ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 14 NĂM 2014

Website: dophuongthcsnt.violet.vn Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 14 NĂM 2014 Thời gian làm bài 150 phút PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2 2 3 ( 1) 1y x mx m x     (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m  . 2. Tìm m để đường thẳng 2 1y x  cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn điểm   C 0;1 nằm giữa A và B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài bằng 30 . Câu II: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2cos4x - ( 3 - 2)cos2x = sin2x + 3 2. Giải hệ phương trình 2 2 2 1 2 4( 1) 4 2 7 x y x y x y xy              . Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: I = e 1 ln x 2 dx x ln x x    . Câu IV: (1,0 điểm) ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và AB = BC = a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45 0 . Gọi M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tính thể tích khối đa diện M.ABC theo a. Câu V: (1,0 điểm) Cho các số thực không âm zyx ,, thoả mãn 3 222  zyx . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: zyx zxyzxyA   5 . PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(-1;2) và đường thẳng (  ): 3 4 7 0x y   . Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và cắt đường thẳng (  ) tại hai điểm B, C sao cho  ABC vuông tại A và có diện tích bằng 4 5 . 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 1 2 : 2 1 1 x y z       và điểm A(2;1;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng 1 3 . Câu VII.a (1,0 điểm) Cho khai triển   10 1 2x .   2 2 3 4x 4x  = 0 a + 1 a x + 2 a x 2 + .+ 14 a x 14 . Tìm giá trị của a 6 . B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I(2;-3). Biết đỉnh A , C lần lượt thuộc các đường thẳng : x + y + 3 = 0 và x +2y + 3 = 0 .Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng : 1 1 : 2 1 x t d y t z           ; Website: dophuongthcsnt.violet.vn Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định 2 2 1 1 : 1 2 2 x y z d       . Viết phương trình mp(P) song song với 1 d và 2 d , sao cho khoảng cách từ 1 d đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ 2 d đến (P). Câu VI.b (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 log ( 2 8) 6 8 2 .3 2.3 x x y x y y x            . ĐÁP ÁN ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 14 NĂM 2014 Câu 1: Với m=1 ta có 3 2 2 3 1y x x    TXĐ: D=R Sự biến thiên: - Giới hạn: lim ; lim x x y y       -Ta có: ' 6 ( 1)  y x x 0 ' 0 1 x y x        -BBT: x  0 1  y’ + 0 - 0 + y 1   0 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (  ;0) và (1;  ), Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) Hàm số đạt cực đại tại x=0 và y CĐ =1, Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và y CT =0 Đồ thị:Ta có 1 '' 12 6 '' 0 2      y x y x 1 1 ( ; ) 2 2 I là điểm uốn của đồ thị. Câu 1: 2, Hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị (Cm) của hàm số: 3 2 2 3 ( 1) 1y x mx m x     là nghiệm Đồ thị (C) cắt trục Oy tại   A 0;1 Đồ thi cắt trục Ox tại   1 B 1;0 ;C ;0 2        Học sinh Tự vẽ đồ thị phương trình: 3 2 2 3 ( 1) 1 2 1x mx m x x        2 0 9 8 0 : 3 8 9            m m m tmdk m m . 2 2 0 1 (2 3 3) 0 2 3 3 0 (*)                 x y x x mx m x mx m Đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm A; C; B phân biệt và C nằm giữa A và B khi và chỉ khi PT (*) có 2 nghiệm trái dấu 2.( 3) 0 3m m     Khi đó tọa độ A và B thỏa mãn 3 2 3 . 2 A B A B m x x m x x            và 2 1 2 1 A A B B y x y x        ( vì A và B thuộc (d)) AB= 30 2 2 ( ) ( ) 30 B A B A x x y y     2 2 2 9 3 ( ) 6 ( ) 4 . 6 4. 6 4 2            B A B A B A m m x x x x x x Website: dophuongthcsnt.violet.vn Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định Câu 2: 1. Giải phương trình: 2cos4x - ( 3 - 2)cos2x = sin2x + 3 Phương trình đã cho tương đương với: 2(cos4x + cos2x) = 3 (cos2x + 1) + sin2x 2 cosx=0 4 os3xcosx=2 3 os 2sinxcosx 2cos3x= 3 osx+sinx c c x c       + osx=0 x= 2 c k     + 3x=x- 2 6 2 os3x= 3 osx+sinx cos3x=cos(x- ) 6 3 2 6 k c c x x k                  12 24 2 x k k x                 Câu 2: 2. Giải hệ phương trình 2 2 2 1 2 4( 1) 4 2 7 x y x y x y xy              . Điều kiện: x+2y 1 0  Đặt t = 2 1 (t 0)x y   Phương trình (1) trở thành : 2t 2 – t – 6 = 0     2 / 3 t/m 2 t t m t k          + Hệ 2 2 2 3 4 2 7 x y x y xy          2 1 1 1 2 x x y y               Câu 3: Ta có: I = e 1 ln x 2 dx x ln x x    = e 1 ln x 2 dx (ln x 1)x    Đặt t = lnx + 1  dt = 1 dx x ; Đổi cận: x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2 Suy ra: I = 2 2 1 1 t 3 3 dt 1 dt t t            =   2 1 t ln | t | = 1 – ln2 Câu 4: BC AB BC (SAB) BC SB BC SA          Suy ra góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là góc  SBA . Theo giả thiết  SBA = 45 0 Gọi M là trung điểm của SC, H là trung điểm của AC. Tam giác SAC vuông tại A nên MA = MS = MC, tam giác SBC vuông tại B nên MB = MC = MS. Suy ra M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Suy ra tam giác SAB vuông cân tại A, do đó SA = AB = a., SA  (ABC), MH // SA nên MH  (ABC). Suy ra MH là đường cao khối chóp M.ABC. Suy ra 3 M.ABC ABC 1 a V MH.S 3 12    Câu 5: §Æt zyxt   2 3 )(23 2 2   t zxyzxyzxyzxyt . Ta cã 30 222  zyxzxyzxy nªn 3393 2  tt v× .0t Khi ®ã . 5 2 3 2 t t A    XÐt hµm sè .33, 2 35 2 )( 2  t t t tf H M C B A S Website: dophuongthcsnt.violet.vn Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định Ta cã 0 55 )(' 2 3 2    t t t ttf , t 3;3 .       Suy ra )(tf ®ång biÕn trªn ]3,3[ . Do ®ã . 3 14 )3()(  ftf DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi .13  zyxt VËy GTLN cña A lµ 3 14 , ®¹t ®îc khi .1 zyx Câu 6a: 1. Gọi AH là đường cao của ABC , ta có 4 ( ; ) 5 AH d A   1 4 1 4 . . . 2 2 5 2 5 ABC S AH BC BC BC       . Gọi I ;R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn cần tìm, ta có : 1 1 2 R AI BC   . Phương trình tham số của đường thẳng (  ): x 1 4t y 1 3t             I (  )  I(-1+4t; 1 + 3t) AI = 1  16t 2 + (3t – 1) 2 = 1  t = 0 hoặc t = 9 5 + t = 0  I(-1; 1) Phương trình của đường tròn là: (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 1 + t = 9 5  I(- 1 25 ; 43 25 ). Phương trình của đường tròn là: (x + 1 25 ) 2 + (y – 43 25 ) 2 = 1 Câu 6a: 2. Đường thẳng  đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và có vtcp là u  = (2 ; -1 ; 1). Gọi n  = (a ; b ; c ) là vtpt của (P). .Vì ( )P  nên . 0n u     2a – b + c = 0  b = 2a + c n   =(a; 2a + c ; c ) Suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là: a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – 2 ) = 0  ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = 0 d(A ; (P)) = 1 3 2 2 2 1 3 (2 ) a a a c c        2 0a c   0a c   Chọn a = 1 , c = -1 Suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là x + y – z = 0 Câu 7 a: Cho khai triển   10 1 2x .   2 2 3 4x 4x  = 0 a + 1 a x + 2 a x 2 + .+ 14 a x 14 . Tìm giá trị của a 6 .   10 1 2x .   2 2 3 4x 4x  =   10 1 2x .   2 2 2 1 2x         = 4   10 1 2x + 4   12 1 2x +   14 1 2x Hệ số của x 6 trong khai triển 4   10 1 2x là 4.2 6 . 6 10 C Hệ số của x 6 trong khai triển 4   12 1 2x là 4.2 6 . 6 12 C Hệ số của x 6 trong khai triển 4   14 1 2x là 2 6 . 6 14 C Vậy a 6 = 4.2 6 . 6 10 C + 4.2 6 . 6 12 C + 2 6 . 6 14 C = 482496 Câu 6b: 1. Vì điểm A thuộc đường thẳng x + y + 3 = 0 và C thuộc đường thẳng x+ 2y + 3 = 0 nên A(a ; - a – 3) và C(- 2c – 3 ; c). I là trung điểm của AC 2 3 4 1 3 6 4 a c a a c c                      A(-1; -2); C(5 ;-4) Website: dophuongthcsnt.violet.vn Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định Đường thẳng BD đi qua điểm I(2 ; -3 ) và có vtcp là u  =(1;3) có ptts là x 2 t y 3 3t         B  BD  B(2+t ; -3 +3t) .Khi đó : AB  = (3 +t ;–1+3t); CB  = (- 3+t; 1+3t) . 0AB CB     t =  1. Vậy A(-1; -2); C(5 ;-4), B(3;0) và D(1;-6) hoặc A(-1; -2); C(5 ;-4), B(1;-6) và D(3;0) Câu 6b: 2. 1 d đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là :   1 1; 1;0u    ; 2 d đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là:   2 1; 2;2u    . Gọi n  là một vtpt của (P), vì (P) song song với 1 d và 2 d nên n  = [ 1 2 ;u u   ] = (-2 ; -2 ; -1)  (P): 2x + 2y + z + D = 0 ,d(A ; (P) = 2d( B;(P)) 7 2. 5D D    7 2(5 ) 7 2(5 ) D D D D            3 17 3 D D          Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 hoặc 2x + 2y + z - 17 3 = 0 Câu 7b: Giải hệ phương trình: 2 log ( 2 8) 6 (1) 8 2 .3 2.3 (2) x x y x y y x            . Điều kiện: y – 2x + 8 > 0 (1)  y – 2x + 8 =   6 2 2y x  Thay 2y x vào phương trình (2), ta được 2 3 8 2 .3 2.3 x x x x   8 18 2.27 x x x    8 18 2 27 27 x x                3 2 2 2 3 3 x x                Đặt: t = 2 3 x       (t > 0) Ta có phương trình     3 2 2 0 1 2 0t t t t t        0 1 0 x t y         Vậy nghiệm của hệ phương trình (0;0) . Website: dophuongthcsnt.violet.vn Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 14 NĂM 2 014 Thời gian làm bài 150 phút PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu. trình: 2 log ( 2 8) 6 8 2 .3 2.3 x x y x y y x            . ĐÁP ÁN ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 14 NĂM 2 014 Câu 1: Với m=1 ta có 3 2 2 3 1y x x    TXĐ: D=R Sự biến thiên: - Giới. 0 a + 1 a x + 2 a x 2 + .+ 14 a x 14 . Tìm giá trị của a 6 . B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I(2;-3). Biết