Nguyên hàm cơ bản và một số ví dụ

Công thức tính nguyên hàm... Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx và Gx là một nguyên hàm của hàm số gx thì a... 4x+ C là họ nguyên hàm của hàm

BÀI GIẢNG SỐ 01: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Công thức tính đạo hàm

1 1) (x ) '  x 

' 2

 

 

 

2

x

x

   1 1

n n

n x





   5) (sin ) 'x cosx 6) (cos ) 'x  sinx

7) (tan ) ' 12

cos

x

x

sin

x

x

  9) ( ) 'e x e x

10) (a x) 'a xln , (0a  a 1) 11) ln x' 1

x

 12 log ' 1

ln

a x



2 Công thức tính đạo hàm của hàm hợp

u   u u 

 

 

 

  3) ' '

2

u u

u

4)sinu'u c u' os 5)cosu' u'sinu

2

' tan ' '(1 tan )

cos

u

u

2

' cot ' '(1 cot )

sin

u

u

8) e u 'u e' u 9) a u 'u a' ulna

10)lnu' u'

u

 11) log ' '

ln

a

u u



3 Vi phân

Cho hàm số y f x  Vi phân của hàm số y f x , kí hiệu là dy, và được xác định bởi

công thức dy y dx'

4 Công thức tính vi phân

a) u dx' du b)(2x1)dxd x( 2x) c) dx d 2 x

d) cosxdxd(sin )x e)

ln

x

a dx d

a

 

  

a

h) sinxdx d c x( os ) i) 2 cot 

sin

dx

l) 2 tan 

os

dx

c x n) sin(ax b dx) 1d c( os(ax b))

a



5 Công thức tính nguyên hàm

Cho hàm số y f x  Nguyên hàm của hàm số y f x , ký hiệu là f x dx  , và được xác định như sau  f x dx( ) F x( )C, trong đó F x( ) '  f x( )

a) dx x C b)

1 1

x











d) sin xdx cosx C e) cos xdxsinx C g) 2 tan

cos

dx

x C

sin

dx

x C



ln

x

a

a





n) cos(ax b dx) 1sin(ax b) C

a



ax

dx





p) e ax b dx 1eax b

a



3

ax b dx a b C





 Nếu  f x dx( ) F x( )C và uu x  thì  f u du( ) F u( )C

6 Các công thức tính nguyên hàm của các hàm số hợp

a) du u C b)

1 1

u











d)sinudu cosuC e) c uduos sinuC f) 2 tan

os

du



sin

du

j)  a du u a ulnaC k) sin(au b du) 1cos(au b) C

a



m) cos(au b du) 1sin(au b) C

a





o) e au b du 1e au b C

a

3

a





7 Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) thì

a f x g x dx f x dx( ) g x dx( ) F x( )G x( )C

b Với mọi số thực a 0 :a.f ( )x dx a f x dx  ( ) a.F( )x C

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm vi phân

Ví dụ 1: Tìm vi phân của các hàm số

a) cos 2

1

x y

x



cos ' 1

x

x



2

2 2

( 1) sin 2 cos ( 1)

dx x





b) ln tan

4

x

y  

 

tan ' 4 tan 4

x

x

2sin / 2x dx



c)

1

cos

2 x

y



x cos

x sin 2 ln 2

1





Dang 2: Tìm nguyên hàm sử dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp và các tính chất cơ bản của nguyên hàm

Phương pháp: Sử dụng:

 Bảng các nguyên hàm

 Các tính chất của nguyên hàm

 Các phép biến đổi đại số

Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm

a I = x2 3 e3x 1 dx

x



 

cos

x



c I = x 21dx

x



 d I =  4 2

2 4

x

dx x





Bài giải:

a I = x2 3 e3x 1 dx x dx2 3dx e3x 1dx

= 1 3 1 3 1

3ln

x

= 1cos 2 1sin 3 t anx

c I = x 21dx 1 12 dx 1dx 12 dx ln x 1 C

d I =  4 2

8

= 1 7 8 3

16 ln

7x 3x  x C

Nhận xét: Trong ví dụ trên, chúng ta thực hiện phép tách biểu thức ban đầu thành tổng một số hạng

tử mà có thể xác định được nguyên hàm của chúng

Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau:

a I =   x23 x44x dx b  2

1

x

x





c

3 1

x

x



(2 1)

I x dx

e

1

2 2

Ix x dx

Bài giải:

a I =   x23 x44x dx

1

3

(x 2x 4x dx)

4

3

3x 2x 5 x C

b I =  x 12 x 2 x 1

x x

c I =

3

x

x





d I =

Nhận xét:Trong ví dụ trên chúng ta đã sử dụng kết quả:

m m

x x ;  ' 1

2

x

x

 ; 1

m n m

x





2

1

dx ln x x k C



hàm số yln|x x2 k|

b) Áp dụng công thức câu a) tính 1 2

Bài giải:

a Ta có: yln|x x2 k|

2

2 2

1

'

x

y





2

1

ln





b Áp dụng câu a) ta có:

2

1

9

x





5

dx

x





Ví dụ 5:

a) Tìm hai số A, B sao cho

5 x

B 1 x

A ) 5 x )(

1 x (

1











) 5 x )(

1 x (

1

b) Tương tự câu a, hãy tính   dx

9 x

1

2 Từ đó suy ra công thức tính   dx

a x

1

2 2

c) Tìm A, B sao cho 22 3



  và tính nguyên hàm 22 3

x dx



 



Bài giải:

1 (A B x) 5A B, x R

Đồng nhất hệ số ta có:

1

4

A

A B

B



 



 





x

x





b Áp dụng câu a) I =   dx

9 x

1 2

(x 3)(x 3)dx 6(x 3)dx 6(x 3)dx

 

x

x





c Ta có:

2

Đồng nhất hệ số ta có:

5

3

B

A









  



dx



Ví dụ 5: Tính các nguyên hàm sau:

a)ex(1ex)dx

b)tanxdx c)sin xcos5xdx d) e3cosxsinxdx e) cos xcos3xdx

f) sin3xdx

Bài giải:

a I = ex(1ex)dx  e x 1dxe x x C

b I = tanxdx sin (cos ) ln cos

c I = sin xcos5xdx 1 sin 8 sin 2  1 1 sin 8 (8 ) 1 sin 2 (2 )

= 1 cos 8 1cos 2

d I = e3cosxsinxdx 1 3cos (3cos ) 1 3cos

e I =cos xcos3xdx 1 cos 7 cos  1 cos 7 cos 

2 x x dx 2  xdx xdx

= 1 sin 7 1sin

14 x2 x C

f I = sin3xdx 3sin sin 3 3 sin 1 sin 3



= 3cos 1 cos 3

Dạng 3: Nguyên hàm của hai hàm số có dạng đặc biệt

Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm hàm số g(x)

Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f x( )g x( ) tức là:

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )







(I)

Bước 3: Từ hệ (I) ta nhận được ( ) 1 ( ) ( )

2

F x  A x B x C là họ nguyên hàm của hàm số f(x)

Ví dụ 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) sin

sin cos

x

f x





Bài giải:

Chọn hàm số phụ ( ) cos

sin cos

x

g x



 Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x) và g(x)

Ta có: f(x) + g(x) = sin cos

sin cos





1

f(x) - g(x) = sin cos 1

sin cos







2 ( ) ( )

Từ (1) và (2) ta được hệ

1 2

( ) ln sin cos 2

( ) ( )







Bài toán 1: Nguyên hàm của hàm số dạng

Phương pháp: Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xét hàm số F x( ) f x e( ) x, nhận xét rằng:

'( ) '( ) x ( ) x ( ) '( ) x

F x  f x e  f x e  f x  f x e

Bước 2: Vậy F x( ) f x e( ) x+ C là họ nguyên hàm của hàm số đã cho

Lưu ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các hàm số sau

1) Hàm số f'( )x  f x e( ) x có họ nguyên hàm là F x( ) f x e( ) xC

2) Hàm số f x'( )af x e( ) ax b có họ nguyên hàm làF x( ) f x e( ) ax b C

3) Hàm số   ( )

'( ) ' ( ) x

f x  x f x e 

  có họ nguyên hàm làF x( ) f x e( ) ( )x C

Ví dụ 7: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

3 2 x

f x  x  x e b   2 os

4

x

Bài giải:

f x  x  x  x e  x  x  x  x e

Xét hàm số:  2 

F x  x  x e

Ta thấy F’(x) =    2   2 

2x1 e x x  x 1 e x  x 3x2 e x  f x( )

F x  x  x e + C là họ nguyên hàm của hàm số đã cho

b Ta có f x   cosxsinx e x cosx  1 sinx e x

Xét hàm số F(x) = sin x x

e

4

Vậy F(x) = sin x x

e + C là họ nguyên hàm của hàm số đã cho

Bài toán 2: Nguyên hàm của hàm số dạng u’v + v’u

Phương pháp:Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xét hàm số F(x) = uv Nhận xét rằng F’(x) = u’v + v’u

Bước 2: Vậy F(x) = uv + C là họ nguyên hàm của hàm số

Ví dụ 8: Xác định họ nguyên hàm của hàm số ( ) 8 3

2 4

x

f x

x







Bài giải:

Xét hàm số: F x( )x 4 x

Ta thấy F’(x) = 4 1 8 3 ( )

x

Vậy F x( )x 4x+ C là họ nguyên hàm của hàm số đã cho

Dạng 4: Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1:Tính các nguyên hàm sau đây

a) ( x3 x2  x5)dx b)    )dx

x

1 x x ( 3 c) ( x2)17dx

x

) x x x x

1 3 1 4

3

e) (2ax  x)dx g) sin4xcosxdx h)     

dx ) x 2 2 e e

( x x x i)lnxdxx k) cos2xdxsin2x

ĐS:

4

2

x

a x  x  x+ C b) x ln|x| C

2

3 4





18

) 2 x ( 3





3

4 43 13 12







3

2 a ln

a

3 x



 , g) sin x C

5



3

4 2 ln

2

e

e

x x

x







 

2 ln ) 2

x

i Ck) tanxcotxC

Bài 2: a) Chứng minh công thức dx ln tan x C



 bằng cách tínhđạo hàm của hàm số x

2 4



b) Áp dụng công thức câu a) hãy chứng minh rằng dx ln co tx C

sin x   2 



Bài 3: Tính các nguyên hàm sau đây

a)   )dx

x

1 x

1

(

c) x2 x3  dx5

d)     )dx

x

4 x

2 x

1 x

(

3 3

e)  x3 12dx f)   dx

a x

x 2

ĐS: )2 33 2

2

5

b x  x C c) (x 5) x 5

9





d) ln|x| 4 x 6 x C

4

4







4

x 7

x7 4





 , f) ln|x a| C

2





Bài 4: Tính các nguyên hàm sau đây

a) cotxdx b) (2x 3x)dx c) cos(axb)dx với a 0





x

cos

e

2

(

x

x

x sin x cos

x sin x cos

1 e

e x x

g)   dx

x

) 3

x

ln

2

i)sin2xdx j) sin4xdx

ĐS: a) ln|sinx| + C ) 2 3

ln 2 ln 3

a

1



 )2 x t anx

d e  C e) ln cosxsinx C

f) ln(1 + e

x

) + C

g) (2lnx 3) C

8



 i) 1 1sin 2

24 x C

Bài 5:Tính các nguyên hàm sau đây

a)

2

dx

2 3

(x 1)dx (x 1) (x 3)



2 3

(x x 1)

dx

x 3x 2

 



ĐS: a) 3ln | x 1| 7 ln | x 2 | 5ln | x 4 | C      ,

b)

f (x)

c) 1 2ln | x 1 | 1ln | x 2 | C





Bài 6: Tìm họ các nguyên hàm sau:

2

1 ( )

1

x

f x

x

 





b    12

x

f x

x



 c f x( )2 sin2x.sin 2x

f x  x   x  e F x  x  e

b HD:   1 ' 1 ( )

x

  

    

 

+ C

c HD: Chọn hàm số phụ g x( )2 cos2x.sin 2x ( ) 1 cos 2 1cos 4