Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng
B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN TH PHNG THANH BIN I ZAK V MT S NG DNG Chuyờn ngnh : TON GII TCH Mó s : 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS. BI KIấN CNG H Ni, thỏng 12 nm 2014 LI CM N Lun ny c thc hin v hon thnh ti trng i Hc S Phm H Ni di s hng dn nhit tỡnh ca TS. Bựi Kiờn Cng, ngi ó hng dn v truyn cho tỏc gi nhng kinh nghim quý bỏu hc v vt qua nhng khú khn chuyờn mụn. Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi Thy. Xin chõn thnh cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, Phũng Sau i hc, khoa toỏn v t gii tớch cựng cỏc quý Thy Cụ ó to mi iu kin thun li cho tỏc gi kt thỳc tt p chng trỡnh cao hc v hon thnh lun tt nghip. Tỏc gi xin trõn trng cm n cỏc bn lp K16 Toỏn Gii tớch t ó giỳp tỏc gi quỏ trỡnh hc v hon thnh tt lun vn. H Ni, thỏng 12 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Phng Thanh LI CAM OAN Tụi xin cam oan lun Bin i Zak v mt s ng dng l kt qu hc v nghiờn cu ca riờng tụi. ú l kt qu ca s tỡm tũi, tng hp t cỏc ti liu tham kho di s hng dn ca TS. Bựi Kiờn Cng. Nhng ti liu tham kho lun ó c ch rừ ngun gc. Lun cha c cụng b trờn bt kỡ phng tin thụng tin no. H Ni, thỏng 12 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Phng Thanh MT S Kí HIU R: Tp hp cỏc s thc C: Tp hp cỏc s phc z : s phc liờn hp ca s phc z C (): Khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn f p : Chun khụng gian Lp () Lp : khụng gian cỏc hm o c Lebesgue cú chun Lp hu hn. sup pf : Giỏ ca hm f Lp () (x): L hm Gauss vi (x) = ex / C0 (): Khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn cú giỏ compact Vg f : Bin i Fourier thi gian ngn ca hm f i vi hm ca s g X[a,b] : Hm c trng trờn [a, b] f , F (f ) : Bin i fourier ca hm f vi f (x) e2i.x dx, f () = Rd F (f ) : Bin i fourier ngc ca hm f Tx f : Phộp tnh tin theo x ca hm f v Tx f (t) = f (t x) M f : S iu bin theo w ca hm f v M f (t) = e2i.t f (t) Mc lc M u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kin thc chun b 1.1 Chui Fourier . . . . . . . . . . 1.2 Mt s khụng gian hm . . . . . 1.3 Gii tớch thi gian- tn s . . . . 1.3.1 Hm ca s . . . . . . . 1.3.2 Ca s thi gian - tn s gian ngn . . . . . . . . 1.4 Khung Gabor . . . . . . . . . . 1.4.1 Lý thuyt khung . . . . . 1.4.2 Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca bin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fourier thi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bin i Zak 2.1 nh ngha v mt s tớnh cht . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mt s ng dng n gin . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Phng trỡnh sai phõn cp . . . . . . . . . . 2.2.2 Dóy s Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Phng trỡnh sai phõn cp . . . . . . . . . . 2.2.4 Nghim tun hon . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Phng trỡnh sai phõn cp khụng thun nht. 2.2.6 a thc chebyshev. . . . . . . . . . . . . . . ng dng bin i Zak gii tớch thi 3.1 M rng nh ngha bin i Zak . . . . . . 3.1.1 nh ngha . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Tớnh cht . . . . . . . . . . . . . . 3.2 ng dng lý thuyt khung Gabor . . gian- tn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s . . . . . . . . . . . . 9 11 13 14 . . . . 16 17 17 22 . . . . . . . . 24 24 35 35 36 36 37 38 38 . . . . 40 40 40 40 46 Kt lun 50 Ti liu tham kho 51 M U 1. Lý chn ti Bin i Zak l mt m rng ca bin i Laplace ri rc v Chui Fourier. Nú cú nhiu tớnh cht p, hu ớch v c phỏt hin nhiu nhng lnh vc rt khỏc nhau, chng hn gii h phng trỡnh sai phõn (W. Hurewicz, 1947). Nú cng c gi l ỏnh x Weil-Brezin, v Gauss ó tỡm mt s tớnh cht ca nú. Bin i Zak cng c Gelfand, J. Zak phỏt hin nú mt cỏch c lp v nghiờn cu nú cú h thng, ln u tiờn cho cỏc ng dng vt lý trng thỏi rn, sau ú cú nhiu ng dng rng ln. Mt bi bỏo thỳ v cú hng ng dng gii tớch tớn hiu l Janssen (1988), t õy ỏnh du nhng ng dng vo gii tớch thi gian tn s. Trong gii tớch thi gian tn s, bin i Zak cung cp mt cụng c thun tin cho mt gii phỏp i xng hn ca h Gabor. Vi mong mun hiu bit sõu hn v bin i Zak v nhng ng dng ca nú, di s hng dn ca TS Bựi Kiờn Cng tụi la chn ti "Bin i Zak v mt s ng dng" lm lun tt nghip ca mỡnh. 2. Mc ớch nghiờn cu + Nm c cỏc dng ca bin i Zak v nhng tớnh cht ca nú. + H thng húa nhng kt qu v ng dng c bn ca bin i Zak mt s lnh vc. 3. Nhim v nghiờn cu Trỡnh by tng quan v bin i Zak v nhng ng dng c bn ca bin i ny gii phng trỡnh sai phõn, gii tớch thi gian tn s. 4. i tng v phm vi nghiờn cu + i tng nghiờn cu: Gii tớch thi gian tn s, khung Gabor, bin i Zak. + H thng húa nhng kt qu v ng dng c bn ca bin i Zak mt s lnh vc. 5. Phng phỏp nghiờn cu + S dng cỏc kin thc v phng phỏp ca gii tớch hm tip cn . + Thu thp v nghiờn cu cỏc ti liu cú liờn quan, c bit l cỏc bi bỏo mi v ngoi nc v m lun cp n. 6. úng gúp ca lun Lun l mt cụng trỡnh nghiờn cu tng quan v bin i Zak v mt s ng dng gii tớch thi gian - tn s, ú, tỏc gi lm chi tit hn mt s tớnh cht ó nờu cỏc ti liu tham kho. Chng Kin thc chun b 1.1 Chui Fourier Hm tun hon c phõn tớch mt cỏch thun tin bi chui Fourier. Gi s rng mt hm f trờn Rd l Zd -tun hon, cú ngha l f (x) = f (x + k) vi mi k Zd . Mt hm nh vy c xỏc nh nht bi hn ch ca nú trờn [0, 1)d v ú cú th ng nht vi mt hm trờn [0, 1]d . Mt hm tun hon cng cú th c coi l mt hm trờn thng Rd /Zd gi l hỡnh xuyn, ký hiu Td . Chỳng ta s ng nht mt hm Zd -tun hon trờn Rd bi hn ch ca nú trờn [0, 1]d v vi phộp chiu ca nú n Td . nh ngha 1.1. Gi s f L2 (Td ). Ta nh ngha f bi cụng thc f (n) = [0,1] d f (x) e2in.x dx n Zd Hm f c gi l bin i Fourier ri rc ca f , ụi ta cũn dựng kớ hiu FT f . f(n) c gi l h s Fourier th n ca f . H cỏc hm m e2inãx , n Zd trờn Td hoc trờn [0, 1]d l mt c s trc chun ca L2 (Td ). ú l nh lý Plancherel: nh lớ 1.1 (Plancherel). Cho f L2 (Td ). Khi ú f cú th khai trin c thnh chui Fourier f (n)e2inãx f= nZd 10 vi s hi t nh mt khai trin trc chun v ta cú: [0,1] d |f (x)|2 dx = f L2 (Td ) = f (n) . nZd Tip theo chỳng ta tho lun v hm vi s tun hon khỏc bng khỏi nim v mt li. nh ngha 1.2. Mt li Rd l mt nhúm ri rc ca Rd cú dng = AZd , ú A l mt ma trn d ì d kh nghch trờn R. Th tớch ca c nh ngha l V ol(()) = |det A| = A[0, 1]d . Li T = A1 Zd c gi l li i ngu ca . Mt hm f trờn Rd l tun hon i vi , hoc n gin l -tun hon, nu f (x + ) = f (x) vi mi x Rd v . Chỳng ta s ng nht mt -tun hon hm f vi gii hn ca nú trờn A[0, 1]d v vi phộp chiu ca nú trờn hỡnh xuyn Rd / AZd . cú c chui Fourier ca mt hm -tun hon, Chỳng ta lu ý rng cỏc hm h (x) = f (Ax) l Zd -tun hon v cú chui Fourier h (x) = 2in.x , vi cỏc h s Fourier c cho bi: nZd h (n)e h (n) = d f (Ax) e2in.x dx [0,1] = |det A| A[0,1] d T f (x) e2i(A ) n.x dx (1.1) := f (à) . Sau thay th x A1 x, chui Fourier ca f cú th c vit nh l mt chui trờn li i ngu theo cỏch sau: f (x) = h A1 x T h (n)e2i(A ) = n.x (1.2) nd f (à)e2ià.x . = cho rừ rng chỳng ta vit cụng thc ny cho li hỡnh ch nht vi > 0. Trong trng hp ny, (1.2) tr thnh: f (n)e2in.x/ f (x) = nZd 36 2.2.2 Dóy s Fibonacci Dóy Fibonacci c nh ngha nh l mt dóy, ú mi s hng l tng ca hai s hng ng trc nú. Vỡ vy, nú tha phng trỡnh sai phõn un+1 = un + un1 , u1 = u (0) = 1. p dng bin i Z cho ta z2 , U (z) = z z1 Bin i ngc cho kt qu un = Z ú z2 z2 z U (z) = Z {un } . =Z z2 . (z a) (z b) 1 + ;b = . a= 2 p dng kt qu ca Vớ d 6, ta thu c un = z {F (z) G (z)} = f (n) g (n) =z n =a . z z za 1 b n+1 a ab z zb n = n a nm m .b = a n m=0 an+1 = (a b) m=0 b a b a m n+1 . T ú cú dng hin ca dóy Fibonacci l an+1 bn+1 un = , (a b) 2.2.3 n = 0, 1, 2, Phng trỡnh sai phõn cp Vớ d 10. Gii bi toỏn giỏ tr ban u f (n + 2) 3f (n + 1) + 2f (n) = 0, f (0) = 1, f (1) = 2. (2.36) 37 p dng bin i Z cho z {F (z) f (0)} zf (1) [z {F (z) f (0)}] + 2F (z) = 0. Hay z 3z + F (z) = z z . Do ú, F (z) = z . (z 2) Nh vy, bin i Z ngc cho kt qu f (n) = Z 2.2.4 z (z 2) = 2n . Nghim tun hon Vớ d 11. Tỡm nghim ca bi toỏn giỏ tr ban u u (n + 2) u (n + 1) + u (n) = 0, (2.37) tha iu kin ban u u (0) = 1; u (1) = 2. (2.38) Bin i Z cho ta z U (z) z 2z {zU (z) z} + U (z) = 0. Hay tng ng z z +z z U (z) = = + . (z z + 1) z z + z z + 2z (2.39) Vit x = (2.21), phộp bin i nghch o Z ca (2.39) cho nghim tun hon n n u (n) = cos + sin . 3 38 2.2.5 Phng trỡnh sai phõn cp khụng thun nht. Vớ d 12. Gii bi toỏn giỏ tr ban u u (n + 2) 5u (n + 1) + 6u (n) = 2n , u (0) = 1, u (1) = 0. Bin i Z cho kt qu z . z2 z5 U (z) = z + (z 2) (z 3) (z 2)2 (z 3) z 5z + U (z) = z 5z + = z2 z3 =z 1 . z z (z 2)2 + 1 z z (z 2)2 Bin i Z cho kt qu u (n) = 2n+1 3n n2n1 . 2.2.6 a thc chebyshev. Vớ d 13. Gii phng trỡnh sai phõn bc un+2 2xun+1 + un = 0, |x| (2.40) tha iu kin ban u u (0) = u0 , u (1) = u1 . Vi u0 v u1 l hng s Bin i Z cho ta z U (z) z u0 zu1 2x [zU (z) zu0 ] + U (z) = Hay U (z) = u0 = u0 = u0 z zx z + (u xu ) z 2zx + z 2zx + z zx (u1 xu0 ) z x2 + z 2zx + 1 x2 z 2zx + z zx z x2 + v0 , z 2zx + z 2zx + (2.41) 39 Vi v0 = (u1 xu0 ) x2 l c lp vi z Vỡ |x| 1, ta cú th vit x = cost v ú bin i nghch o Z cựng vi (2.21) cho ta un = u0 cos nt + v0 sin nt = u0 cos ncos1 x + v0 sin ncos1 x . Ta gi Tn (x) = cos ncos1 x l a thc Chebyshev loi bc n . a thc ny úng mt vai trũ quan trng lý thuyt v hm c bit, v cú nhiu ng dng quan trng lý thuyt xp x v gii tớch s hin i. Kt lun chng Chng trỡnh by v bin i Zak i vi dóy s, õy l bin i cú liờn quan n bin i Fourier. Mt s tớnh cht v ng dng ca bin i Zak i vi dóy c trỡnh by. Chng ng dng bin i Zak gii tớch thi gian- tn s 3.1 M rng nh ngha bin i Zak Trong chng 2, chỳng ta ó xột bin i Zak ri rc, chng ny chỳng ta s m rng bin i Zak i vi cỏc hm thuc mt s khụng gian hm khỏc nhau. 3.1.1 nh ngha nh ngha 3.1. Cho tham s > 0, bin i Zak, ký hiu Z f ca f l hm trờn R2d xỏc nh bi f (x k) e2ik = Z f (x, ) = kZd 3.1.2 Mk Tk f (x) (3.1) kZd Tớnh cht Chỳng ta thu thp cỏc tớnh cht chớnh ca bin i Zak. Hu ht cỏc tớnh cht c bt ngun trc tip t nh ngha, vi iu kin l chỳng ta chn mt lp phự hp vi hm m bin i Zak c xỏc nh. Vỡ Z f (x, ) l chui Fourier ca dóy f (x k) : k Zd , cỏc phng phỏp quen thuc t chui Fourier l lỳc x lý ca chỳng ta phõn tớch cỏc khớa cnh cao hn ca bin i Zak. Nh trc õy, Q = [0, ]d l mt lp phng Rd . W Rd biu th khụng gian Wiener, v W0 Rd l khụng gian ca tt c cỏc hm liờn tc W Rd . 40 41 B 3.1. (i) Nu f L1 Rd thỡ Z f L1 Q ì Q1/ . (ii) Nu f W Rd thỡ Z f L R2d . (iii) Nu f W0 Rd thỡ Z f liờn tc trờn R2d . (iv) Nu f L2 Rd thỡ Z f c xỏc nh hu khp ni v Z f (x, ) L2 Q1/ , d vi mi x Rd . Vi nhng tớnh cht mụ t bờn trờn, cỏc ng thc sau õy xy hu khp mi ni nu f L2 (Rd ) hoc L1 (Rd ), hoc W(Rd ) v tng im nu f W0 (Rd ). a) Tớnh ta tun hon ca bin i Zak Cho n Zd , n Z f x, + = Z f (x, ) (3.2) V Z f (x + n, ) = e2in. Z f (x, ) (3.3) Do ú Z f l hon ton xỏc nh bi giỏ tr ca nú trờn Q ì Q1/ R2d . Tng t nh trng hp ca chui Fourier, Z f cú th c coi l mt hm trờn R2d hoc trờn Q ì Q1/ hoc thng R2d Zd ì Zd = T2d . d Ngc li, tt c cỏc hm trờn [0, )d ì 0, (v Q ì Q1/ tng ng) cú th c m rng n mt hm trờn R2d ú l ta tun hon (ta tun hon hu khp ni). Mc dự chờnh lch so vi tun hon nghiờm ngt (3.3) l nh, nhng nú dn ti cỏch x lý rt khỏc bit i vi lp hm ta tun hon so vi hm tun hon. b) Bin i Zak v cỏc phộp trt, xoay gii tớch thi giantn s Cho (u, ) R2d ng thc Z (Tu M f ) (x, ) = e2i.(xu) Z f (x u, ) . c suy t e2i.(xuk) f (x u k)e2ik. Z (Tu M f ) (x, ) = kZd 2i.(xu) f (x u k)e2ik.() =e kZd = e2i.(xu) Z f (x u, ) . (3.4) 42 Cụng thc (3.4) tng t nh tớnh cht hip bin ca bin i Fourier thi gian ngn v l mt nhng lý ti bin i Zak thng c xem l biu din thi gian- tn s chung ca f . c bit u = k , = n, k, n Zd , ta cú: Z Tk M n f (x, ) = e2in.(xk)/ Z f x k, =e 2in.x/ 2ik. e n (3.5) Z f (x, ) . Núi cỏch khỏc, bin i Zak l ỏnh x hai toỏn t giao hoỏn Tk v M n thnh cỏc toỏn t nhõn. Trong nú ó c bit n vi lý tru tng l Tk v M n cú th c chộo húa mt cỏch ng thi, (3.5) cho thy bin i Zak cung cp mt dng chộo húa hin. c) Cụng thc nghch o Nu f L1 Rd thỡ Z f (x, ) L1 Q1/ , d vi hu mi x v nh lý Fubinis thỡ tng v tớch phõn cú th giao hoỏn c vi nhau: f (x k)e2ik. d Z f (x, ) d = Q1/ Q1/ kZd f (x k)e2ik. d = kZd d Q1/ = f (x) , vi hu mi x Rd . Tng t nh vy, nu f L1 Rd ,thỡ Z f (x, ) L1 (Q , dx) vi hu khp v nh vy bng cỏch s dng mo tun hon húa mt ln na, chỳng ta cú c: Z f (x, ) e2ix. dx = Q f (x k)e2i.(kx) dx Q kZd f (x k)e2i.(xk) dx = kZd Q = f () . Nh vy chỳng ta ó ch cỏc cụng thc nghch o cho bin i Zak: f (x) = d Z f (x, )d Q1/ (3.6) 43 Z f (x, ) e2ix. dx f () = (3.7) Q d) Bin i Zak v bin i Fourier Mnh 3.1. Nu f W Rd v f W Rd (vỡ th f, f l liờn tc), thỡ (3.8) Z f (x, ) = d e2ix. Z1/ f (, x) vi mi (x, ) R2d . c bit, vi = ta cú Z1 f (x, ) = e2ix. Z1 f (, x) . (3.9) Chng minh. Nh trc õy, cú If (x) = f (x) toỏn t i xng. p dng cụng thc tng Poisson (1.5) vi hm g (t) = M Tx If (t) = e2i.t f (x t). Ta cú : d Z f (x, ) = d g (k) = kZd kZd k T Mx I f = kZd 2ix. =e g k e2ix.( ) f k = kZd k Z1/ f (, x) Nu ta gi s f, f L1 Rd thay vỡ f, f W Rd , ú (3.8) cú gn nh khp mi ni. e) nh lý Plancherels cho bin i Zak nh lớ 3.1. Nu f W Rd thỡ |Z f (x, )| dxd = d f Q Q1/ 2 (3.10) Do ú, d/2 Z f m rng n mt toỏn t unitar t L2 Rd vo L2 Q ì Q1/ Chng minh. i vi x c nh, bin i Zak Z f (x, ) = kZd f (x k)e2ik. 44 L chui Fourier vi h s f (x k) : k Zd . Nu f L2 (Rd ), ú cỏc h s thuc (Zd ) cho hu mi x ; Do ú, nh lý Plancherels cho chui Fourier l |f (x k)|2 . |Z f (x, )|2 d = d Q1/ kZd Ly tớch phõn theo x, dựng mo tun hon húa, ta cú: Q Q1/ |Z f (x, )|2 d dx = d kZd Q |f (x k)|2 dx = d f 22 Do ú d/2 Z l mt phộp ng c trờn khụng gian trự mt W Rd caL2 (Rd ). Nh nguyờn lý trự mt, d/2 Z m rng thnh toỏn t Unita L2 (Rd ). Tip theo, lu ý Z Q (x, ) = vi hu mi (x, ) Q ì Q1/ v vi (3.5) ta cú Z Tk Mn/ Q (x, ) = e2in.x/ .e2ik. , vi k, n Zd v (x, ) Q ì Q1/ . iu ny cú ngha rng Z l ỏnh x c s trc chun G Q , , = Tk Mn/ Q : k, n Zd ca L2 Rd trờn c s trc chun e2in.x/ .e2ik. : k, n Zd ca L2 Q ì Q1/ . Do ú Z l ton ỏnh, v ú d/2 Z l mt toỏn t Unita. H qu 3.1. Bin i Fourier F l mt toỏn t Unita trờn L2 Rd . f) Bin i Zak v khụng gian Schwartz Nh vi chui Fourier, ch cú mt vi tớnh cht ca hm cú th c c trng nht bi bin i Zak. Mt nhng trng hp ngoi l him hoi l tớnh cht ca hm Schwartz ca Janssen. nh lớ 3.2. Nu f S Rd thỡ Z f C R2d . Ngc li, nu F C R2d l ta tun hon nh (3.2) v (3.3), thỡ F = Z f vi nht hm f S Rd . Chng minh. Nu f S Rd thỡ |x|d+1 x fx (x) L Rd vi mi , . iu ú chng t kZd k fx (x k) < hi t u theo x Vỡ vy 45 chỳng ta cú th i th t gia phộp tớnh ly tng v vi phõn tớnh + toỏn ca x Z f . Do ú + Z f (x, ) = x + f (x k) e2ik. x kd f (x k) (2ik) e2ik. x = kd l liờn tc v b chn vi mi , . Do ú Z f C R2d .// Bõy gi gi s rng F thuc C R2d v ta tun hon. T cụng thc nghch o (3.6), chỳng ta nh ngha f (x ) = d F (x , )d. (3.11) Q1/ Vit x = x k vi k Zd ; x [0, )d v s dng tớnh ta tun hon F (x k, ) = F (x, ) e2ik. , ú (3.11) cú th c vit li nh sau: f (x k) = d F (x, )e2ik. d. (3.12) Q1/ Cho x c nh, F (x, ) l tun hon v (3.12) cho bit f (x k) chớnh xỏc l h s Fourier th k ca F (x, ). Khi F C R2d chui Fourier ca nú i vi hi t tuyt i v ú F (x, ) = d kZd F (x, )e2ik. d e2ik. Q1/ f (x k)e2ik. = kZd = Z f (x, ) . thy rng f nh c xỏc nh (3.11) l mt hm Schwartz, nú thy rng supkZd supxQ k x f (x k) l hu hn vi mi 46 , . S dng (3.12) v phộp ly tớch phõn tng phn, chỳng ta cú c k f (x k) = d x = = Q1/ d F (x, )k e2ik. d x Q1/ F (x, ) e2ik. d x Q1/ + F (x, )e2ik. d. x (2i)|| (1)|| d (2i)|| Lu ý rng khụng cú s hng tớch phõn biờn cụng thc tớch phõn tng phn, vỡ Fx (x, ) l Zd tun hon . p dng ng nht ny, ta cú + F sup sup k f (x k) x (2)|| x kZ d xQ < , vỡ vy chỳng ta ó ch c rng f S Rd . Bng cỏch tng t cho cỏc i s i ngu cỏc bin i Fourier, chỳng ta cú th m rng bin i Zak cho hm suy rng tng chm. Cho f S Rd chỳng ta xỏc nh Z f l hm tuyn tớnh cho bi: d Z f, Z = f, (3.13) S Rd . 3.2 ng dng lý thuyt khung Gabor Bin i Zak l mt phng tin thun tin cho vic gii quyt rt nhiu cõu hi gii tớch thi gian- tn s. Trc ht chỳng ta nghiờn cu toỏn t khung Gabor Sg. f = k.nZd f.Tk Mn g Tk Mn vi = . nh lớ 3.3. Cho g, L2 Rd v = . Khi ú Z (Sg f ) = d Z g.Z .Z f. (3.14) Nh vy, toỏn t khung Gabor Sg. l tng ng vi phộp nhõn toỏn t Z Sg. Z1 vi h s Z g.Z trờn L2 Q ì Q1/ . 47 Chng minh. Chng minh u tiờn: Chỳng ta thit lp (3.14) cho g, W Rd v s dng nguyờn lý trự mt. Ta ó nhn xột rng vi = 1, f, h L2 Rd , dng ma trn ca Sg. n gin l Sg. f, h = d Gjl.0 (x) Tl f (x) Tj h (x)dx Q j,lZd Vit x (l) = Tl f (x) , x (j) = Tj h (x), v x (j) = Gj,0 (x) . V lu ý rng theo nh ngha chui Fourier ca x v x l x () = Z f (x, ) v x () = Z h (x, ) . Khi ú tng kộp di du tớch phõn cú dng x x , x (d ) . Theo nh lý Plancherels cho chui Fourier, ta cú: x x , x (Zd ) = d x .x , x = d L2 (Q1/ ) x ()Z f (x, ) Z h (x, )d Q1/ Ta cú kt qu ca x () cho bi: Gn.0 (x) e2in. x () = nZd g (x k) (x (n + k) ) e2in. = nZd kZd (x (n + k) ) e2i(n+k). g (x k) e2ik. = kZd nZd = Z (x, ) Z g (x, ) Nu g, W Rd thỡ Tk g (x) : k Zd Zd , v Tk (x) : k Zd Zd vi hu mi x Rd v vỡ vy ta cú th i th t gia cỏc tng bin i trờn. Ta cú : Sg, f, h = 2d Z g (x, )Z (x, ) Z f (x, ) Z h (x, )dxd. Q Q1/ (3.15) Cui cựng, dựng d/2 Z l toỏn t Unita, ta thu c t (3.15) d Z (Sg. f ) , Z h = Sg. f, h = 2d Z gZ Z f, Z h L2 (Q ìQ1/ ) . 48 Vỡ kt qu trờn luụn ỳng cho tt c h L2 Rd v ú ỳng cho tt c cỏc hm Z h L2 Q ì Q1/ , suy cú c (3.14). Chng minh th Dựng = 1/ v (3.5) Ta cú Z Tk Mn/ g (x, ) = e2in.x/ e2ik. Z g (x, ) . Do ú f, Tk Mn/ g Z Tk Mn/ (x, ) Z (Sg, f ) (x, ) = k,nZd d Z f, Z Tk Mn/ g Z Tk Mn/ (x, ) = k,nZd = d Z f (x, ) Z g (x, ) Q ìQ1/ k,nZd ìe2i(nx/k.) dxd e2i(nx/k.) Z (x, ) . Vỡ e2i(nx/k.) : k, n Zd l mt c s trc chun ca L2 Q ì Q1/ , ta cú tng k,nZd ch l s khai trin trc giao ca Z f.Z g L Q ì Q1/ . Do ú Z (Sg. f ) = d Z Z gZ f . H qu 3.2. Gi s = v g, L2 Rd . Khi ú (a) Sg. l b chn trờn L2 Rd v ch Z g.Z L R2d . (b) G g, , l mt khung Gabor, thc l c s Riesz, v ch < a |Z g (x, )| b < hu khp ni. Trong trng hp ny cn khung ti u l Aopt =d essinf |Z g (x, )|2 (x,)Q ìQ1/ Bopt = d esssup |Z g (x, )|2 (x,)Q ìQ1/ (c) G g, , l mt c s trc chun ca L2 Rd v ch d |Z g (x, )|2 = vi mi x, Rd . 49 Chng minh. Toỏn t nhõn f mf l b chn v ch m L , v kh nghch v ch m1 L Cỏc phỏt biu (a) v (b) c suy mt cỏch trc tip, vỡ toỏn t liờn hp Z Sg,g Z1 bo ton ph. i vi (c), nu G g, , l mt c s trc chun thỡ Sg,g = IL2 v ú Z Sg,g Z1 chng qua l d |Z g|2 = 1. Ngc li, nu d |Z g|2 = hu khp ni thỡ bi (b), G g, , l mt khung cht vi cỏc cn khung A = B = v bi (3.10), g = d Q ìQ1/ |Z g (x, )|2 dxd = 1. Tk Mn/ g chun. Vỡ = 1, B 1.2 suy G g, , l mt c s trc Kt lun chng Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by v bin i Zak i vi mt s lp hm, cựng mt s ng dng lý thuyt Khung Gabor ch iu kin mt khung tr thnh mt c s trc chun ca L2 (Rd ). Kt lun Ni dung chớnh ca lun c xõy dng trờn cỏc ti liu tham kho [1] v [3] trỡnh by tng quan v: Khỏi nim khung, khung Gabor v mt s tớnh cht p ca khung. Bin i Zak i vi dóy v nghiờn cu mt s ng dng n gin ca nú vo gii phng trỡnh sai phõn hu hn. M rng khỏi nim bin i Zak v ng dng ca lý thuyt ny gii tớch thi gian - tn s. C th ng dng lý thuyt khung Gabor. Vi nng lc cũn hn ch v thi gian cú hn, chc chn lun khụng trỏnh nhng thiu sút. Kớnh mong quý Thy Cụ v cỏc bn cựng hc gúp ý lun c hon thin hn. Tỏc gi xin chõn thnh cm n! 50 Ti liu tham kho [1] Lokenath Debnath, Dambaru Bhatta (2007), Integral Transforms and Their Applications, Second Edition,Chapman and Hall/CRC. [2] Ingrid Daubechies (1992), Ten lecture on wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadenphia. [3] K. Grăochenig (2001),Foundations of Time-Frequency Analysis, Birkhăauser, Boston. [4] http://www.e-bookspdf.org/download/ece-2610-signal-andsystems.html. [5] L. Cohen (1995),Time-Frequency Alalysis, Preprint hall PTR, New Jansen, USA. [6] H. G. Feichtinger and T. Strohmer (editors) (1988) Gabor Alalysis and Algorithms: Theory and Applications, Birkh"auser Boston, USA. 51 [...]... Đây là một tái thiết lập của f từ các mẫu STFT của nó (1.37) Chương 2 Biến đổi Zak 2.1 Định nghĩa và một số tính chất Định nghĩa 2.1 Biến đổi Zak, ký hiệu Z của một dãy {f (n)} là hàm F (z) của biến phức z được xác định bởi ∞ f (n)z −n Z{f (n)} = F(z) = (2.1) n=0 Như vậy, Z là một biến đổi tuyến tính và có thể được coi như là toán tử ánh xạ dãy vô hướng thành hàm của biến phức z Giả sử tồn tại một R... đến những vị trí khác nhau Do đó biến đổi Fourier thời gian ngắn được gọi là " Biến đổi cửa sổ trượt" Với một vài ứng dụng, Vg f (x, ω) có thể coi như là công cụ đo biên độ của dải tần số gần ω tại thời điểm x Theo nghĩa này Vg f (x, ·) là phép đo phổ tần số tức thời tại x mà biến đổi Fourier không thể có được 2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn là tuyến tính theo f và tuyến tính liên hợp theo g Thông... + 2) 9 (z − 1) 9 (z − 1) F (z) = T Ø, Biến đổi Z nghịch đảo cho kết quả f (n) = 1 [10(−2)n + 3n − 1] 9 36 2.2.2 Dãy số Fibonacci Dãy Fibonacci được định nghĩa như là một dãy, trong đó mỗi số hạng là tổng của hai số hạng ứng trước nó Vì vậy, nó thỏa mãn phương trình sai phân un+1 = un + un−1 , u1 = u (0) = 1 Áp dụng biến đổi Z cho ta z2 , U (z) = 2 z −z−1 Biến đổi ngược cho kết quả un = Z Ở đó −1 z2... bản tất cả các tích phân bên phải biến mất trừ 1 2πi f (n) C dz = f (n) z Suy ra Z −1 {F (z)} = f (n) = 1 2πi F (z)z n−1 dz C Tương tự ta có thể xác định biến đổi Z hai phía bởi ∞ f (n)z −n Z {f (n)} = F (z) = (2.3) n=−∞ với tất cả các số phức z mà chuỗi (2.3) hội tụ Biến đổi này thành biến ∞ đổi Z một phía Z{f (n)} = F(z) = f (n)z −n nếu f (n) = 0 với n < 0 n=0 Biến đổi Z ngược ở (2.3) có công thức... được chứng minh Định lí 2.8 (Biến đổi Z của đạo hàm riêng) Z ∂ f (n, a) ∂a = ∂ [Z {f (n, a)}] ∂a (2.35) Chứng minh Ta có ∂ f (n, a) ∂a Z ∞ = n=0 ∂ = ∂a ∂ f (n, a) z −n ∂a ∞ f (n, a)z −n = n=0 ∂ [Z {f (n, a)}] ∂a Như là hệ quả của kết quả trên đây, ta có: na Z {ne } = Z ∂ na e ∂a ∂ ∂ = Z {ena } = ∂a ∂a z z − ea zea = (z − ea )2 35 2.2 Một số ứng dụng đơn giản Trong mục này, chúng ta sẽ xét một số ví... (n)z −n + Các hệ số của z −n trong việc mở rộng này là f (n) = Z −1 {F (z)} • Nếu F (z) được cho bởi chuỗi ∞ an z −n , F (z) = r1 < z < r2 n=−∞ thì biến đổi Z nghịch đảo của biến đổi Z là duy nhất và là {f (n) = an } với mọi n • Nếu miền xác định của phép phân tích chứa vòng tròn đơn vị |z| = 1, và nếu F có duy nhất giá trị trong đó, thì F eiθ là một hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π và do đó, nó có thể... (t) = e2πiωt f (t) 1.3 Giải tích thời gian- tần số Mặc dù biến đổi Fourier có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, nhưng nó lại trở nên không thực sự thỏa đáng khi cần phân tích địa phương kết hợp cả miền thời gian và miền tần số của tín hiệu là cần thiết để đạt được sự phân tích thời gian – tần số của tín hiệu, bởi muốn biết 14 thông tin về tần số của tín hiệu cần biết toàn bộ thông tin của... j∈J Và toán tử khung S được định nghĩa trên H bởi: Sf = f, ej ej j∈J Định lí 1.2 Giả sử rằng {ej : j ∈ J} là một khung của H Khi đó (a) C là một toán tử bị chặn từ H vào 2 (J) với miền đóng (b) Các toán tử C và D là liên hợp với nhau, nghĩa là D = C ∗ Do đó D thác triển đến một toán tử bị chặn từ 2 (J) vào H và thỏa mãn: cj ej ≤ B 1/2 c 2 j∈J (c) Toán tử khung S = C ∗ C = DD∗ ánh xạ H lên H và là... định một hàm cửa sổ g = 0, khi đó biến đổi Fourier thời gian ngắn của hàm f đối với g , kí hiệu Vg f được định nghĩa như sau f (t) g (t − x)e−2πitω dt, ∀x, ω ∈ Rn Vg f (x, ω) = (1.11) Rn Nhận xét 1.1 1 Nếu g có giá compact với tâm của giá đặt tại gốc, thì Vg f (x, ·) là biến đổi Fourier của f trên một đoạn với tâm là x Khi x biến thiên, cửa sổ trượt dọc theo trục x đến những vị trí khác nhau Do đó biến. .. ej ej j∈J j∈J Và f = S −1 Sf = f, ej S −1 ej j∈J Bởi vì { f, ej } và đối bởi hệ quả 1.2 f, S −1 ej đều nằm trong 2 (J), đều hội tụ tuyệt 20 Định lí 1.3 Nếu {ej : j ∈ J} là một khung của H và f = hệ số c ∈ 2 (J) nào đó, thì |cj |2 ≥ j∈J f, S −1 ej 2 j∈J cj ej với j∈J Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cj = f, S −1 ej Với mọi j ∈ J Chứng minh Kí hiệu aj = f, S −1 ej ta có f = j aj ej và f, S −1 f = . hóa những kết quả và ứng dụng cơ bản của biến đổi Zak trong một số lĩnh vực. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày tổng quan về biến đổi Zak và những ứng dụng cơ bản của biến đổi này trong giải phương. " ;Biến đổi Zak và một số ứng dụng& quot; làm luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu + Nắm được các dạng của biến đổi Zak và những tính chất của nó. + Hệ thống hóa những kết quả và. – tần số. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 8 + Đối tượng nghiên cứu: Giải tích thời gian – tần số, khung Gabor, biến đổi Zak. + Hệ thống hóa những kết quả và ứng dụng cơ bản của biến đổi Zak trong