TIẾP TUYẾN NGUYỄN tất THU

GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích Chuyên ñề: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN 1.ðịnh nghĩa: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y=f(x) tại ñiểm 0 0 ( ; ( )) M x f x . Phương pháp: * Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ( ) y f x = tại 0 0 ( ; ) M x y là: 0 0 0 '( )( ) y f x x x y = − + với 0 0 ( ) y f x = . Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ( ) y f x = , biết tiếp tuyến có h ệ số góc k. Ph ương pháp: Cách 1: *Phương trình tiếp tuyến có dạng: y kx b = + * ðiều kiện tiếp xúc là hệ pt: ( ) (1) '( ) (2) f x kx b f x k  = +     =   T ừ (2) ta tìm ñược x, thế vào (1) ta có ñược b. Ta có tiếp tuyến cần tìm. Cách 2: * Giải phương trình '( ) f x k = giải phương trình này ta tìm ñược các nghiệm 1 2 , , , n x x x . * Phương trình tiếp tuyến: '( )( ) ( ) ( 1,2, , ) i i i y f x x x f x i n = − + = . Chú ý: ðối với bài toán này ta cân lưu ý một số vấn ñề sau: * Số tiếp tuyến của ñồ thị chính là số nghiệm của phương trình '( ) f x k = . *Cho hai ñường thẳng 1 1 1 : d y k x b = + và 2 2 2 : d y k x b = + . Khi ñó i) 1 2 1 2 tan 1 . k k k k α − = + , trong ñó  1 2 ( , ) d d α = . ii) 1 2 1 2 1 2 // k k d d b b =   ⇔  ≠   iii) 1 2 1 2 . 1 d d k k ⊥ ⇔ = − Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ( ) y f x = , biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm ( ; ) A A A x y . Phương pháp: Cách 1: Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) A A y k x x y = − + ðiều kiện tiếp xúc: hệ pt ( ) ( ) (1) '( ) (2) A A f x k x x y f x k  = − +     =   có nghi ệ m. GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích Thay (2) vào (1), ta ñược: ( ) '( )( ) A A f x f x x x y = − + , giải pt này ta tìm ñược các nghiệm 1 2 , , , n x x x . Thay vào (2) ta tìm ñược k từ ñó suy ra phương trình tiếp tuyến. Cách 2: Gọi 0 0 ( ; ) M x y là tiếp ñiểm. Khi ñó tiếp tuyến có dạng: 0 0 0 '( )( ) y f x x x y = − + Vì tiếp tuyến ñi qua A nên ta có: 0 0 0 '( )( ) A A y f x x x y = − + , giải phương trình này ta tìm ñược x 0 suy ra phương trình tiếp tuyến. Chú ý: *Nếu giải theo cách 1 thì số tiếp tuyến của ñồ thị chính là số nghiệm của phương trình: ( ) '( )( ) A A f x f x x x y = − + * Nếu giải theo cách 2 thì số tiếp tuyến là số nghiệm của phương trình 0 0 0 '( )( ) A A y f x x x y = − + (với ẩn là x 0 ). CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến Phương pháp: Ta dựa vào ba bài toán trên Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2 y= 3 2 x x x − + , có ñồ thị (C) 1) Vi ế t ph ươ ng trì nh ti ế p tuy ế n củ a (C) tạ i ñ i ể m u ố n . 2) Vi ế t ph ươ ng trì nh ti ế p tuy ế n củ a (C) tạ i ñ i ể m có hoà nh ñộ b ằ ng 1 − . 3) Vi ế t ph ươ ng trì nh ti ế p tuy ế n củ a (C) tạ i ñ i ể m có tung ñộ b ằ ng 6 . 4) Vi ế t ph ươ ng trì nh ti ế p tuy ế n củ a (C) tạ i giao ñ i ểmcủ a (C) v ớ i tr ụ c hoà nh. 5) Ch ứ ng minh r ằ ng ti ế p tuy ế n tạ i ñ i ể m u ố n có h ệ s ố gó c nhỏ nh ấ t. Giải: 1)Ta có: 2 ' 3 6 2 '' 6 6 " 0 1 y x x y x y x = − + ⇒ = − ⇒ = ⇔ = , do ñó tọa ñộ ñiểm uốn là (1;0) U Phương trình tiếp tuyến tại U là: '(1)( 1) 0 1 y y x x = − + = − + . 2) Ta có 0 0 1 6 x y = ⇒ = − và 0 '( ) '( 1) 11 y x y = − = , suy ra Ph ương trình tiếp tuyến là: '( 1)( 1) 6 11 5 y y x x = − + − = + . 3) Gọi 0 ( ;6) M x là tiếp ñiểm , ta có: 3 2 2 0 0 0 0 0 0 3 2 6 ( 3)( 2) 0 3 x x x x x x − + = ⇔ − + = ⇔ = V ậ y ph ươ ng trì nh ti ế p tuy ế n là : '(3)( 3) 6 11 27 y y x x = − + = − . 4) PTH ð giao ñ i ể m củ a (C) v ớ i Ox: 3 2 3 2 0 0, 1, 2 x x x x x x − + = ⇔ = = = * x=0 ta có ti ế p tuy ế n: '(0)( 0) 0 2 y y x x = − + = . * x=1 ta có ti ế p tuy ế n: '(1)( 1) 0 1 y y x x = − + = − + . * x=2 ta có ti ế p tuy ế n: '(2)( 2) 0 2 4 y y x x = − + = − . 5) Vì h ệ s ố gó c củ a mọ i ti ế p tuy ế n ñề u có dạ ng '( ) f x và h ệ s ố gó c củ a ti ế p tuy ế n tạ i ñ i ể m u ố n b ằ ng -1. Do ñó ñể ch ứ ng minh bà i toá n ta chỉ c ầ n ch ứ ng minh '( ) 1 f x ≥− . ð i ề u nà y luôn ñú ng vì : 2 '( ) 1 3( 1) 0 f x x x R + = − ≥ ∀ ∈ ( ñ pcm). GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích Chú ý: Chứng minh tương tự ta có kết quả tổng quát của câu 5 như sau “Cho hàm số 3 2 ( 0) y ax bx cx d a = + + + ≠ . Nếu 0 a > thì ti ế p tuy ế n tạ i ñ i ể m u ố n có h ệ s ố gó c nhỏ nh ấ t cò n n ế u 0 a < thì ti ế p tuy ế n tạ i ñ i ể m u ố n có h ệ s ố gó c l ớ n nh ấ t”. Ví dụ 2: Cho hàm số 2 1 1 x x y x − + = − có ñồ thị (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng :3 4 1 0 x y ∆ − + = . 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ ( 1;3) M − . 3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) ñi qua giao ñiểm hai ñường tiệm cận của (C). 4) Biện luận theo 0 m ≠ số ti ế p tuy ế n củ a (C) mà ti ế p tuy ế n vuông gó c v ớ i ñườ ng th ẳ ng : 1 0 m x my m ∆ − + + = . Giải: Ta có 2 2 2 ' ( 1) x x y x − = − 1)Gọi d là tiếp tuyến song song với ñường thẳng 3 1 : 4 4 y x ∆ = + , khi ñó d có hệ số góc là 3 4 k = Xét phương trình: 2 2 2 1 2 3 ' 2 3 0 3 4 ( 1) x x x y k x x x x  = − −  = ⇔ = ⇔ − − = ⇔  = −  . * 3 1 2 x y = − ⇒ = − ⇒ phương trình tiếp tuyến: 3 3 4 4 y x = − . * 7 3 2 x y = ⇒ = ⇒ phương trình tiếp tuyến: 3 5 4 4 y x = + . 2) Gọi d là ñường thẳng ñi qua ( 1;3) M − , có hệ số góc k, khi ñó phương trình d có dạng: ( 1) 3 y k x = + + d là tiế p tuyến ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm: 2 2 2 1 ( 1) 3 (1) 1 2 (2) ( 1) x x k x x x x k x   − +  = + +   −     −  =   −    Th ế (2) vào (1) ta ñược: 2 2 2 1 2 ( 1) 3 1 ( 1) x x x x x x x − + − = + = − − 2 2 2 5 2 0 1 2 x x x x  =  ⇔ − + = ⇔   =   * V ớ i 2 0 x k = ⇒ = ⇒ Ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n y=3. GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích *V ớ i 1 3 2 x k = ⇒ = − ⇒ Ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n 3 y x = − 3) ðồ th ị có hai ti ệ m c ậ n 1 x = và y x = suy ra giao ñ i ể m c ủ a hai ti ệ m c ậ n là I(1;1) G ọ i d là ñườ ng th ẳ ng ñ i qua I, có h ệ s ố góc k : ( 1) 1 d y k x ⇒ = − + d là ti ế p tuy ế n ⇔ h ệ 2 2 2 1 ( 1) 1 1 2 ( 1) x x k x x x x k x   − +  = − +   −     −  =   −    có nghi ệ m Th ế k vào ph ươ ng trình th ứ hai ta ñượ c: 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x x x − + − = + ⇔ − + = − + − − − ph ươ ng trình vô nghi ệ m V ậ y qua I không có ti ế p tuy ế n nào k ẻ ñế n (C). 4) m ∆ có h ệ s ố góc 1 m k m = . S ố ti ế p tuy ế n th ỏ a mãn bài toán chính là s ố nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình: 2 2 2 ( 2 ) '. 1 1 ( 1) 2( 1) 1 0 (*) ( 1) m m x x y k m x m x x − = − ⇔ = − ⇔ + − + + = − ( v ớ i ñ k 1 x ≠ ) * N ế u m=-1 (*) ⇒ vô nghi ệ m ⇒ không có ti ế p tuy ế n nào. *N ế u 1 m ≠ − : (*) có ' ( 1) m m ∆ = + và (*) có nghi ệ m 1 0 x m = ⇔ = + Khi 0 1 m m  >  ⇒  <−  (*) có hai nghi ệ m phân bi ệ t ⇒ có hai ti ế p tuy ế n + Khi 1 0 m − < ≤ thì (*) vô nghi ệ m ⇒ không có ti ế p tuy ế n nào. Chú ý: *H ệ s ố góc c ủ a m ọ i ti ế p tuy ế n luôn có d ạ ng: '( ) f x . * ðố i v ớ i hàm phân th ứ c 2 ( . ' 0) ' ' ax bx c y a a a x b + + = ≠ + không có ti ế p tuy ế n nào ñ i qua gia ñ i ể m c ủ a hai ti ệ m c ậ n. Ví dụ 3: Cho hàm số 2 2 (2 ) y x x = − , có ñồ th ị (C). 1) Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n t ạ i giao ñ i ể m c ủ a (C) v ớ i Parabol 2 y x = 2) Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a (C), bi ế t ti ế p tuy ế n ñ i qua ñ i ể m A(2;0). Giải: Ta có: 4 3 2 3 2 4 4 ' 4 12 8 y x x x y x x x = − + ⇒ = − + 1) PTHð giao ñiểm của (C) và Parabol 2 y x = 4 3 2 2 2 2 4 4 ( 4 3) 0 0, 1, 3 x x x x x x x x x x − + = ⇔ − + = ⇔ = = = .  0 x = ta có phương trình tiếp tuyến là: 0 y =  1 x = ta có ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n là: 1 y =  3 x = ta có phương trình tiếp tuyến là: 24 63 y x = − . GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích 2) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A, có hệ số góc k : ( 2) d y k x ⇒ = − d là ti ếp tuyến ⇔ hệ 2 2 (2 ) ( 2) 4 ( 2)( 1) x x k x x x x k   − = −    − − =   có nghiệm Thay k vào ph ương trình thứ nhất ta ñược: 4 3 2 3 2 2 4 4 ( 2)(4 12 8 ) (3 4)( 2) 0 x x x x x x x x x x − + = − − + ⇔ − − = 4 0, 2, 3 x x x ⇔ = = = .  0 0 x k = ⇒ = ⇒ Phương trình tiếp tuyến 0 y =  2 0 x k = ⇒ = ⇒ Phương trình tiếp tuyến 0 y =  4 32 3 27 x k = ⇒ = − ⇒ Phương trình tiếp tuyến 32 64 27 27 y x= − + . Ví dụ 4: Cho hàm số 1 2 mx y x m + = + − ,có ñồ th ị là (C m ) 1)Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a (C 1 ),bi ế t ti ế p tuy ế n ñ i qua ñ i ể m P(3;1). 2)Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a (C 1 ),bi ế t ti ế p tuy ế n ñ i qua ñ i ể m A(2;-1) 3)Tìm m ñể ti ế p tuy ế n t ạ i ñ i ể m có hoành ñộ x=1 vuông góc v ớ i ñườ ng th ẳ ng y=x+1. Giải: Với m=1 ta có 1 1 ( ): 1 x C y x + = − 1) G ọ i d là ñườ ng th ẳ ng ñ i qua P, có h ệ s ố góc k : ( 3) 1 d y k x ⇒ = − + . d là ti ếp tuyến ⇔ hệ 2 1 ( 3) 1 1 2 ( 1) x k x x k x  +   = − +   −   −   =   −   có nghiệm. Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñược: 2 1 2 ( 3) 1 2 1 ( 1) x x x x x + − = − + ⇔ = − − 2 k ⇒ = − ⇒ Phươ ng trình ti ế p tuy ế n: 2 7 y x = − + . 2) G ọ i d là ñườ ng th ẳ ng ñ i qua A, có h ệ s ố góc k : ( 2) 1 d y k x ⇒ = − − . d là ti ế p tuy ế n ⇔ h ệ 2 1 ( 2) 1 1 2 ( 1) x k x x k x  +   = − −   −   −   =   −   có nghi ệ m. Th ế k vào ph ươ ng trình th ứ nh ấ t, ta ñượ c: 2 1 2 ( 2) 1 2 1 ( 1) x x x x x + − = − − ⇔ = ± − − * 2 2(3 2 2) x k = ⇒ = − + ⇒ ti ế p tuy ế n: 2(3 2 2) 11 8 2 y x = − + + + . * 2 2(3 2 2) x k = − ⇒ = − − ⇒ ti ế p tuy ế n: 2(3 2 2) 11 8 2 y x = − − + − . GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích 3) Ta có 2 2 2 1 ' ( 2) m m y x m − − = + − . Ti ế p tuy ế n t ạ i ñ i ể m có hoành ñộ x=1 vuông góc v ớ i ñườ ng th ẳ ng y=x+1 2 2 2 1 '(1) 1 1 0, 2 ( 1) m m y m m m − − ⇔ =− ⇔ = − ⇔ = = − . Ví dụ 5: Có bao nhiêu ti ế p tuy ế n c ủ a ñồ th ị hàm s ố ln y x x = ñ i qua ñ i ể m M(2,1)? Giải: Gọi d là ñường thẳng ñi qua M, có hệ số góc k : ( 2) 1 d y k x ⇒ = − + . D là tiế p tuyến ⇔ hệ ln ( 2) 1 ln 1 x x k x x k  = − +     + =   có nghiệm Th ế k vào phương trình thứ nhất, ta ñược: ln (ln 1)( 2) 1 x x x x = + − + 2ln 1 0 x x ⇔ − + = (*) S ố tiếp tuyến kẻ từ M chính là số nghiệm của phương trình (*) Xét hàm số 2 ( ) 2ln 1 '( ) '( ) 0 2 x f x x x f x f x x x − = − + ⇒ = ⇒ = ⇔ = . M ặ t khác: 0 ( ) ; x x Lim f x Lim → →+∞ = −∞ = −∞ ; (2) 2ln2 1 f = − BBT: x 0 2 +∞ f’(x) + 0 - f(x) 2ln2 1 − −∞ −∞ D ự a vào BBT ta th ấ y ph ươ ng trình (*) có hai nghi ệ m phân bi ệ t. V ậ y có hai ti ế p tuy ế n k ẻ t ừ M. Ví dụ 6: Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị hàm số 3 2 1 1 3 2 3 m y x x = − + t ạ i ñ i ể m có hoành ñộ b ằ ng -1 song song v ớ i ñườ ng th ẳ ng 5x-y=0. Giải: Tiếp tuyến d của ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ x=-1, có dạng : ( 1) 1 2 m y m x = + + + d song song với ñường thẳng y=5x 1 5 4 1 0 2 m m m  + =    ⇔ ⇔ =   + ≠    . Vậy m=4 là giá trị cần tìm. Ví dụ 7: Cho hàm số 2 2 2 1 x x y x + + = + (C). GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích 1) Gọi I là tâm ñối xứng của (C) và M là một ñiểm bất kì thuộc (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai ñường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung ñiểm của AB và tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí của M. 2) Tìm vị trí của M ñể AB nhỏ nhất. 3)Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với tiệm cận xiên. Giải: 1) (C) có hai tiệm cận là x=-1 và y=x+1 I là tâm ñối xứng ( 1;0) I ⇒ − (I là giao của hai tiệm cận). Xét 0 0 ( ; ( )) ( ) M x f x C ∈ . Tiếp tuyến ∆ tại M của (C): 0 0 0 '( )( ) y y x x x y = − + hay là: 0 2 2 0 0 0 0 2 0 0 2 2 2 ( ) 1 ( 1) x x x x y x x x x + + + = − + + + ∆ cắt tiệm cận ñứng tại 0 2 ( 1; ) 1 A x − + và cắt tiệm cận xiên tại 0 0 (2 1;2 2) B x x + + suy ra 0 2 0 0 0 2 2 2 2 1 A B M A B M x x x x x x y y y x  +   = =    ⇒   + + +  = =   +   M là trung ñiểm của AB. Gọi H là hình chiếu của B lên IA 0 2| 1| BH x ⇒ = + , mà 0 2 | 1| IA x = + , suy ra 1 . 2 2 ABI S BH IA ∆ = = ⇒ ñpcm. 2) Ta có: 2 2 0 2 0 1 4[2( 1) 2] 4(2 2 2) 2 2 2 2 ( 1) AB x AB x = + + − ≥ − ⇒ ≥ − + ðẳng thức xảy ra 4 0 0 4 1 2( 1) 1 1 2 x x⇔ + = ⇔ =− ± . 3) Chú ý: Tính chất trên cũng ñúng trong trường hợp tổng quát, tức là ta có bài toán sau: “Cho hàm số 2 ( . ' 0) ' ' ax bx c y a a a x b + + = ≠ + có ñồ thị (C). Gọi I là tâm ñối xứng của (C) và M là một ñiểm bất kì thuộc (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai ñường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung ñiểm của AB và tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí của M .” GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích Dạng 2: Biện luận số tiếp tuyến Ví dụ 1: Cho hàm số 2 6 9 2 x x y x − + = − + . 1) Tìm tất cả các ñiểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ ñược ít nhất một tiếp tuyến với ñồ thị,song song với ñường thẳng 3 4 y x = − . 2) N là ñiểm nằm trên tiệm cận ñứng. Hỏi từ N có thể kẻ ñến (C) bao nhiêu tiếp tuyến. 3) Tìm tập hợp tất cả các ñiểm nằm trong mặt phẳng Oxy sao cho từ ñó có thể kẻ ñến ñồ thị (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Giải: 1) (0; ) M Oy M m ∈ ⇒ . gọi d là ñường thẳng ñi qua và song song với ñường thẳng 3 4 y x = − 3 : 4 d y x m ⇒ = − + . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 2 2 6 9 3 (1) 2 4 4 3 3 (2) 4 ( 2) x x x m x x x x   − +  = − +   − +     − + −   = −   −   có nghiệm. 2 (2) 4 0 0, 4. x x x x ⇔ − = ⇔ = = * 9 9 0 (0; ) 2 2 x m M= ⇒ = ⇒ . * 7 7 4 (0; ) 2 2 x m M= ⇒ = ⇒ . Vậy có hai ñiểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2) Ta có: (2; ) N n . ðường thẳng d ñi qua N, hệ số góc k có pt: ( 2) y k x n = − + . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 2 2 2 6 9 ( 2) (3) 2 4 3 (4) ( 2) x x k x n x x x k x   − +  = − +   − +     − + −   =   −   có nghiệm. Thế (4) vào (3) ta ñược: 2 2 6 9 4 3 ( 2) 2( 3) (*) 2 2 x x x x n n x n x x − + − + − = − ⇔ − = − − + − Số tiếp tuyến kẻ từ N ñến (C) chính là số nghiệm của (*) * Nếu n=2 thì (*) vô nghiệm nên không có tiếp tuyến nào kẻ từ N. * Nếu 2 n ≠ thì (*) có nghiệm duy nhất nên có ñúng một tiếp tuyến kẻ từ N Vậy từ (2; ) N n với 2 n ≠ kẻ ñược duy nhất một tiếp tuyến ñến (C), còn từ '(2;2) N không có tiếp tuyến nào kẻ ñến (C). GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích 3) Xét 0 0 ( ; ) M x y . ðườ ng th ẳ ng d ñ i qua M, h ệ s ố góc k có ptrình : y=k(x-x 0 )+y 0 . d là ti ế p tuy ế n c ủ a (C) ⇔ h ệ 2 0 0 2 2 6 9 ( ) 2 4 3 ( 2) x x k x x y x x x k x   − +  = − +   − +     − + −   =   −   có nghi ệ m. H ệ 0 0 2 1 ( 2) 2 ( 2) (2 ) 2 1 1 ( 2) x k x x k y x k x    − − + − = − + − +   −  ⇔    − + =   −   0 0 2 1 1 2 (2 ) 2 2 1 1 ( 2) x k y x x k x    − = + − +   − −  ⇔    − + =   −   0 0 2 1 1 (2 ( 2) ) 2 2 1 1 ( 2) x k y x k x    = + − −   −  ⇔    − + =   −   2 0 0 0 0 1 1 [( 2) 2 ] 4 2 2 x k y k y k x    − + − + − =    ⇒   −  ≠   −   2 2 2 0 0 0 0 0 0 ( 2) 2[( 2)( 2) 2] ( 2) 4 0 (*) 2 2 x k x y k y y k x   − − − − + + − − =     ⇔  −  ≠   −    ðể t ừ M k ẻ ñượ c hai ti ế p tuy ế n vuông góc ⇔ (*) có hai nghi ệ m phân bi ệ t 0 0 2 2 y x − ≠ − và k 1 .k 2 =-1 0 0 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 2 ( 2) 4 1 ( 2) ( 2) 4 ( 2) 4 0 4 0 x x y x y x x y x y  ≠    ≠        − −    ⇔ = − ⇔ − + − =     −     + − ≠      + − ≠    . V ậ y qu ỹ tích c ủ a M là ñườ ng tròn 2 2 ( 2) ( 2) 4 x y − + − = , tr ừ b ố n ñ i ể m sau 1 (2;0) M 2 3 4 (2;4); (2 2;2 2); (2 2;2 2) M M M + − − + . Chú ý: T ừ câu 2 ta th ấ y trên m ọ i ñ i ể m ti ệ m c ậ n ñứ ng (tr ừ giao c ủ a hai ti ệ m c ậ n) ta luôn k ẻ ñượ c ñ úng m ộ t ti ế p tuy ế n ñế n ñồ th ị . Tính ch ấ t này c ũ ng ñ úng cho m ọ i hàm phân th ứ c có d ạ ng 2 ; ' ' ' ' ax b ax bx c y y a x b a x b + + + = = + + . GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích Ví dụ 2: Cho hàm số = − + + 3 3 2 y x x . Tìm những ñiểm trên trục hoành sao cho từ ñó kẻ ñược ba tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số và trong ñó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Giải: Xét ñiểm ( ;0) M m Ox ∈ . ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt: ( ) y k x m = − . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 3 2 3 2 ( ) 3 3 x x k x m x k   − + + = −      − + =   có nghiệm. Th ế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc: 2 3 3( 1)( ) ( 3 2) 0 x x m x x − − − − − = 2 2 ( 1)(3 3(1 ) 3 ) ( 1)( 2) 0 x x m x m x x x ⇔ + − + + − + − − = 2 2 1 ( 1)[2 (3 2) 3 2] 0 2 (3 2) 3 2 0 (*) x x x m x m x m x m  = −  ⇔ + − + + + = ⇔   − + + + =  ðể t ừ M k ẻ ñượ c ba ti ế p tuy ế n thì (*) ph ả i có hai nghi ệ m phân bi ệ t khác -1 2 (3 2)(3 6) 0 V 2 3 3 3 0 1 m m m m m m     ∆ = + − > <− >     ⇔     + ≠    ≠ −    (**). G ọ i x 1 ,x 2 là hai nghi ệ m c ủ a (*), khi ñ ó h ệ s ố góc c ủ a ba ti ế p tuy ế n là : 2 1 1 3 3, k x = − + 2 2 2 3 3, k x = − + 3 0 k = . ðể hai trong ba ti ế p tuy ế n này vuông góc v ớ i nhau 1 2 . 1 k k ⇔ = − 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9( 1)( 1) 1 9 9( ) 18 8 0 (i) x x x x x x x x ⇔ − − = ⇔ − + + + = M ặ t khác theo ðị nh lí Viet 1 2 1 2 3 2 3 2 ; 2 2 m m x x x x + + + = = . Do ñ ó 26 ( ) 9(3 2) 8 0 27 i m m⇔ + + = ⇔ = − th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n (**) . V ậ y 26 ( ;0) 27 M − là ñ i ể m c ầ n tìm. Ví dụ 3: Tìm t ất cả những ñiểm nằm trên trục tung sao cho từ ñó có thể kẻ tới ñồ thị hàm số 4 2 2 1 y x x = − − ñ úng ba ti ế p tuy ế n. Giải: Xét (0; ) M m Oy ∈ . ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt: y kx m = + . d là tiếp tuyến ⇔ hệ 4 2 3 2 1 4 4 x x kx m x x k   − − = +      − =   có nghiệm. Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc: 4 2 4 2 2 1 4 4 x x x x m − − − = − + 4 2 5 2 1 0 x x m − + + = (*) ðể từ M ta có thể kẻ ñến ñồ thị ñúng ba tiếp tuyến (*) ⇔ có ba nghiệm phân biệt [...]... nh nh t 2 x −1 Bài 17: Cho hàm s y = (C) x −1 1) Kh o sát và v ñ th (C) 2) G i I là giao ñi m hai ñư ng ti m c n c a (C) Tìm ñi m M thu c (C) sao cho ti p tuy n t i M vuông góc v i IM x2 − x − 2 Bài 18: Cho hàm s y = (C) x+2 1) Kh o sát và v ñ th (C) GV: Nguy n T t Thu- Biên Hòa Gi i Tích 2) Gi s ti p tuy n c a (C) t i ñi m M ∈ (C ) c t hai ti m c n c a (C) t i P và Q Ch ng minh r ng MP = MQ Bài...  Th k vào phương trình th nh t, ta ñươc: −3 x x+2 2 = + m ⇔ ( m − 1) x − 2( m + 2) x + m + 2 = 0 (*) 2 x − 1 ( x − 1) ð t M k ñư c hai ti p tuy n thì (*) có hai nghi m phân bi t khác 1 GV: Nguy n T t Thu- Biên Hòa Gi i Tích ∆ ' = 3( m + 2) > 0   m > −2   m ≠ 1 ⇔ ⇔ (i)   m ≠ 1     m − 1 − 2(m + 2) + m + 2 ≠ 0  Khi ñó t a ñ hai ti p ñi m là: M 1 ( x1 ; y1 ), M 2 ( x2 ; y2 ) v i x1,x2... 2 k − 8( x0 − 2) = 0 V y ñư ng th ng y=7 là ti p tuy n c a ñò th hàm s 2) ð t M k ñư c hai ti p tuy n thì x0 ≠ 1 Khi ñó h s góc hai ti p tuy n là 8( x0 − 2) k1 = 0; k 2 = ( x0 − 1) 2 GV: Nguy n T t Thu- Biên Hòa hai ti p tuy n l p v i nhau m t góc 450 ⇔ * k2 = 1 ⇔ * k2 = 1 ⇔ 8( x0 − 2) ( x0 − 1) 2 8( x0 − 2) 2 Gi i Tích k1 − k 2 0 = tan 45 = 1 ⇔ k 2 = ±1 1 + k1k 2 = 1 ⇔ x0 = 5 ± 2 2 = − 1 ⇔ x0 =... s góc k có phương trình: y=kx+m   x + 4 x 2 + 2 x + 1 = kx + m    có nghi m d là ti p tuy n ⇔ h   4x + 1 1 + =k   2  4x + 2x + 1   Thay k vào phương trình th nh t ta ñư c: GV: Nguy n T t Thu- Biên Hòa 2 x + 4x + 2x + 1 = x + 4x2 + x 4x2 + 2x +1 Gi i Tích +m ⇔ 4x2 + 2x + 1 = 4x2 + x + m 4x2 + 2x + 1 ⇔ m = x +1 = f ( x) (*) 2 4x + 2x + 1 ð t M k ñư c ít nh t m t ti p tuy n ñ n ñ th ⇔ (*)... 4 3) Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th hàm s y = x 3 + x 2 − 2 x − , bi t ti p 3 2 3 tuy n song song v i ñư ng th ng y=4x+2 Bài 3: Cho hàm s y = 2 x3 + 3(m − 3) x 2 + 11 − 3m ( Cm ) GV: Nguy n T t Thu- Biên Hòa Gi i Tích 19 1) Cho m=2 Tìm phương trình các ñư ng th ng qua A( ,4) và ti p xúc v i ñ th 12 ( C2 ) c a hàm s 2) Tìm m ñ hàm s có hai c c tr G i M 1 và M 2 là các ñi m c c tr ,tìm m ñ các... trình ti p tuy n c a ñ th hàm s y = , bi t ti p tuy n ñi x−2 qua ñi m M(6;4) x2 + 4 x + 1 , bi t ti p tuy n ñi 4) Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th hàm s y = x qua M(1;0) 1 m 1 BÀi 6: M là m t ñi m thu c ñò th hàm s y = x 3 − x 2 + có hoành ñ b ng -1 3 2 3 Tìm m ñ ti p tuy n c a ñ th t i M song song v i ñư ng th ng 5x-y=0 Bài 7: Tìm nh ng ñi m trên ñ th hàm s y = x + 1 + 1 có hoành ñ l n hơn 1 sao... góc v i ti m c n xiên ñ th hàm s ñã cho Bài 10: Tìm nh ng ñi m trên tr c Oy sao cho t ñó k ñư c hai ti p tuy n v i ñ th hàm s y = x2 + 2x + 1 và hai ti p tuy n ñó vuông góc v i nhau x −1 GV: Nguy n T t Thu- Biên Hòa Gi i Tích x 2 − 3x + 2 x 1) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C) c a hàm s 2) Tìm trên ñư ng th ng x=1 nh ng ñi m M sao cho t M k ñư c hai ti p tuy n ñ n (C) và hai ti p tuy n ñó vuông góc...GV: Nguy n T t Thu- Biên Hòa ⇔ m + 1 = 0 ⇔ m = −1 Khi ñó (*) có 2 nghi m x = 0; x = ± Gi i Tích 2 và ba ti p tuy n ñó 5 2 x −1 5 V y M(0;-1) là ñi m c n tìm là: y = −1; y = ± Ví d 4: Tìm t t c các ñi m n m trên tr c... Kh o sát và v ñ th (C) 2) G i d là ti p tuy n c a (C) t i ñi m có hoành ñ xM = a Cmr hoành ñ các giao ñi m c a (C) và d là nghi m c a phương trình: ( x − a )2 ( x2 + 2ax + 3a2 − 6) = 0 GV: Nguy n T t Thu- Biên Hòa Gi i Tích 3) Tìm a ñ ti p tuy n d c t (C) t i hai ñi m P, Q khác M Tìm qu tích trung ñi m K c a PQ 4 + mx − 3 x2 Bài 30: V i giá tr nào c a m thì ti p tuy n c a ñ th hàm s y = t i 4x + m . thẳng y=7 là tiếp tuyến của ñò thị hàm số. 2) ðể từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến thì 0 1 x ≠ . Khi ñó hệ số góc hai tiếp tuyến là 0 1 2 2 0 8( 2) 0; ( 1) x k k x − = = − . GV: Nguyễn Tất Thu- Biên. trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng :3 4 1 0 x y ∆ − + = . 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ ( 1;3) M − . 3) Viết phương trình tiếp tuyến. ñược k từ ñó suy ra phương trình tiếp tuyến. Cách 2: Gọi 0 0 ( ; ) M x y là tiếp ñiểm. Khi ñó tiếp tuyến có dạng: 0 0 0 '( )( ) y f x x x y = − + Vì tiếp tuyến ñi qua A nên ta có: 0