KỲ THI THỬ TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: Toán (đề 36) Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi được soạn theo cấu trúc mới nhất 2015!(Kèm đáp án chi tiết tại)! https://www.facebook.com/profile.php?id=100005223169289 Câu I (2 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x 3 – 3x 2 + 2 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2 2 2 1 m x x x Câu II (1 điểm) Giải phương trình: 5 2 2 os sin 1 12 c x x Câu III (1 điểm) Tính tích phân: 1 2 3 2 0 4 ln 4 x I x dx x Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).Hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc bằng 0 60 .Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a . Câu V (1 điểm) ) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 1 3 16 36 S x y z Câu VI (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh BC,phương trình đường thẳng DM: x y 2 0 và C 3; 3 .Biết đỉnh A thuộc đường thẳng d : 3x y 2 0 ,xác định toạ độ các đỉnh A,B,D. Câu VII (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P : x y z 1 0 và hai điểm A 1; 3; 0 , B 5; 1; 2 . Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất. Câu VIII (1 điểm) Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức : 0 1 2 3 n n n n n n 1 1 1 1 1023 C C C C C 2 3 4 n 1 10 Câu IX (1 điểm) Giải hệ phương trình: 2 8 2 2 2 2 log 3log ( 2) 1 3 x y x y x y x y CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG ! Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì! - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Hướng dẫn Câu I: 1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 3 2 y x x . T ập xác định: Hàm số có tập xác định D . Sự biến thiên: 2 3 6 y' x x. Ta có 0 0 2 x y' x , y 0 x 0 x 2 h/s đồng biến trên các khoảng ;0 & 2; , y 0 0 x 2 h/s nghịch biến trên khoảng 0;2 0 2 2 2 CD CT y y ; y y . Giới hạn 3 3 x x 3 2 lim y lim x 1 x x Bảng biến thiên: x 0 2 y' 0 0 y 2 2 Đồ thị: f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y Câu 1: 2, Biện luận số nghiệm của phương trình 2 m x 2x 2 x 1 theo tham số m. Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 m x x x x x m,x . x Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của 2 2 2 1 y x x x , C' và đường thẳng 1 y m,x . Vẽ 2 1 2 2 1 1 f x khi x y x x x f x khi x nờn C' bao gồm: + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng 1 x . + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng 1 x qua Ox. Đồ thị hàm số y = 2 ( 2 2) 1 x x x , với x 1 có dạng như hình vẽ sau hình f(x)=abs(x-1)(x^2-2*x-2) -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y Đồ thị đường thẳng y=m song song với trục ox Dựa vào đồ thị ta có: + 2 m : Phương trình vô nghiệm; + 2 m : Phương trình có 2 nghiệm kép + 2 0 m : Phương trình có 4 nghiệm phân biệt; + 0 m : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Câu II: Giải phương trình: 5 2 2 os sin 1 12 c x x 5 2 2 os sin 1 12 c x x 5 5 2 sin 2 sin 1 12 12 x 5 5 1 5 5 sin 2 sin sin sin 2 sin sin 12 12 4 12 4 12 2 2cos sin sin 3 12 12 x x 5 2 2 5 612 12 sin 2 sin 5 13 312 12 2 2 12 12 4 x kx k x k x k x k Câu III: : 1 2 3 2 0 4 ln 4 x I x dx x Đặt 2 4 2 4 3 16x 4 x du dx u ln x 16 4 x x 16 v dv x dx 4 Do đó 1 1 2 4 2 0 0 1 4 x 15 3 I x 16 ln 4 xdx ln 2 4 4 x 4 5 Câu IV Tính thể tích khối chóp S.ABC… Gọi H là trung điểm của AB SH AB SH ABC Kẻ AK SC SC AKB SC KB 0 SAC ; SBC KA; KB 60 0 0 AKB 60 AKB 120 Nếu 0 AKB 60 thì dễ thấy KAB đều KA KB AB AC (vô lí) Vậy 0 AKB 120 cân tại K 0 AKH 60 0 AH a KH tan 60 2 3 Trong SHC vuông tại H,đường cao KH có 2 2 2 1 1 1 KH HC HS thay a KH 2 3 và a 3 HC 2 vào ta được a 6 SH 8 2 3 S.ABC ABC 1 1 a 6 a 3 a 2 V .SH.dt . . 3 3 8 4 32 Câu V Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 1 3 16 36 S x y z Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 3 12 6 S x y z Trong hệ toạ độ OXY xét 3 véc tơ a 2x; 2 , b 3y;4 ,c z;6 , a b c 2x 3y z;2 12 6 40;20 2 2 2 2 2 2 a 2x 2 , b 3y 12 , c z 6 , a b c 20 5 Sử dụng bất đẳng thức về độ dài véc tơ : S= a b c a b c S 20 5 .Đẳng thức xẩy ra khi các véc tơ a, b,c cùng hướng xét hệ điều kiện : 2x 3y z 2x 3y z 2x 3y z 40 2 2 12 6 2 12 6 20 20 x 2, y 8, z 12 Với : x 2, y 8, z 12 thì S 20 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 20 5 đạt được khi : x 2, y 8, z 12 Câu VI Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M….Tìm toạ độ A,B,D. Gọi A t; 3t 2 .Ta có khoảng cách: 4t 4 2.4 d A,DM 2d C,DM t 3 t 1 2 2 hay A 3; 7 A 1;5 .Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM nên chỉ có A 1;5 thoả mãn. Gọi D m;m 2 DM thì AD m 1;m 7 ,CD m 3;m 1 Do ABCD là hình vuông 2 2 2 2 m 5 m 1 DA.DC 0 m 1 m 7 m 3 m 1 DA DC m 5 Hay D 5;3 AB DC 2; 6 B 3; 1 . Kết luận A 1;5 , B 3; 1 , D 5;3 Câu VII Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P : x y z 1 0 ……. Đặt vt của (P) là: f x; y;z x y z 1 ta có A A A B B B f x ;y ;z f x ;y ;z 0 A,B nằm về hai phía so với (P).Gọi ' B đối xứng với B qua (P) ' B 1; 3;4 . ' ' MA MB MA MB AB Đẳng thức xẩy ra khi ' M, A, B thẳng hàng ' M P AB .Mặt khác phương trình ' x 1 t AB : y 3 z 2t toạ độ M là nghiệm hệ pt: x 1 t t 3 y 3 x 2 M 2; 3;6 z 2t y 3 x y z 1 0 z 6 Câu VIII 0 1 2 3 n n n n n n 1 1 1 1 1023 C C C C C 2 3 4 n 1 10 Xét khai triển: n 0 1 2 2 n n n n n n 1 1 n 0 1 2 2 n n n n n n 0 0 1 x C C x C x C x 1 x dx C C x C x C x dx 1 1 n 1 0 1 2 2 3 n n 1 n n n n 0 0 1 x 1 1 1 C x C x C x C x n 1 2 3 n 1 n 1 0 1 2 3 n n n n n n 2 1 1 1 1 1 1023 C C C C C n 1 2 3 4 n 1 n 1 n 1 n 1 10 2 1 1023 2 1024 2 n 1 10 n 9 vậy n 9 Câu IX Giải hệ phương trình: 2 8 2 2 2 2 log 3log ( 2) 1 3 x y x y x y x y . Điều kiện: x+y>0, x-y 0 2 8 2 2 2 2 2 2 2 2 log 3log (2 ) 2 1 3 1 3 x y x y x y x y x y x y x y x y Đặt: u x y v x y ta có hệ: 2 2 2 2 2 ( ) 2 4 2 2 3 3 2 2 u v u v u v uv u v u v uv uv 2 2 4 (1) ( ) 2 2 3 (2) 2 u v uv u v uv uv . Thế (1) vào (2) ta có: 2 8 9 3 8 9 (3 ) 0 uv uv uv uv uv uv uv . Kết hợp (1) ta có: 0 4, 0 4 uv u v u v (vì u>v). Từ đó ta có: x =2; y =2.(T/m) KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2). . KỲ THI THỬ TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: Toán (đề 36) Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi được soạn theo cấu trúc mới nhất. gì! - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Hướng dẫn Câu I: 1, Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 3 2 y x x . T ập xác định: Hàm số có tập xác định. trình 2 m x 2x 2 x 1 theo tham số m. Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 m x x x x x m,x . x Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của 2 2 2 1 y x x