K THI TH TUYN SINH QUC GIA NM 2015 Mụn: Toỏn ( 13) Thi gian lm bi: 180 phỳt (Khụng k thi gian giao ) thi c son theo cu trỳc mi nht 2015!(Kốm ỏp ỏn chi tit ti)! https://www.facebook.com/profile.php?id=100005223169289 Cõu I (2 im ) Cho hm s y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 cú th l (C m ); ( m l tham s) 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 3. 2. Xỏc nh m (C m ) ct ng thng: y = 1 ti ba im phõn bit C(0;1), D, E sao cho cỏc tip tuyn ca (C m ) ti D v E vuụng gúc vi nhau. Cõu II (1 im) Tìm ) ; 0 ( x thoả mãn phơng trình: cotx 1 = xx x x 2sin 2 1 sin tan 1 2cos 2 . Cõu III (1 im) Tớnh tớch phõn: 2 4 0 ( sin 2 ) cos 2 x x xdx . Cõu IV (1 im) Trờn cnh AD ca hỡnh vuụng ABCD cú di l a, ly im M sao cho AM = x (0 < x a). Trờn ng thng vuụng gúc vi mt phng (ABCD) ti A, ly im S sao cho SA = 2a. Tớnh khong cỏch t im M n mt phng (SAC). Kẻ MH vuông góc với AC tại H . Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất. Cõu V (1 im) )Cho các số thực dơng a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1. Chng minh rng : 2 2 2 2. a b b c c a b c c a a b Cõu VI (1 im) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng 3 2 và trọng tâm thuộc đờng thẳng : 3x y 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C. Cõu VII (1 im) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4) và đờng thẳng : 1 2 1 1 2 x y z .Tìm toạ độ điểm M trên sao cho: 2 2 28 MA MB Cõu VIII (1 im) Giải bất phơng trình: 32 4 )32()32( 1212 22 xxxx Cõu IX (1 im) Gii h phng trỡnh: 3 3 log log 2 2 2 4 4 4 4 2 ( ) log ( ) 1 log 2 log ( 3 ) xy xy x y x x y CHC CC EM THNH CễNG ! Ghi chỳ: - Thớ sinh khụng c s dng bt c ti liu gỡ! - Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm! Hướng dẫn C©u ý Néi Dung §iĨm I 2 1 Kh¶o s¸t hµm sè (1 ®iĨm) 1 y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 (C m ) 1. m = 3 : y = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 (C 3 ) + TXĐ: D = R + Giới hạn: lim , lim x x y y 0,25 + y’ = 3x 2 + 6x + 3 = 3(x 2 + 2x + 1) = 3(x + 1) 2 0; x hµm sè ®ång biÕn trªn R 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 + y” = 6x + 6 = 6(x + 1) y” = 0 x = –1 tâm đối xứng U(-1;0) * Đồ thò (C 3 ): Qua A(-2 ;-1) ; U(-1 ;0) ; A’(0 ;1) 0,25 2 1 Phương trình hoành độ giao điểm của (C m ) và đường thẳng y = 1 là: x 3 + 3x 2 + mx + 1 = 1 x(x 2 + 3x + m) = 0 2 x 0 x 3x m 0 (2) 0,25 * (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0;1), D, E phân biệt: Phương trình (2) có 2 nghiệm x D , x E 0. 2 m 0 9 4m 0 4 m 0 3 0 m 0 9 (*) 0,25 Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là: k D =y’(x D )= 2 D D D 3x 6x m (3x 2m); k E =y’(x E )= 2 E E E 3x 6x m (3x 2m). Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: k D k E = –1 0,25 (3x D + 2m)(3x E + 2m) =-1 9x D x E +6m(x D + x E ) + 4m 2 = –1 9m + 6m(–3) + 4m 2 = –1 (vì x D + x E = –3; x D x E = m theo đònh lý Vi-ét). 4m 2 – 9m + 1 = 0 9 65 8 9 65 8 m m So s¸nhĐk (*): m = 1 9 65 8 0,25 Câu II 1 ®K: 1tan 02sin 0cossin 02sin x x xx x PT xxx x x xx x xx cossinsin sin cos cos.2cos sin sincos 2 xxxxxx x xx cossinsincossincos sin sincos 22 0,25 ) 2 sin 1 ( sin sin cos x x x x 0)1sincos)(sinsin(cos 2 xxxxx 0,25 0 ) 3 2 cos 2 )(sin sin (cos x x x x (cos )( 2sin(2 ) 3) 0 4 x sinx x cos 0 2 sin(2 ) 3( ) 4 x sinx x voly 0,25 0 sin cos x x tanx = 1 )( 4 Zkkx (tm®k) Do 4 0;0 xkx 0,25 III I = 4 4 4 2 2 1 2 0 0 0 ( sin 2 ) 2 2 sin 2 2 x x cos xdx xcos xdx xcos xdx I I 2 1 TÝnh I1 ®Æt 4 1 0 1 sin 2 sin2 4 1 2 2 2 sin2 0 2 du dx u x x I x xdx v cos xdx v x 1 1 2 4 8 4 8 4 0 cos x 1 TÝnh I2 4 2 3 2 0 1 1 1 4 sin 2 (sin2 ) sin 2 2 6 6 0 I xd x x 0,25 VËy I= 1 1 1 8 4 6 8 12 O,5 Câu IV Do ( ) ( ) ( ) ( ) SA ABCD SAC ABCD SA SAC Lai cã ( ) ( ) ( ) ( , ) .sin 45 2 o MH AC SAC ABCD x MH SAC d M SAC MH AM 0,25 Ta cã 0 . 45 2 2 2 1 1 . ( 2 ) 2 2 2 2 1 1 . 2 ( 2 ) 3 6 2 2 MHC SMCH MCH x x AH AM cos HC AC AH a x x S MH MC a x x V SA S a a 1 Tõ biÓu thøc trªn ta cã: 3 2 2 1 2 2 3 2 6 2 2 2 SMCH x x a a V a x x a x a M trïng víi D 0,25 Câu V 1 .Ta cã :VT = 2 2 2 ( ) ( ) a b c b c a A B b c c a a b b c c a a b 0,25 3 3 1 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 9 3 ( )( )( )3 2 2 3 2 A a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a A 0,25 2 2 2 2 2 1 ( ) ( )( ) 1 1 .2 2 a b c a b c a b b c c a a b b c c a B B 0,25 0,25 0,25 A M D S H B C Từ đó tacó VT 3 1 2 2 2 VP Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3 0,25 VI 2 1 Ta có: AB = 2 , trung điểm M ( 5 5 ; 2 2 ), pt (AB): x y 5 = 0 0,25 S ABC = 1 2 d(C, AB).AB = 3 2 d(C, AB)= 3 2 Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= 1 2 0,25 d(G, AB)= (3 8) 5 2 t t = 1 2 t = 1 hoặc t = 2 G(1; - 5) hoặc G(2; - 2) 0,25 Mà 3 CM GM C = (-2; -10) hoặc C = (1; -1) 0,25 Cõu VII 1 1 : 2 (1 ; 2 ; 2 ) 2 x t ptts y t M t t t z t 0,5 Ta có: 2 2 2 28 12 48 48 0 2 MA MB t t t 0,25 Từ đó suy ra : M (-1 ;0 ;4) 0,25 VIII 1 Bpt 43232 22 22 xxxx 0,25 )0(32 2 2 tt xx BPTTT : 4 1 t t 2 4 1 0 t t 3232 t (tm) 0,25 Khi đó : 323232 2 2 xx 121 2 xx 0,25 2121012 2 xxx 0,25 Câu IX Vì MH d và d có một vectơ chỉ phương là u = (2 ; 1 ; 1), nên : 2.(2t – 1) + 1.( 2 + t) + ( 1).(t) = 0 t = 2 3 . Vì thế, MH = 1 4 2 ; ; 3 3 3 3 (1; 4; 2) MH u MH 0,25 Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là: x 2 y 1 z 1 4 2 0,25 Theo trªn cã 7 1 2 ( ; ; ) 3 3 3 H mµ H lµ trung ®iÓm cña MM’ nªn to¹ ®é M’ 8 5 4 ( ; ; ) 3 3 3 0,25 ĐK: x>0 , y>0 (1) 3 3 2log log 2 2 2 0 xy xy 0,5 log 3 xy = 1 xy = 3y= 3 x (2) log 4 (4x 2 +4y 2 ) = log 4 (2x 2 +6xy) x 2 + 2y 2 = 9 0,25 Kết hợp (1), (2) ta được nghiệm của hệ: ( 3 ; 3 ) hoặc ( 6 ; 6 2 ) 0,25 . K THI TH TUYN SINH QUC GIA NM 2015 Mụn: Toỏn ( 13) Thi gian lm bi: 180 phỳt (Khụng k thi gian giao ) thi c son theo cu trỳc mi nht 2015!(Kốm ỏp. I (2 im ) Cho hm s y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 cú th l (C m ); ( m l tham s) 1. Kho sỏt s bin thi n v v th hm s khi m = 3. 2. Xỏc nh m (C m ) ct ng thng: y = 1 ti ba im phõn bit C(0;1),. góc với AC tại H . Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất. Cõu V (1 im) )Cho các số thực dơng a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1. Chng minh rng : 2 2 2 2. a b b c c a b c