ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 180 phút) Câu 1: (5 điểm) Cho hàm số y= x + 1−x m (Cm) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 2. Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt, mà 2 tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau. Câu 2: (3 điểm) 1. Giải phương trình sau: x - 2 2006 + x - 1 2006 = 1 2. Giải bất phương trình sau: x log 2 2 x - 2x log 2 x ≥ - log 2 2 x + 5 log 2 x - 6 Câu 3: (4 điểm): 1. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng ∀x∈[-2;4] - x 2 + 2x + 4 82 2 ++− xx + m ≥ 0 2. Tính ∫ dx x x ) 4 sin(2 2sin + Π Câu 4: (5 điểm). 1. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó? 2. Cho Parabol (P): y 2 = 8x. Tìm quỹ tích tất cả các điểm M sao cho từ M ta kẻ được hai tiếp tuyến tới (P) vuông góc với nhau. Câu 5: (3 điểm). Cho lăng trụ tam giác ABC. A 1 B 1 C 1 đứng có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB 1 và CC 1 , I là trọng tâm tam giác ABC. Đường thẳng d qua I cắt AB 1 và MN lần lượt tại P và Q. Tính độ dài đoạn PQ theo a. ______________Hết ___________ Hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 180 phút) Câu 1: (5.0 điểm). 1. m = 1 hàm số trở thành y = x + 1 1 −x 3đ TXĐ: D = R /{1}; y’ = 1 ' )x( 2 1 1 − − , y’ = 0 ⇔ = = 2 0 x x 0,5đ ⇒ y’ > 0 <=> x∈ (- ∞; 0) U (2; + ∞) y’ < 0 ⇔ x∈(0;1) U (1; 2) Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ∞; 0) và (2; + ∞) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (1; 2) 0,5đ ⇒ y cđ = y (0) = - 1 , y ct = y (2) = 3 0,5đ ± →1x lim y = ± →1x lim − + 1 1 x x = ± ∞ ⇒ Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ∞→x lim (y - x) = ∞→x lim −1 1 x = 0 ⇒ ĐT y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. ±∞→x lim y = ±∞→x lim − + 1 1 x x = ±∞ 0,5đ Bảng biến thiên: y’ x x x - ∞ -1 1 2 +∞ 0 - ∞ + ∞ 1 + ∞ 0 0 + - - + y Đồ thị: Đồ thị hàm số không cắt trục Ox, cắt trục Oy tại điểm (0; - 1) O 1 2 2. Bài toán ⇔ tìm m để: −= = − + 1)(').(' 0 1 21 xyxy x m x (1) ⇔ x 2 - x + m = 0 (3) có 2 N o pb x 1 , x 2 khác 1 ⇔ ≠+− >∆ 011 0 m ⇔ ≠ < 0 4/1 m m 0,5đ (2) ⇔ − − 2 1 )1( 1 x m − − )1( 1 2 x m = -1⇔ m = 1/5 (Theo ĐL Viet PT (3)) 0,75đ KL: m = 5 1 là giá trị cần tìm. 0,25đ Câu 2: (3 điểm) có 2 N 0 pb x 1 , x 2 khác 1 (1) 2,0 đ (2) 0,5đ 1 3 - 1 y x 0.5đ 0.5đ I 1. Giải phương trình: |x -1| 2006 + |x -2| 2006 = 1 1.5đ Nhận xét: x = 1 và x = 2 là hai nghiệm của phương trình 0.5đ + x > 2 => | x -1| > 1 => | x -1| 2006 > 1 => VT > 1 = VP => PTVN. + x < 1 => | x -1| > 1 => | x -2| 2006 > 1 => VT > 1 = VF => PTVN + 1 < x < 2 => 0 < | x -2| < 1 => VT < | x -2| + | x -1| = x - 1 + 2 - x = 1 = VF 0 < | x -1| < 1 => PTVN 0.75đ KL: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = 2 0.25đ 2. ĐK: x > 0 1.5đ BPT <=> (x + 1) log 2 2 x - (2x + 5) log 2 x + 6 > 0 <=> (log 2 x - 2) (log 2 x - 1 3 +x ) > 0 (*) 0.5đ TH1: ⇔>⇔ + > ≥⇔≥ ≤⇔ + −=≤ + −⇔ + ≤ 42 2 12 3 20 1 3 1 3 2 222 2 1 1 3 2 xxLog xlog x xlog x xlog (*):x x (Vì hàm số y = log 2 x - 1 3 +x đồng biến trên (0; + ∞)) => x ∈ [ ) +∞∪ ;; 42 2 1 0.5đ TH2: 2 < 1 1 +x <=> x < 2 1 : (*) <=> [ 4 2 ≤ ≥ x x => x ∈ (0; 2 1 ) TH3: 2 = 1 3 +x <=> x = 2 1 : (*) <=> (log 2 x - 2) 2 > 0, ∀ x > 0 => x = 1/2 t/m. Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: (0;2]∪[4;+∞) 0.5đ Câu 3: (4 điểm) 1. Xét f(x) = - x 2 + 2x + 8 với x ∈[-2;4] 2,0 đ Ta có: x 0 = 1∈[-2;4], f(1) = 9, f(-2) = 0, f(4) = 0 => Tập giá trị của f(x) trên [-2;4] là ([0;9] 1,0đ Đặt: t = 82 2 ++− xx , 0 < t < 3 => Bài toán <=> tìm m để t 2 + 4t + m - 8 > 0, ∀t ∈[0;3] 0.5đ Xét g(t) = t 2 + 4t + m - 8 trên đoạn [0;3] Ta có: t 0 = 2 ∉ [0;3], g(t) đồng biến trên đoạn [0;3], g(0) = m - 8, g(3) = m + 13. Suy ra g(t) > 0, ∀t ∈[0;3] <=> m - 8 > 0 <=> m > 8. 0.5đ 2. I = [ ] ∫∫ Π + −−= + −+ dx )xsin( )xcosx(sindx xcosxsin )xcosx(sin 4 2 11 2 2,0đ = - cosx + sinx + C 1 - ∫ Π + )xsin( dx 4 2 1 0.5đ J = ∫∫ Π + Π + = Π )x(Sin )xsin( )xsin( dx 4 4 4 2 dx 0.5đ = = Π ++ Π +− Π +− ∫ ))xcos())(xcos(( )xcos(d 4 1 4 1 4 2 1 4 1 4 2 1 C )xcos( )xcos( ln + + Π + − Π + 0.5đ Suy ra: I = - cosx + sinx - C )xcos( )xcos( ln + + Π + − Π + 1 4 1 4 22 1 0.5đ Câu 4: (5 điểm) 1. - Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được 3 6 A = 120 số tự nhiên có 3 2,5đ chữ số khác nhau. - Tính tổng các số lập được: 0.5đ Có 2 5 A số có chữ số 6 đứng ở hàng đơn vị Có 2 5 A số có chữ số 5 đứng ở hàng đơn vị Có 2 5 A số có chữ số 4 đứng ở hàng đơn vị Có 2 5 A số có chữ số 3 đứng ở hàng đơn vị Có 2 5 A số có chữ số 2 đứng ở hàng đơn vị Có 2 5 A số có chữ số 1 đứng ở hàng đơn vị => Tổng các chữ số hàng đơn vị là: 2 5 A (1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6) = 420 1,0đ Tương tự: Tổng các chữ số hàng chục là: 420 Tổng các chữ số hàng trăm là: 420 0.5đ Vậy tổng các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lập được từ các số đã cho là: 420 .100 + 420.10 + 420 = 46620 0.5đ 2. Gọi M (x 0 ; y 0 ), hai tiếp tuyến vuông góc với nhau của (P) qua M là d 1 và d 2 2,5đ. Giả sử PT d 1 là: A (x - x 0 ) + B (y - y 0 ) = 0 (A 2 +B 2 ≠ 0) <=> Ax + By - (Ax 0 + By 0 ) = 0 0.5đ => Phương trình d 2 là: Bx - Ay - (Bx 0 - Ay 0 ) = 0 0.5đ Theo giả thiết: d 1 , d 2 tiếp xúc với (P) nên ta có hệ phương trình 0.5đ 4B 2 = 2A (-Ax 0 - By 0 ) (1) 4A 2 = 2B (-Bx 0 - Ay 0 ) (2) Từ hệ phương trình suy ra A.B ≠ 0 0.5đ Từ (2) ta có: y 0 = AB AxB AB xBA 2 0 2 0 22 2 2 24 + = + thay vào (1) ta được x 0 = -2 0.5đ Vậy quỹ tích cần tìm là đường thẳng x = -2 0.5đ Câu 5: (3 điểm) P J B 1 C 1 A 1 0,25 đ Theo giả thiết lăng trụ có hai đáy là hai tam giác đều cạnh a, ba mặt bên là ba hình vuông cạnh a. 0.25đ - Dựng PQ: Kẻ qua I đường thẳng song song CB cắt AB tại F. Trong mặt phẳng (ABA 1 B 1 ), đường thẳng FM cắt đường thẳng AB 1 tại P. IF // BC // MN => Trong mặt phẳng (IFMN) đường thẳng IP cắt MN tại Q. Vậy P, Q là hai điểm cần xác định. 1,0đ - Tính PQ: Đường A 1 B 1 cắt PF tại J. Do M là điểm BB 1 nên BF = B 1 J. I là trọng tâm tam giác đều ABC nên BF = 2 1 AF = a/3. => B 1 J = 2 1 AF => 4PM = 3FP (vì M là trung điểm của FJ và J là trung điểm PF) => 4 PQ = 3 PI. 0.5đ - Mặt khác: FP = 4 MF = 4 3 132 22 a BFBM =+ FI = 3 1 BC = 3 a , MI = 32 7 22 a BIBM =+ M N Q C B I A F => Cos ∠ IFM = 13 1 2 222 − = −+ IM.IF. IMFMIF 0.5đ => IP 2 = IF 2 + FP 2 - 2IF.FP. cos ∠ IFM = 3 57 9 57 2 a IP a =⇔ => PQ = 4 3 PI = 4 57a . Vậy PQ = 4 57a 0.5đ (Thí sinh có thể làm bài này theo phương pháp toạ độ) ______________Hết ___________ . x - (2x + 5) log 2 x + 6 > 0 <=> (log 2 x - 2) (log 2 x - 1 3 +x ) > 0 (*) 0.5đ TH1: ⇔>⇔ + > ≥⇔≥ ≤⇔ + −=≤ + −⇔ + ≤ 42 2 12 3 20 1 3 1 3 2 222 2 1 1 3 2 xxLog xlog x xlog x xlog (*):x x (Vì. 3 6 A = 120 số tự nhiên có 3 2, 5đ chữ số khác nhau. - Tính tổng các số lập được: 0.5đ Có 2 5 A số có chữ số 6 đứng ở hàng đơn vị Có 2 5 A số có chữ số 5 đứng ở hàng đơn vị Có 2 5 A số có. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 180 phút) Câu 1: (5 điểm) Cho hàm số y= x + 1−x m (Cm) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 2. Tìm m để (Cm)