TIỂU SỬ NHÀ TOÁN HỌC LEONHARD EULER • Euler (1707 – 1783) là người Thụy Sĩ. Từ nhỏ, ông đã thể hiện tư chất của một thần đồng toán học. • Năm 1720, ông bắt đầu học tại Đại học Basle. • Năm 1724, ông nhận bằng cao học. • Năm 1727, ông gia nhập Viện hàn lâm Khoa học St. Petersburg. • Năm 1730 ông được mời đến Nga làm giáo sư vật lý học. Và là người đầu tiên xuất bản một cuốn sách dạy cơ học có phương pháp trong năm 1736: Mechanica sive motus scientia analytice exposita (Chuyển động cơ học được giải thích bởi ngành giải tích). • Năm 1733, ông bắt đầu dạy Toán. • Năm 1735, mắt phải của ông bị mù một phần vì quan sát Mặt trời quá nhiều. • Năm 1741, Euler trở về Đức làm Viện trưởng Viện toán tại Viện Hàn lâm Khoa học Vương quốc Phổ trên đất kinh kỳ Berlin. • Năm 1766, ông trở về Sankt-Peterburg (Nga) và sống ở đó cho đến khi mất. • Tuy bị mù hoàn toàn, ông vẫn viết được vì ông có trí nhớ siêu thường và có thể dùng óc để tính toán được. Có chuyện kể rằng có khi ông và người phụ tá của ông tính kết quả của một dãy số với 17 con số và nhận biết được là đáp số của ông và của người phụ tá khác nhau trong con số thứ 50. Khi họ tính lại thì thấy rằng ông đã tính đúng! Người ta ước tính rằng, phải làm việc 8 giờ một ngày trong suốt 50 năm để có thể ghi chép bằng tay tất cả những công trình của ông. Phải đợi đến năm 1910, mới có một bộ sưu tập, tụ hợp tất cả các công trình này một cách đầy đủ, và nó được chứa trong 70 tập sách. CÁC CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU CỦA EULER • Leonhard Euler là người đã đưa ra rất nhiều ký hiệu toán học mà chúng ta vẫn dùng đến ngày nay như: Số π, Số i (), sin, cos, tag, cotag, Σ (tổng), Δx (số gia). • Định lý Euler phát biểu rằng nếu n là số nguyên dương bất kỳ và a là số nguyên tố cùng nhau với n, thì trong đó φ(n) là ký hiệu của phi hàm Euler đếm số các số nguyên giữa 1 và n nguyên tố cùng nhau với n. Đây là tổng quát hóa của định lý nhỏ Fermat vì nếu n = p là số nguyên tố thì φ(p) = p − 1. Định lý này có thể được sử dụng để dễ dàng giản ước với mô-đun n rất lớn. Ví dụ tìm chữ số tận cùng của số 7 222 . 7 222 ≡ 7 4x55 + 2 ≡ (7 4 ) 55 x7 2 ≡ 1 55 x7 2 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10). Vậy 7 222 có chữ số tận cùng là 9. Định lý Euler cũng là định lý cơ bản của các hệ thống mã hóa RSA • ĐƯỜNG TRÒN Ơ-LE Cho tam giác ABC có 3 đường cao AG, CF, BH cắt nhau tại Q. Gọi L, K, J lần lượt là trung điểm của CQ, BQ, AQ. Gọi D, E, M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BA, AC. Khi đó có một đường tròn đi qua 9 điểm: D, E, M, G, F, H, K, J, L được gọi là đường tròn 9 điểm hay đường tròn Ơle. Trong phân bổ này chúng tôi sẽ địa chỉ câu hỏi sau đây : đã cho ba chiều thứ nguyên cố thể hay là hai chiều thứ nguyên biểu đồ, có thể nhện đi qua cạnh biên sao cho nó chéo nhau mỗi một cạnh biên chính xác một lần? Loại bài toán này được xem là thứ nhất bằng cư dân Koenigsburg. Có bảy cầu chéo nhau sông chia thành phố. Mọi người thắc mắc về việc một có thể đi dạo quanh thành phố chéo nhau mỗi cầu chính xác một lần. Mặc dù chưa hề có ai đã hoàn thành này, nhưng họ không hiểu biết nếu chẳng thể nào được. Euler phát minh lý thuyết biểu đồ để giải bài toán này. Bài toán 1. Với mỗi một biểu đồ bên dưới, cố gắng tìm bước chéo nhau mỗi một cạnh biên chính xác một lần và xuất phát và kết thúc ở cùng một đỉnh. Nếu bạn tìm bước như vậy, chỉ ra bước bạn xây dựng. Một cách để chỉ ra bước của bạn là khi trong vẽ kỹ thuật sau. Một trong những kết quả đầu tiên trong lí thuyết đồ thị xuất hiện trong bài báo của Leonhard Euler về Bảy cây cầu ở Königsberg, xuất bản năm 1736. Bài báo này cũng được xem như một trong những kết quả topo đầu tiên trong hình học, tức là, nó không hề phụ thuộc vào bất cứ độ đo nào. Nó diễn tả mối liên hệ sâu sắc giữa lí thuyết đồ thị và tôpô học. Nãm 20 tuổi, Euler ðến làm việc tại Viện Hàn lâm khoa học Petersbourg vừa mới thành lập. Tám nãm sau, khi Viện phải tiến hành những tính toán thiên vãn ðể thiết lập bản ðồ. Các viện sĩ cho rằng, công việc này ít ra cũng phải làm trong ba tháng mới xong. Nhýng Euler ðã ðứng ra ðảm nhận trong thời hạn ba ngày. Những ngýời có mặt ở ðó cất tiếng xì xào: – Vô lí! Công việc trong ba tháng làm sao lại có thể hoàn thành trong ba ngày ðýợc? Euler khiêm tốn ðáp: – Rất mong Viện cho tôi làm thử. Nếu sau ba ngày không xong tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Nhýng rồi chỉ một ngày một ðêm sau, Euler ðã tới Viện. Vừa trông thấy ông, chýa chi ông chủ tịch Viện Hàn lâm ðã hỏi ngay: – Giờ chắc ông ðã thấy rõ không thể hoàn thành ðýợc việc tính toán thiên vãn ðể thiết lập bản ðồ trong ba ngày chứ? Leonhard Euler ðiềm ðạm ðáp: – Thýa ông, tôi ðã làm xong cả rồi! Ông chủ tịch Viện Hàn lâm vừa kinh ngạc vừa vui mừng lộ trên nét mặt. Song, ðể có ðýợc một kì công nhý thế, Euler ðã phải làm việc hết sức tập trung và cực kì cãng thẳng, cho nên ông ðã bị hỏng mất mắt phải. Lúc ðã về già, do làm việc quá sức, Euler bị ốm yếu luôn. Một hôm, ông ðang ngồi sýởi nắng ngoài výờn, ông chủ tịch Viện Hàn lâm khoa học Petersbourg býớc tới: – Thýa ngài, chúng tôi muốn yêu cầu ngài một việc. Trýớc khi ngài býớc sang thế giới bên kia, liệu ngài có thể ðể lại cho chúng tôi một số công trình của ngài ðể ðãng trên tạp chí của Viện Hàn lâm trong suốt 20 nãm sau ðýợc không? Euler khẽ gật ðầu: – Tôi có thể nhận ðýợc việc ðó. Và dĩ nhiên là những công trình chýa công bố. Quả nhiên, Euler giữ ðúng lời hứa. Ông mất nãm 1783 mà 80 nãm sau, tạp chí của Viện mới in hết những công trình của ông. Ngày 18 tháng 9 nãm 1783. Trời ðã xế chiều. Nhý thýờng lệ, Euler ngồi trýớc một tấm bảng. Ông ðang tính toán về luật rõi xuống của khinh khí cầu. Sau ðó ông ãn cõm cùng với nhà thiên vãn Nga A.I.Leksel và gia ðình. Một lát sau, ông cho gọi một ðứa cháu nội tới. Trong khi ông vừa uống trà, vừa vui ðùa với cháu thì ông bị ngất, cái tẩu ðã rời khỏi tay. Ông chỉ kịp nói: "Ta chết ðây!". Cái chết ðến nhanh nhý chớp và ông ðã ra ði, ðồng thời cũng là lúc ông ngừng tính toán Ngýời ta ðã tính ra rằng, trong suốt cuộc ðời 76 nãm của mình, Leonhard Euler ðã ðể lại tất cả những công trình có thể in thành 69 tập, mỗi tập khoảng 600 trang. Khi Euler còn sống, có ngýời ðã hỏi ông: – Xin ngài làm õn cho biết, ngài ðã viết nên những công trình bất hủ của mình vào những lúc nào? Euler cýời ðáp: – Ông hỏi tôi viết ra những công trình ấy vào những lúc nào ý? Rất bình thýờng thôi! Khi thì tôi ðang ẵm một cháu ngồi trên ðùi và những cháu khác quây quần xung quanh, có khi tôi ôm con mèo trên vai Kể ra cũng tự nhiên thôi! Có thể nói, Euler là một trong những nhà toán học vĩ ðại, có thể làm việc bất cứ lúc nào trong bất cứ ðiều kiện nào! . TIỂU SỬ NHÀ TOÁN HỌC LEONHARD EULER • Euler (1707 – 1783) là người Thụy Sĩ. Từ nhỏ, ông đã thể hiện. của định lý nhỏ Fermat vì nếu n = p là số nguyên tố thì φ(p) = p − 1. Định lý này có thể được sử dụng để dễ dàng giản ước với mô-đun n rất lớn. Ví dụ tìm chữ số tận cùng của số 7 222 . 7 222