BỘ ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN NĂM 2015 CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

1: (1,5 điểm)1. Thực hiện phép tính: 4 16 3 9  2. Rút gọn biểu thức: M = a + a a a 1 1a +1 1 a             Với a ≥ 0 và a ≠ 1. 2: (2,0 điểm)1. Giải phương trình và hệ phương trình sau:a) x +3x 4=0 2  b) 2x y 13x 2y 12    2. Cho phương trình: x2 – 2x + m + 3 = 0 (với m là tham số)a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3 và tìm nghiệm còn lại.b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức2 2x x x x 1 2 1 2     4 0. 3: (2,0 điểm)Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì xong một con đường. Nếumỗi đội làm riêng để xong con đường thì thời gian đội thứ nhất ít hơn đội thứ hai là 6giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm xong con đường trong thời gian bao lâu? 4: (3,5 điểm)Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm nằm giữa hai điểm A vàB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ hai tia Ax và By tiếp xúcvới nửa đường tròn đã cho. Trên tia Ax lấy điểm I (với I khác A); đường thẳng vuônggóc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt tia IK tại E.1. Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn.2. Chứng minh AI . BK = AC.CB.3. Chứng minh điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB.4. Cho các điểm A; B; I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tíchhình thang ABKI lớn nhất. 5: (1,0 điểm)Cho x, y là các số dương thỏa mãn (11x + 6y + 2015)(x – y + 3) = 0. Tìm giá trịnhỏ nhất của biểu thức P xy x    5 2016

BỘ ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN NĂM 2015

CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NĂM HỌC 2015 - 2016

Ngày thi: 11/6/2015

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

2 Cho phương trình: x2 – 2x + m + 3 = 0 (với m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3 và tìm nghiệm còn lại

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức

4: (3,5 điểm)

Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm nằm giữa hai điểm A và

B Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ hai tia Ax và By tiếp xúc

với nửa đường tròn đã cho Trên tia Ax lấy điểm I (với I khác A); đường thẳng vuông

góc với CI tại C cắt tia By tại K Đường tròn đường kính IC cắt tia IK tại E

1 Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn

2 Chứng minh AI BK = AC.CB

3 Chứng minh điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB

4 Cho các điểm A; B; I cố định Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích

ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN QUẢNG NAM

NĂM HỌC: 2015 – 2016 Thời gian: 150 phút Ngày thi: 4/6/ 2015

trị của A – 1 khi x = 2016 2 2015

b) Cho A =  2015 2015 2015

2 1  2  n với n là số nguyên dương

Chứng minh A chia hết cho n(n + 1)

độ dài ba cạnh của tam giác vuông trong đó a là độ dài cạnh huyền Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt là x1 và x2 thỏa mãn

2 2

1 2 2

x x 

Câu 4 (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H

Các tia phân giác các góc EHB, DHC cắt AB, AC lần lượt tại I và K Qua I và K lần lượt vẽ các đường vuông góc với AB, AC chúng cắt nhau tại M

a) Chứng minh AI = AK

b) Giả sử tam giác nhọn ABC có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A di động

Chứng minh

đường thẳng HM luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5 (2 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB Qua A và B lần lượt vẽ các tiếp

tuyến d1 và d2 với (O) Từ điểm M bất kì trên (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt d1

tại C và cắt d2 tại D Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn (O) tại E và F (E thuộc cung AM), gọi I là giao điểm của AD và BC

a) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

b) Chứng minh MI vuông góc với AB và ba điểm E, I, F thẳng hàng

9

x y z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z – (xy + yz + zx)

- hết - Các em thử sức với đề thi chuyên toán Quảng Nam

KỲ THI TUYỂN VÀO LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2015 - 2016

Khóa ngày: 19/06/2015 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 2: (1.5điểm): Cho hàm số: y = (m-1)x + m + 3 với m 1 (m là tham số)

a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm M(1; -4)

b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đường thẳng (d): y = -2x + 1

Câu 3: (2.0điểm): Cho phương trình: x2 – (2m+1)x + m2 + m -2 = 0 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn:

Câu 5: (3.5điểm): Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, hai

đường cao BD và CE cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại P và Q (P B, Q C)

a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn

b) Gọi H là giao điểm của BD và CE Chứng minh HB.HP = HC.HQ

c) Chứng minh OA vuông góc với DE

SỞ GD-ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

Với m = -3 thì đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm M (1; -4)

2b Để đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng (d): y =-2x +1

1 2 1 2(x x ) 5 x x =9  2

1 2 1 2 1 2(x x ) 2x x 5x x = 9  2

1 2 1 2(x x ) 7x x =9 (2m+1)2 – 7(m2

+ m -2) = 9  4m2 +4m+ 1 - 7m2 – 7m+14= 9

 3m2

+3m - 6= 0 Phương trình có dạng: a + b +c = 0 hay 3 +3+ (-6) = 0

2 -2 2x2 2y- 2xy0 (xy=1 nên 2.xy = 2)

(x-y - 2)2 0 Điều này luôn luôn đúng

Vậy ta có điều phải chứng minh

5

Vậy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC

5c kẽ tiếp tuyến Ax Ta có góc CAx ABC ( cùng chắn cung AC)

Mà ABC ADE( tứ giác BEDC nội tiếp)

nên CAxADE

Mà hai góc ở vị trí so le trong

Suy ra Ax // DE

x

Mà OA vuông góc Ax nên OA vuông góc DE

GV: Nguyễn Phương Tú – Trường THCS Nhơn Thành – An

Nhơn-01654235797

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Thời gian làm bài: 120 phút

(Đề thi này gồm 1 trang, có 5 câu)

5 2 3

y x

y x

thẳng y = 2

Câu 3 (1,25 điểm)

Hai công nhân cùng làm chung một công việc trong 6 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ 20 phút và người thứ hai làm trong 10 giờ thì xong công việc Tính thời gian mỗi công nhân khi làm riêng xong công việc

HẾT

=> x 1= 2 và x 2= -2 hay tọa đô giao điểm là ( (-2;2) và (2 ; 2)

bài 3

Gọi x (h) là thời gian người thứ nhất làm 1 mình xong công việc ( x > 6) thì trong 1h người thứ nhất làm được 1/x (cv)

y (h) là thời gian người thứ hai làm 1 mình xong công việc ( y > 6)trong 1h người thứ nhất làm được 1/y (cv) trong 3h20' người thứ nhất làm được 10 1.

D

a) Dùng định lí Pytago cho tam giác vuông ACB và ADB

b) Ta có E là trung điểm của AC, F là trung điểm của AD nên OE vuông góc với

AC, OF vuông góc với AD do đó tứ giác AEOF có tổng hai góc đối là 2v nên nội tiếp Do góc AEO vuông nên tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOF là trung điểm của AO

c) * Ta có tam giác OAD cân tại O nên góc OAD = góc ODA, mà góc ADK = góc AEK = góc AOF Do góc OAD + góc AOF = 900 nên góc ODA + góc ADK = 900 suy ra DK vuông góc với DO suy ra KD là tiếp tuyến (O)

* Ta có OF là đường trung bình tam giác ABD nên OF // DB suy ra AOF = góc ABD = góc ACD

Để tứ giác AEDK là hình chữ nhật thì EF = FK = FA = FD suy ra góc FAE =

góc FEA suy ra góc FAE = góc ACD do đó tam giác ACD cân tại D

Cách 2

1) C/m AC2 +CB2 = AD2 + DB2

ABC vuông tại C Theo Pitago thì AB2

= AC2+CB2

ABD vuông tại D Theo Pitago thì AB2

= AC2+CB2

2) cm AOEF nội tiếp

E là trung điểm dây AC nên OE AC hay AEO900

F là trung điểm dây AD nên OF AD hay AFO900

0180

AEOAFO =>AOEF nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng 1800) , Tâm của đường tròn là trung điểm OA

3) C/m DK là tiếp tuyến (O)

ABD có FO là đường trung bình nên AOF ABD

1

2

ADK  AEF AEK AOF ABD sd AD

Vậy DK là tiếp tuyến (O)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Thời gian làm bài: 120 phút

(Đề thi này gồm 1 trang, có 5 câu)

5 2 3

y x

y x

thẳng y = 2

Câu 3 (1,25 điểm)

Hai công nhân cùng làm chung một công việc trong 6 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ 20 phút và người thứ hai làm trong 10 giờ thì xong công việc Tính thời gian mỗi công nhân khi làm riêng xong công việc

HẾT

=> x 1= 2 và x 2= -2 hay tọa đô giao điểm là ( (-2;2) và (2 ; 2)

bài 3

Gọi x (h) là thời gian người thứ nhất làm 1 mình xong công việc ( x > 6) thì trong 1h người thứ nhất làm được 1/x (cv)

y (h) là thời gian người thứ hai làm 1 mình xong công việc ( y > 6)trong 1h người thứ nhất làm được 1/y (cv) trong 3h20' người thứ nhất làm được 10 1.

D

a) Dùng định lí Pytago cho tam giác vuông ACB và ADB

b) Ta có E là trung điểm của AC, F là trung điểm của AD nên OE vuông góc với

AC, OF vuông góc với AD do đó tứ giác AEOF có tổng hai góc đối là 2v nên nội tiếp Do góc AEO vuông nên tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOF là trung điểm của AO

c) * Ta có tam giác OAD cân tại O nên góc OAD = góc ODA, mà góc ADK = góc AEK = góc AOF Do góc OAD + góc AOF = 900 nên góc ODA + góc ADK = 900 suy ra DK vuông góc với DO suy ra KD là tiếp tuyến (O)

* Ta có OF là đường trung bình tam giác ABD nên OF // DB suy ra AOF = góc ABD = góc ACD

Để tứ giác AEDK là hình chữ nhật thì EF = FK = FA = FD suy ra góc FAE =

góc FEA suy ra góc FAE = góc ACD do đó tam giác ACD cân tại D

Cách 2

1) C/m AC2 +CB2 = AD2 + DB2

ABC vuông tại C Theo Pitago thì AB2

= AC2+CB2

ABD vuông tại D Theo Pitago thì AB2

= AC2+CB2

2) cm AOEF nội tiếp

E là trung điểm dây AC nên OE AC hay AEO900

F là trung điểm dây AD nên OF AD hay AFO900

0180

AEOAFO =>AOEF nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng 1800) , Tâm của đường tròn là trung điểm OA

3) C/m DK là tiếp tuyến (O)

ABD có FO là đường trung bình nên AOF ABD

1

2

ADK  AEF AEK AOF ABD sd AD

Vậy DK là tiếp tuyến (O)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

BÌNH THUẬN Năm học: 2015 – 2016 – Khoá ngày: 15/06/2015

Môn thi: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài:120 phút

(Đề thi có 01 trang) (Không kể thời gian phát đề)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, D là một điểm tùy ý trên

nửa đường tròn ( D khác A và D khác B) Các tiếp tuyến với nửa đường tròn (O) tại

A và D cắt nhau tại C, BC cắt nửa đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E Kẻ DF

vuông góc với AB tại F

a) Chứng minh : Tứ giác OACD nội tiếp

b) Chứng minh : CD2 = CE.CB c) Chứng minh : Đường thẳng BC đi qua trung điểm của DF

d) Giả sử OC = 2R, tính diện tích phần tam giác ACD nằm ngoài nửa đường tròn (O) theo R

- HẾT -

Giám thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1 : Chữ ký của giám thị 2 :

4

a

I E C

D

B O

F A

  , suy ra ∆ADA’ vuông tại D

Lại có CD = CA ( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên suy ra được CD = C A’, do đó CA = A’C (1)

Mặt khác ta có DF // AA’ (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì ID IF BI

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

OACD OCD

3R (đvdt) Diện tích phần tam giác ACD nằm ngoài nửa đường tròn (O)

SGD – ĐT TP CẦN THƠ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học : 2015 - 2016

MÔN TOÁN – thời gian 120 phút

b) Tính 2a3 + 3b4 biết phương trình nhận x1 = 3, x2= -9 làm nghiệm

Câu 4: (1,5 điểm) Nhân ngày quốc tế thiếu nhi, 13 HS ( nam và nữ) tham gia gói 80 phần quà

cho các em thiếu nhi Biết tổng số quà mà HS nam gói được bằng tổng số quà mà HS nữ gói được Số quà mỗi bạn nam gói nhiều hơn số quà mà mỗi bạn nữ gói là 3 phần Tính số HS nam

và nữ

Câu 5: (3 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB =2R Đường thẳng qua O và vuông góc AB cắt cung AB tại C Gọi E là trung điểm BC AE cắt nửa đường tròn O tại F Đường thẳng qua C và vuông góc AF tại G cắt AB tại H

a) Cm: tứ giác CGOA nội tiếp đường tròn Tính OGH

b) Chứng minh: OG là tia phân giác C F O

d) Tính diện tích  FAB theo R

Giải phương trình ta được: x = 2 ; x = -4

Tọa độ giao điểm là: (2; -2) và (-4; -8)

Khi đó: y1  y2  5( x1  x2)      2 ( 8) 5(2  4)  0

Câu 3: x2  ax  b2   5 0

a) Khi a = b = 3 ta có phương trình: x2 – 3x – 4 = 0

vì a – b + c = 1 – (-3) – 4 = 0 nên phương trình có nghiệm: x = -1; x = 4

b) Vì phương trình nhận x = 3; x = -9 là nghiệm nên ta có hệ phương trình

3 13

b) Vì tứ giác ACGO nội tiếp

Nên CAG  COG ( cùng chắn cung CG)

O 2

CAG  C F ( góc nột tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CF)

1 O 2

Nên hai tam giác đồng dạng

d) Gọi D là giao điểm CO và AE

Ta có D là trọng tâm  CAB(CO và AE là trung tuyến)

O A

B C

H

Do đó theo định lý Pita go ta tính được: AD= 10

A

10

10 5 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT (2015–2016)

a

a a

Cho phương trình: x2 + 2(1 – m)x – 3 + m = 0 , m là tham số

a) Giải phương trình với m = 0

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

c) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm đối nhau

Bài 3: (2,0 điểm)

Trên một vùng biển được xem như bằng phẳng và không có các chướng ngại vật Vào lúc 6 giờ có một tàu cá đi thẳng qua tọa độ X theo hướng từ Nam đến Bắc với vận tốc không đổi đến 7 giờ một tàu du lịch cũng đi thẳng qua tọa độ X nhưng theo hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu cá 12 km/h Đến 8 giờ khoảng cách giữa hai tàu là 60km Tính vận tốc mỗi tàu

Bài 4: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Vẽ đường cao

AH của tam giác ABC, đường kính AD của đường tròn (O) Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C và B xuống đường thẳng AD Gọi M là trung điểm BC

a) Chứng minh các tứ giác ABHF và BMFO nội tiếp

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (2,0 điểm)

a) Thay m = 0 vào phương trình đã cho ta được: x2 + 2x – 3 = 0

ta có a + b + c = 1 + 2 – 3 = 0, phương trình có hai nghiệm là: x1 = 1; x2 = -3

vậy m = 0 phương trình có hai nghiệm là: x1 = 1; x2 = -3

  > 0 với mọi giá trị m

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

c) Vì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

Nên phương trình có hai nghiệm đối nhau khi: x1 + x2 = 0

Giải phương trình ta được x1 = 24 (thỏa mãn) và x2 = -28,8 (loại)

Vậy vận tốc của Tàu cá là 24 km/h còn vận tốc Tàu du lịch là 36 km/h

Bài 4: (3,0 điểm)

a) Tự chứng minh

b) Chứng minh được tứ giác AHEC nội tiếp

nên EHCEAC (cùng chắn cung EC)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LƠP 10 THPT TỈNH BÀ RỊA-VŨNG TÀU Năm học 2015 – 2016

ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN

Ngày thi: 15 tháng 6 năm 2015

Thời gian làm bài: 120 phút

Cho ường tr n (O) và m t iểm n m ngoài (O) Dựng cát tuyến MN không i qua

O, M n m giữa và N Dựng hai tiếp tuyến , C v i (O) ( ,C là hai tiếp iểm và C thu c cung nhỏ MN) Gọi I là trung iểm của MN

a) Chứng minh tứ giác OI n i tiếp

b) Hai tia O và CI lần lượt cắt (O) tại D và E (D khác , E khác C) Chứng minh góc CED = góc BAO

O A

1 1

x x





  

+ V i x1 = 0; ta có 0.x2 = m - 2 m = 2 (n);

x x

AIO  90 (IM  IN)

+ Suy ra ABO AIO= 1800 nên tứ giác ABOI n i tiếp ường tr n ường kính AO b\ Chứng minh CEDBAO

+ Vì ; C là hai tiếp tuyến của (O) nên O  BC

+ Ta có: E1 B1 ( hai góc n i tiếp cùng chắn cung CD của ường tròn (O))

1

BAO  B ( cùng phụ O 1)

Suy ra E1  BAOhay CEDBAO

c) Chứng minh OI vuông góc v i E

+ Ta có :

1

1

( )( )

Suy ra E1  I1 Mà hai góc này ở vị trí sole trong nên MN// E

+ Ta lại có MN OI ( IM = IN) nên OI BE

d) Chứng minh ba iểm ; T; Q thẳng hàng

+ Gọi K là giao iểm OF và P

QKP  90 (góc nt chắn nữa ường tr n) nên QK AP

+ Trong tam giác PQ có hai ường cao I và QK cắt nhau tại F nên F là trực tâm Suy ra PF là ường cao thứ ba của tam giác PQ nên PFQA (1)

+ Ta lại có QTP  900(góc nt chắn nữa ường tr n) nên PF  QT (2)

Từ (1); (2) suy ra Q QT Do ó ba iểm ; T; Q thẳng hàng

Bài 5: (0,5 điểm)Cho hai s dương x, y thỏa x  2y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2015 – 2016

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 (2,0 điểm)

a Chứng minh với mọi số n lẻ thì n² + 4n + 5 không chia hết cho 8

b Tìm nghiệm (x; y) của phương trình x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y với x, y thuộc N*

Câu 2 (2,0 điểm)

Cho phương trình 5x² + mx – 28 = 0 (m là tham số) Tìm các giá trị của m để phương trình có

2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện 5x1 + 2x2 = 1

Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và MN Vẽ tiếp tuyến d của đường tròn (O) tại

B Đường thẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F

a Chứng minh rằng MNFE là tứ giác nội tiếp

b Gọi K là trung điểm của FE Chứng minh rằng AK vuông góc với MN

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường thẳng d đi qua A sao cho d không cắt đoạn BC Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên d Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác BHKC

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 MÔN TOÁN BẠC LIÊU

Câu 1

a n² + 4n + 5 = (n + 2)² + 1

Vì n là số lẻ suy ra n + 2 = 2k + 1, k là số nguyên

Ta có (n + 2)² + 1 = 4k² + 4k + 2 không chia hết cho 4

Vậy n² + 4n + 5 không chia hết cho 8

b x² + 2y² + 3xy + 8 = 9x + 10y

<=> x² + 2xy + xy + 2y² – 8(x + y) – (x + 2y) + 8 = 0

<=> x(x + 2y) + y(x + 2y) – 8(x + y) – (x + 2y) + 8 = 0

Phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Ứng với mỗi nghiệm t > 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt Do đó, phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương

Suy ra a5 + b5 + c5 + 1 1 1

a   b c ≥ 2(a² + b² + c²) Mặt khác a² + 1 ≥ 2a; b² + 1 ≥ 2b; c² + 1 ≥ 2c

Suy ra a² + b² + c² ≥ 2a + 2b + 2c – 3 = 3

Vậy đpcm

Câu 4

a Tam giác ABE vuông tại B và BM vuông góc với AE

Nên ta có AM.AE = AB²

Tương tự AN.AF = AB²

Suy ra AM.AE = AN.AF

Hay AM/AN = AE/AF

Xét ΔAMN và ΔAFE có góc MAN chung

Và AM/AN = AF/AE

Do đó ΔAMN và ΔAFE đồng dạng

Suy ra góc AMN = góc AFE

Mà góc AMN + góc NME = 180° (kề bù)

Nên góc AFE + góc NME = 180°

Vậy tứ giác MNFE nội tiếp đường tròn

Suy ra góc KAF + góc ANM = 90°

Vậy AK vuông góc với MN

Câu 5

Ta có BC² = AB² + AC² = BH² + AH² + AK² + CK²

Ta cần chứng minh bất đẳng thức:

(ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²) (*)

Ta có: (*) <=> a²c² + 2acbd + b²d² ≤ a²c² + a²d² + b²c² + b²d²

<=> a²d² – 2abcd + b²c² ≥ 0 <=> (ad – bc)² ≥ 0 (đúng với mọi a, b, c, d)

Dấu bằng xảy ra khi ad = bc hay a/c = b/d

Áp dụng (*) ta được: 2(BH² + AH²) ≥ (BH + AH)² (1)

Tương tự ta có 2(AK² + CH²) ≥ (AK + CK)² (2)

Suy ra 2BC² ≥ (BH + AH)² + (AK + CK)² (3)

Đặt BH + AH = m; đặt AK + CK = n

Vì góc CAK + góc BAH = 90°; mà góc BAH + góc ABH = 90° nên góc CAK = góc ABH Dẫn đến tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAK

→ AH/CK = BH/AK = AB/AC = (AH + BH)/(CK + AK) = m/n

Nên AB²/m² = AC²/n² = (AB² + AC²)/(m² + n²) ≥ BC²/(2BC²) = 1/2

Hay m ≤ AB 2 và n ≤ AC 2

Chu vi tứ giác BHKC là BC + BH + AH + AK + KC = BC + m + n ≤ BC + (AB + AC) 2

Vậy chu vi BHKC lớn nhất là BC + (AB + AC) 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

1) Đưa thừ số ra ngoài dấu căn của biểu thức 28a4

2) Tính giá trị của biểu thức : A ( 21 7 10 5 ) : 1

1

y x y x

Bài 4: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 - 2(m – 1)x – 2m = 0, với m là tham số

1) Giải phương trình khi m = 1

2) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình, tìm tất cả các giá trị của m sao cho

x12 + x1 – x2 = 5 – 2m

Bài 5: (3,5 điểm)

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm)

1) Chứng minh rằng ABOC là tứ giác nội tiếp

2) Cho bán kính đường tròn (O) bằng 3cm, độ dài đoạn thẳng OA bằng 5cm Tính

độ dài đoạn thẳng BC

3) Gọi (K) là đường tròn qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC tại C Đường tròn (K) và đường tròn (O) cắt nhau tại điểm thứ hai là M Chứng minh rằng đường thẳng BM đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC

2y 4x



1

x 0(TMDK)2

1 2 y 4

íïï = ¹ïïï

ì

ïï + = ïïïî



1 x 2

íïï = ïì

ïï + = ïî

-

1 x 2

íïï = ïì

ïï = ïî

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

1 x 2

íïï = ïì

ïï = ïî

-ïì

ïïî

Ta có (d) cắt (P) tại hai điểm A(-1; 1) và B (2; 4)

Để (P), (d) và (dm) cùng đi qua một điểm thì hoặc A (dm) hoặc B  (dm)

+ Với A(-1; 1)  (dm) , ta có : 1 = -(-1) + m  m = 0

+ Với B(2; 4)  (dm), ta có : 4 = -2 + m  m = 6

Vậy khi m = 0 hoặc m = 6 thì (P), (d) và (dm) cùng đi qua một điểm

Bài 4 : 1) Thay m = 1 được phương trình : x2 – 2 = 0  x2 = 2  x = ± 2

Vậy khi m = 1, phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = - 2

2) Có ∆ = b2 – 4ac = 4m2 + 4  0 với mọi m nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

x x 2m(2)

a

-ïï + = = ïïï

-ì

ïï = = ïïïî

4

+ Với x = x1 = -3, từ đề bài ta có m = 3

4-

H A

O B

C

a) - Có AB  OB (t/c tiếp tuyến)  ABO = 900

- Có AC  OC (t/c tiếp tuyến)  ACO = 900

- Xét tứ giác ABOC có ABO + ACO = 900 + 900 = 1800 nên nội tiếp được trong đường tròn

b) - AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AO là đường trung trực của

BC Gọi H là giao điểm của AO và BC, ta có BC = 2BH

- ∆ABO vuông tại B có BH là đường cao nên OB2 = OH.AO

- ∆EMC và ∆ECB có MEC = CEB và MCE = EBC (Góc nt và góc tạo bởi tia tiếp tuyến CA cùng chắn cung MC của đường tròn (O))

 ∆EMC ഗ ∆ECB (g-g)  EC2 = EM.EB (*)

- ∆EMA và ∆EAB có MEA = AEB (a) và :

+ Có MAE = MCB (3) (Góc nt và góc tạo bởi tia tiếp tuyến CB cùng chắn cung

MC của đường tròn (K))

+ Có MCB = ABE (4) (Góc nt và góc tạo bởi tia tiếp tuyến BA cùng chắn cung

MB của đường tròn (O))

+ Từ (3) và (4)  MAE = ABE (b)

- Từ (a) và (b)  ∆EMA ഗ ∆EAB (g-g)  EA2 = EM.EB (**)

- Từ (*) và (**)  EC2 = EA2 EC = EA Vậy BM đi qua trung điểm E của AC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016

MÔN THI: TOÁN (Dành cho tất cả thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (3,0 điểm)

Cho biểu thức:

x x x

x x

x x

x x x

x P

b) Tính giá trị của thức P khi x32 2

c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức

P

7

chỉ nhận một giá trị nguyên

Bài 2 (2,0 điểm)

Cho phương trình x 2

– 2mx + (m – 1) 3 = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = –1

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại

Bài 3 (1,0 điểm)

Giải phương trình: 1 0

92

29

Bài 4 (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F Gọi M là trung điểm của cạnh HC

a) Chứng minh AE.AB = AF.AC

b) Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH

c) Chứng minh HAM = HBO

d) Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM

Bài 5 (0,5 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3 Chứng minh rằng:

2

3 1

1 1

1 1

1

2 2

SỞ GD-ĐT THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016

DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

MÔN TOÁN CHUNG

42

x x

x x

B

C H

O

M

Ta có AEF  AHF AHF;  ACB suy ra AEF  ACB

Từ tỷ số đồng dạng AE AF

AC  AB ta có AE.AB = AC.AF

0,25

90

MFO , MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH 0,25

Suy ra HBO HAM 0,25

4d Gọi K là giao điểm của AM với đường tròn

Mà HK  AM , suy ra BOAM , suy ra O là trực tâm của tam giác ABM 0,25

5 Giả sử a b c  , từ giả thiết suy ra ab1 Ta có bất đẳng thức sau: