − y + = 0, ( AB ) : x − y − = , ( BC ) : x + y + = 0. 31)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x + y – x – y + = 0, (C ') : x + y + x – = qua M(1; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB + Gọi tâm bán kính (C), (C’) I(1; 1) , I’(-2; 0) R = 1, R ' = , đường thẳng (d) qua M có phương trình a ( x − 1) + b( y − 0) = ⇔ ax + by − a = 0, ( a + b ≠ 0)(*) . + Gọi H, H’ trung điểm AM, BM. 2 Khi ta có: MA = 2MB ⇔ IA2 − IH = I ' A2 − I ' H '2 ⇔ − ( d ( I ;d ) ) = 4[9 − ( d ( I ';d ) ) ] , IA > IH . 9a b2 36a − b − = 35 ⇔ = 35 ⇔ a = 36b 2 2 2 a +b a +b a +b  a = −6 Dễ thấy b ≠ nên chọn b = ⇒  .  a=6 Kiểm tra điều kiện IA > IH thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn ⇔ ( d ( I ';d ) ) − ( d ( I ;d ) ) = 35 ⇔ 4. 32)Trong hệ tọa độ Oxy, viết phương trình hyperbol (H) dạng tắc biết (H) tiếp xúc với đường thẳng d : x − y − = điểm A có hồnh độ 4. Gọi ( H ) : x2 a − y2 b = . (H) tiếp xúc với d : x − y − = ⇔ a − b = x = ⇒ y = ⇒ A ( 4; ) ∈ ( H ) ⇒ 16 a − b2 ( 1) = ( 2) Từ (1) (2) suy a = 8; b = ⇒ ( H ) : x2 y2 − =1 33)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình tiếp tuyến chung elip (E): x2 y2 + = parabol (P): y2 = 12x. Giả sử đường thẳng (∆) có dạng: Ax + By + C = (A2 + B2 > 0) (∆) tiếp tuyến (E) ⇔ 8A2 + 6B2 = C2 (1) (∆) tiếp tuyến (P) ⇔ 12B2 = 4AC ⇔ 3B2 = AC (2) Thế (2) vào (1) ta có: C = 4A C = −2A. Với C = −2A ⇒ A = B = (loại) Với C = 4A ⇒ B = ± 2A ⇒ Đường thẳng cho có phương trình: GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ HÌNH HỌC PHẲNG ƠN THI ĐẠI HỌC 2A y + 4A = ⇔ x ± y+4=0 3 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: x ± y+4=0 Ax ± 34) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH : x − y + = , phân giác BN : x + y + = .Tìm toạ độ đỉnh B,C tính diện tích tam giác ABC + Do AB ⊥ CH nờn AB: x + y + = . 2 x + y + = ta có (x; y)=(-4; 3).  x + y +1 = Do đó: AB ∩ BN = B (−4;3) . + Lấy A’ đối xứng A qua BN thỡ A ' ∈ BC . Giải hệ:  - Phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với BN (d): x − y − = . 2 x + y + = . Suy ra: I(-1; 3) ⇒ A '(−3; −4) x − 2y − = 7 x + y + 25 = + Phương trình BC: x + y + 25 = . Giải hệ:   x − y +1 = 13 Suy ra: C ( − ; − ) . 4 450 d ( A; BC ) = 7.1 + 1(−2) + 25 = + BC = (−4 + 13 / 4) + (3 + / 4) = , . + 12 1 450 45 Suy ra: S ABC = d ( A; BC ).BC = .3 2. = . 2 4 Gọi I = (d ) ∩ BN . Giải hệ:  35) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I giao điểm đường thẳng d1 : x − y − = d : x + y − = . Trung điểm cạnh giao điểm d1 với trục Ox. Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật Ta có: d ∩ d = I . Toạ độ I nghiệm hệ: x − y − = x = / 9 3 ⇔ . Vậy I =  ; ÷  2 2 x + y − = y = 3/ Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M trung điểm cạnh AD ⇒ M = d ∩ Ox Suy M( 3; 0) 9 3  Ta có: AB = IM =  −  +   = 2 2  S ABCD 12 = =2 AB Vì I M thuộc đường thẳng d1 ⇒ d ⊥ AD Theo giả thiết: S ABCD = AB.AD = 12 ⇔ AD = Đường thẳng AD qua M ( 3; 0) vng góc với d1 nhận n(1;1) làm VTPT nên có PT: 1(x − 3) + 1(y − 0) = ⇔ x + y − = . Lại có: MA = MD = x + y − = Toạ độ A, D nghiệm hệ PT:   ( x − 3) + y = y = − x + y = − x + y = − x ⇔ ⇔ ⇔   2 2  x − = ±1 ( x − 3) + y = ( x − 3) + (3 − x) = GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 10 HÌNH HỌC PHẲNG ƠN THI ĐẠI HỌC x = x = ⇔  . Vậy A( 2; 1), D( 4; -1) y =  y = −1 x C = x I − x A = − = 9 3 Do I ;  trung điểm AC suy ra:  2 2 y C = y I − y A = − = Tương tự I trung điểm BD nên ta có B( 5; 4) Vậy toạ độ đỉnh hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) 1  36) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I =  ;0 ÷ 2  Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + = 0, AB = 2AD hồnh độ điểm A âm. Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật đó. +) d ( I , AB) = ⇒ AD = ⇒ AB = ⇒ BD = 5. +) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4 +) Tọa độ A, B nghiệm  x =  25  ( x − ) + y =   y = ⇒ A(−2;0), B(2; 2) ⇔ hệ:    x = −2  x − y + =    y = ⇒ C (3;0), D(−1; −2) 37) Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) đường thẳng ∆ : 3x − y + = . Tìm ∆ hai điểm A B đối xứng qua I(2;5/2) cho diện tích tam giác ABC bằng15. 3a + 16 − 3a ) ⇒ B (4 − a; ) . Khi diện tích tam giác ABC Gọi A(a; 4 S ABC = AB.d (C → ∆) = AB . 2 a =  − 3a  Theo giả thiết ta có AB = ⇔ (4 − 2a ) +  ÷ = 25 ⇔  a =    Vậy hai điểm cần tìm A(0;1) B(4;4). x2 y 38) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp ( E ) : + = hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) . Tìm (E) điểm C có hồnh độ tung độ dương cho tam giác ABC có diện tích lớn Ta có PT đường thẳng AB:2x+3y=0 x2 y2 Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi ta có + = diện tích tam giác ABC 85 85 x y S ABC = AB.d (C → AB ) = 2x + 3y = + 13 13 85  x y  170 2 + ÷ = 13   13  x2 y   + =  x = 3 ⇔ Dấu xảy  . Vậy C ( ; 2) x = y y =   39) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = (d2): 4x + 3y - 12 = 0. Tìm toạ độ tâm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1), (d2), trục Oy Gọi A giao điểm d1 d2 ta có A(3 ;0) Gọi B giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4) ≤3 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 11 HÌNH HỌC PHẲNG ƠN THI ĐẠI HỌC Gọi C giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4) Gọi BI đường phân giác góc B với I thuộc OA ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3 40) Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) đường thẳng (d): x - y - = 0. Lập phương trình đường tròn qua điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng (d). Vì đường tròn qua A, B tiếp xúc với d nên ta có hệ phương trình (1 + a ) + b = R a =   2 2 (1 − a ) + (2 − y ) = R ⇔ b = Vậy đường tròn cần tìm là: x + (y - 1) = (a − b − 1) = R R2 =   41)Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) biết phương trình cạnh AB, AC theo thứ tự 4x + y + 14 = 0; 2x + 5y − = . Tìm tọa độ đỉnh A, B, C { 4x + y + 14 = { x = −4 Tọa độ A nghiệm hệ 2x + 5y − = ⇔ y = ⇒ A(–4, 2) Vì G(–2, 0) trọng tâm ∆ABC nên 3x G = x A + x B + x C x B + x C = −2 ⇔  3y G = y A + y B + y C y B + y C = −2 (1) VìB(xB, yB) ∈ AB ⇔ yB = –4xB – 14 (2); C(xC, yC) ∈ AC ⇔ y C = − 2x C + ( 3) 5  xB + xC = −2  xB = −3 ⇒ yB = −2  ⇒ Thế (2) (3) vào (1) ta có  xC −4 xB − 14 − + = −2  xC = ⇒ yC = Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) 42)Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = 0. Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) điểm A, B cho AB = . Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2) R = Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB ⊥ IM trung điểm H đoạn AB. Ta có AH = BH = AB . Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I. = 2 Gọi A'B' vị trí thứ AB. Gọi H' trung điểm A'B'  3 2 Ta có: IH ' = IH = IA − AH = −  ÷ Ta có: MI = ( − 1) + ( + ) = = ÷   13 MH = MI − HI = − = ; MH ' = MI + H ' I = + = 2 2 49 52 R12 = MA = AH + MH = + = = 13 Ta có: 4 169 172 R 22 = MA'2 = A' H'2 + MH'2 = + = = 43 4 Vậy có đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 12 [...]...  Theo giả thiết ta có AB = 5 ⇔ (4 − 2a ) 2 +  ÷ = 25 ⇔  a = 0  2   Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4) x2 y 2 38) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp ( E ) : + = 1 và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) Tìm 9 4 trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất Ta có PT đường thẳng AB:2x+3y=0 x2 y2 Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi đó ta có + = 1 và diện tích... 39) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0 Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta có A(3 ;0) Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4) ≤3 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 11 HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4)... tại trung điểm H của đoạn AB Ta có AH = BH = AB 3 Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I = 2 2 Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB Gọi H' là trung điểm của A'B' 2  3 3 2 2 Ta có: IH ' = IH = IA − AH = 3 −  ÷ = Ta có: MI = ( 5 − 1) + ( 1 + 2 ) = 5  2 ÷ 2   3 13 3 7 và MH = MI − HI = 5 − = ; MH ' = MI + H ' I = 5 + = 2 2 2 2 3 49 52 2 R1 = MA 2 = AH 2 + MH 2 = + = = 13 Ta có: 4 4 4 3 169 172 R 2 = MA'2...HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC x = 2 x = 4 ⇔ hoặc  Vậy A( 2; 1), D( 4; -1) y = 1  y = −1 x C = 2 x I − x A = 9 − 2 = 7 9 3 Do I ;  là trung điểm của AC suy ra:  2 2 y C = 2 y I − y A = 3 − 1 = 2 Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4) Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) 1  36) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm... −2  xB = −3 ⇒ yB = −2  ⇒ Thế (2) và (3) vào (1) ta có  2 xC 2 −4 xB − 14 − 5 + 5 = −2  xC = 1 ⇒ yC = 0  Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) 42) Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB = 3 Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2) R = 3 Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn... có hệ phương trình (1 + a ) 2 + b 2 = R 2 a = 0   2 2 2 2 2 (1 − a ) + (2 − y ) = R ⇔ b = 1 Vậy đường tròn cần tìm là: x + (y - 1) = 2 (a − b − 1) 2 = 2 R 2 R2 = 2   41)Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0; 2x + 5y − 2 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C { 4x + y + 14 = 0 { x = −4 Tọa độ A là nghiệm của hệ 2x... thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó +) d ( I , AB) = 5 ⇒ AD 2 = 5 ⇒ AB = 2 5 ⇒ BD = 5 +) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4 +) Tọa độ A, B là nghiệm của  x = 2  1 2 25  2 ( x − ) + y = y = 2 ⇔ ⇒ A(−2;0), B(2; 2) 4 hệ:  2   x = −2 x − 2 y + 2 = 0    y = 0  ⇒ C (3;0), D(−1; −2) 37) Trong mặt phẳng với... điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4) Gọi BI là đường phân giác trong góc B với I thuộc OA khi đó ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3 40) Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0 Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d) Vì đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với d nên ta có hệ phương trình (1 + a ) 2 + b 2 = R 2 a = 0   2 2 2 2 2 (1 − a ) + (2 − y ) = R ⇔ b... 2 ÷ 2   3 13 3 7 và MH = MI − HI = 5 − = ; MH ' = MI + H ' I = 5 + = 2 2 2 2 3 49 52 2 R1 = MA 2 = AH 2 + MH 2 = + = = 13 Ta có: 4 4 4 3 169 172 R 2 = MA'2 = A' H'2 + MH'2 = + = = 43 2 4 4 4 2 2 Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 GV Bùi Văn Nhạn Trường THPT Long Mỹ 12 . tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5 Gọi H là trung điểm AB thì AH=3 và IH AB suy ra IH =4 Mặt khác IH= d( I; Δ ) Vì Δ || d: 4x-3y+2=0 nên PT của Δ có dạng 3x+4y+c=0 vậy có 2 đt thỏa mãn bài toán:. ta có B( 5; 4) Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) 36) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 ;0 2 I   =  ÷   Đường thẳng AB có. B(-3;2) . Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất Ta có PT đường thẳng AB:2x+3y=0 Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi đó ta có 2 2 1 9 4 x y + = và