SỞ GD & ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012 - 2013 (Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN - BT THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (5,0 điểm). 1. Cho hàm số 4 2 y x 2mx m 1= + − − , với m là tham số. Tìm các giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị. 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 f x x 4 x = − trên đoạn [ ] 1;1− . Câu II (5,0 điểm). 1. Giải bất phương trình ( ) 2 3x 7x 4 x 1 x− + ≥ − ∈¡ 2. Giải hệ phương trình ( ) 2 2 x y 6xy 8 x,y x y xy 1 + − = − ∈ + + = − ¡ Câu III (5,0 điểm). 1. Tìm hệ số của 10 x trong khai triển nhị thức Niutơn của n 3 1 x , x 0 x + ≠ ÷ . Biết 0 1 n 1 n n n n n C C C C 1024 − + + + + = (với * n ∈¥ , k n C là số các tổ hợp chập k của n ) 2. Giải phương trình : ( ) ( ) 2cosx 1 2sin x cosx sin 2x sin x+ + = + . Câu IV (5,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA , đáy là tam giác vuông tại B . Gọi B' là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng SB . Qua điểm B' kẻ đường thẳng song song với đường thẳng BC cắt SC tại C' . 1. Chứng minh rằng: SB vuông góc với mặt phẳng ( ) AB'C' . 2. Tính theo a thể tích khối chóp S.AB'C' , biết SA a, AB a 3= = và BC 4a= . - - Hết - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Đề thi dự bị SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ Môn: TOÁN - BT THPT (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Nội dung Điểm I. 1, (2,5đ) TXĐ: D = ¡ Ta có 3 y' 4x 4mx= + ( ) 3 2 y' 0 4x 4mx 0 x x m 0 = ⇔ + = ⇔ + = ( ) 2 x 0 x m 0 1 = ⇔ + = Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình ( ) 1 có hai nghiệm phân biệt khác 0 m 0 m 0 m 0 < ⇔ ⇔ < ≠ . Vậy giá trị cần tìm là: m 0< I. 2, (2,5đ) Hàm số ( ) 2 f x x 4 x= − liên tục trên đoạn [ ] 1;1− Ta có ( ) 2 2 2 2 2 x 4 2x f ' x 4 x 4 x 4 x − = − − = − − ( ) 2 2 2 4 2x f ' x 0 0 2 x 0 4 x − = ⇔ = ⇔ − = − ( ) ( ) x 2 1; 1 x 2 1;1 = ∉ − ⇔ = − ∉ − Ta có ( ) ( ) f 1 3, f 1 3− = − = Vậy [ ] ( ) ( ) 1;1 Minf x f 1 3 − = − = − , [ ] ( ) ( ) 1;1 Maxf x f 1 3 − = = II. 1, (2,5đ) Bất phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x 1 0 1 3x 7x 4 0 x 1 0 2 3x 7x 4 x 1 − ≤ − + ≥ − > − + ≥ − Hệ BPT ( ) x 1 x 1 1 x 1 4 x 3 ≤ ≤ ⇔ ⇔ ≤ ≥ 2 Hệ BPT ( ) 2 x 1 2 2x 5x 3 0 > ⇔ − + ≥ x 1 3 x 1 x 2 3 x 2 > ≤ ⇔ ⇔ ≥ ≥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: ( ] 3 S ;1 ; 2 = −∞ ∪ + ∞ ÷ II. 2, (2,5đ) Hệ phương trình đã cho tương đương với ( ) 2 x y 8xy 8 x y xy 1 + − = − + + = − ( ) 2 x y 8xy 8 0 xy 1 (x y) + − + = ⇔ = − − + ( ) ( ) 2 x y 4 x y 8 x y 16 0 xy 3 xy 1 (x y) + = − + + + + = ⇔ ⇔ = = − − + x 1 y 3 x 3 y 1 = − = − ⇔ = − = − Vậy nghiệm ( ) x; y của hệ phương trình đã cho là: ( ) ( ) 1; 3 , 3; 1− − − − III. 1, (2,5đ) Ta có ( ) n 0 1 n 1 n n n n n 1 1 C C C C − + = + + + + 0 1 n 1 n n n n n n C C C C 2 − ⇔ + + + + = Từ giả thiết ta suy ra n n 10 2 1024 2 2 n 10= ⇔ = ⇔ = Ta có số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niutơn của 10 3 1 x x + ÷ là ( ) 10 k k 3k k 4k 10 10 10 C .x .x C .x − − − = Nên 10 x ứng với 4k 10 10 k 5− = ⇔ = Vậy hệ số của 10 x là 5 10 C 252= 3 III. 2, (2,5đ) PT ( ) ( ) 2cosx 1 2sinx +cosx 2sin x cosx sinx⇔ + = + ( ) ( ) ( ) 2cosx 1 2sinx +cosx sin x 2cosx 1 0⇔ + − + = ( ) ( ) 2cosx 1 0 (1) 2cosx 1 sinx +cosx 0 sinx+cosx =0 (2) + = ⇔ + = ⇔ ( ) ( ) 1 2 PT 1 cosx = x k2 k 2 3 π ⇔ − ⇔ = ± + π ∈¢ ( ) ( ) PT 2 2 sin x + 0 x + k x = k k 4 4 4 π π π ⇔ = ⇔ = π ⇔ − + π ∈ ÷ ¢ Vậy nghiệm của phương trình là ( ) 2 x k2 , x k k 3 4 π π = ± + π = − + π ∈¢ IV. 1, (2,5đ) Ta có ( ) SA ABC SA BC (1)⊥ ⇒ ⊥ Mặt khác BC AB (2)⊥ Từ ( ) 1 và ( ) 2 suy ra ( ) BC SAB⊥ Do đó ( ) BC SB B'C' SB 3⊥ ⇒ ⊥ (vì B'C'// BC ) Theo giả thiết ta có SB AB' (4)⊥ Từ ( ) 3 và ( ) 4 suy ra ( ) SB AB'C'⊥ IV. 2, (2,5đ) Ta có 2 2 SB SA AB 2a= + = . Mặt khác 2 2 SA a SB'.SB SA SB' SB 2 = ⇒ = = Tam giác SAB' vuông tại B' , suy ra 2 2 a 3 AB' SA B'S 2 = − = Vì B'C'// BC nên suy ra B'C' SB' SB' B'C' BC. a BC SB SB = ⇒ = = Do ( ) ( ) BC SAB B'C' SAB B'C' AB'⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Thể tích của khối chóp S.AB'C' là 3 1 a 3 V SB'.AB'.B'C' 6 24 = = . Hết Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng. - Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm. 4 B’ B A C C’ S . AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2 012 - 2013 (Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN - BT THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (5,0 điểm). 1. Cho hàm số 4. 4a= . - - Hết - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Đề thi dự bị SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2 012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ Môn: TOÁN - BT THPT (Hướng dẫn. 4 2 y x 2mx m 1= + − − , với m là tham số. Tìm các giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị. 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 f x x 4 x = − trên đoạn [ ] 1;1− . Câu