Về các mô đun và vành GQP nội xạ

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN THỊ KIM TUYẾN VỀ CÁC MÔĐUN VÀ VÀNH GQP-NỘI XẠ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Lê Văn Thuyết Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 2: PGS.TS. Trần Đạo Dõng Luận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 23 tháng 10 năm 2011. * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Th ư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn ñề tài. Trước hết chúng ta ñề cập ñến việc mở rộng của tính chất nội xạ (dựa vào tiêu chuẩn Baer) như sau: Cho M là một R-môñun và I là một iñêan phải của R. Xét giản ñồ sau với dòng là khớp: 0 → I i → R f h M Nếu tồn tại ( ) , R h Hom R M ∈ sao cho hi f = với mọi iñêan phải I của R và mọi ( ) , R f Hom I M ∈ , thì chúng ta nói rằng M là nội xạ. Chúng ta sẽ xét nhiều tổng quát hóa của khái niệm nội xạ. Trước hết nếu ta lấy I chỉ là những iñêan phải chính thì lúc ñó chúng ta có khái niệm P-nội xạ. Điều này tương ñương với f là phép nhân trái bởi một phần tử m M ∈ nào ñó với các phần tử của I, ñồng thời cũng tương ñương với tính chất linh hóa tử: ( ) M R l r a Ma = với mọi a R ∈ , trong ñó l và r là các linh hóa tử trái và phải tương ứng. Nếu một vành R là P-nội xạ như là R-môñun phải, thì R ñược gọi là vành P- nội xạ phải. Nhưng trong ñịnh nghĩa của nội xạ ở trên, khi lấy I chỉ là các iñêan phải hữu hạn sinh thì chúng ta có khái niệm F-nội xạ, và nếu lấy I chỉ là các iñêan phải hữu hạn sinh của ( ) R  , ta có khái niệm FP-nội xạ. Rất dễ thấy: n ội xạ ⇒ FP-nội xạ ⇒ F-nội xạ ⇒ P-nội xạ. Tiếp theo, N. K. Kim, S. B. Nam và J. Y. Kim ñã nói rằng một R-môñun phải M ñược gọi là GP-nội xạ (= YJ-nội xạ trong Ming hay 2 Xue) nếu, với mọi 0 a R ≠ ∈ , tồn tại một số nguyên dương n sao cho 0 n a ≠ và mọi ñồng cấu R-môñun phải n a R M → mở rộng ñược thành R-ñồng cấu R M → . Chúng ta xét ñến tính chất mở rộng của nội xạ liên quan ñến linh hóa tử, cụ thể là: Mệnh ñề. Cho một R-môñun phải M, thì các ñiều kiện sau là tương ñương: (i) M là GP-nội xạ. (ii) Với mỗi phần tử 0 a R ≠ ∈ , tồn tại n ∗ ∈  sao cho 0 n a ≠ , ( ) ( ) n n M R l r a Ma = . Dựa vào ñó, ta lại có các khái niệm tổng quát: Một môñun M ñược gọi là hầu nội xạ chính (almost principally injective – gọi tắt là AP-nội xạ) nếu, với mọi a R ∈ , tồn tại một S-môñun con X của M sao cho ( ) M R l r a Ma X = ⊕ , như là tổng trực tiếp của các ( ) R End M - môñun. Theo Page và Zhou, một môñun M ñược gọi là hầu nội xạ chính suy rộng (almost general principally injective – gọi tắt là AGP- nội xạ) nếu, với mọi a R ∈ , tồn tại một số nguyên dương ( ) n n a = và một S-môñun con X của M sao cho 0 n a ≠ và ( ) n n M R l r a Ma X = ⊕ , như là tổng trực tiếp của các ( ) R End M -môñun. Từ ñó, ta cũng có các ñịnh nghĩa về vành AP-nội xạ, AGP-nội xạ. Dễ thấy: P-nội xạ ⇒ GP-nội xạ ⇒ AGP-nội xạ. Page và Zhou ñã chỉ cho 3 ví dụ về các vành AGP-nội xạ mà không là P-nội xạ. Theo một hướng tương tự, Nicholson và Zhou ñã gọi một môñun M R là nội xạ tựa chính (quasiprincipally injective – gọi tắt là QP-nội xạ) nếu, với mọi R-ñồng cấu từ một môñun con M-cyclic của M ñến M mở rộng ñược thành một tự ñồng cấu của M, hay tương ñương với, ( ) ( ) er S l K s Ss = với mọi ( ) R s S End M ∈ = . QP-nội xạ ñược nghiên c ứu ñầu tiên bởi Wisbauer với tên là nửa nội xạ (semi-injective). M R ñược gọi là nội xạ tựa chính suy rộng (generalized quasiprincipally injective, gọi tắt là GQP-nội xạ) nếu, với mọi 3 ( ) 0 R s S End M≠ ∈ = , tồn tại một số nguyên dương n sao cho 0 n s ≠ và mọi R-ñồng cấu từ ( ) n s M ñến M mở rộng ñược thành một tự ñồng cấu của M, hay tương ñương với mọi ( ) 0 R s S End M≠ ∈ = , tồn tại một số nguyên dương n sao cho 0 n s ≠ và ( ) ( ) er n n S l K s Ss = . M R ñược gọi là nội xạ hầu tựa chính suy rộng (generalized almost quasiprincipally injective – gọi tắt là AQP-nội xạ suy rộng) nếu, với mọi ( ) 0 R s S End M≠ ∈ = , tồn tại một số nguyên dương ( ) n n s = và một iñêan trái s S X S ≤ sao cho 0 n s ≠ và ( ) ( ) er n n S s l K s Ss X = ⊕ . Từ các ñịnh nghĩa trên dễ dàng thấy rằng: P-nội xạ ⇒ QP-nội xạ ⇒ GQP-nội xạ ⇒ AQP-nội xạ suy rộng. Tuy nhiên, nguồn gốc của sự mở rộng nội xạ, có thể kể ñến giả thuyết Faith: Vành tựa Frobenius (viết tắt là QF) ñã ñược Nakayama giới thiệu vào năm 1939 như là một sự tổng quát của ñại số nhóm của một nhóm hữu hạn trên một trường. Các vành này ñã ñược ñặc trưng bởi ñiều kiện mọi iñêan một phía là iñêan linh hoá tử hữu hạn sinh. Trong trường hợp này, vành sẽ là Artin phải và trái, nghĩa là, thoả mãn ñiều kiện dây chuyền giảm cho các iñêan một phía. Năm 1940, Baer giới thiệu khái niệm môñun nội xạ và ñến năm 1951, Ikeda ñã ñặc trưng vành QF thông qua vành Artin tự nội xạ, nhưng thực ra một phía nội xạ và một phía Artin cũng ñủ ñể ñặc trưng vành QF, rồi thì sau ñó cũng chỉ cần một phía nội xạ và một phía Noether. Sau ñó, nhiều ñặc trưng của vành QF thông qua các vành liên tục, vành QF-2, QF-3, vành nội xạ tối tiểu, luỹ ñẳng bé và không bé trong vành Artin phải và trái, vành FPF, ñã ñược nghiên cứu và ñã có nhiều kết quả. Gi ả thuyết nổi tiếng của Faith: Phải chăng một vành nửa nguyên sơ tự nội xạ phải là tựa Frobenius? 4 Nhiều tác giả ñã tiếp cận giả thuyết Faith bằng cách xét các ñiều kiện hữu hạn theo tính chất nội xạ và tính hoàn chỉnh của vành. Nhiều câu trả lời một phần cho giả thuyết Faith ñã có nhưng trả lời cho toàn thể giả thuyết thì chưa. Vì quan tâm ñến giả thuyết của Faith, chúng tôi sẽ xét ñến các tính chất của nhiều loại môñun mở rộng của môñun nội xạ ñã nêu ở trên ñể từ ñó, chúng ta có thể có các ñặc trưng của vành QF thông qua một số ñiều kiện yếu hơn. Và chúng ta cũng có những vành liên quan như PF, H-vành, co-H vành là các lớp mở rộng của QF. Có nhiều tài liệu liên quan ñến vành QF, lớp môñun và vành nội xạ mở rộng ở trên, ñặc biệt là quyển sách “Quasi – Frobenius Rings” ñược viết bởi Nicholson và Yousif [11]. Tuy nhiên, do có một số bài báo ñề cập ñến môñun, vành GQP-nội xạ; vì vậy, xuất phát từ nhu cầu ñã nêu ở trên, chúng tôi chọn ñề tài là “ Về các môñun và vành GQP-nội xạ”. Chúng tôi hy vọng tạo ñược một tài liệu tham khảo tốt cho những người muốn nghiên cứu sâu hơn về vành và môñun, ñặc biệt là vành và môñun GQP-nội xạ, hy vọng tìm ra ñược một số ví dụ minh họa thêm và tính chất mới nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này. 2. Mục tiêu nghiên cứu của ñề tài. Mục tiêu của ñề tài nhằm tìm hiểu Về các môñun và vành GQP–nội xạ như sau: - Tổng quan một số kiến thức về vành và môñun. - Tổng quan về môñun và vành GQP-nội xạ. Nghiên cứu thêm một vài tính chất mới trên môñun và vành GQP-nội xạ. Thêm một số ví dụ minh họa ñể làm rõ các ñối tượng nghiên cứu. - Cu ối cùng, chúng tôi tổng quan những mối liên hệ của môñun và vành GQP-nội xạ với vành QF. 3. Phương pháp nghiên cứu. 5 4. Đóng góp của ñề tài. 1. Tổng quan về môñun và vành GQP-nội xạ. Đưa ra một số ví dụ minh họa. 2. Đưa ra thêm vài kết quả mở rộng trên môñun và vành GQP- nội xạ. 3. Tổng quan các ñặc trưng cơ bản của vành QF qua môñun và vành GQP-nội xạ. 5. Cấu trúc của luận văn. Luận văn ñược chia thành ba chương: Chương 1. Tổng quan về vành và môñun. Chương 2. Môñun và vành GQP-nội xạ. Chương 3. Mối liên hệ với vành QF. 6 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ VÀNH VÀ MÔĐUN 1.1 Vành 1.1.1. Các phần tử ñặc biệt và iñêan trong vành. 1.1.1.1. Định nghĩa. Một phần tử a của vành R ñược gọi là một lũy ñẳng nếu 2 a a = ; lũy linh nếu 0 k a = với k ∗ ∈  nào ñó; chính qui nếu tồn tại , a b R ∈ : aba a = . Hai lũy ñẳng , e f R ∈ ñược gọi là trực giao với nhau nếu 0 ef fe = = . Một lũy ñẳng 0 e ≠ của vành R ñược gọi là lũy ñẳng nguyên thủy nếu nó không thể ñược viết dưới dạng một tổng của hai lũy ñẳng khác không trực giao với nhau. Lũy ñẳng e R ∈ ñược gọi là lũy ñẳng ñịa phương nếu eRe là một vành ñịa phương. 1.1.1.2. Linh hóa tử. Với một tập hợp con không rỗng A R ⊂ của vành R, kí hiệu ( ) { } / 0, R l A b R ba a A = ∈ = ∀ ∈ , là linh hóa tử trái của A, ( ) { } / 0, R r A b R ab a A = ∈ = ∀ ∈ , là linh hóa tử phải của A. Khi ñó, l R (A) là iñêan trái, r R (A) là iñêan phải trong R. 1.1.1.3. Định nghĩa. Một iñêan trái I của vành R ñược gọi là cực tiểu nếu 0 I ≠ và nó thực sự không chứa bất kỳ iñêan trái khác 0 của R; cực ñại nếu I R ≠ và nó thực sự không ñược chứa trong bất kỳ iñêan trái khác R; lũy linh nếu tồn tại k ∗ ∈  với 0 k I = ; l ũy ñẳng nếu 2 I I = . Một iñêan thật sự I R < ñược gọi là 7 nguyên tố nếu với các iñêan , A B R ≤ : AB I A I ≤ ⇒ ≤ hoặc B I ≤ ; nửa nguyên tố nếu nó là một giao của các iñêan nguyên tố. 1.1.1.4. Tính chất. (1) Trong một vành có ñơn vị, mọi iñêan (trái, phải) thật sự ñược chứa trong một iñêan (trái, phải) cực ñại. (2) Trong một vành có ñơn vị mọi iñêan cực ñại là iñêan nguyên tố. (3) Trong một vành có ñơn vị mọi iñêan (trái) sinh bởi một phần tử chính qui là lũy ñẳng. 1.1.2. Các vành ñặc biệt. 1.1.2.1. Định nghĩa. Một vành R ñược gọi là ñơn trái nếu 2 0 R ≠ và không có iñêan trái không tầm thường trong R; ñơn nếu 2 0 R ≠ và không có iñêan không tầm thường trong R; nửa ñơn trái nếu R là một tổng trực tiếp của các iñêan trái cực tiểu; nửa ñơn nếu R là một tổng trực tiếp của các iñêan cực tiểu; chính qui nếu mọi phần tử a R ∈ là chính qui; nguyên tố nếu 0 là một iñêan nguyên tố; nửa nguyên tố nếu 0 là một iñêan nửa nguyên tố. 1.1.2.2. Tính chất của vành nửa ñơn. 1.1.2.3. Tính chất của vành chính qui. 1.1.2.4. Tính chất của vành nửa nguyên tố. 1.1.2.5. Vành hoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh, nửa nguyên sơ, nửa chính qui. Cho vành R và I là một iñêan của nó. Khi ñó, nếu với mọi lũy ñẳng f của vành thương / R I ñều tồn tại lũy ñẳng e của vành R sao cho e f I − ∈ , thì ta gọi các lũy ñẳng nâng ñược môñulo I (mỗi lũy ñẳng f của vành thương / R I nâng ñược ñến một lũy ñẳng e của vành R). 8 Một vành R ñược gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R/J là nửa ñơn và lũy ñẳng nâng môñulo J. Một iñêan A của vành R ñược gọi là T-lũy linh phải nếu mọi dãy 1 2 , , , , n a a a các phần tử của A, tồn tại n ∈  , 1 n ≥ sao cho 1 2 1 0 n n a a a a − = . Một vành R ñược gọi là hoàn chỉnh phải nếu R là nửa hoàn chỉnh và J là T-lũy linh phải. Mọi vành Artin phải (hoặc trái) của R là nửa hoàn chỉnh bởi vì R/J là nửa ñơn theo ñịnh lí Wedderburn-Artin, và lũy ñẳng nâng môñulo J bởi vì J là lũy linh. Một vành R ñược gọi là nửa nguyên sơ nếu / R J là nửa ñơn và J là lũy linh. Vì vậy R gọi là nửa nguyên sơ nếu nó là nửa hoàn chỉnh và J là lũy linh. Mọi vành Artin trái hoặc phải là nửa nguyên sơ. Một vành R ñược gọi là nửa chính qui nếu, / R J chính qui và lũy ñẳng nâng lên môñulo J; tương ñương, với mọi ( ) 2 , : 1 a R e e aR e a J ∈ ∃ = ∈ − ∈ . 1.1.2.6. Vành linh hóa tử cực tiểu, vành ñối xứng cực tiểu. Một vành R ñược gọi là vành linh hóa tử cực tiểu (minannihilator) phải nếu mọi iñêan phải cực tiểu H của R là một linh hóa tử, tương ñương, nếu ( ) rl H H = . Một vành R ñược gọi là vành ñối xứng cực tiểu (minsymmetric) trái nếu Rk là ñơn, k R ∈ , kéo theo kR là ñơn. Chẳng hạn, ví dụ, bất kỳ vành nội xạ cực tiểu trái là ñối xứng cực tiểu trái. 1.2 Môñun 1.2.1. Một số ñịnh nghĩa. Cho M là m ột R-môñun, một môñun N ñược gọi là M-sinh, nếu có một toàn cấu ( ) I M N → với tập chỉ số I nào ñó. Nếu I là hữu hạn thì N ñược gọi là M-sinh hữu hạn. Đặc biệt, một môñun con N của M ñược [...]... P-n i x trái 2.2.3.5 Mô un P-n i x là mô un QP-n i x 2.2.3.6 Mô un QP-n i x không nh t thi t là mô un P-n i x Ví d Cho /2 là vành các s nguyên Khi ñó, -mô un ñơn suy bi n là mô un QP-n i x nhưng không là P-n i x 2.2.3.7 Mô un QP-n i x là mô un GQP- n i x 2.2.3.8 Mô un GQP- n i x không nh t thi t là mô un QP-n i x 2.2.4 Vài k t qu trên mô un và vành GQP- n i x 18 Cho M là m t R -mô un ph i v i S =...9 g i là m t mô un con M-cyclic c a M, n u nó ñ ng c u v i M / L v i L là mô un con nào ñó c a M M t mô un M ñư c g i là m t t v t sinh (self-generator) n u nó sinh ra m i mô un con c a nó Mô un con A c a mô un M ñư c g i là c t y u (ho c l n) trong M n u v i m i mô un con khác không B c a M ta ñ u có A ∩ B ≠ 0 , kí hi u A ≤ e M Đ i ng u v i khái ni m c t y u, mô un con A c a mô un M ñư c g i... ) = Ss n 2.2.2 Ví d Cho là vành các s nguyên Khi ñó = / p v i p nguyên t là mô un GQP- n i x , vì p -mô un p là mô un ñơn 2.2.3 M i quan h gi a vành P-n i x , vành GP-n i x , mô un QPn i x và mô un GQP- n i x 2.2.3.1 Vành R là P-n i x ph i n u và ch n u RR là QP-n i x 2.2.3.2 Vành R là GP-n i x ph i n u và ch n u RR là GQP- n i x 2.2.3.3 Vành P-n i x là vành GP-n i x 2.2.3.4 Vành GP-n i x không... RadM N u M không có mô un con c c ñ i ta ñ t RadM = M Theo ñ nh nghĩa, RadM là mô un con bé nh t U ≤ M v i nó mô un thương M / U là ñ i sinh b i các mô un ñơn Do ñó ta có RadM = 0 n u và ch n u M là ñ i sinh b i các mô un ñơn, nghĩa là nó là m t tích tr c ti p con c a các mô un ñơn Căn c a R R ñư c g i là căn Jacobson c a R, t c là J = J ( R ) = Rad ( R R ) = Rad ( RR ) Như m t mô un con b t bi n... i sinh n u nó ñ i sinh ra m i mô un trong ph m trù Mod-R V t ñ i sinh ñ i ng u v i v t sinh (t c là, mô un G sao cho m i mô un là m t nh c a m t t ng tr c ti p G (I ) v i t p I nào ñó) 1.2.4 Đi u ki n dây chuy n trên mô un và vành Cho R -mô un M và L là l p các mô un con nào ñó c a M Ta nói M th a mãn ñi u ki n dây chuy n tăng (ACC: ascending chain condition) trên các mô un trong L n u m i dãy tăng... ng) 1.2.5 Đ và căn c a mô un và vành Cho M là m t R -mô un Ta ñ nh nghĩa ñ c a M là t ng c a m i mô un con (c c ti u) ñơn c a M, kí hi u Soc ( M ) , SocM N u không có mô un con c c ti u trong M ta ñ t Soc ( M ) = 0 Theo ñ nh nghĩa Soc ( M ) là mô un con n a ñơn l n nh t c a M và SocM = M n u và ch n u M là n a ñơn Đ i ng u v i ñ ta ñ nh nghĩa căn c a m t R -mô un M là giao c a m i mô un con c c ñ i c... iñêan hai phía trong R 1.2.6 Vành và mô un Kasch M t vành R ñư c g i là vành Kasch ph i (ho c Kasch ph i ñơn) n u v i m i R -mô un ph i ñơn K ñ u t n t i m t ñơn c u ι : K → RR M t mô un M R ñư c g i là Kasch n u b t kỳ mô un ñơn trong σ [ M ] nhúng trong M, ñây σ [ M ] là ph m trù bao g m m i Rmôñun ph i M-sinh con 12 1.2.7 Vành n i x c c ti u Cho R là m t vành, m t mô un M R ñư c g i là n i x c c ti... là m t t v t sinh, thì J ( S ) = W ( S ) 2.1.3.4 B ñ Cho M là m t R -mô un, thì các ñi u ki n sau là tương ñương: (1) M là mô un QP-n i x (2) lS ( Ker ( s ) ) = Ss v i m i s trong S 17 2.2 Mô un GQP- n i x 2.2.1 Đ nh nghĩa M t R -mô un ph i M ñư c g i là n i x t a chính suy r ng (generalized quasiprincipally injective, g i t t là GQP- n i x ) n u, v i m i 0 ≠ s ∈ S = End ( M R ) , t n t i m t s nguyên... ñư c g i là m t vành C1 ph i (tương ng vành C2, vành C3) n u mô un RR có tính ch t tương ng Ta có quan h sau: C2 ⇒ C3 M t mô un ñư c g i là liên t c n u nó th a mãn c hai ñi u ki n C1 và C2 Và m t vành R ñư c g i là vành liên t c trái n u R R là mô un liên t c 1.2.3 Mô un là v t sinh, v t ñ i sinh M t mô un C ñư c g i là ñ i sinh ra m t mô un M n u M có th ñư c nhúng trong m t tích tr c ti p C I các... con A c a mô un M ñư c g i là ñ i c t y u (ho c bé) trong M, kí hi u M , n u v i m i mô un con B ≠ M c a M chúng ta ñ u có A A+ B ≠ M M t mô un M ≠ 0 ñư c g i là ñ u n u m i mô un con khác không c a M là mô un con c t y u trong M M t mô un M ñư c g i là có chi u Goldie h u h n n, kí hi u b i G ( M ) = n , n u t n t i n mô un n con ñ u U i c a M sao cho ⊕U i ≤e M N u M = 0 , ta ñ nh nghĩa i =1 G ( M