Chân ba đường cao của một tam giác

4]Chân ba đường cao của một tam giác bất kì, ba trung điểm của ba cạnh, ba trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm, tất cả chín điểm này cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn này thường được gọi là đường tròn Euler hay còn gọi là đường tròn Feuerbach, đường tròn Terquem hay đường tròn chín điểm, đường tròn trung bình. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác thì đường tròn Euler có bán kính là R/2 và tâm của nó là trung điểm đoạn nối trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó. Nếu có một hệ thống trực giao của 4 điểm đã cho thì các tam giác có đỉnh là 3 trong 4 điểm đó đều có chung đường tròn Euler. Các tâm đường tròn nội tiếp và các đường tròn bàng tiếp lập thành một hệ thống trực giao có đường tròn Euler chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác gốc. Với có bốn điểm phân biệt bất kỳ A,B,C,D thì các đường tròn Euler của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB đồng quy tại một điểm. Đường tròn Euler đi qua tâm của các hyperbol Kiepert và Jeřábek. Định lý Feuerbach Nội dung định lý: Đường tròn Feuerbach của một tam giác tiếp xúc với đường tròn nội tiếp và ba đường tròn bàng tiếp của tam giác đó. Đường thẳng Euler Đường thẳng Euler (đỏ) đi qua trọng tâm (cam), trực tâm (lam), tâm đường tròn ngoại tiếp (lục) và tâm đường tròn chín điểm (đỏ) của tam giác. Trong môn hình học, đường thẳng Euler, được đặt tên theo nhà toán học Leonhard Euler, là một đường thẳng được xác định từ bất kỳ tam giác nào không đều. Đường thẳng này đi qua các điểm quan trọng trong tam giác như trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, và tâm của đường tròn chín điểm. Năm 1765, Euler đã chứng tỏ rằng trong tam giác, các điểm như trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, và tâm đường tròn chín điểm cùng nằm trên một đường thẳng. Trong tam giác đều, bốn điểm này trùng nhau, nhưng trong các tam giác thì không, và chỉ cần hai điểm trong số bốn điểm có thể xác định được đường thẳng Euler. Tâm của đường tròn chín điểm nằm trên đường thẳng Euler ở giữa trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, và khoảng cách từ trọng tâm đến tâm đường tròn ngoại tiếp bằng một nửa khoảng cách từ trọng tâm đến trực tâm. Các điểm nổi tiếng khác nằm trên đường thẳng Euler được biết đến trong tam giác bao gồm điểm de Longchamps, điểm Schiffler, và điểm Exeter. Tuy nhiên tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp chỉ thuộc đường thẳng Euler trong trường hợp tam giác cân. Đường thẳng Euler của có vài bổ đề của riêng nó, và cả đối bổ đề. Cho A, B, C là tên của ba đỉnh tam giác bất kỳ, và cho x: y: z điểm bất kỳ có tọa độ tam tuyến; hệ thức của đường thẳng Euler là: Một cách hữu hiệu khác để biểu diễn cho đường thẳng Euler là dùng tham số t. Bắt đầu với tâm đường tròn ngoại tiếp (với tọa độ là ) và trực tâm (với tọa độ là , bất cứ điểm này trên đường thẳng Euler có thể được biểu diễn dưới một hệ thức như sau úng mới một giá trị t' nhất định. Ví dụ: Trọng tâm = Tâm đường tròn chín điểm = Điểm Longchamps = Điểm vô cực Euler = Hình học tam giác Khái niệm toán học mang Nhà khoa học Leonhard Euler là một nhà toán học, vật lý học người Thụy Sĩ vào thế kỉ XVIII, ông là một trong những nhà khoa học tài giỏi và có nhiều nghiên cứu khoa học nhất trong lịch sử nhân loại. Những thành quả mà ông đã đạt được đóng góp rất lớn vào lĩnh vực vật lý cũng như rất nhiều lĩnh vực khác về công Nghệ. Những thành tựu của Leonhard Euler trong lĩnh vực khoa học cũng như toán học thật khó có thể tưởng tượng nổi. Ông đã từng viết 32 tác phẩm dài kì, một số tác phẩm trong số đó không thể chứa đựng chỉ trong một cuốn sách, chưa kể đến hàng trăm các tác phẩm nguyên bản về toán học và các ngành khoa học khác. Leonhard Euler đặc biệt tài giỏi trong lĩnh vực giải trình các qui luật hoạt động của các thiết bị, các loại máy móc mà trước kia Issac Newton đã đưa ra, các qui luật đó có thể áp dụng để giải thích cho một loạt các tình huống vật lý khác nữa. Ví dụ khi Leonhard Euler chứng minh được qui luật vận động của các chất lỏng mà Issac Newton đã đưa ra, Leonhard Euler đã có thể phát triển thành sự cân bằng thủy lực. Tương tự như thế, thông qua quá trình phân tích một cách tỉ mỉ về sự vận động của thể rắn và áp dụng các định luật của Newton, Leonhard Euler đã đi đến kết luận chính xác về sự vận động của thể rắn. Dĩ nhiên, cụ thể những nguyên liệu không phải ở thẻ rắn hoàn toàn. Tuy vậy, Leonhard Euler đã đóng góp một phần quan trọng vào thuyết đàn hồi, trong đó giải thích một cách cặn kẽ về quá trình biến dạng của các vật thể rắn khi có sự tác động của các lực bên ngoài. Leonhard Euler cũng đã sử dụng tài năng để đóng góp vào quá trình phân tích toán học ứng dụng trong lĩnh vực thiên văn học nhằm góp phần giải quyết những vấn đề còn tồn đọng, cụ thể là vấn đề thể ba hành tinh, qui luật vận động của mặt trời, mặt trăng và trái đất, ba hành tinh này vận động như thế nào dưới lực hấp dẫn của các hành tinh đó lẫn nhau. Vấn đề đó – vấn đề tồn tại trong suốt thế kỉ XXI vẫn chưa hoàn toàn được giải quyết. Thật tình cơ, Leonhard Euler, một nhà học lỗi lạc của thế kỉ XVIII lại là người đã đưa ra được học thuyết về sóng ánh sáng. Khả năng của Leonhard Euler là lại thường là điểm khởi cho những khám phá toán học của các nhà khoa học khác làm cho họ trở nên nổi tiếng. Ví dụ Joseph Luois Lagrange, nhà khoa học người Pháp đã phát triển một loại cân bằng (ngày nay được gọi là cân bằng Lagrange), đso là một phát minh quan trọng trong lĩnh vực vật lý đang được sử dụng nhằm giải quyết rất nhiều vấn đề tồn tại trong kĩ thuật. Tuy nhiên, xuất phát điểm của cân bằng đó lại do Leonhard Euler phát hiện ra và cũng vẫn dược đề cập đến với tên gọi cân bằng Euler – Lagrange. Một nahf toán học khác người Pháp, Jean Baptiste Fourier nổi tiếng với một phương pháp sáng tạo sử dụng trong toán học được gọi là phương pháp phân tích Fourier. Một lần nữa, phương pháp phân tích này thực ra đã được Leonhard Euler phát hiện ra và vẫn được gọi là phân tích Euler – Fourier. Họ tìm ra rất nhiều các ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của lý học bao gồm thuyết Âm học và thuyết Điện từ. Trong những thành quả toán học mà ông đã đạt được, Leonhard Euler đặc biệt quan tâm đến các phép tính, các phương trình vi phân và các chuỗi vô hạn. Những đóng góp của ông trong lĩnh vực này mặc dù có ý nghĩa vô cùng quan trọng nhưng khó có thể đề cập đến một cách tỉ mit trong cuốn sách này bởi vì điều đó đòi hỏi một kiến thức chuyên môn nhất định mới có thể diễn tả được. Những gì ông đã làm được cho các phép tính về sự biến thiên và học thuyết về số phức là những nền tảng cở bản cho sự phát triển sau này trong các lĩnh vực đó. Cả hai chủ đề này ngoài những ứng dụng trong lĩnh vực toán học đều có những ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khoa học khác. Công thức của Leonhard Euler: eix = cos x + isin x diễn tả mối quan hệ giữa hàm số lượng giác và những số vô thực. Đó là một trong những công thức được sử dụng rộng rãi nhất trong lĩnh vực toán học. Leonhard Euler cũng đã từng viết về hình học giải tích, một mảng trong lĩnh vực toán học trở nên cực kì quan trọng trong thế kỷ XX. Là người cuối cùng nhưng không phải là người có đóng góp ít nhất cho hệ thống kí hiệu toán học mà ngày nay chúng ta vẫn đang sử dụng. Ví dụ Leonhard Euler là người đưa ra kí hiệu theo cách sử dụng một chữ cái Hy Lạp “pi” để biểu diễn tỉ lệ giữa chu vi đường tròn và đường kính của nó. Ông cũng đưa ra rất nhiều kí hiệu toán học tiện lợi khác vẫn được sử dụng trong kí hiệu toán học ngày nay. Leonhard Euler sinh năm 1707 tại Basel, Thụy Sĩ. Năm 1720 ông bắt đầu theo học tại trường đại học của Basel, khi đó ông mới tròn 13 tuổi. Đầu tiên ông nghiên cứu về thần học nhưng ngay sau đó ông đã chuyển sang nghiên cứu toán học. Năm 17 tuổi, ông nhận bằng đại học tại trường đại học tại Basel và năm 20 tuổi, ông đã nhận lời mời của Catherine II nước Nga vào làm việc ở Viện khoa học tại St. Peterburg. Tại đây, ông trở thành giáo sư vật lý khi mới 23 tuổi và năm 26 tuổi, ông đã là một nhà toán học tài giỏi. Hai năm sau, một mắt của ông đã không thể nhìn được nữa, tuy vậy ông vẫn tiếp tục nghiên cứu rất miệt mài và đã cho ra đời hàng loạt các bài viết có giá trị về khoa học. Năm 1741, Frederick, người lãnh đạo tối cao của nước Phổ đã lôi kéo Leonhard Euler khỏi nước Nga và bổ nhiệm ông vào làm việc tại viện khoa học ở Berlin. Ông đã làm việc tại đó trong suốt 25 năm và cho đến tận năm 1766, ông mới quay trở lại nước Nga. Chỉ một thời gian ngắn sau đó, ông đã bị mù cả hai mắt. Mặc dù vậy ông đã không ngừng nghiên cứu, ông bị ám ảnh bởi sự biến đổi kỳ diệu của những phép tính và cho đến tận khi ông qua đời (vào năm 1783 tại St. Petergburg ở tuổi 76) ông vẫn tiếp tục cho ra đời những nghiên cứu toán học. Leonhard Euler đã từng kết hôn hai lần và có tất thảy 13 người con trong đó 8 người con chết khi còn đang ở độ tuổi sơ sinh. Cuối cùng thì tất cả những khám phá của Leonhard Euler cũng được công nhận thậm chí ngay cả khi ông không còn nữa. Liệu lĩnh vực khoa học cũng như thế giới hiện đại sẽ như thế nào nếu như Leonhard Euler đã không bao giờ phát minh ra những điều đó. Một điều hết sức rõ ràng rằng nếu như không có những thành quả của Leonhard Euler, khoa học trên thế giới sẽ phát triển chậm lại, chúng ta không thể tưởng tượng được khoa học sẽ như thế nào nếu như không có những khám phá, những phương trình cân bằng và cả những phương pháp nghiên cứu của Leonhard Euler. Những thông tin khác của nhà toán học Leonhard Euler Euler sinh năm 1707 và mất năm 1783, được công nhận là nhà toán học vĩ đại nhất hành tinh. Title: Nhà toán học Leonard Euler Harrypham - May 16, 2011 11:57 AM (GMT) Leonard Euler (1707 – 1783) Leonhard Euler là nhà khoa học lỗi lạc ngýời Thuỵ Sĩ, sinh ngày 15 tháng 4 nãm 1707 tại thành phố Basel. Hồi còn học ở trýờng Trung học, Euler ðã ðýợc nhà toán học Johann Bernoulli chú ý và mỗi tuần giảng thêm cho ông một bài. Euler ðýợc nhận bằng giáo sý lúc mới mýời bảy tuổi. Ông ðã có những công trình xuất sắc về toàn học, nhý "ðýờng tròn Euler" (ðýờng tròn ði qua trung ðiểm các cạnh, chân các ðýờng cao và trung ðiểm các ðoạn thẳng nối các ðỉnh của tam giác với trực tâm), ðịnh lí Euler về sự liên hệ giữa số ðỉnh, cạnh và mặt trong một ða diện lồi Ông cũng là ngýời sáng tạo ra nhiều kí hiệu toán học vẫn ðýợc dùng ðến ngày nay, nhý số π, sin, cos, tg, cotg, Δx (số gia), Σ (tổng), f(x) (hàm f của x), v.v Ngoài ra, ông còn có nhiều ðóng góp về cõ học, thiên vãn học, thuỷ ðộng học, giao thông ðýờng thuỷ Là một nhà bác học lớn, nhýng ông không tìm ðýợc việc ở thành phố quê hýõng Basel. Suốt ðời ông phải lýu lạc ở nýớc Nga và nýớc Ðức. Ông là viện sĩ các Viện Hàn lâm khoa học Basel (Thuỵ Sĩ), Petersbourg (Nga), London (Anh), Paris (Pháp). Trí nhớ thần ðồng Euler là ngýời có một trí nhớ lạ kì. Hồi còn nhỏ, Euler có học thuộc cuốn Eneide của thi sĩ Virgile ngýời Italia. Sau ðó, ông không có dịp nào ðọc lại nữa, nhýng mãi về sau này, bất cứ lúc nào ông cũng có thể ðọc lại từ dòng ðầu tới dòng cuối của bất kì trang nào trong cuốn sách ðó. Trong một ðêm mất ngủ, ông ðã tính nhẩm trong óc tới luỹ thừa sáu của một trãm số ðầu và cho tới lúc chết ông vẫn nhớ và vận dụng những kết quả tìm ðýợc. Chính nhờ có trí nhớ và tài tính nhẩm phi thýờng, không phải chỉ ðối với số học mà cả ðại số cao cấp nữa, Euler nắm rất vững vàng những công thức toán học chủ yếu của thời ðó. Ngoài ra, ông còn thông thạo tiếng Latin, Hi Lạp và Do Thái cổ. Lúc này, chân trời khoa học rộng mở trýớc mắt Euler. Nãm mýời ba tuổi, Euler ðã trở thành sinh viên khoa triết học mới thành lập của trýờng Ðại học Basel. Ở ðây, thời gian rỗi rãi Euler lại ðến nghe những bài giảng về toán học, một môn học mà ông ham thích, do một thành viên của gia ðình Bernoulli nổi tiếng là Johann thuyết trình. Johann Bernoulli tức khắc nhận ra thiên tài ðặc biệt của Euler, quyết tâm hýớng dẫn cho Euler học tập bằng cách mời cậu học trò ðến nhà mình học thêm. Phýõng pháp của Johann không dạy trực tiếp Euler, mà bắt Euler tự học lấy thật cẩn thận những cuốn sách rất khó về toán học, và cứ mỗi ngày thứ bảy lại ðến gặp giáo sý ðể hỏi về những chỗ chýa hiểu trong các phần ðã ðọc ðýợc. Thời gian trôi ði ðều ðặn, mỗi ngày thứ bảy lại ðánh dấu lúc Euler býớc lên một bậc thang toán học cao hõn. Euler rất say mê và sung sýớng với cách học nhý thế, sau này có ghi lại nhý sau: "Ðiều ðó giúp tôi mau chóng ðạt ðýợc mục ðích mong muốn. Mỗi lần giáo sý giúp tôi loại bỏ một výớng mắc, thì lập tức tôi výợt qua ðýợc hàng chục chýớng ngại khác. Tất nhiên ðó là phýõng pháp tốt nhất ðể ðạt ðýợc những thành tựu khả quan trong toán học". Một ngày ðêm hoàn thành công việc của cả ba tháng Nãm 20 tuổi, Euler ðến làm việc tại Viện Hàn lâm khoa học Petersbourg vừa mới thành lập. Tám nãm sau, khi Viện phải tiến hành những tính toán thiên vãn ðể thiết lập bản ðồ. Các viện sĩ cho rằng, công việc này ít ra cũng phải làm trong ba tháng mới xong. Nhýng Euler ðã ðứng ra ðảm nhận trong thời hạn ba ngày. Những ngýời có mặt ở ðó cất tiếng xì xào: – Vô lí! Công việc trong ba tháng làm sao lại có thể hoàn thành trong ba ngày ðýợc? Euler khiêm tốn ðáp: – Rất mong Viện cho tôi làm thử. Nếu sau ba ngày không xong tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Nhýng rồi chỉ một ngày một ðêm sau, Euler ðã tới Viện. Vừa trông thấy ông, chýa chi ông chủ tịch Viện Hàn lâm ðã hỏi ngay: – Giờ chắc ông ðã thấy rõ không thể hoàn thành ðýợc việc tính toán thiên vãn ðể thiết lập bản ðồ trong ba ngày chứ? Leonhard Euler ðiềm ðạm ðáp: – Thýa ông, tôi ðã làm xong cả rồi! Ông chủ tịch Viện Hàn lâm vừa kinh ngạc vừa vui mừng lộ trên nét mặt. Song, ðể có ðýợc một kì công nhý thế, Euler ðã phải làm việc hết sức tập trung và cực kì cãng thẳng, cho nên ông ðã bị hỏng mất mắt phải. Nãm 34 tuổi, Euler trở về làm việc tại Viện Hàn lâm khoa học Berlin theo yêu cầu của vua Friedrich II. Ở ðây, ông ðã cống hiến toàn bộ sức lực cho khoa học, ngày ðêm miệt mài nghiên cứu và sáng tạo, tham gia công tác lãnh ðạo giới toán học, góp phần quản lí Viện Hàn lâm. Trong thời gian này, Euler làm việc rất có kết quả và ðã trở thành nhà toán học bậc thầy của cả châu Âu. Lúc ðã gần 60 tuổi, theo sự thoả thuận với Nữ hoàng Nga Katerina II, Euler ðến Petersbourg lần thứ hai. Bốn nãm sau, do ngày ðêm làm việc quên mình, con mắt còn lại của Euler tiếp tục bị hỏng. Thêm vào ðó, một loạt bất hạnh khác ðã xảy ðến với Euler: nhà cháy, mất sạch của cải, ngýời vợ thân yêu của ông qua ðời. Song, những tổn thất về vật chất và tinh thần ðó, cùng với sự giảm sút sức khoẻ của tuổi già vẫn không ảnh hýởng tới sức sáng tạo và nãng suất lao ðộng của ông. Không còn nhìn rõ ðýợc, ông ðọc cho ngýời khác viết hết công trình này ðến công trình khác. Lúc ðã về già, do làm việc quá sức, Euler bị ốm yếu luôn. Một hôm, ông ðang ngồi sýởi nắng ngoài výờn, ông chủ tịch Viện Hàn lâm khoa học Petersbourg býớc tới: – Thýa ngài, chúng tôi muốn yêu cầu ngài một việc. Trýớc khi ngài býớc sang thế giới bên kia, liệu ngài có thể ðể lại cho chúng tôi một số công trình của ngài ðể ðãng trên tạp chí của Viện Hàn lâm trong suốt 20 nãm sau ðýợc không? Euler khẽ gật ðầu: – Tôi có thể nhận ðýợc việc ðó. Và dĩ nhiên là những công trình chýa công bố. Quả nhiên, Euler giữ ðúng lời hứa. Ông mất nãm 1783 mà 80 nãm sau, tạp chí của Viện mới in hết những công trình của ông. Ngýời ta ðã tính ra rằng, trong suốt cuộc ðời 76 nãm của mình, Leonhard Euler ðã ðể lại tất cả những công trình có thể in thành 69 tập, mỗi tập khoảng 600 trang. Khi Euler còn sống, có ngýời ðã hỏi ông: – Xin ngài làm õn cho biết, ngài ðã viết nên những công trình bất hủ của mình vào những lúc nào? Euler cýời ðáp: – Ông hỏi tôi viết ra những công trình ấy vào những lúc nào ý? Rất bình thýờng thôi! Khi thì tôi ðang ẵm một cháu ngồi trên ðùi và những cháu khác quây quần xung quanh, có khi tôi ôm con mèo trên vai Kể ra cũng tự nhiên thôi! Có thể nói, Euler là một trong những nhà toán học vĩ ðại, có thể làm việc bất cứ lúc nào trong bất cứ ðiều kiện nào! Ðánh giá về những công trình của Euler, nhà triết học duy vật nổi tiếng ngýời Pháp Diderot ðã viết ðại ý là ông sẵn sàng ðánh ðổi tất cả những ðiều ông ðã xây dựng ðýợc "ðể lấy một trang trong những tác phẩm của ngài Euler". Còn D'Alembert trong một bức thý gửi Lagrange ðã gọi Euler là "ce diable d'homme" ("con ngýời quái kiệt ðó") dýờng nhý muốn nói rằng những ðiều mà Euler làm ðýợc výợt quá sức của con ngýời! Ngừng tính toán Ngày 18 tháng 9 nãm 1783. Trời ðã xế chiều. Nhý thýờng lệ, Euler ngồi trýớc một tấm bảng. Ông ðang tính toán về luật rõi xuống của khinh khí cầu. Sau ðó ông ãn cõm cùng với nhà thiên vãn Nga A.I.Leksel và gia ðình. Một lát sau, ông cho gọi một ðứa cháu nội tới. Trong khi ông vừa uống trà, vừa vui ðùa với cháu thì ông bị ngất, cái tẩu ðã rời khỏi tay. Ông chỉ kịp nói: "Ta chết ðây!". Cái chết ðến nhanh nhý chớp và ông ðã ra ði, ðồng thời cũng là lúc ông ngừng tính toán Euler thọ 76 tuổi 5 tháng 2 ngày. Ông ðýợc an táng tại nghĩa trang Tân giáo Xmolen ở Petersbourg. Trên mộ ông có một ðài kỉ niệm bằng ðá hoa cýõng Phần Lan màu xám với hàng chữ giản dị: LEONHARDO EULERO (tên của LEONHARD EULER ðã Latin hoá và ðýợc ghi trên lãng mộ của ông). [THẾ TRÝỜNG, Lời trối trãng của danh nhân (tập 1), NXB. Thanh Niên, 2 – 2001, trang 143 – 148] Harrypham - May 16, 2011 11:58 AM (GMT) Xin giới thiệu với các bạn bài viết mở ðầu trong loạt bài viết về Leonhard Euler, ðýợc bạn madness trích ðoạn và dịch từ quyển sách Euler - The master of us all của tác giả William Dunhamm, bài viết này giới thiệu qua về tiểu sử và cuộc ðời của Euler - nhà toán học thiên tài thế kỷ XVIII. Cuộc ðời của Euler (1707-1783) ðýợc gói gọn trong thế kỉ 18: 76 nãm từ mùa xuân 1707 tới mùa thu nãm 1783. Cùng thời với ông còn có rất nhiều tên tuổi nổi tiếng: Benjamin Franklin (1706-1790), Washington (1732-1799), Robespierre (1758-1794), Captain Cook (1728-1779). Leonhard Euler ðýợc sinh ra tại Basel, Thụy Sĩ. Cha ông là một giáo sĩ Tin Lành và luôn hy vọng Leonhard sẽ theo býớc ông trên những bục giảng kinh. Mẹ ông cũng xuất thân từ một gia ðình mục sý, vì thế chàng trai trẻ Euler dýờng nhý ðýợc sinh ra ðể dành cho tôn giáo. Thuở nhỏ, Euler là cậu bé ðýợc ban tặng một tài nãng ðặc biệt về ngôn ngữ và một trí nhớ phi thýờng. Cậu còn có khả nãng thực hiện những phép tính phức tạp mà không cần giấy bút. Nãm 14 tuổi, Euler vào trýờng Ðại học Basel dýới sự dẫn dắt của một giáo sý Toán nổi tiếng: Johann Bernoulli (1667-1748). Từ nãm 1721, Bernoulli ðýợc xem nhý là nhà toán học giỏi nhất thời bấy giờ (Leibniz ðã mất vài nãm trýớc, Newton ðã từ bỏ Toán học vì tuổi tác). Bernoulli – một ngýời rất ít khi khen ngợi ngýời khác – ðã từng viết cho Euler: “Tôi trình bày các phép tích phân nhý một sự khởi ðầu, nhýng chính cậu là ngýời ðã ðýa nó ðến sự trýởng thành.” Tại Ðại học, Euler không chỉ học Toán mà còn phải học Thần học, viết về Lịch Sử của Luật và hoàn tất bằng Thạc sỹ về Triết học. Nhýng vì lòng ðam mê Toán học, ông ðã quyết ðịnh rời bỏ khoa Thần học và trở thành một nhà toán học. Nãm 20 tuổi, Euler trở nên nổi tiếng qua các kì thi khoa học quốc tế. Nãm 1727, Euler tới học viện St. Petersburg theo lời mời của Daniel Bernoulli (1700-1782) (con trai của Johann Bernoulli), và tham gia cùng Daniel trong các cuộc thảo luận về Vật lý và Toán học. Vào nãm 1733, Daniel rời khỏi học viện và ðể lại một vị trí quan trọng mà không lâu sau Euler ðýợc bổ nhiệm vào. Không lâu sau, Euler cýới Kathariana Gsell - con gái một họa sỹ và sau hõn bốn mýõi nãm chung sống, 13 “Euler con” ðã chào ðời. Một trong những thành công ban ðầu của Euler là lời giải cho bài toán Basel – một vấn ðề hóc búa ðã làm ðau ðầu các nhà toán học của thế kỉ trýớc. Nãm 1644, bài toán Basel ðýợc ðýa ra bởi Pietro Mengoli (1625- 1686) với yêu cầu tìm ra giá trị chính xác của tổng: (1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/k^2 + … ). Những kết quả xấp xỉ cho thấy tổng trên gần bằng 8/5. Tuy nhiên, kết quả chính xác vẫn nằm trong “vùng tối” cho tới nãm 1735, Euler ðýa ra ðáp án gây ngạc nhiên cho các nhà toán học: pi^2/16. Tiếp theo ðó, các bài báo của ông (papers) cứ lần lýợt ðýợc xuất bản thông qua tạp chí khoa học của học viện St. Petersburg. Trong một số ấn phẩm, một nửa các bài báo xuất bản thuộc về Euler. Thời gian Euler ở St. Petersburg sẽ là một cuộc sống trong thiên ðýờng Toán học nếu nhý ông không gặp phải một số khó khãn khá lớn. Thứ nhất, sự rối loạn chính trị trong nýớc Nga sau cái chết bất ngờ của Catherine I ðã gây nên một sự xôn xao trong giới học viện về vị trí của Euler khi Học viện này chỉ có các nhà khoa học ngýời Nga. Tiếp theo ðó là sự không thoải mái của Euler khi Học viện ðýợc ðiều hành bởi một quan chức luôn tìm cách kiềm chế tài nãng khoa học. Vấn ðề thứ ba là sự suy giảm thị lực nghiêm trọng của Euler: nãm 1738 (31 tuổi) ông ðã bị mù mắt bên phải, tuy nhiên ông ðã không ðể ðiều này làm ảnh hýởng tới các hoạt ðộng nghiên cứu của mình. Ông tiếp tục viết các bài báo về thiết kế tàu, âm học, và lý thuyết về hòa âm. Ðýợc sự ðộng viên của bạn ông - Christian Golbach (1690-1764), Euler ðã ðýa ra các kết quả trong Lý thuyết số, và Số học Giải tích, và ðặt nền móng cho Toán Tổ hợp. Trong thời gian này, Euler ðã viết tác phẩm Mechanica trình bày các ðịnh luật chuyển ðộng của Newton dýới dạng Toán giải tích. Do ðó Mechanica ðýợc ðánh giá là một býớc ngoặt lớn trong lịch sử Vật lý. Với những thành quả nhý thế, tiếng tãm của Euler ðã khiến Hoàng ðế nýớc Phổ -Frederick Ðại Ðế - (1712- 1786) mời ông vào Học viện Berlin. Bởi vì tình hình chính trị bất ổn ở Nga (mà Euler ðã miêu tả rằng: “một ðất nýớc nõi mỗi ngýời phát biểu ý kiến ðều bị treo cổ”), Euler ðã cùng gia ðình chuyển sang Ðức vào nãm 1741. Trong thời gian ở Ðức, Euler ðã xuất bản 2 tác phẩm nổi tiếng nhất của ông: Introductio in analysin infinitorum (1748) và Institutiones calcul differentialis (1755), với khám phá ra số phức, ðẳng thức Euler: e^(ia) = cosa + i sina, và một chứng minh cho ðịnh lý cõ bản của ðại số. Tại Berlin, Euler ðã ðýợc mời giảng thuyết các vấn ðề khoa học phổ thông cho Quận chúa Anhalt Dessau. Kết quả là một tác phẩm lớn bao gồm nhiều tập, liên tục ðýợc xuất bản dýới dạng những lá thý giảng giải cho Quận chúa: Những bức thý gửi Quận chúa (Letters of Euler of Different Subjects in Natural Philosophy Addressed to a German Princess). Tuyển tập này bao gồm hõn 200 “lá thý” giới thiệu các chủ ðề rất ða dạng nhý ánh sáng, âm thanh, trọng lực, logic, ngôn ngữ, từ trýờng, và thiên vãn học. Những bức thý gửi Quận chúa ngay lập tức trở nên nổi tiếng và ðýợc dịch ra rất nhiều ngôn ngữ, cuối cùng nó ðã trở thành tác phẩm ðýợc ðọc nhiều nhất của Euler. Mặc dù ðã xa nýớc Nga, từ Ðức Euler vẫn tiếp tục làm chủ bút cho tạp chí khoa học của St. Petersburg và xuất bản nhiều bài báo cho tạp chí. Bên cạnh những nghiên cứu toán học, ông còn ðảm trách nhiều nhiệm vụ về quản lý tại Học viện Berlin nhý một ngýời quản lý (không chính thức). Tuy nhiên, Frederick Ðại ðế là một ngýời tự cao và coi khinh những học giả lớn thời bấy giờ; thêm vào ðó là sự bất hòa giữa ông và Voltaire tại Học viện Berlin. Những ðiều này ðã khiến Euler bị mất vị trí tại Học viện, sau ðó ông quyết ðịnh trở lại Học viện St. Petersburg do tình hình chính trị tại Nga ðã có những chuyển biến tốt ðẹp. Mặc dù sự nghiên cứu khoa học của ông ðạt những thành quả rất tốt ðẹp, trong một vài nãm ông ðã gặp 2 biến cố bất hạnh. Nãm 1771, ông ðã bị mù hoàn toàn khi con mắt còn lại cũng không thể ðýợc cứu chữa. 2 nãm sau, Katharina qua ðời. Những biến cố này ðã báo hiệu dấu chấm hết cho những nãm nghiên cứu miệt mài của ông. Tuy nhiên, Euler vẫn tiếp tục xuất bản một bài báo một tuần. Trong những nãm tháng mù lòa, ông ðã viết một quyển sách về ðại số, một luận án dài 775 trang về chuyển ðộng của mặt trãng, và 3 tập sách dày phát triển những kết quả về tích phân. Những nãm cuối ðời ông ðã ðýa ra các nghiên cứu quan trọng về thiên vãn học nhý hoạt ðộng của sao Thiên Výõng, những phýõng trình về quỹ ðạo giúp các nhà thiên vãn học tìm ra sao Hải Výõng. (*) Nãm 1783, trong một buổi chiều thứ bảy bận rộn nhý mọi ngày, Euler ðã qua ðời trong một cõn xuất huyết. Gia ðình, ðồng nghiệp, Học viện, và cả cộng ðồng khoa học an táng thi hài ông tại St. Petersburg và thýõng tiếc ðýa tiễn ông về nõi an nghỉ cuối cùng. Theo: Diễn ðàn Toán học Harrypham - May 16, 2011 12:00 PM (GMT) Leonhard Euler (ðọc là "Õ-le" theo phiên âm từ tiếng Pháp hay chính xác hõn là "Ôi-lờ" [ˈɔʏlɐ] theo phiên âm tiếng Ðức; 15 tháng 4, 1707 – 18 tháng 9, 1783) là một nhà toán học và nhà vật lý học Thụy Sĩ. Ông (cùng với Archimedes và Newton) ðýợc xem là một trong những nhà toán học lừng lẫy nhất. Ông là ngýời ðầu tiên sử dụng từ "hàm số" (ðýợc Gottfried Leibniz ðịnh nghĩa trong nãm 1694) ðể miêu tả một biểu thức có chứa các ðối số, nhý y = F(x). Ông cũng ðýợc xem là ngýời ðầu tiên dùng vi tích phân trong môn vật lý. Ông sinh và lớn lên tại Basel, và ðýợc xem là thần ðồng toán học từ nhỏ. Ông làm giáo sý toán học tại Sankt- Peterburg, sau ðó tại Berlin, rồi trở lại Sankt-Peterburg. Ông là nhà toán học viết nhiều nhất: tất cả các tài liệu ông viết chứa ðầy 75 tập. Ông là nhà toán học quan trọng nhất trong thế kỷ 18 và ðã suy ra nhiều kết quả cho môn vi tích phân mới ðýợc thành lập. Ông bị mù hoàn toàn trong 17 nãm cuối cuộc ðời, nhýng khoảng thời gian ðó là lúc ông cho ra hõn nửa số bài ông viết. Tên của ông ðã ðýợc ðặt cho một miệng núi lửa trên Mặt Trãng và cho tiểu hành tinh 2002 Euler. Tiểu sử Leonhard Euler sinh ngày 15 tháng 4 nãm 1707, là con của một mục sý tại Basel, Thụy Sĩ. Lúc còn nhỏ, ông ðã tỏ ra có tài nãng trong môn toán học, nhýng cha ông muốn ông học giáo lý và trở thành một mục sý. Nãm 1720 Euler bắt ðầu học tại Ðại học Basel. Tại ðây ông ðýợc quen với Daniel và Nikolaus Berloulli, và họ ðã nhận thấy tài nãng toán học của ông. Cha của ông, Paul Euler, ðã tham dự một vài bài thuyết giảng toán học của Jakob Bernoulli và kính trọng gia ðình ông. Khi Daniel và Nikolaus xin ông cho con ông học môn toán ông bằng lòng và Euler bắt ðầu học toán. Vào nãm 1727 Euler ðýợc nữ hoàng Nga Ekaterina I mời ðến Sankt-Peterburg. Ông trở thành giáo sý vật lý học nãm 1730, và cũng dạy toán nãm 1733. Euler là ngýời ðầu tiên xuất bản một cuốn sách dạy cõ học có phýõng pháp trong nãm 1736: Mechanica sive motus scientia analytice exposita (Chuyển ðộng cõ học ðýợc giải thích bởi ngành giải tích). Vì ông quan sát mặt trời nhiều quá, ðến nãm 1735 mắt phải ông ðã bị mù một phần. Nãm 1733 ông kết hôn với Ekaterina (Katharina) Gsell, con gái của giám ðốc Viện hàn lâm nghệ thuật. Họ có 13 con, nhýng chỉ có ba ngýời con trai và hai ngýời con gái sống sót. Con cháu của họ giữ những vị trí quan trọng tại Nga trong thế kỷ 19. Nãm 1741 Euler trở thành giám ðốc viện toán tại Hàn lâm viện Výõng quốc Phổ tại Berlin. Ông viết rất nhiều trong thời gian ở Berlin, nhýng ông không có ðýợc ðịa vị tốt vì nhà vua không xem trọng ông. Vì thế, ông trở về Sankt-Peterburg nãm 1766, lúc ðó dýới triều Ekaterina II, và sống ở ðó cho ðến khi mất. Tuy bị mù hoàn toàn, ông vẫn viết ðýợc vì ông có trí nhớ siêu thýờng và có thể dùng óc ðể tính toán ðýợc. Có chuyện kể rằng có khi ông và ngýời phụ tá của ông tính kết quả của một dãy số với 17 con số và nhận biết ðýợc là ðáp số của ông và của ngýời phụ tá khác nhau trong con số thứ 50. Khi họ tính lại thì thấy rằng ông ðã tính ðúng! Ngýời ta ýớc tính rằng, phải làm việc 8 giờ một ngày trong suốt 50 nãm ðể có thể ghi chép bằng tay tất cả những công trình của ông. Phải ðợi ðến nãm 1910, mới có một bộ sýu tập, tụ hợp tất cả các công trình này một cách ðầy ðủ, và nó ðýợc chứa trong 70 tập sách. Theo lời kể của Adrien-Marie Legendre, Euler thýờng hoàn thành một bài chứng minh trong khoảng thời gian gọi dùng cõm tối của mình. Euler là một ngýời rất sùng ðạo. Có một giai thoại phổ biến nói rằng Euler ðã thách ðố Denis Diderot tại cung ðiện của Ekaterina Ðại ðế, "Thýa ngài, cách suy luận do ðó Thýợng ðế tồn tại"; tuy nhiên giai thoại này là sai. Khi Euler mất, nhà toán học và triết học Hầu týớc de Condorcet bình luận " et il cessa de calculer et de vivre" (và ông ấy ðã ngừng tính và ngừng sống). Các khám phá Euler cùng với Daniel Bernoulli hoàn thành ðịnh luật, ở ðó phát biểu rằng lực xoắn trên một sợi dây chun mỏng tỉ lệ với ðộ ðàn hồi của vật liệu và mô men quán tính của mặt cắt. Ông ðồng thời cũng ðýa ra phýõng trình Euler, một tập hợp các ðịnh luật chuyển ðộng trong thủy ðộng lực học, quan hệ trực tiếp với ðịnh luật chuyển ðộng của Newton. Những phýõng trình này có dạng týõng ðýõng với các phýõng trình Navier-Stokes với ðộ nhớt bằng 0. Ðó là một ðiều thú vị bởi chúng là nguyên nhân dẫn ðến sự tồn tại của các sóng sốc. Ông còn có ðóng góp to lớn cho thuyết phýõng trình vi phân. Cụ thể, ông ðýợc biết ðến nhiều với việc sáng tạo ra một chuỗi các phýõng pháp tính xấp xỉ, ðýợc sử dụng nhiều trong tinh toán. Và phýõng pháp nổi tiếng nhất trong ðó chính là phýõng pháp Euler. Trong lý thuyết số ông ðã sáng tạo ta hàm totient. Totient φ(n) của một số nguyên dýõng n ðýợc ðịnh nghĩa là số các số nguyên dýõng nhỏ hõn hoặc bằng n và nguyên tố cùng nhau với n. Ví dụ φ(8) là 4 số 1, 3, 5, 7 ðều là số nguyên tố nhỏ hõn 8. Trong ngành giải tích, Euler ðã tổng hợp hóa tích phân Leibniz với phýõng pháp tính Newton thành một dạng, gọi là vi phân. Ông hoàn thành nền móng vào nãm 1735 bằng việc giải quyết bài toán Basel, vấn ðề ðã tồn tại trong một thời gian dài.[1] ,ở ðó ζ(s) là hàm Euler zeta (không nên lầm lẫn với hàm Riemann zeta vốn không hoàn toàn giống nhau ở miền giá trị của x). Ông còn ðýa ra một biểu thức nổi tiếng trong toán học, là sợi dây liên hệ giữa hàm số mũ phức và hàm số lýợng giác, hay còn gọi là ðồng nhất thức Euler: eiπ + 1 = 0 hay eiθ = cosθ + isinθ Nãm 1735, ông tìm ra hằng số Euler-Mascheroni, ðýợc sử dụng rất nhiều trong các phýõng trình vi phân. Ông là ngýời cùng khám phá ra công thức Euler-Maclaurin, là một công cụ rất quan trọng trong việc tính toán các tích phân phức tạp, các tổng và chuỗi khó. Trong hình học và topo ðại số có một sợi dây liên kết chính là công thức Euler, ở ðó liên hệ giữa các cạnh, ðỉnh và mặt của một ða diện. Công thức tổng quát ðó là: F - E + V = 2, ở ðó F là số mặt, E là số cạnh và V là số ðỉnh. Ðịnh lý này ðýợc áp dụng cho mọi ða diện lồi. Với các ðồ thị không phẳng, có một biểu thức tổng quát. Nếu ðồ thị có thể ðýợc nhúng vào trong một ða tạp M, thì F - E + V = X(M), ở ðó X là Ðặc trýng Euler của ða tạp, một hằng số ở ðó là bất biến với mọi biến dạng liên tục. Ðặc trýng Euler của một ða tạp liên thông ðõn giản là một hình cầu và một mặt phẳng là 2. Công thức tổng quát với một ðồ thị phẳng là: F - E + V - C = 1, ở ðó C số thành phần liên thông của ðồ thị. Nãm 1736, Euler giải ðýợc bài toán nổi tiếng 7 chiếc cầu Königsberg, chính xác hõn, ông chứng minh bài toán không có ðáp số. Kết quả ðýợc công bố trên bài báo nhan ðề Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, và ðó chính là ứng dụng sớm nhất của lý thuyết ðồ thị hay của topo học. Leonhard Euler Bách khoa toàn thư mở Wikipedia Mục từ "Euler" dẫn đến bài này. Xin đọc về các nghĩa khác tại Euler (định hướng). Leonhard Euler (đọc là "Ơ-le" theo phiên âm từ tiếng Pháp hay chính xác hơn là "Ôi-lờ" [ˈɔʏlɐ] theo phiên âm tiếng Đức; 15 tháng 4, 1707 – 18 tháng 9, 1783) là một nhà toán học và nhà vật lý học Thụy Sĩ. Ông (cùng với Archimedes và Newton) được xem là một trong những nhà toán học lừng lẫy nhất. Ông là người đầu tiên sử dụng từ "hàm số" (được Gottfried Leibniz định nghĩa trong năm 1694) để miêu tả một biểu thức có chứa các đối số, như y = F(x). Ông cũng được xem là người đầu tiên dùng vi tích phântrong môn vật lý. Ông sinh và lớn lên tại Basel, và được xem là thần đồng toán học từ thưở nhỏ. Ông làm giáo sư toán học tại Sankt-Peterburg, sau đó tại Berlin, rồi trở lại Sankt-Peterburg. Ông là nhà toán học viết nhiều nhất: tất cả các tài liệu ông viết chứa đầy 75 tập. Ông là nhà toán học quan trọng nhất trong thế kỷ 18 và đã suy ra nhiều kết quả cho môn vi tích phân mới được thành lập. Ông bị mùhoàn toàn trong 17 năm cuối cuộc đời, nhưng khoảng thời gian đó là lúc ông cho ra hơn nửa số bài ông viết. Tên của ông đã được đặt cho một miệng núi lửa trên Mặt Trăng và cho tiểu hành tinh 2002 Euler. Leonhard Euler sinh ngày 15 tháng 4 năm 1707, là con của một mục sư tại Basel, Thụy Sĩ. Lúc còn nhỏ, ông đã tỏ ra có tài năng trong môn toán học, nhưng cha ông muốn ông học giáo lý và trở thành một mục sư. Năm 1720 Euler bắt đầu học tại Đại học Basel. Tại đây ông được quen với Daniel và Nikolaus Berloulli, và họ đã nhận thấy tài năng toán học của ông. Cha của ông, Paul Euler, đã tham dự một vài bài thuyết giảng toán học của Jakob Bernoulli và kính trọng gia đình ông. Khi Daniel và Nikolaus xin ông cho con ông học môn toán ông bằng lòng và Euler bắt đầu học toán. Vào năm 1727 Euler được nữ hoàng Nga Ekaterina I mời đến Sankt-Peterburg. Ông trở thành giáo sư vật lý học năm 1730, và cũng dạy toán năm 1733. Euler là người đầu tiên xuất bản một cuốn sách dạy cơ học có phương pháp trong năm 1736:Mechanica sive motus scientia analytice exposita (Chuyển động cơ học được giải thích bởi ngành giải tích). Vì ông quan sát mặt trời nhiều quá, đến năm 1735 mắt phải ông đã bị mù một phần. Năm 1733 ông kết hôn với Ekaterina (Katharina) Gsell, con gái của giám đốc Viện hàn lâm nghệ thuật. Họ có 13 con, nhưng chỉ có ba người con trai và hai người con gái sống sót. Con cháu của họ giữ những vị trí quan trọng tại Nga trong thế kỷ 19. Vào năm 1741, nhằm thu hút nhân tài về phục vụ đất nước, vị tân vương nước Phổ là Friedrich II Đại Đế xuống Thánh chỉ vời Euler đến làm Viện trưởng Viện toán tại Viện Hàn lâm Khoa học Vương quốc Phổ trên đất kinh kỳ Berlin. [3] Ông viết rất nhiều trong thời gian ở kinh đô Berlin, nhưng ông không có được địa vị tốt vì nhà vua bất hòa với ông. Vì thế, ông trở về Sankt-Peterburg năm 1766, lúc đó dưới triều Ekaterina II, và sống ở đó cho đến khi mất. Tuy bị mù hoàn toàn, ông vẫn viết được vì ông có trí nhớ siêu thường và có thể dùng óc để tính toán được. Có chuyện kể rằng có khi ông và người phụ tá của ông tính kết quả của một dãy số với 17 con số và nhận biết được là đáp số của ông và của người phụ tá khác nhau trong con số thứ 50. Khi họ tính lại thì thấy rằng ông đã tính đúng! Người ta ước tính rằng, phải làm việc 8 giờ một ngày trong suốt 50 năm để có thể ghi chép bằng tay tất cả những công trình của ông. Phải đợi đến năm 1910, mới có một bộ sưu tập, tụ hợp tất cả các công trình này một cách đầy đủ, và nó được chứa trong 70 tập sách. Theo lời kể của Adrien-Marie Legendre, Euler thường hoàn thành một bài chứng minh trong khoảng thời gian gọi dùng cơm tối của mình. Euler là một người rất sùng đạo. Có một giai thoại phổ biến nói rằng Euler đã thách đố Denis Diderot tại cung điện của Ekaterina Đại đế, "Thưa ngài, cách suy luận do đó Thượng đế tồn tại"; tuy nhiên giai thoại này là sai. Khi Euler mất, nhà toán học và triết học Hầu tước de Condorcet bình luận " et il cessa de calculer et de vivre" (và ông ấy đã ngừng tính và ngừng sống). Các khám phá[sửa | sửa mã nguồn] Euler cùng với Daniel Bernoulli hoàn thành định luật, ở đó phát biểu rằng lực xoắn trên một sợi dây chun mỏng tỉ lệ với độ đàn hồi của vật liệu và mô men quán tính của mặt cắt. Ông đồng thời cũng đưa ra phương trình Euler, một tập hợp các định luật chuyển động trong thủy động lực học, quan hệ trực tiếp với định luật chuyển động của Newton. Những phương trình này có dạng tương đương với các phương trình Navier- Stokes với độ nhớt bằng 0. Đó là một điều thú vị bởi chúng là nguyên nhân dẫn đến sự tồn tại của các sóng sốc. Ông còn có đóng góp to lớn cho thuyết phương trình vi phân. Cụ thể, ông được biết đến nhiều với việc sáng tạo ra một chuỗi các phương pháp tính xấp xỉ, được sử dụng nhiều trong tinh toán. Và phương pháp nổi tiếng nhất trong đó chính là phương pháp Euler. Trong lý thuyết số ông đã sáng tạo ta hàm totient. Totient của một số nguyên dương n được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n và nguyên tố cùng nhau với n. Ví dụ là 4 số 1, 3, 5, 7 đều là số nguyên tố nhỏ hơn 8. Trong ngành giải tích, Euler đã tổng hợp hóa tích phân Leibniz với phương pháp tính Newton thành một dạng, gọi là vi phân. Ông hoàn thành nền móng vào năm 1735 bằng việc giải quyết bài toán Basel, vấn đề đã tồn tại trong một thời gian dài. [4] , ở đó là hàm Euler zeta (không nên lầm lẫn với hàm Riemann zeta vốn không hoàn toàn giống nhau ở miền giá trị của x). Ông còn đưa ra một biểu thức nổi tiếng trong toán học, là sợi dây liên hệ giữa hàm số mũ phức và hàm số lượng giác, hay còn gọi là đồng nhất thức Euler: hay Năm 1735, ông tìm ra hằng số Euler-Mascheroni, được sử dụng rất nhiều trong các phương trình vi phân. Ông là người cùng khám phá ra công thức Euler-Maclaurin, là một công cụ rất quan trọng trong việc tính toán các tích phân phức tạp, các tổng và chuỗi khó. [...]... có hai cách để chọn một số đặc biệt a=e Một cách là đặt sao cho đạo hàm của hàm số ax là ax Một cách khác là đặt sao cho đạo hàm của logarit cơ số a là 1/x Mỗi trường hợp đều đi đến một lựa chọn thuận tiện để làm giải tích Thực tế là, hai cơ số có vẻ rất khác nhau này lại chỉ là một, số e Các đặc điểm khác[sửa | sửa mã nguồn] Một số đặc điểm khác của số e: một là về giới hạn dãy, một cái khác là về... sớm nhất của lý thuyết đồ thị hay của topo học Tác phẩm nổi tiếng[sửa | sửa mã nguồn] Bìa của cuốn Methodus inveniendi lineas curvas của Euler Euler có khối lượng sách viết đồ sộ nhưng những cuốn sách nổi tiếng nhất của bao gồm: Elements of Algebra (Nhập môn Đại số học) Cuốn sách về đại số căn bản này bắt đầu bàn một lời bàn luận về bản chất các con số và một lời giới thiệu tổng quan về đại số, bao gồm... việc phân tích sự vận động của thể rắn và áp dụng các định luật của Newton,Euler đã giải thích được một cách cặn kẽ về quá trình biến dạng của các vật thể rắn khi có sự tác động của các lực bên ngoài, từ đó góp phần hình thành lý thuyết đàn hồi Năm 1936, các công trình nghiên cứu này của ông đã được tập hợp trong luận văn “Lực học” Chân dung Leonhard Euler trên một con tem của Thụy Sĩ Ngoài vật lý,... khỏi học viện và để lại một vị trí quan trọng mà không lâu sau Euler được bổ nhiệm vào Không lâu sau, Euler cưới Kathariana Gsell – con gái một họa sỹ và sau hơn bốn mươi năm chung sống, 13 “Euler con” đã chào đời Một trong những thành công ban đầu của Euler là lời giải cho bài toán Basel – một vấn đề hóc búa đã làm đau đầu các nhà toán học của thế kỉ trước Năm 1644, bài toán Basel được đưa ra bởi Pietro... coi là định lý đầu tiên của lý thuyết đồ thị và là đánh dấu sự phát triển của ngành tôpô học Không dừng lại ở thành công đó, Euler tiếp tục nghiên cứu và công bố nhiều công trình toán học quan trọng khác như: chuyển động cơ học được giải thích bởi ngành giải tích, đường thẳng Euler, đường tròn Eulertrong tam giác, định lý Euler về liên hệ giữa số đỉnh, cạnh và mặt trong của một đa diện lồi, nhập môn... triển theo cách mà không hiển nhiên liên quan đến độ tăng hàm mũ Giả sử rằng một con bạc chơi slot machine, một triệu lần, kỳ vọng được thắng một lần Khi đó xác suất mà con bạc không thắng được gì là (xấp xỉ) 1/e Đây là một ví dụ về phép thử Bernoulli Mỗi lần con bạc chơi một lượt, có thêm một trong một triệu cơ hội thắng Việc chơi một triệu lần được mô hình hóa qua phân phối nhị thức, có liên hệ mật thiết... các công trình nghiên cứu của ông Một trong những thành công ban đầu của Euler đã là tìm ra lời giải cho bài toán Basel, yêu cầu tìm giá trị chính xác của tổng các bình phương nghịch đảo của các các số nguyên Trước đó, các nhà toán học tốn rất nhiều công sức mà không tìm ra được kết quả bài toán Đến năm 1735, khi Euler sử dụng kỹ thuật tính xấp xỉ mới tìm ra kết quả chính xác của bài toán là pi^2/16... Petersburg sẽ là một cuộc sống trong thiên đường Toán học nếu như ông không gặp phải một số khó khăn khá lớn Thứ nhất, sự rối loạn chính trị trong nước Nga sau cái chết bất ngờ của Catherine I đã gây nên một sự xôn xao trong giới học viện về vị trí của Euler khi Học viện này chỉ có các nhà khoa học người Nga Tiếp theo đó là sự không thoải mái của Euler khi Học viện được điều hành bởi một quan chức luôn... hàm bậc nhất và bậc hai của do sau: sẽ là theo định nghĩa Từ đó chúng ta xây dựng phương trình vi phân thường tuyến tính có bậc 2 như hay Đây là một phương trình vi phân thường bậc 2, do đó nó sẽ có hai nghiệm độc lập tuyến tính là: Cả và đều là các hàm số thực có đạo hàm bậc hai đồng nhất với giá trị âm của chính nó Ngoài ra, bất kỳ một tổ hợp tuyến tính nào của các nghiệm của một phương trình vi phân... kỳ một tổ hợp tuyến tính nào của các nghiệm của một phương trình vi phân thuần nhất cũng sẽ lại là một nghiệm của nó Do vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã nêu là với mọi hằng số đầu của hàm và Tuy nhiên, không phải mọi giá trị của các hằng số này đều thỏa mãn điều kiện ban : Các điều kiện ban đầu giống nhau này (áp dụng cho nghiệm tổng quát) sẽ dẫn đến Từ đó cho và sau cùng là Số e Bách . 4 ]Chân ba đường cao của một tam giác bất kì, ba trung điểm của ba cạnh, ba trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm, tất cả chín điểm này cùng nằm trên một đường tròn. Đường. Feuerbach của một tam giác tiếp xúc với đường tròn nội tiếp và ba đường tròn bàng tiếp của tam giác đó. Đường thẳng Euler Đường thẳng Euler (đỏ) đi qua trọng tâm (cam), trực tâm (lam), tâm đường. gọi là đường tròn Euler hay còn gọi là đường tròn Feuerbach, đường tròn Terquem hay đường tròn chín điểm, đường tròn trung bình. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác thì đường