đề thi môn toán 2013

ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN ĐẠI HỌC WASEDA NĂM 2013 Người dịch: Trần Quang Minh http://www.artofproblemsolving.com Ngày 2 tháng 8 năm 2015 Câu 1. Cho parabol C : y 2 = 4px với p > 0 với tiêu điểm F ( p, 0 ) và hai đường thẳng  1 ,  2 đi qua F và vuông góc với nhau. Đường thẳng  1 cắt C tại P 1 và P 2 , đường thẳng  2 cắt C tại Q 1 và Q 2 . Trả lời các câu hỏi sau. i. Giả sử phương trình của đường thẳng  1 là x = ay + p và các tọa độ của P 1 , P 2 lần lượt là ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) . Hãy tính y 1 + y 2 , y 1 y 2 theo a và p. ii. Chứng minh rằng 1 P 1 P 2 + 1 Q 1 Q 2 là một hằng số khi  1 ,  2 thay đổi. Câu 2. Cho số phức z = 1 +2 √ 6ı và số tự nhiên n. Giả sử khi khai triển z n ta có z n = a n + b n ı. Trả lời các câu hỏi sau. i. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n ta đều có a 2 n + b 2 n = 5 2n . ii. Tìm các hằng số thực p, q sao cho với mọi số tự nhiên n thì a n+2 = pa n+1 + qa n . iii. Chứng minh rằng a n không là bội của 5 với mọi số tự nhiên n. iv. Chứng minh rằng z n không là số thực với mọi giá trị của n. Câu 3. Cho hàm số f ( x ) = 1 2 e 2x + 2e x + x. Trả lời các câu hỏi sau. i. Với một số thực t bất kỳ, đặt g ( x ) = tx − f ( x ) . Khi x ∈ R, tìm miền biến thiên của t để g ( x ) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó hãy tìm giá trị lớn nhất của g ( x ) và giá trị x để g ( x ) đạt giá trị lớn nhất. ii. Ký hiệu m ( t ) là giá trị lớn nhất của g ( x ) đã tìm ở trên. Cho a là một hằng số thực, xét hàm số h ( t ) = at −m ( t ) . Với t biến thiên trong miền biến thiên của t đã tìm được ở trên, hãy tìm giá trị lớn nhất của h ( t ) . Câu 4. Cho khối R được chứa trong một nửa khối trụ, có chiều cao là 1 và đáy là nửa hình tròn bán kính bằng 1. Giả sử một mặt phẳng song song với đáy cắt với khối R tại độ cao x là phần được tô đậm trong hình được cho dưới đây. Trả lời các câu hỏi sau. 1 1. Tìm diện tích thiết hiện S ( x ) tại độ cao x. 2. Tìm diện tích của khối R. Câu 5. Cho mặt phẳng P trong không gian. Trả lời các câu hỏi sau. i. Cho mặt phẳng Q cắt mặt phẳng P và hai mặt phẳng này hợp với nhau một góc θ với 0 < θ < π 2 . Tìm độ dài lớn nhất và nhỏ nhất của hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng có chiều dài bằng 1 chứa trong Q lên P. ii. Với mặt phẳng Q như trên, tìm diện tích của hình chiếu vuông góc của một tam giác đều có cạnh bằng 1 chứa trong Q lên P. iii. Hình chiếu vuông góc của một tứ diện đều có cạnh bằng 1 lên một mặt phẳng là hình gì? Tìm giá trị diện tích lớn nhất của hình chiếu đó. Có gì sai sót mong được bỏ qua. HẾT 2 . ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN ĐẠI HỌC WASEDA NĂM 2013 Người dịch: Trần Quang Minh http://www.artofproblemsolving.com Ngày 2. tìm ở trên. Cho a là một hằng số thực, xét hàm số h ( t ) = at −m ( t ) . Với t biến thi n trong miền biến thi n của t đã tìm được ở trên, hãy tìm giá trị lớn nhất của h ( t ) . Câu 4. Cho khối. tìm diện tích của hình chiếu vuông góc của một tam giác đều có cạnh bằng 1 chứa trong Q lên P. iii. Hình chiếu vuông góc của một tứ diện đều có cạnh bằng 1 lên một mặt phẳng là hình gì? Tìm giá