Chuyên đề Phương trình chứa căn thức

Tải nhiều tài liệu, đề thi hơn tại bookbooming.com PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 1. PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA Dạng 1 : Phương trình 0( 0) A B A B A B ≥ ≥  = ⇔  =  Dạng 2: Phương trình 2 0 B A B A B ≥  = ⇔  =  Tổng quát: 2 2 0 k k B A B A B ≥  = ⇔  =  Dạng 3: Phương trình 0 ) 0 2 A A B C B A B AB C  ≥  + + = ⇔ ≥   + + =  (chuyển về dạng 2) +) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 . A B C A B A B A B C + = ⇔ + + + = (1) và ta sử dụng phép thế : 3 3 A B C + = ta được phương trình : 3 3 . . A B A B C C + + = (2) Dạng 4: 3 2 1 3 2 1 ; k k A B A B A B A B + + = ⇔ = = ⇔ = Chú ý: - Phương trình (2) là phương trình hệ quả của ph tr (1). - Phép bình phương 2 vế của một phương trình mà không có điều kiện cho 2 vế không âm là một phép biến đổi hệ quả. Sau khi tìm được nghiệm ta phải thử lại. Giải các phương trình sau: 1) 464 2 +=+− xxx 2) xxx −=+− 242 2 3) ( ) 943 22 −=−− xxx 4) 2193 2 −=+− xxx 5) 0323 2 =−−+− xxx 6) 2193 2 −=+− xxx 7) 51333 =−− xx 8) xx −=−− 214 9) 333 511 xxx =−++ 10) 333 11265 +=+++ xxx 11) 0321 333 =+++++ xxx 12) 321 −=−−− xxx 13) 8273 −=−−+ xxx 14) 012315 =−−−−− xxx 15) xxx 2532 −=−−+ 16) 01214 =−−− yy 17) 4x2x2x2x16x6x3 222 ++=++++ 18) 7925623 222 ++=+++++ xxxxxx 19) 291 −+=+ xx 20) 279 22 =−−+ xx (20) 3 3 1 2 2 2 x x x x + + + = + + Nhận xét : N ế u ph ươ ng trình : ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x h x k x + = + Mà có : ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x g x k x + = + , thì ta bi ế n đổ i ph ươ ng trình v ề d ạ ng ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x k x g x − = − sau đ ó bình ph ươ ng ,gi ả i ph ươ ng trình h ệ qu ả (21) 3 2 1 1 1 3 3 x x x x x x + + + = − + + + + Nhận xét : N ế u ph ươ ng trình : ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x h x k x + = + Mà có : ( ) ( ) ( ) ( ) . . f x h x k x g x = thì ta bi ế n đổ i ( ) ( ) ( ) ( ) f x h x k x g x − = − sau đ ó bình ph ươ ng ,gi ả i ph ươ ng trình h ệ qu ả 2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Các phương trình có dạng : ∗ ∗∗ ∗ . . 0 A B A B α β γ + + = , đặ t 2 . . t A B A B t = ⇒ = ∗ ∗∗ ∗ . ( ) . ( ) 0 f x f x α β γ + + = , đặ t 2 ( ) ( ) t f x f x t = ⇒ = ∗ ∗∗ ∗ .( )( ) ( ) 0 x b x a x b x a x a α β γ − − − + − + = − đặ t 2 ( ) ( )( ) x b t x a x a x b t x a − = − ⇒ − − = − Chú ý: ∗ ∗∗ ∗ N ế u không có đ i ề u ki ệ n cho t, sau khi tìm đượ c x thì ph ả i th ử l ạ i Bài 1. Gi ả i các ph ươ ng trình sau: 7) xxxx 271105 22 −−=++ 1) 2855)4)(1( 2 ++=++ xxxx 2) ( ) 732233 2 2 +−=−+− xxxx 3) 2252)5( 3 2 −−+=+ xxxx 4) 54224 22 +−=+− xxxx 5) 122)2)(4(4 2 −−=+−− xxxx 6) 122)6)(4( 2 −−=−+ xxxx Bài 2. Tìm m để ph ươ ng trình sau có nghi ệ m? a) mxxxx ++−=−+ 352)3)(21( 2 b) ( ) ( ) 31342 2 −=+−++− mxxxx Bài 3. Cho ph ươ ng trình: 2)1)(3(42 2 −=+−++− mxxxx a. Gi ả i ph ươ ng trình khi m = 12 b. Tìm m để ph ươ ng trình có nghi ệ m? Bài 4. Cho ph ươ ng trình: m 3x 1x )3x(4)1x)(3x( = − + −++− (Đ3) a. Gi ả i ph ươ ng trình v ớ i m = -3 b. Tìm m để ph ươ ng trình có nghi ệ m? Dạng 2: Các phương trình có dạng: ( ) 0CBABA 2 =+±±± Đặt t A B = ± Bài 1. Gi ả i các ph ươ ng trình sau: a) (QGHN-HVNH’00) xxxx −+=−+ 1 3 2 1 2 b) 35223132 2 +++=+++ xxxxx - 2 c) (AN’01) xxxxx 141814274926777 2 −=−++−++ d) 616xx 2 4x4x 2 −−+= −++ e) 4 2 1 2 2 5 5 ++=+ x x x x (Đ36) g) (TN- K A, B ‘01) 7 2 1 2 2 3 3 −+=+ x x x x h) zzzzz 24)3)(1(231 −=+−+++− i) 253294123 2 +−+−=−+− xxxxx (KTQS‘01) Bài 2. Cho ph ươ ng trình: ( ) ( ) axxxx =−+−−++ 8181 (ĐHKTQD - 1998) a. Gi ả i ph ươ ng trình khi a = 3. b. Tìm a để ph ươ ng trình đ ã cho có nghi ệ m.? Bài 3. Cho ph ươ ng trình: ( ) ( ) mxxxx =−+−−++ 6363 (Đ59) a. Gi ả i ph ươ ng trình v ớ i m = 3. b. Tìm m để ph ươ ng trình có nghi ệ m? Bài 4. Cho ph ươ ng trình: mxxxx =−+−−++ )3)(1(31 (m-tham s ố ) (ĐHSP Vinh 2000) a. Gi ả i ph ươ ng trình khi m = 2. b. Tìm để ph ươ ng trình đ ã cho có nghi ệ m. Bài 5. Tìm a để PT sau có nghi ệ m: ( ) ( ) axxxx =−+−−++ 2222 Tất cả bài tập 2, 3, 4, 5 ta có thể sáng tạo thêm những câu hỏi hoặc những bài tập sau: Tìm a để ph ươ ng trình đ ã cho có nghi ệ m duy nh ấ t? ( Đ K c ầ n và đủ ) Tìm a để ph ươ ng trình đ ã cho vô nghi ệ m? Dạng 3: Đặt ẩn phụ nhưng vẫn còn ẩn ban đầu. ( Ph ươ ng pháp đặ t ẩ n ph ụ không hoàn toàn ) T ừ nh ữ ng ph ươ ng trình tích ( ) ( ) 1 1 1 2 0 x x x + − + − + = , ( ) ( ) 2 3 2 3 2 0 x x x x + − + − + = Khai tri ể n và rút g ọ n ta s ẽ đượ c nh ữ ng ph ươ ng trình vô t ỉ không t ầ m th ườ ng chút nào, độ khó c ủ a ph ươ ng trình d ạ ng này ph ụ thu ộ c vào ph ươ ng trình tích mà ta xu ấ t phát . T ừ đ ó chúng ta m ớ i đ i tìm cách gi ả i ph ươ ng trình d ạ ng này .Ph ươ ng pháp gi ả i đượ c th ể hi ệ n qua các ví d ụ sau . Bài 1. Gi ả i ph ươ ng trình : ( ) 2 2 2 3 2 1 2 2 x x x x + − + = + + Giải: Đặ t 2 2 t x = + , ta có : ( ) 2 3 2 3 3 0 1 t t x t x t x =  − + − + = ⇔  = −  Bài 2 . Gi ả i ph ươ ng trình : ( ) 2 2 1 2 3 1 x x x x + − + = + Giải: Đặ t : 2 2 3, 2 t x x t= − + ≥ Khi đ ó ph ươ ng trình tr ở thnh : ( ) 2 1 1 x t x + = + ( ) 2 1 1 0 x x t ⇔ + − + = Bây gi ờ ta thêm b ớ t , để đượ c ph ươ ng trình b ậ c 2 theo t có ∆ ch ẵ n : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 2 1 0 1 2 1 0 1 t x x x t x t x t x t x =  − + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔  = −  T ừ m ộ t ph ươ ng trình đơ n gi ả n : ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 0 x x x x − − + − − + + = , khai tri ể n ra ta s ẽ đượ c pt sau Bài 3. Gi ả i ph ươ ng trình sau : 2 4 1 1 3 2 1 1 x x x x + − = + − + − Gi ả i: Nh ậ n xét : đặ t 1 t x = − , pttt: 4 1 3 2 1 x x t t x + = + + + (1) Ta rút 2 1 x t = − thay vào thì đượ c pt: ( ) ( ) 2 3 2 1 4 1 1 0 t x t x − + + + + − = Nh ư ng không có s ự may m ắ n để gi ả i đượ c ph ươ ng trình theo t ( ) ( ) 2 2 1 48 1 1 x x ∆ = + + − + − không có d ạ ng bình ph ươ ng . Mu ố n đạ t đượ c m ụ c đ ích trên thì ta ph ả i tách 3x theo ( ) ( ) 2 2 1 , 1 x x − + C ụ th ể nh ư sau : ( ) ( ) 3 1 2 1 x x x = − − + + thay vào pt (1) ta đượ c: Bài 4 . Gi ả i ph ươ ng trình: 2 2 2 4 4 2 9 16 x x x + + − = + Giải . Bình ph ươ ng 2 v ế ph ươ ng trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 4 16 2 4 16 2 9 16 x x x x + + − + − = + Ta đặ t : ( ) 2 2 4 0 t x = − ≥ . Ta đượ c: 2 9 16 32 8 0 x t x − − + = Ta ph ả i tách ( ) ( ) 2 2 2 9 2 4 9 2 8 x x x α α α = − + + − làm sao cho t ∆ có d ạ ng chính ph ươ ng . Nhận xét : Thông th ườ ng ta ch ỉ c ầ n nhóm sao cho h ế t h ệ s ố t ự do thì s ẽ đạ t đượ c m ụ c đ ích Bài tập đề nghị: Gi ả i các ph ươ ng trình sau 1) ( ) 122114 22 ++=+− xxxx 2) ( ) 121212 22 −−=−+− xxxxx 3) 36 1 x 12 x x 2 = + + + 4) 1x21x4x2x1 22 +−−=−+ 5) 2 113314 xxxx −+−+=−+ 6) 1cossinsinsin 2 =+++ xxxx 7) 0 x 1 x3 x 1 1 x 1x x2 =−−−− − + 8) ( ) ( ) yxyx yx xx ++=       ++ + − 222 cos413cos2 2 sin4.34 (9) 2 2 2 2 12 12 12 x x x x − + − = Một số dạng khác. 1) ( ) ( ) ( ) 2 2 4317319 +−+=+ xxx 2) 1 3 3 13 242 ++−=+− xxxx 3) 131 23 −+=− xxx 4) ( ) 638.10 23 +−=+ xxx 5) 211 2 4 2 =−++−− xxxx 6) 0 2 12 2 2 12 2 6 4 = − − − − − x x x x x x 7) 12 35 1 2 = − + x x x 8) 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 2 2 22 2 2 − − = − +− ⇔− − = − x x x xx x x x 10) 3 1 2 1 = + − + x x x x (Đ141) 11) ( ) 92 211 4 2 2 += +− x x x Dạng 4: . Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đ ã bi ế t cách gi ả i ph ươ ng trình: 2 2 0 u uv v α β + + = (1) b ằ ng cách Xét 0 v ≠ ph ươ ng trình tr ở thành : 2 0 u u v v α β     + + =         0 v = th ử tr ự c ti ế p Các tr ườ ng h ợ p sau c ũ ng đư a v ề đượ c (1) ( ) ( ) ( ) ( ) . . a A x bB x c A x B x + = 2 2 u v mu nv α β + = + Chúng ta hãy thay các bi ể u th ứ c A(x) , B(x) b ở i các bi ể u th ứ c vô t ỉ thì s ẽ nh ậ n đượ c ph ươ ng trình vô t ỉ theo d ạ ng này . a) . Phương trình dạng : ( ) ( ) ( ) ( ) . . a A x bB x c A x B x + = Nh ư v ậ y ph ươ ng trình ( ) ( ) Q x P x α = có th ể gi ả i b ằ ng ph ươ ng pháp trên n ế u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .P x A x B x Q x aA x bB x  =   = +   Xu ấ t phát t ừ đẳ ng th ứ c : ( ) ( ) 3 2 1 1 1 x x x x + = + − + ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 2 2 2 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x + + = + + − = + + − + ( ) ( ) 4 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x + = − + + + ( ) ( ) 4 2 2 4 1 2 2 1 2 2 1 x x x x x + = − + + + Hãy t ạ o ra nh ữ ng ph ươ ng trình vô t ỉ d ạ ng trên ví d ụ nh ư : 2 4 4 2 2 4 1 x x x − + = + Để có m ộ t ph ươ ng trình đẹ p , chúng ta ph ả i ch ọ n h ệ s ố a,b,c sao cho ph ươ ng trình b ậ c hai 2 0 at bt c + − = gi ả i “ nghi ệ m đẹ p” Bài 1. Gi ả i ph ươ ng trình : ( ) 2 3 2 2 5 1 x x + = + Giải: Đặ t 2 1, 1 u x v x x = + = − + Ph ươ ng trình tr ở thành : ( ) 2 2 2 2 5 1 2 u v u v uv u v =   + = ⇔  =  Tìm đượ c: 5 37 2 x ± = Bài 2. Gi ả i ph ươ ng trình : 2 4 2 3 3 1 1 3 x x x x − + = − + + Bài 3: gi ả i ph ươ ng trình sau : 2 3 2 5 1 7 1 x x x + − = − Giải: Đ k: 1 x ≥ Nh ậ n xt : Ta vi ế t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 7 1 1 x x x x x x α β − + + + = − + + Đồ ng nh ấ t th ứ c ta đượ c: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 2 1 7 1 1 x x x x x x − + + + = − + + Đặ t 2 1 0 , 1 0 u x v x x = − ≥ = + + > , ta đượ c: 9 3 2 7 1 4 v u u v uv v u =   + = ⇔  =  Ta đượ c : 4 6 x = ± Bài 4. Gi ả i ph ươ ng trình : ( ) 3 3 2 3 2 2 6 0 x x x x − + + − = Gi ả i: Nh ậ n xét : Đặ t 2 y x = + ta hãy bi ế n pt trên v ề ph ươ ng trình thu ầ n nh ấ t b ậ c 3 đố i v ớ i x và y : 3 2 3 3 2 3 3 2 6 0 3 2 0 2 x y x x y x x xy y x y =  − + − = ⇔ − + = ⇔  = −  Pt có nghi ệ m : 2, 2 2 3 x x= = − b).Phương trình dạng : 2 2 u v mu nv α β + = + Ph ươ ng trình cho ở d ạ ng này th ườ ng khó “phát hi ệ n “ h ơ n d ạ ng trên , nh ư g n ế u ta bình ph ươ ng hai v ế thì đư a v ề đượ c d ạ ng trên. Bài 1. gi ả i ph ươ ng trình : 2 2 4 2 3 1 1 x x x x + − = − + Giải: Ta đặ t : 2 2 1 u x v x  =   = −   khi đ ó ph ươ ng trình tr ở thành : 2 2 3 u v u v + = − Bài 2. Gi ả i ph ươ ng trình sau : 2 2 2 2 1 3 4 1 x x x x x + + − = + + Gi ả i Đ k 1 2 x ≥ . Bình ph ươ ng 2 v ế ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 x x x x x x x x x x + − = + ⇔ + − = + − − Ta có th ể đặ t : 2 2 2 1 u x x v x  = +  = −  khi đ ó ta có h ệ : 2 2 1 5 2 1 5 2 u v uv u v u v  − =   = − ⇔  + =   Do , 0 u v ≥ . ( ) 2 1 5 1 5 2 2 1 2 2 u v x x x + + = ⇔ + = − Bài 3. gi ả i ph ươ ng trình : 2 2 5 14 9 20 5 1 x x x x x − + − − − = + Gi ả i: Đ k 5 x ≥ . Chuy ể n v ế bình ph ươ ng ta đượ c: ( ) ( ) 2 2 2 5 2 5 20 1 x x x x x − + = − − + Nhận xét : không t ồ n t ạ i s ố , α β để : ( ) ( ) 2 2 2 5 2 20 1 x x x x x α β − + = − − + + v ậ y ta không th ể đặ t 2 20 1 u x x v x  = − −  = +  . Nh ư ng may m ắ n ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 20 1 4 5 1 4 4 5 x x x x x x x x x − − + = + − + = + − − . Ta vi ế t l ạ i ph ươ ng trình: ( ) ( ) 2 2 2 4 5 3 4 5 ( 4 5)( 4) x x x x x x − − + + = − − + . Đế n đ ây bài toán đượ c gi ả i quy ế t . Dạng 5: Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích Xu ấ t phát t ừ m ộ t s ố h ệ “ đạ i s ố “ đẹ p chúng ta có th ể t ạ o ra đượ c nh ữ ng ph ươ ng trình vô t ỉ mà khi gi ả i nó chúng ta l ạ i đặ t nhi ề u ẩ n ph ụ và tìm m ố i quan h ệ gi ữ a các ẩ n ph ụ để đư a v ề h ệ Xu ấ t phát t ừ đẳ ng th ứ c ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 a b c a b c a b b c c a + + = + + + + + + , Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 0 a b c a b c a b a c b c + + = + + ⇔ + + + = T ừ nh ậ n xét này ta có th ể t ạ o ra nh ữ ng ph ươ ng trình vô t ỉ có ch ứ a c ă n b ậ c ba . 2 2 3 3 3 7 1 8 8 1 2 x x x x x + − − − + − + = 3 3 3 3 3 1 5 2 9 4 3 0 x x x x + + − + − − − = Bài 1. Gi ả i ph ươ ng trình : 2 . 3 3 . 5 5 . 2 x x x x x x x = − − + − − + − − Gi ả i : 2 3 5 u x v x w x  = −   = −   = −   , ta có : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 3 3 5 5 u v u w u uv vw wu v uv vw wu u v v w w uv vw wu v w u w  + + =  − = + +   − = + + ⇔ + + =     − = + + + + =   , gi ả i h ệ ta đượ c: 30 239 60 120 u x= ⇔ = Bài 2. Gi ả i ph ươ ng trình sau : 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2 x x x x x x x − + − − = + + + − + Giải . Ta đặ t : 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2 a x b x x c x x d x x  = −   = − −   = + +   = − +   , khi đ ó ta có : 2 2 2 2 2 a b c d x a b c d + = +  ⇔ = −  − = −  Bài 3. Gi ả i các ph ươ ng trình sau 2 2 4 5 1 2 1 9 3 x x x x x + + − − + = − ( ) ( ) ( ) 3 3 2 4 4 4 4 1 1 1 1 x x x x x x x x + − + − = − + + − 3. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH. Sử dụng đẳng thức ( ) ( ) 1 1 1 0 u v uv u v + = + ⇔ − − = ( ) ( ) 0 au bv ab vu u b v a + = + ⇔ − − = ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) - - a c x b d ax b cx d m + ++ + + ± + = + ± + =+ ± + = + ± + = 2 2 ( )( ) 0 A B A B A B = ⇔ − + = a 3 − b 3 ⇔ (a − b)(a 2 +ab+b 2 )=0 ⇔ a=b Bài 1. Gi ả i ph ươ ng trình : 2 3 3 3 1 2 1 3 2 x x x x + + + = + + + Giải: ( )( ) 3 3 0 1 1 2 1 0 1 x pt x x x =  ⇔ + − + − = ⇔  = −  Bi 2. Gi ả i ph ươ ng trình : 2 23 3 3 3 1 x x x x x + + = + + Giải: + 0 x = , không ph ả i là nghi ệ m + 0 x ≠ , ta chia hai v ế cho x: ( ) 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 0 1 x x x x x x x x   + + + = + + ⇔ − − = ⇔ =     Bài 3. Gi ả i ph ươ ng trình: 2 3 2 1 2 4 3 x x x x x x + + + = + + + Gi ả i: : 1 dk x ≥ − pt ( )( ) 1 3 2 1 1 0 0 x x x x x =  ⇔ + − + − = ⇔  =  Bài 4. Gi ả i ph ươ ng trình : 4 3 4 3 x x x x + + = + Giải: Đ k: 0 x ≥ Chia c ả hai v ế cho 3 x + : 2 4 4 4 1 2 1 0 1 3 3 3 x x x x x x x   + = ⇔ − = ⇔ =   + + +   Dùng hằng đẳng thức Bi ế n đổ i ph ươ ng trình v ề d ạ ng : 1 2 3 2 2 1 ( )( . . . ) k k K K K K K A B A B A A B A B A B B − − − − − = ⇔ − + + + + + Bài 1. Gi ả i ph ươ ng trình : 3 3 x x x − = + Gi ả i: Đ k: 0 3 x≤ ≤ khi đ ó pt đ cho t ươ ng đươ ng : 3 2 3 3 0 x x x + + − = 3 3 1 10 10 1 3 3 3 3 x x −   ⇔ + = ⇔ =     Bài 2. Gi ả i ph ươ ng trình sau : 2 2 3 9 4 x x x + = − − Giải: Đk: 3 x ≥ − ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng : ( ) 2 2 1 3 1 3 1 3 9 5 97 3 1 3 18 x x x x x x x x =   + + =  + + = ⇔ ⇔  − −  = + + = −     Bài 3. Gi ả i ph ươ ng trình sau : ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 9 2 2 3 3 2 x x x x x+ + = + + Gi ả i : pttt ( ) 3 3 3 2 3 0 1 x x x ⇔ + − = ⇔ = ĐS: x=1. Bài tập đề nghị Gi ả i các ph ươ ng trình sau : 1) 672332110 2 −+++=++ xxxx 4) 8) 65233158 2 −+++=++ xxxx 2) ( ) ( ) 012131 2 22 =−+−++ n nn xxx (v ớ i n ∈ N; n ≥ 2) 5) x x xx 4 2 47 2 = + ++ (ĐHDL ĐĐ’01) 3) 12222 2 +=+−−−− xxxx 6) ( ) ( ) ( ) ( ) 23126463122 ++−+−=+−−+ xxxxxx 7) ( ) 0112 2 =−+−−−− xxxxxx (1) (HVKT QS - 2001) 4 . PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC 1. (ĐHSPHN2’00) 2 )2()1( xxxxx =++− 2. 453423 222 +−=+−++− xxxxxx 3. 200320042002200320012002 222 +−=+−++− xxxxxx 4. 2 )2(1(2 xxxxx =+−− 5. )3(2)2()1( +=−+− xxxxxx 8) 4523423 222 +−≥+−++− xxxxxx (Đ8) )3()2()1( +=−+− xxxxxx 9. 7925623 222 ++=+++++ xxxxxx (BKHN- 2001) 5. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI. 1. 550x10x5x4x 22 =+−−+− 2. 1168143 =−−++−−+ xxxx 3. 2 3 1212 + =−−+−+ x xxxx 4. 225225232 =−−−+−++ xxxx 5. 21212 =−−−−+ xxxx (HVCNBC’01) 6. xxx −=+− 112 24 (Đ24) 8. 4124 ++=+ xx 7. 24444 =−++−− xxxx . 8. 11681815 =−−++−−+ xxxx 6. PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP 6.1. Nhân lượng liên hợp để xuất hiện nhân tử chung Phương pháp M ộ t s ố ph ươ ng trình vô t ỉ ta có th ể nh ẩ m đượ c nghi ệ m 0 x nh ư v ậ y ph ươ ng trình luôn đư a v ề đượ c d ạ ng tích ( ) ( ) 0 0 x x A x − = ta có th ể gi ả i ph ươ ng trình ( ) 0 A x = ho ặ c ch ứ ng minh ( ) 0 A x = vô nghi ệ m , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía ( ) 0 A x = vô nghiệm Ví dụ Bài 1 . Gi ả i ph ươ ng trình sau : ( ) 2 2 2 2 3 5 1 2 3 1 3 4 x x x x x x x − + − − = − − − − + Giải: Ta nh ậ n th ấ y : ( ) ( ) ( ) 2 2 3 5 1 3 3 3 2 2 x x x x x − + − − − = − − v ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4 3 2 x x x x − − − + = − Ta có th ể tr ụ c c ă n th ứ c 2 v ế : ( ) 2 2 2 2 2 4 3 6 2 3 4 3 5 1 3 1 x x x x x x x x x − + − = − + − + − + + − + D ể dàng nh ậ n th ấ y x=2 là nghi ệ m duy nh ấ t c ủ a ph ươ ng trình . Bài 2. Gi ả i ph ươ ng trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : 2 2 12 5 3 5 x x x + + = + + Giải: Để ph ươ ng trình có nghi ệ m thì : 2 2 5 12 5 3 5 0 3 x x x x + − + = − ≥ ⇔ ≥ Ta nh ậ n th ấ y : x=2 là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình , nh ư v ậ y ph ươ ng trình có th ể phân tích v ề d ạ ng ( ) ( ) 2 0 x A x − = , để th ự c hi ệ n đượ c đ i ề u đ ó ta ph ả i nhóm , tách nh ư sau : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 12 4 3 6 5 3 3 2 12 4 5 3 2 1 2 3 0 2 12 4 5 3 x x x x x x x x x x x x x x − − + − = − + + − ⇔ = − + + + + +   + + ⇔ − − − = ⇔ =   + + + +   D ễ dàng ch ứ ng minh đượ c : 2 2 2 2 5 3 0, 3 12 4 5 3 x x x x x + + − − < ∀ > + + + + Bài 3. Gi ả i ph ươ ng trình : 2 3 3 1 1 x x x − + = − Gi ả i : Đ k 3 2 x ≥ Nh ậ n th ấ y x=3 là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình , nên ta bi ế n đổ i ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 33 2 3 2 2 3 3 3 3 9 3 1 2 3 2 5 3 1 2 5 1 2 1 4 x x x x x x x x x x x   − + + +   − − + − = − − ⇔ − + =   − + − + − +     Ta ch ứ ng minh : ( ) ( ) 2 2 2 2 23 3 3 3 3 1 1 2 1 2 1 4 1 1 3 x x x x x + + + = + < − + − + − + + 2 3 3 9 2 5 x x x + + < − + V ậ y pt có nghi ệ m duy nh ấ t x=3 6.2. Đưa về “hệ tạm “ a) Phương pháp N ế u ph ươ ng trình vô t ỉ có d ạ ng A B C + = , mà : A B C α − = ở dây C có th ể là hàng s ố ,có th ể là bi ể u th ứ c c ủ a x . Ta có th ể gi ả i nh ư sau : A B C A B A B α − = ⇒ − = − , khi đĩ ta có h ệ : 2 A B C A C A B α α  + =  ⇒ = +  − =   b) Ví dụ Bài 4. Gi ả i ph ươ ng trình sau : 2 2 2 9 2 1 4 x x x x x + + + − + = + Giải: Ta th ấ y : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 2 1 2 4 x x x x x + + − − + = + 4 x = − không ph ả i là nghi ệ m Xét 4 x ≠ − Tr ụ c c ă n th ứ c ta có : 2 2 2 2 2 8 4 2 9 2 1 2 2 9 2 1 x x x x x x x x x x + = + ⇒ + + − − + = + + − − + V ậ y ta có h ệ : 2 2 2 2 2 0 2 9 2 1 2 2 2 9 6 8 2 9 2 1 4 7 x x x x x x x x x x x x x x =   + + − − + =   ⇒ + + = + ⇔   = + + + − + = +    Th ử l ạ i th ỏ a; v ậ y ph ươ ng trình có 2 nghi ệ m : x=0 v x= 8 7 Bài 5. Gi ả i ph ươ ng trình : 2 2 2 1 1 3 x x x x x + + + − + = Ta th ấ y : ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 x x x x x x + + − − + = + , nh ư v ậ y không th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n trên. Ta có th ể chia c ả hai v ế cho x và đặ t 1 t x = thì bài toán tr ở nên đơ n gi ả n h ơ n Bài tập đề nghị Gi ả i các ph ươ ng trình sau : ( ) 2 2 3 1 3 1 x x x x + + = + + 4 3 10 3 2 x x − − = − (HSG Toàn Quốc 2002) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 2 10 x x x x x − − = + − − 23 4 1 2 3 x x x + = − + − 2 3 3 1 3 2 3 2 x x x − + − = − 2 3 2 11 21 3 4 4 0 x x x − + − − = (OLYMPIC 30/4-2007) 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2 x x x x x x x − + − − = + + + − + 2 2 2 16 18 1 2 4 x x x x + + + − = + 2 2 15 3 2 8 x x x + = − + + Gi ả i các ph ươ ng trình sau: 1) )3(2)2()1( +=−+− xxxxxx 2) 2 )2()1(2 xxxxx =+−− 3) xxx =−−+ 1222 4) x xx xx 21 2121 2121 = −−+ −++ 5) x xx xx −= −+− −−− 6 57 57 33 33 6) 4x5x23x4x2x3x 222 +−=+−++− 7) 2xx3x2x22x3x1x2 2222 +−+++=−−+− 8) 431532373 2222 +−−−−=−−+− xxxxxxx 9) 2004200522003200420022003 222 +−=+−++− xxxxxx 7. PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ 1. Dùng hằng đẳng thức : T ừ nh ữ ng đ ánh giá bình ph ươ ng : 2 2 0 A B + ≥ , ph ươ ng trình d ạ ng 2 2 0 A B + = ⇔ 0 0 A B =   =  2. Dùng bất đẳng thức M ộ t s ố ph ươ ng trình đượ c t ạ o ra t ừ d ấ u b ằ ng c ủ a b ấ t đẳ ng th ứ c: A m B m ≥   ≤  n ế u d ấ u b ằ ng ỏ (1) và (2) cùng d ạ t đượ c t ạ i 0 x thì 0 x là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình A B = Ta có : 1 1 2 x x + + − ≤ D ấ u b ằ ng khi và ch ỉ khi 0 x = và 1 1 2 1 x x + + ≥ + , d ấ u b ằ ng khi và ch ỉ khi x=0. V ậ y ta có ph ươ ng trình: 1 1 2008 1 2008 1 1 x x x x − + + = + + + Đ ôi khi m ộ t s ố ph ươ ng trình đượ c t ạ o ra t ừ ý t ưở ng : ( ) ( ) A f x B f x  ≥   ≤   khi đ ó : ( ) ( ) A f x A B B f x  =  = ⇔  =   N ế u ta đ oán tr ướ c đượ c nghi ệ m thì vi ệ c dùng b ấ t đẳ ng th ứ c d ễ dàng h ơ n, nh ư ng có nhi ề u bài nghi ệ m là vô t ỉ vi ệ c đ oán nghi ệ m không đượ c, ta v ẫ n dùng b ấ t đẳ ng th ứ c để đ ánh giá đượ c Bài 1. Gi ả i ph ươ ng trình (OLYMPIC 30/4 -2007): 2 2 9 1 x x x + = + + Gi ả i: Đ k 0 x ≥ Ta có : ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 9 1 1 1 x x x x x x x           + ≤ + + + = +         + + +         D ấ u b ằ ng 2 2 1 1 7 1 1 x x x ⇔ = ⇔ = + + Bài 2. Gi ả i ph ươ ng trình : 2 4 2 4 13 9 16 x x x x − + + = Giải: Đ k: 1 1 x − ≤ ≤ Bi ế n đổ i pt ta có : ( ) 2 2 2 2 13 1 9 1 256 x x x− + + = Áp d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c Bunhiacopxki: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 13. 13. 1 3. 3. 3 1 13 27 13 13 3 3 40 16 10 x x x x x − + + ≤ + − + + = − Áp d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c Côsi: ( ) 2 2 2 16 10 16 10 64 2 x x   − ≤ =     D ấ u b ằ ng 2 2 2 2 2 1 5 1 3 2 10 16 10 5 x x x x x x   = +  − =   ⇔ ⇔    = − = −    Bài 3. gi ả i ph ươ ng trình: 3` 2 4 3 8 40 8 4 4 0 x x x x − − + − + = Ta ch ứ ng minh : 4 8 4 4 13 x x + ≤ + và ( ) ( ) 2 3 2 3 8 40 0 3 3 13 x x x x x x − − + ≥ ⇔ − + ≥ + Bài tập đề nghị . Bài 1 : Gi ả i các ph ươ ng trình sau 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x − + − + + = + + − 4 4 4 1 1 2 8 x x x x+ − + − − = + 4 4 4 2 8 4 4 4 4 x x x + = + + − 4 33 16 5 6 4 x x x + = + 3` 2 4 3 8 40 8 4 4 0 x x x x − − + − + = 3 3 4 2 8 64 8 28 x x x x + + − = − + 2 2 1 1 2 2 4x x x x   − + − = − +     Bài 2: Gi ả i các ph ươ ng trình sau: 1) 222 2414105763 xxxxxx −−=+++++ 2) 186 11 6 156 2 2 2 +−= + − +− xx x x xx 3) 2354136116 4 222 +=+−++−++− xxxxxx 4) ( ) ( ) 54225,33 222 +−+−=+− xxxxxx 5) 4 22 1312331282 +−−=+− xxxx 6) 2152 2 =−++− xxx 7) 44 1)1(2 xxxx +−=+− 8) x x x x xx 21 21 21 21 2121 − + + + − =++− 9) 11642 2 +−=−+− xxxx (Đ11) 10) 222 331232 xxxxxx −++−=+− 11) 5212102 2 +−=−+− xxxx 8. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ . Dạng 1: Đư a v ề h ệ ph ươ ng trình bình th ườ ng. Ho ặ c h ệ đố i x ứ ng lo ạ i m ộ t. Đặ t ( ) ( ) , u x v x α β = = và tìm m ố i quan h ệ gi ữ a ( ) x α và ( ) x β t ừ đ ó tìm đượ c h ệ theo u,v Bài 1. Gi ả i ph ươ ng trình: ( ) 3 3 3 3 25 25 30 x x x x − + − = Đặ t 3 3 3 3 35 35 y x x y = − ⇒ + = Khi đ ó ph ươ ng trình chuy ể n v ề h ệ ph ươ ng trình sau: 3 3 ( ) 30 35 xy x y x y + =    + =   , gi ả i h ệ này ta tìm đượ c ( ; ) (2;3) (3;2) x y = = . T ứ c là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là {2;3} x ∈ Bài 2. Gi ả i ph ươ ng trình: 4 4 1 2 1 2 x x− − + = Đ i ề u ki ệ n: 0 2 1 x ≤ ≤ − Đặ t 4 4 2 1 0 2 1,0 2 1 x u u v x v  − − =  ⇒ ≤ ≤ − ≤ ≤ −  =   [...]... u = 4 2 − v u + v = 4  2 Ta ưa v h phương trình sau:  ⇔ 2 u 2 + v 4 = 2 − 1  1 − v  + v 4 = 2 − 1    4 2   Gi i phương trình th  2 2: (v 2 + 1) 2 −  v +  1  = 0, t 4  2 ó tìm ra v r i thay vào tìm nghi m c a phương trình Bài 3 Gi i phương trình sau: x + 5 + i u ki n: x ≥ 1 t a= x −1 = 6 x − 1, b = 5 + x − 1( a ≥ 0, b ≥ 0) thì ta ưa v h phương trình sau: a 2 + b = 5  → ( a + b)(... ng 2: ưa phương trình ã cho v h i x ng lo i hai Ta hãy i tìm ngu n g c c a nh ng bài toán gi i phương trình b ng cách ưa v h ( x + 1) = y + 2  2 Ta xét m t h phương trình i x ng lo i II sau :  (1) i x ng lo i II vi c gi i h này thì ơn gi n ( y + 1) = x + 2 (2)  Bây gi i ta s bi n h thành phương trình b ng cách t y = f ( x ) sao cho (2) luôn úng , y = x + 2 − 1 , 2 khi ó ta có phương trình : (... b ' + γ là ch n ư c n Gi i phương trình: x 2 − 2 x = 2 2 x − 1 i u ki n: x ≥ 1 2 Ta có phương trình ư c vi t l i là: ( x − 1) 2 − 1 = 2 2 x − 1  x 2 − 2 x = 2( y − 1)  t y − 1 = 2 x − 1 thì ta ưa v h sau:  2  y − 2 y = 2( x − 1)  Tr hai v c a phương trình ta ư c ( x − y )( x + y ) = 0 Gi i ra ta tìm ư c nghi m c a phương trình là: x = 2 + 2 K t lu n: Nghi m c a phương trình là {1 − 2; 1 + 3} T... = 5 4− 4+ x = x 9) 12) x 3 − 33 3x + 2 = 2 10) 13) x 2 + 1 + x = 1 14) 3+ 3+ x = x 9 PHƯƠNG PHÁP O HÀM Các bư c: Tìm t p xác nh c a phương trình Bi n i phương trình (n u c n) t f(x) b ng m t bi u th c nào ó Tính o hàm f(x), r i d a vào tính ng bi n(nbi n) c a hàm s k t lu n nghi m c a phương trình Ví d Gi i phương trình sau: 3 2 x + 1 + 3 2 x + 2 + 3 2 x + 3 = 0 (1) Gi i: T p xác Ta có: nh: D = R f... phương trình 3 x − 1 + m x + 1 = 2 x 2 − 1 có nghi m th c 4/ ( H KB-2007) CMR v i giá tr c a m i m, phương trình x 2 + 2x − 8 = m(x − 2) có 2 nghi m th c phân bi t 5/ ( H KA-2007) Tìm m phương trình 4 2x + 2x + 24 6 − x + 2 6 − x = m , (m ∈ R ) có úng hai nghi m th c phân bi t 6/ (Kh i D-2004): CMR: phương trình sau có úng m t nghi m : x5 − x2 − 2x − 1 = 0 7/ ( H KB-2004): Xác nh m phương trình sau... x = 2 V y gi i phương trình : x 2 + 2 x = x + 2 ta x+2 t l i như trên và ưa v h (α x + β ) 2 = ay + b  B ng cách tương t xét h t ng quát d ng b c 2 :  , ta s xây d ng ư c phương trình 2 (α y + β ) = ax + b  a β 2 ax + b + b − d ng sau : t α y + β = ax + b , khi ó ta có phương trình : (α x + β ) = α Tương t cho b c cao hơn : (α x + β ) = n a α n ax + b + b − α β α Tóm l i phương trình thư ng cho... Gi i phương trình: 2 x 2 − 6 x − 1 = 4 x + 5 Gi i i u ki n x ≥ − 5 4 i phương trình như sau: 4 x 2 − 12 x − 2 = 2 4 x + 5 ⇔ (2 x − 3) 2 = 2 4 x + 5 + 11 Ta bi n t 2 y − 3 = 4 x + 5 ta ư c h phương trình (2 x − 3) 2 = 4 y + 5  sau:  2 ⇒ ( x − y )( x + y − 1) = 0 (2 y − 3) = 4 x + 5  V i x = y ⇒ 2x − 3 = 4x + 5 ⇒ x = 2 + 3 V i x + y −1 = 0 ⇒ y = 1 − x → x = 1 − 2 Bài t p ngh : Gi i các phương trình. .. phương trình có nghi m Thông thư ng d ng này ta s d ng m t trong các phương pháp sau: * PP1: S d ng tính ch t ng bi n ,ngh ch bi n c a hàm s * PP2: S d ng tương giao c a các th hàm s 1/ (D b 1 kh i B 2007) : Tìm m 2/ (D b 1 kh i A 2007) :Tìm m 4 phương trình: x2 + 1 − x = m có nghi m b t phương trình  : m  x2 − 2x + 2 + 1 + x(2 − x) ≤ 0    có nghi m x ∈  0;1 + 3    4 3/ ( H KA-2007) Tìm m phương. .. x2 6) ( H.A’08) Tìm các giá tr c a m 4 phương trình sau có úng hai nghi m th c phân bi t: 2 x + 2 x + 24 6 − x + 2 6 − x = m 10 PHƯƠNG PHÁP LƯ NG GIÁC HOÁ Ví d Gi i phương trình sau: x 3 + (1 − x 2 ) = x 2 − 2 x 2 (1) 3 Gi i: T p xác nh: D = [-1; 1] Do (2) nên (2) t x = cost (*), v i 0 ≤ t ≤ π (A) 3 T i nhi u tài li u, thi hơn t i bookbooming.com Khi ó phương trình (1) tr thành: cos 3 t + (1 − cos... f(x) = 0 ⇔ x = -1 V y phương trình ã cho có duy nh t m t nghi m x = -1 Bài t p tương t : Gi i các phương trình sau: 1) 3 T bài 2, ta có bài t p 3  ( (2 x + 1) 2000 + (2 x + 1)2 + 1999 3) ( ) 2) (2 x + 1) 2 + (2 x + 1)2 + 3  + 3 x 2 + 9 x 2 + 3 = 0   x + 2 + 3 x +1 = 3 2x 2 +1 + 3 2x2  )+ x(2000 + ) x 2 + 1999 = 0 4) x + 3 + x + 19 = y + 3 + y + 19 5) ( H.B’02) Xác nh m phương trình sau có nghi m: . nhiều tài liệu, đề thi hơn tại bookbooming.com PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 1. PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA Dạng 1 : Phương trình 0( 0) A B A B A B ≥ ≥  = ⇔  =  Dạng 2: Phương trình 2 0 B A B A. được phương trình : 3 3 . . A B A B C C + + = (2) Dạng 4: 3 2 1 3 2 1 ; k k A B A B A B A B + + = ⇔ = = ⇔ = Chú ý: - Phương trình (2) là phương trình hệ quả của ph tr (1). - Phép bình phương. 1x1x 2 =++ 14) xx33 =++ 9. PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM. Các bước: Tìm tập xác định của phương trình. Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) bằng một biểu thức nào đó. Tính đạo hàm f(x),