Chuyên đề lượng giác

ThS. on Vng Nguyờn toancapba.com CHUYấN LNG GIC PHNG TRèNH BT PHNG TRèNH H PHNG TRèNH A. Biu din cung gúc lng giỏc o ẳ cú s o l a + k2p (hoc a + k.360 ) Nu cung (hoc gúc) lng giỏc AM n n + vi k ẻ Â , n ẻ Ơ thỡ cú n im M trờn ng trũn lng giỏc cỏch u nhau. ẳ = p + k2p thỡ cú im M ti v trớ p (ta chn k = 0). Vớ d 1. Nu s AM 3 p ẳ = + kp thỡ cú im M ti cỏc v trớ p v 7p Vớ d 2. Nu s AM 6 (ta chn k = 0, k = 1). ẳ = p + k 2p thỡ cú im M ti cỏc v trớ p , 11p v 19p Vớ d 3. Nu s AM 12 12 (ta chn k = 0, k = v k = 2). o ẳ = 45o + k.90o = 45o + k.360 thỡ cú im M ti cỏc v Vớ d 4. Nu s AM 0 0 trớ 45 , 135 , 225 v 315 (ta chn k = 0, 1, 2, 3). Vớ d 5. Tng hp hai cung x = Biu din cung x = - p + kp p p + kp v x = + kp . Gii p + kp trờn ng trũn p lng giỏc ta c im - , p 5p 4p , v cỏch u nhau. 3 Vy cung tng hp l: p p x = +k . v x = B. PHNG TRèNH LNG GIC I. Hm s lng giỏc 1. Hm s y = cosx 1) Min xỏc nh D = Ă . 2) Min giỏ tr G = [1; 1]. 3) Hm s y = cosx l hm chn, tun hon vi chu k T = 2p . 4) (cosx)/ = sinx. 5) th hm s y = cosx i xng qua trc tung Oy. 2. Hm s y = sinx 1) Min xỏc nh D = Ă . 2) Min giỏ tr G = [1; 1]. 3) Hm s y = sinx l hm l, tun hon vi chu k T = 2p . 4) (sinx)/ = cosx. 5) th hm s y = sinx i xng qua gc ta O. 3. Hm s y = tgx 1) Min xỏc nh D = Ă \ { p2 + kp, k ẻ Â } . 2) Min giỏ tr G = Ă . 3) Hm s y = tgx l hm l, tun hon vi chu k T = p . 4) (tgx)/ = + tg2x = . cos2 x 5) th hm s y = tgx i xng qua gc ta O. 4. Hm s y = cotgx 1) Min xỏc nh D = Ă \ { kp, k ẻ Â } . 2) Min giỏ tr G = Ă . 3) Hm s y = cotgx l hm l, tun hon vi chu k T = p . 4) (cotgx)/ = (1 + cotg2x) = - . sin x 5) th hm s y = cotgx i xng qua gc ta O. 5. Chu k ca hm s lng giỏc 5.1. nh ngha Hm s y = f(x) cú chu k T > nu T l s dng nh nht v tha f(x + T) = f(x). Vớ d 1. Hm s y = sin5x cú chu k T = ( ) 2p vỡ: 2p = sin(5x + 2p) = sin 5x . 2p Hn na, T = l s nh nht hm s y = sint, t = 5x cú chu k 2p . sin x + 5.2. Phng phỏp gii toỏn 5.2.1. Hm s y = sin(nx) v y = cos(nx) Hm s y = sin(nx) v y = cos(nx), n ẻ Â+ cú chu k T = Vớ d 2. Hm s y = cos7x cú chu k T = 2p . 2p . n x x v y = cos n n x x Hm s y = sin v y = cos , n ẻ Â+ cú chu k T = n2p . n n x Vớ d 3. Hm s y = sin cú chu k T = 6p . 5.2.3. Hm s y = tg(nx) v y = cotg(nx) p Hm s y = tg(nx) v y = cotg(nx), n ẻ Â+ cú chu k T = . n p Vớ d 4. Hm s y = cotg6x cú chu k T = . x x 5.2.4. Hm s y = tg v y = cotg n n x x Hm s y = tg v y = cotg , n ẻ Â+ cú chu k T = np . n n x Vớ d 5. Hm s y = tg cú chu k T = 3p . 5.2.2. Hm s y = sin 5.2.5. Hm s y = f(x) g(x) m p p v T2 = p . n k tỡm chu k ca hm s y = f(x) g(x) ta thc hin cỏc bc sau: Cho hm s y = f(x), y = g(x) cú chu k ln lt l T1 = np m mk p = , = v tỡm bi s chung nh nht A ca mk, np. n nk k nk A Bc 2. Chu k ca y = f(x) g(x) l T = p. nk Bc 1. Quy ng x Vớ d 6. Tỡm chu k ca hm s y = cos 3x - tg . Gii x 2p Hm s y = cos3x, y = tg cú chu k ln lt l v 3p . 3 Ta cú: 2p ỡù 2p = ùù 3 ị T = BCNN(2; 9) p = 6p . ớù ùù 9p ùùợ 3p = x Vy chu k ca hm s y = cos 3x - tg l T = 6p . II. Phng trỡnh lng giỏc c bn ộ x = a + k2p 1) cos x = cos a ờờ , kẻZ x k2 = -a + p ờở ộ x = a + k2p , kẻZ 2) sin x = sin a ờờ ờở x = p - a+k2p 3) tgx = tga x = a + kp, k ẻ Z 4) cotgx = cotga x = a + kp, k ẻ Z Phng trỡnh c bn c bit cn nh p + kp, k ẻ Z 2) cos x = x = k2p, k ẻ Z 3) cos x = -1 x = p + k2p, k ẻ Z 4) sin x = x = kp, k ẻ Z p 5) sin x = x = + k2p, k ẻ Z p 6) sin x = -1 x = - + k2p, k ẻ Z x Vớ d 1. Xột s nghim ca phng trỡnh cos x + = . p Gii x x Ta cú cos x + = cos x = - (1). p p Suy (1) l phng trỡnh honh giao im ca th hm s y = cosx v x y = - (i qua im ( p ; 1)). p 1) cos x = x = Da vo th, ta suy phng trỡnh cú nghim phõn bit. Vớ d 2. Gii phng trỡnh: (cos x + 1)(2 cos x - 1)(tgx - 3) = (2). cos x + Gii 2p + k2p . iu kin: cos x + x Ta cú: ộ ộ cos x = -1 x = p + k2p ờ p (2) cos x = x = + k2p . ờ ờ p tgx = x = + kp ờở So vi iu kin v tng hp nghim (hỡnh v), phng trỡnh (2) cú h nghim l: p 2p x = +k , k ẻ Â. 3 Chỳ ý: p 2p Cỏc h nghim x = - + k 3 2p v x = p + k cng l cỏc h nghim ca (2). III. Cỏc dng phng trỡnh lng giỏc 1. Dng bc hai theo mt hm s lng giỏc 1) acos2x + bcosx + c = 2) asin2x + bsinx + c = 3) atg2x + btgx + c = 4) acotg2x + bcotgx + c = Phng phỏp gii toỏn Bc 1. t n ph t = cosx (hoc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) v iu kin ca t (nu cú). Bc 2. a phng trỡnh v dng at2 + bt + c = 0. Chỳ ý: Nu phng trỡnh lng giỏc c bin i thnh phng trỡnh c bn tr lờn thỡ sau gii xong, ta phi da vo ng trũn lng giỏc tng hp nghim (nu cú). sin2 x + sinx - = (1). Gii t t = sinx, -1 Ê t Ê ta cú: t = - (loi) (1) 2t2 + t - = t = p p 3p + k2p . sin x = sin x = + k2p x = 4 ộ x = p + k2p , k ẻ Â. Vy (1) cú cỏc h nghim ờờ 3p ờx = + k2p Vớ d 2. Gii phng trỡnh 5(1 + cos x) = + sin x - cos4 x (2). Gii Ta cú: (2) + cos x = sin x - cos2 x cos2 x + cos x + = . t t = cosx, -1 Ê t Ê ta suy ra: (2) 2t2 + 5t + = t = - t = -2 (loi) 2p 2p cos x = cos x= + k2p . 3 2p + k2p, k ẻ Â . Vy (2) cú cỏc h nghim x = 3 + 3tgx - = (3). Vớ d 3. Gii phng trỡnh cos2 x Gii p iu kin x + kp , ta cú: (3) 3(1 + tg2 x) + 3tgx - = 3tg2 x + 2tgx - = . t t = tgx, ta suy ra: t= (3) 3t2 + 2t - = t = Vớ d 1. Gii phng trỡnh ộ tgx = tg p ộ x = p + kp ờ 6 (tha iu kin). p p ờ x = + k p tgx = tg ờ ở Biu din h nghim trờn ng trũn lng giỏc ta thu c im cỏch u nhau. p p Vy (3) cú h nghim l x = + k , k ẻ Â . 2 Vớ d 4. Tỡm m phng trỡnh sin x - sin x + m = (4) cú nghim thuc ộ p 7p ự on ; ỳ. ở6 ỷ Gii ộ p 7p ự Vi x ẻ ; ỳ ị - Ê sin x Ê . ở6 ỷ t t = sinx, ta suy ra: (4) m = -t2 + t, - Ê t Ê . 2 Xột hm s y = -t + t , ta cú bng bin thiờn: t 1/2 1/2 1/4 y 3/4 ộ p 7p ự Suy (4) cú nghim x ẻ ; ỳ - ÊmÊ . 4 ở6 ỷ Cỏch khỏc: 1 (4) t2 - t = -m - m = t . 1 1 Ê nờn: Do - Ê t Ê -1 Ê t - Ê Ê t 2 2 Ê -m Ê1 - Ê m Ê . 4 ( ) ( ) ( ) Vớ d 5. Tỡm m phng trỡnh tgx - mcotgx = (5) cú nghim. Gii Cỏch gii sai: t t = tgx ị t , ta suy ra: m (5) t = m = t2 - 2t m = ( t - )2 - -1 (a). t Mt khỏc: (b). tạ0ịmạ0 T (a) v (b) ta suy (5) cú nghim -1 Ê m (sai). Cỏch gii ỳng: t t = tgx ị t , ta suy ra: m = m = t2 - 2t . t Xột hm s y = t2 - 2t , ta cú bng bin thiờn: t -Ơ +Ơ +Ơ +Ơ y Vy (5) cú nghim m -1 . (5) t - 2. Dng bc nht theo sinx v cosx asinx + bcosx + c = (*) (a v b khỏc 0) Phng phỏp gii toỏn Cỏch b = tga . a c c Bc 2. (*) sin x + tga cos x = sin(x + a) = cos a . a a Cỏch Bc 1. Chia hai v (*) cho a + b2 v t: a b = cos a, = sin a . 2 a +b a + b2 Bc 2. c (*) sin x cos a + cos x sin a = a + b2 c sin(x + a) = . a + b2 Chỳ ý: iu kin phng trỡnh cú nghim l: a2 + b2 c2 Vớ d 1. Gii phng trỡnh sin x - cosx = (1). Gii Cỏch 1 p (1) sin x cos x = sin x - tg cos x = 3 p p p sin x = cos sin x =1 6 p p 2p x - = + k2p x = + k2p, k ẻ Â . Cỏch Bc 1. Chia hai v (*) cho a v t ( ) ( ) p sin x - cos x = sin x =1 2 p p 2p x - = + k2p x = + k2p, k ẻ Â . 2p + k2p, k ẻ Â . Vy (1) cú h nghim x = ( (1) ) Vớ d 2. Gii phng trỡnh sin 5x + cos 5x = sin 7x (2). Cỏch p (2) sin 5x + tg cos 5x = sin 7x p p sin 5x + = cos sin 7x 3 ộ 7x = 5x + p + k2p p sin 5x + = sin 7x ờờ 2p - 5x + k2p 7x = p ộ x = + kp p p, k ẻ Â . +k ờx = 18 Cỏch p (2) sin 5x + cos 5x = sin 7x sin 7x = sin 5x + 2 p p ộ 7x = 5x + + k2p ộ x = + kp ờ ờờ p p, k ẻ Â . 2p +k 7x = - 5x + k2p ờx = 18 p ộ x = + kp Vy (2) cú cỏc h nghim p p, k ẻ Â . +k ờx = 18 ( ) ( ) ( ) Vớ d 3. Gii phng trỡnh sin 2x - cos 2x = -4 (3). Gii 2 Do + (- 3) < (-4) nờn phng trỡnh (3) vụ nghim. Vớ d 4. Tỡm m phng trỡnh: 2m cos2 x - 2(m - 1)sin x cos x - 3m - = (4) cú nghim. Gii Ta cú: 10 (4) m cos 2x - (m - 1) sin 2x = 2m + . Suy ra: (4) cú nghim m2 + (m - 1)2 (2m + 1)2 -3 Ê m Ê . 3. Dng ng cp (thun nht) theo sinx v cosx 3.1. ng cp bc hai asin2x + bsinxcosx + ccos2x = (*) Phng phỏp gii toỏn Cỏch p Bc 1. Kim tra x = + kp cú l nghim ca (*) khụng. p Bc 2. Vi x + kp , chia hai v ca (*) cho cos2x ta c: 2 (*) atg x + btgx + c = 0. Cỏch Dựng cụng thc h bc v nhõn ụi, ta a (*) v phng trỡnh bc nht theo sin2x v cos2x. Vớ d 1. Gii phng trỡnh: ( + 1) sin2 x - ( - 1)sin x cos x - = (1). Gii p Nhn thy x = + kp khụng tha (1). p Vi x + kp , chia hai v ca (1) cho cos2x ta c: (1) ( + 1)tg2 x - ( - 1)tgx - 3(1 + tg2 x) = tg2 x - ( - 1)tgx - = ộ x = - p + kp ộ tgx = -1 ờờ . p = tgx ờở tgx = + k p ộ x = - p + kp Vy cỏc h nghim ca (1) l , k ẻ Â. p ờ tgx = + kp Vớ d 2. Gii phng trỡnh sin x + sinxcosx + = cos2x (2). Gii p p (2) sin 2x - cos 2x = -1 sin 2x = sin 6 ( 11 ) ( ) ộ 2x - p = - p + k2p ộ x = kp ờ 6 ờờ . 2p 7p p x = + k p 2x - = + k2p ờở 6 Cỏch khỏc: ộ sin x = (2) sin x + sin x cos x = ờờ ờở sin x + cos x = ộ x = kp ộ sin x = ờ ờ . p x = - + kp ờở tgx = - ộ x = kp Vy (2) cú cỏc h nghim l , k ẻ Â. 2p ờx = + kp ờở Chỳ ý: i vi mi cỏch gii khỏc nhau, ta cú th thu c nghim cỏc dng khỏc nhng sau tng hp nghim thỡ chỳng ging nhau. 3.2. ng cp bc cao Phng phỏp gii toỏn Cỏch p Bc 1. Kim tra x = + kp cú l nghim ca phng trỡnh khụng. p Bc 2. Vi x + kp , chia hai v cho cosnx (n l bc cao nht ca cosx) ta a v phng trỡnh bc n theo tgx. Cỏch Dựng cụng thc h bc v nhõn ụi, ta a v phng trỡnh bc cao theo sin2x hoc cos2x hoc phng trỡnh tớch. Vớ d 3. Gii phng trỡnh 2(cos5x + sin5x) = cos3x + sin3x (3). Gii Cỏch p Nhn thy x = + kp khụng tha (3). p Vi x + kp , chia hai v ca (3) cho cos5x ta c: (3) + 2tg5 x = + tg2 x + tg3 x(1 + tg2 x) tg5 x - tg3 x - tg2 x + = 12 (tgx - 1)2(tgx + 1)(tg2 x + tgx + 1) = p p p tgx = x = + kp + k . 4 Cỏch (3) cos3 x(2 cos2 x - 1) = sin x(1 - sin x) ộ cos 2x = cos x cos 2x = sin3 x cos 2x ờờ tgx = p p ộ ờx = + k p p x = + k . p ờ x = + kp p p Vy (3) cú h nghim l x = + k , k ẻ Â . Chỳ ý: ( cos5 x + sin x ) = cos3 x + sin x ( cos5 x + sin x ) = (cos3 x + sin x)(cos2 x + sin2 x) cos5 x + sin5 x - cos x sin2 x - cos2 x sin x = (ng cp). 4. Dng i xng i vi sinx v cosx a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = (*) Phng phỏp gii toỏn Bc 1. t t = sinx + cosx = ( sin x + p ) t2 - . Bc 2. Thay vo (*) ri ta gii phng trỡnh bc hai theo t. ị- 2ÊtÊ v sin x cos x = Chỳ ý: Phng trỡnh a(sinx cosx) + bsinxcosx + c = cng cú cỏch gii tng t bng cỏch t t = sinx cosx. Vớ d 1. Gii phng trỡnh: ( + 1)(sinx + cosx) + sin2x + Gii + = (1). t t = sinx + cosx ị - Ê t Ê v sin2x = t2 1. Thay vo (1) ta c: t2 + ( + 1)t + = t = -1 t = - . 13 ộ sin x + p = -1 ộ sin x + p = sin - p ờ 4 (1) ờ p p =- = -1 sin x + sin x + ở p p ộ ộ x + = - + k2p x = - p + k2p ờ 5p p . ờx + = + k2p x = p + k2p 4 ờ ờ 3p x + p = - p + k2p ờx = + k2p ờở Vy (1) cú cỏc h nghim: p 3p + k2p (k ẻ Â) . x = p + k2p , x = - + k2p , x = ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) Vớ d 2. Gii phng trỡnh sinxcosx = 6(sinx cosx 1) (2). Gii - t2 t t = sinx cosx ị - Ê t Ê v sin x cos x = . Thay vo (2) ta c: ộ t = -1 - t2 = 6t - t2 + 12t - 13 = ờờ . ờở t = -13 (l oaùi ) p p p (2) sin x + = -1 sin x + = sin 4 ộ x + p = - p + k2p ộ x = - p + k2p 4 ờờ . p 5p = p + p x k2 ờx + = + k2p ở 4 p Vy (2) cú cỏc h nghim x = p + k2p , x = - + k2p (k ẻ Â) . Vớ d 3. Tỡm m phng trỡnh m(cos x - sin x) + sin 2x = (3) cú nghim p thuc khong ; p . Gii p t t = cos x - sin x = cos x + ị sin 2x = - t2 . Ta cú: p p p 5p p xẻ ; p ị