ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 23 NĂM 2014

Website: dophuongthcsnt.violet.vn Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 23 NĂM 2014 Thời gian làm bài 180 phút Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số : y = x 4 – 5x 2 + 4 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M Câu II: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 os6x +2cos4x- 3 os2x = sin2x + 3c c 2. Giải hệ phương trình:   2 2 4 2 2 2 x -y + x + y = y (x,y R) x - 4x y+3x =- y       Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân /4 2 0 ln(sin cos ) cos x x dx x    Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a, SA  (ABCD), 6SA a , H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tìm thể tích khối chóp H.SCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. Câu V: (1,0 điểm) Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =     cba 3 1     cab 3 1   abc  3 1 Câu VI (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(0, 2) và elip có phương trình 2 2 x +y =1 4 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cắt elip tại A, B sao cho 3MA -5MB=0    2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (0, 0, 5), điểm B (5, 0, 2) và mặt phẳng (P) có phương trình z = 2. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm B,  nằm trong mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  bằng 5. Câu VII (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn 2 52z i   , tìm số phức z mà 4 2z i  là nhỏ nhất. Website: dophuongthcsnt.violet.vn Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định ĐÁP ÁN ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 23 NĂM 2014 CÂU NỘI DUNG I-1 (1điểm) y = x 4 – 5x 2 + 4 + TXĐ: R +Giới hạn và tiệm cận: lim x y    + Sự biến thiên: y’ = 4x 3  10x = 0  x = 0 hoặc x = 5 2  Hàm số nghịch biến trên: (; 5 2  ) và (0; 5 2 ) Hàm số đồng biến trên: ( 5 2 ; + )và ( 5 2  ,0) Các điểm dực trị x CĐ = 0, y CĐ = 4; 5 2 x   CT1 , y CT1 = 9 4  ; 5 2 x  CT2 , y CT2 = 9 4  ; §å thÞ: 8 6 4 2 2 4 6 8 y 15 10 5 5 10 15 x O 4 x 0 0 - - 0 0 + + +∞ +∞ y’ ∞ +∞ y 4 Website: dophuongthcsnt.violet.vn Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định I-2 (1điểm) LÊy M(m ; m 4 – 5m 2 + 4)  (C) Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M : y = (4m 3 – 10m)(x – m) + m 4 – 5m 2 + 4 (d) Hoµnh ®é cña (d) & (C) lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh: x 4 – 5x 2 + 4 = (4m 3 – 10m)(x – m) + m 4 – 5m 2 + 4  (x – m) 2 (x 2 + 2mx + 3m 2 – 5) = 0 (1) CÇn t×m m ®Ó x 2 + 2mx + 3m 2 – 5 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c m §iÒu kiÖn lµ      056 025 2 2 m m C¸c ®iÓm M(m ;m 4 – 5m 2 + 4) (C) víi hoµnh ®é 10 10 30 ; \ 2 2 6 m                      II-1 (1 điểm) 2 os6x+2cos4x- 3 os2x = sin2x+ 3c c  4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2 3 cos 2 x os x=0 2cos5x =sinx+ 3 cos c x     cos 0 os5x=cos(x- ) 6 x c        2 24 2 36 3 x k k x k x                        II-2 (1 điểm) Hệ tương đương 2 2 2 2 (1 2 ) 0 (1) ( ) 3 (1 2 ) 0 (2)              x y x y x y x y Thay (1) vào (2) được   2 2 2 0 1 (1 2 ) 3 (1 2 ) 0 2 (1 2 )(2 ) 0 2 2 x x y x y x y y y y                   Với x = 0 suy ra y = 0 Với 1-2y = 0 thay vào (1) suy ra 2 1 2 x y     (Vô lí) Với y = 2 suy ra x = 1 hoặc x = 2 Hệ có 3 nghiệm (0,0), (1,2), (2,2) III (1 điểm) Đặt u = ln(sin cos )x x  du = cos sin sin cos x x dx x x   dv = 2 1 sin cos tan 1 cos cos x x dx v x x x      Ta có : I = /4 /4 0 0 cos sin (tan 1)ln(sin cos ) cos x x x x x dx x        = /4 0 3 2ln 2 ( ln cos ) ln 2 4 2 x x        Website: dophuongthcsnt.violet.vn Biờn son: Vit Phng - Nam Trc, Nam nh IV (1 im) Trong tam giỏc vuụng SAB cú 2 2 2 2 2 2 2 2 . 6 6 7 7 SA SH SB SH SA SA a SB SB SA AB a B.SCD S.BCD 6 6 V = V = V 7 7 6 6 = . 6. 7 7 HSDC BCD BCD SA S a S K l hỡnh chiu ca B trờn AD ta cú: BK.AD = AB.BD suy ra 2 . 3 1 3 . 2 2 4 BCD AB BD a a BK S BK BC AD , suy ra: 3 9 2 V 14 HSDC a Do AD//(SBC) nờn ( , ) ( , ) ( , ) AD SC AD SBC A SBC d d d Dng hỡnh bỡnh hnh ADBE. Do AB BD nờn AB DE t ( , )A SBC d = h ta cú 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 6 3 6h SA AB AE SA AB BD a a a a Suy ra ( , )AD SC d = h = 6 3 a V (1im) ặt x = c z b y a 1 , 1 , 1 . Do 11 xyzabc Khi đó: xy z zx y zy x A 111111 333 3 3 3 2 2 2 x yz y xz z xy x y z y z z x x y y z z x x y (*) p dụng bất đẳng thức Trung bình cộng- trung bình nhân cho các số dơng ta có: 2 4 x y z x y z , 2 4 y z x y z x , 2 4 z x y z x y . Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có : 2 2 2 2 x y z x y z y z z x x y Dấu = xảy ra khi x = y = z. A= 2 3 2 3 2 3 222 xyz zyx yx z xz y zy x Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 3 2 t khi a = b = c = 1 A B C S E H K Website: dophuongthcsnt.violet.vn Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định VI- 1 (1 điểm) Đường thẳng d qua M(0,2) có phương trình 2 2 ( 0) 2 x mt m n y nt         Để d cắt elip ở 2 điểm phân biệt điều kiện là phương trình   2 2 2 2 2 2 2 1 4 3 0 4 4 m t m nt n t nt                     có 2 nghiệm phân biệt Điều kiện là: 2 2 2 2 0 4 3 0 4 m n m n                    Xét A   1 1 , 2mt nt , B   2 2 , 2mt nt ,     1 1 2 2 , , ,MA mt nt MB mt nt   1 2 5 0 3 5MA MB t t      Theo định lí Vi- et có 1 2 2 2 1 2 2 2 4 4 3 . 4 n t t m n t t m n                          Suy ra 2 2 m n Cho m = 1 suy ra n = 1 hoặc n = - 1 Phương trình d là 2 x t y t           hoặc 2 x t y t           VI-2 (1 điểm) Gọi H là hình chiếu của A trên  thì H thuộc (P) và mặt cầu tâm A bán kính 5 nên 2 2 2 2 2 2 2 ( 5) 25 16 (1) z z x y z x y                            Gọi A’ là hình chiếu của A trên  thì A’(0, 0, 2). Ta có: ( 5, , 0) ' ( , , 0)BH x y A H x y    nên có 2 2 . ' 0 5 0 (2)HB HA x x y       Từ (1), (2) tìm được 16 5 12 5 x y                hoặc 16 5 12 5 x y                 Với H ( 16 5 , 12 5 , 2) suy ra 5 3 : 4 2 x t y t z                 Với H ( 16 5 , - 12 5 , 2) suy ra 5 3 : 4 2 x t y t z                 Website: dophuongthcsnt.violet.vn Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định VII. (1 điểm) Gọi z = x + iy khi đó M(x,y) biểu diễn z 2 2 2 52 ( 2) ( 1) 52z i x y        M nằm trên đường tròn (C) tâm I(2,1) bán kính R = 52 A(4, -2) biểu diễn 4 – 2i. Ta có AM = 4 2z i  Ta cần tìm M thuộc (C ) để AM nhỏ nhất AI có phương trình 4 2 2 3 x t y t             Thay vào phương trình (C ): 2 2 3 4( 1) 9( 1) 52 1 t t t t                t = - 1 suy ra M 1 (6, -5) và AM = 13 ; t = 3 suy ra M 2 (-2, 7) và AM = 3 13 Vậy M(6, -5) là điểm cần tìm. . Website: dophuongthcsnt.violet.vn Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 23 NĂM 2014 Thời gian làm bài 180 phút Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số : y = x 4 – 5x 2 . dophuongthcsnt.violet.vn Biên soạn: Đỗ Việt Phương - Nam Trực, Nam Định ĐÁP ÁN ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 23 NĂM 2014 CÂU NỘI DUNG I-1 (1điểm) y = x 4 – 5x 2 + 4 + TXĐ: R +Giới hạn và tiệm. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a, SA  (ABCD), 6SA a , H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tìm thể tích khối chóp H.SCD