Người ta chọn ra 4 người trong chi đoàn đó để lập một đội thanh niên tình nguyện.. Tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất 1 nữ.. Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc
Trang 1SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 LẦN 1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm).Cho hàm số 1 3 2 ( 2 )
3
y= x -mx + m -m+ x + (1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số (1) khi m = 2
b) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 1
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình ( ) 2 ( )
log x-1 +log 2x - = 1 2
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân
3
2
2
2 1
5 4
x
+
=
- +
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( ) 2
2 3 z (4+ i + +i z) = - + (1 3 ) i Tìm phần thực và phần ảo của z . b) Một chi đoàn có 15 đoàn viên trong đó có 7 nam và 8 nữ. Người ta chọn ra 4 người trong chi đoàn đó để
lập một đội thanh niên tình nguyện. Tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất 1 nữ.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 ; BAD = ∙ 120 0 và
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng ( SBC và ( ) ABCD )
bằng 60 Tính theo a thể tích của khối chóp 0 S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC .
Câu 6 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 P x- -y 3z + = 1 0 và điểm
( 3; 5; 2 )
I - - Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) P Tìm tọa độ tiếp điểm.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( ) ( ) ( 2 ) 2
C x- + y - = và đường thẳng ( )D :x + + = Từ điểm A thuộc y 1 0 ( ) D kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với ( ) C tại B
và C Tìm tọa độ điểm A biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 8
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ( )
ï
í
ï
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn c= min{ a b c , , } . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Trang 2SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 LẦN 1
Môn: TOÁN; Khối: A+B (Đáp án – thang điểm gồm 01 trang)
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
1
(2,0 điểm) a.(1,0 điểm) 1 3 2 ( 2 )
3
y= x -mx + m -m+ x + (1) Với m = 2 , hàm số trở thành: 1 3 2
3
y= x - x + x +
♥ Tập xác định: D = ¡
♥ Sự biến thiên:
ￚ Chiều biến thiên: 2
y =x - x + ; 'y =0Ûx = hoặc 1 x = 3 .
0.25
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 1; 3 ; + Đồng biến trên các khoảng ( -¥ ;1 ) và ( 3; +¥ )
ￚ Cực trị:
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = ; y 3 CT =y (3) 1 = ; + Hàm số đạt cực đại tại x = ; y 1 CĐ 7
(1)
3
y
ￚ Giới hạn: lim ; lim
®-¥ = -¥ ®+¥ = +¥
0.25
b.(1,0 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 1
· Tập xác định: D = ¡
y =x - mx+m -m +
0.25
♥ Điều kiện cần:
Trang 3Û m2 -3m + = Û 2 0 1
2
m
m
é =
ê
ê =
ë
♥ Điều kiện đủ:
Với m = , ta có: 1 y'=x2 -2x + 1 , 'y = Û = 0 x 1
Bảng biến thiên
'
y
Từ BBT ta suy ra m = không thỏa. 1
0.25
Với m = 2 , ta có: 2
'= -4 + 3
3
é =
ê
= Û
ê =
ë
x
y
x Bảng biến thiên
'
CT
Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1
♥ Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1 khi m = 2 .
0.25
2
(1,0 điểm) Giải phương trình ( ) 2 ( )
log x-1 +log 2x - = 1 2 (1)
♥ Điều kiện:
1
1 0
1
2
x
x
ì ¹
ï
ï - > ï >
î
0.25
♥ Khi đó: ( ) 1 Ûlog3 x- +1 log 23 ( x - = 1) 1
3
log éx 1 2x 1ù 1
0.25
· Với 1 1
2 < < thì x ( ) ( )( ) 2
2 Û -1 x 2x- = Û1 3 2x +3x + = : pt vô nghiệm 4 0 0.25
2
Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm phương trình đã cho là x = 2
0.25
3
(1,0 điểm) Tính tích phân
3
2
2
2 1
5 4
x
+
=
- +
♥ Ta có:
( )( )
2
0.25
♥ Do đó:
3
3ln x 4 ln x 1
4 ln 2
4 a.(0,5 điểm). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( ) 2
2 3 z (4+ i + +i z) = - + (1 3 ) i Tìm phần
Trang 4(1,0 điểm) thực và phần ảo của z
♥ Đặt z= + , a bi ( a b Î ¡ , ) ta có:
2+3 zi + +(4 i z) = - +(1 3 )i Û 2+3i a+bi + +(4 i a) -bi = - + (1 3 ) i
( 6a 2b) ( 4a 2b i) 8 6 i
0.25
♥ Vậy số phức z cần tìm có phần thực bằng 7 và phần ảo bằng 17
0.25
b.(0,5 điểm) Một chi đoàn có 15 đoàn viên trong đó có 7 nam và 8 nữ. Người ta chọn ra 4
người trong chi đoàn đó để lập một đội thanh niên tình nguyện. Tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất 1 nữ.
♥ Số phần tử của không gian mẫu là W =C15 4 = 1365
Gọi A là biến cố "trong 4 người được chọn có ít nhất 1 nữ”
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là WA =C154 -C4 7 = 1330
0.25
♥ Vậy xác suất cần tính là (A) = W = =
W
P
1365 39 .
0.25
5
(1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 ; ∙
0
120 BAD = và
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng
(SBC và ( ) ABCD bằng ) 60 Tính theo a thể tích của khối chóp 0 S ABCD và khoảng
cách giữa hai đường thẳng BD và SC
· Do đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 ; ∙ 0
120 BAD = nên các tam giác
, ABC ADC là các tam giác đều cạnh a 3 .
2
3 3 3 3
· Gọi H là trung điểm của BC Suy ra AH ^ BC ÞSH^ BC
Do đó éë∙ ( SBC) ( ; ABCD) ù =û ( ∙ AH SH; ) =SHA ∙ = 60 0 .
0.25
· Xét tam giác SAH ta có: 0 ( ) 3 3 3 3 3
.tan 60
SA AH
· Vậy 1 1 3 2 3 3. 3 9 3
0.25
· Gọi O=ACÇ BD Vì DB^ AC , BD^ SC nên BD^ ( SAC ) tại O
· Kẻ OI ^ SC Þ OI là đường vuông góc chung của BD và SC .
0.25
Trang 5· Sử dụng hai tam giác đồng dạng ICO và ACS hoặc đường cao của tam giác
SACsuy ra được 3 39
26
= a
26
= a
0.25
6
(1,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 P x- -y 3z + = 1 0 và điểm
( 3; 5; 2 )
I - - Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) P Tìm tọa độ
tiếp điểm
· Bán kính mặt cầu ( )
2.3 ( 5) 3.( 2) 1 18
;( )
14
0.25
· Phương trình mặt cầu: ( ) ( 2 ) ( 2 ) 2 162
7
· Tiếp điểm chính là hình chiếu vuông góc H của I xuống mặt phẳng ( ) P đã cho
· Đường thẳng IH qua I và nhận PVT n =r ( 2; 1; 3 - - ) của mặt phẳng ( ) P làm
VTCP có phương trình là
3 2
5
2 3
ì = +
ï
ï
ï = - -
í
ï = - -
ï
( t Î ¡ )
0.25
· Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình
3 2
5
2 3
ì = +
ï
ï
ï = - -
ï
ï = - -
ï
ï - - + =
ï
· Hệ này có nghiệm 9, 3, 26, 13
t= - x= y= - z =
· Do đó tiếp điểm H có tọa độ là 3; 26 13 ;
ç
0.25
7
(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( ) ( ) ( 2 ) 2
và đường thẳng ( )D :x + + = Từ điểm A thuộc y 1 0 ( ) D kẻ hai đường thẳng lần
lượt tiếp xúc với ( ) C tại B và C Tìm tọa độ điểm A biết rằng diện tích tam giác
ABC bằng 8
· ( ) C có tâm I( ) 2; 2 , R = 5 , AÎ D Þ( ) A a( ;- - a 1 )
· Từ tính chất tiếp tuyến Þ IA^ BC tại H là trung điểm của BC
Giả sử IA=m IH , = n ( m> > n 0 )
2
ABC
SD = BC AH =BH AH= m-n -n = (1)
0.25
n
Trang 6Thay (2) vào (1) ta có: 5 2 6 4 2
n
ç ÷
ç
( 2 )( 4 2 )
Suy ra n=1,m = 5
0.25
A
a
é -
é = ê
ê
0.25
8
(1,0 điểm) Giải hệ phương trình ( )
4 1 2 1 6 (2)
ï
í
ï
.
♥ Điều kiện: x ³ 0
Ta thấy x = không thỏa mãn phương trình (2) 0
Với x > 0 thì ( ) ( 2 )
2
ç
0.25
♥ Xét hàm số f t( )=t( 1+ t 2 + , với t Î ¡ 1 )
Ta có
2
2
2 1
1
t
f t
t
+
+
, với mọi t Î ¡ Suy ra f t đồng biến trên ¡ ( )
Do đó: ( ) 3 f( ) 2y f 1 2 y 1
æ ö
è ø
0.25
♥ Thay 2y 1
x
= vào phương trình (2) ta được phương trình:
( )
Xét hàm số ( ) 3 ( 2 )
g x =x + +x x + x - với x Î( 0; +¥ )
x
+
= + + > " Î +¥ Suy ra g x ( ) đồng biến trên ( 0; +¥ )
Do đó: ( ) 4 Ûg x( ) =g( ) 1 Û = x 1
0.25
2
x= Þ = y
♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) x y là ; 1; 1
2
æ ö
ç ÷
ç
è ø
0.25
9
(1,0 điểm)
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn c= min{ a b c , , } . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
♥ Ta có:
2
2
+ £ + £ + + =ç ç + ÷ ÷
Tương tự ta có
2
2
c
b c æç b ö + £ç ç è + ÷ ÷ ø
0.25
♥ Do đó ta có theo bất đẳng thức Côsi thì
Vậy nên ta có
0.25
Trang 7( ) 2
8
a b c
+ +
♥ Đặt t= a+ + với b c t > 0
Xét hàm số
4
8
( )
t
= + trên (0;+ ¥ Ta có: )
5
-
Bảng biến thiên
t 0 2 +¥
( )
'
( )
f t
5
2
0.25
♥ Dựa vào BBT suy ra
( ) ( ) ( ) 0;
5
2
f t f
2
P ³ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t= Û = = và 2 a b 2 c = 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5
2 , đạt được khi a= = và b 2 c = 0
0.25