SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012 - 2013 (Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN - THPT BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I: (3,0 điểm) Cho hàm số ( ) 3 3 3 3 (1)y x m x m m= − − + + − Tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số (1) đến trục Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục Oy. Câu II: (6,0 điểm) 1. Giải phương trình − + + = − + 9 2x 4x 3 15 2 4 x 4x 1 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2 2 3 3 5 3( ) x y xy x y x y x y m + + − − = + − + = Câu III: (6,0 điểm) 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, 2SD a= , ( ) ( )SAB ABCD⊥ và góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, · 0 60 , BAD SB SD a= = = . Đặt SA x= .Xác định x để thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn nhất. Câu IV: (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B. Đường tròn tâm ( ) − I 1; 0 nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với cạnh AC tại ( ) − − D 1; 2 . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng AB có phương trình + − =4x 3y 6 0 Câu V: (2,5 điểm) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện : ≤xy 1 . Tìm giá nhỏ nhất của biểu thức : ( ) + + = + + + − ÷ + + + + 2 2 2 2 1 1 1 1 P x y x y 1 x 1 y xy y 1x - - Hết - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Đề thi dự bị SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ Môn: TOÁN THPT- BẢNG B (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Câu Nội dung Điểm I. (3,0đ) b) Tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số (1) đến trục Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục Oy 2 ' 3( ) 3y x m= − − , 1 ' 0 1 x m y x m = − = ⇔ = + Bảng xét dấu: x −∞ 1m − 1m + +∞ y’ + 0 - 0 + Hàm số đạt cực đại tại 1 x m= − , điểm cực đại 3 ( 1; 2 1)A m m m− − − Hàm số đạt cực tiểu tại 1 x m= + , điểm cực tiểu 3 ( 1; 2 5)B m m m+ − − Ta có 3 ( ;Ox) ( ;Oy) 2 1 1d A d B m m m= ⇔ − − = + 3 3 3 3 1 2 1 1 3 2 0 2 0 2 1 1 0 1 m m m m m m m m m m m m m m = − − − = + − − = = ⇔ ⇔ ⇔ = − − = − − − = = 3,0 II. 1, (3,0đ) Điều kiện : 1 x 4 4 − < < Phương trình đã cho tương đương với : ( ) ( ) 1 2 4 x 4x 1 2 15 2 4 x 4x 1 + − + + + = − + 1 2 15 2 4 x 4x 1 2 4 x 4x 1 ⇔ + − + + + = − + ( ) ( ) 4 x 4x 1 4 x 4x 1 4 x. 4 2 2 x 1 15 2 − + + − − + ⇔ + =+ + . Đặt : ( ) 4 x 4xt 7 t 32 1 1 4− + + < ≤= . Phương trình trở thành : 3 2 2 4t 15 t 15t2t 2t 26t 255 0 17 + − +⇔ − = − = ( t 5 , Do t 17; 34∈ ⇔ = . Thay trở lại ta có : ( ) ( ) x 0 4 x 4x 1 2 15 x 4 = − + = ⇔ = ( thỏa mãn điều kiện ). Nhận xét : Học sinh có thể đặt ( ) a 4 x , b 4x 1 a, b 0= − = + > và chuyển về 3,0 2 hệ phương trình II. 2, (3,0đ) Viết lại hệ đã cho thành 2 3 ( ) ( ) 5 ( ) 3 ( ) 3( ) x y xy x y x y xy x y x y m + − − + = + − + − + = Đặt ,u x y v xy= + = . Ta có hệ 2 2 2 3 3 2 3 2 5 5 5 3 3 3 ( 5) 3 2 3 12 u v u v u u v u u u uv u m u u u u u m u u u m − − = = − − = − − ⇔ ⇔ − − = − − − − = − + + = Do 2 4u v≥ nên 2 2 2 10 4( 5) 3 4 20 0 2 3 u u u u u u≥ − − ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Xét hàm số 3 2 ( ) 2 3 12f u u u u= − + + trên 10 2; 3 D = − Ta có 2 1 '( ) 6 6 12, '( ) 0 2 u f u u u f u u = − = − + + = ⇔ = 10 20 ( 2) 4, ( 1) 7, (2) 20, 3 3 f f f f − = − = − = = ÷ Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm trên D, tức là: min ( ) ax ( ) 7 20 D D f u m m f u m≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ 3,0 3 III. 1, (3,0đ) Ta có ( ) (Do (SAB) (ABCD)) AD SAAD AB AD SAB⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 2 2 2 2 2SA SD AD a a a= − = − = (SAD) và (SBC) có S chung và lần lượt chứa hai đường thẳng AD và BC nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua S và song song với AD Ta có / / SA AD SA d AD d ⊥ ⇒ ⊥ ( ) , / / BC SB BC AB BC SAB BC SB SB d BC d ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Suy ra góc giữa (SAD) và (SBC) là góc giữa SA và SB, Mặt khác tam giác SAB cân tại A nên góc ASB nhọn Vậy · 0 và AS 60AB SA a B= = = nên tam giác SAB đều Gọi H là hình chiếu của S lên AB. Suy ra ( ),SH ABCD⊥ do tam giác ABC đều nên 3 2 a SH = 3 2 1 1 3 3 . . . 3 3 2 6 SABCD ABCD a a V SH S a= = = 3,0 4 III. 2, (3,0đ) Gọi O là giao điểm của AC và BD, H là hình chiếu của S lên AC Ta có ( ) BD AC BD SAC BD SH BD SO ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Do đó ( )SH ABCD⊥ Đặt SA = x, gọi M là trung điểm SA. Xét tam giác SAO ta có 2 2 2 2 3 3 2 2 a a x AO SO OM SA OM AO AM − = = ⇒ ⊥ ⇒ = − = 2 2 3 . . 3 x a x SH AO OM SA SH a − = ⇒ = ¼ 2 3 . .sin 2 ABCD a S AB AD DAB= = , 2 2 1 3 . 3 6 SABCD ABCD ax a x V SH S − = = Áp dụng BĐT Cô si ta có 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 x a x a x a x + − − ≤ = Suy ra 2 2 3 3 6 4 SABCD ax a x a V − = ≤ , Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 6 2 a x = 3,0 IV. (2,5đ) Ta có : Đường thẳng AC đi qua điểm ( ) D 1; 2 − − và nhận véctơ ( ) 0D ; 2I − uur làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình : y 2 = − . Do đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ : 4x 3y 6 0 x 3 y 2 y 2 + − = = ⇒ = − = − Điểm C thuộc đường thẳng (AC), nên : ( ) C c; 2 − Tam giác ABC vuông tại B, suy ra đường thẳng CB đi qua C và nhận véctơ chỉ phương ( ) AB u 3; 4 − uuuur của đường thẳng AB làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình : ( ) ( ) 3 x c 4 y 2 0 3x 4y 3c 8 0 − − + + = ⇒ − + + + = Lại có : ( ) 3c 11 d I;BC r ID 2 2 c 7 5 + = = = ⇒ = ⇒ = − hoặc 1 c 3 = − (loại ) ( Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên điểm C có hoành độ bé hơn 1 − ). Vậy ( ) C 7; 2 − − và tọa độ điểm B là nghiệm của hệ : 3 x 4x 3y 6 0 5 3x 4y 13 0 14 y 5 = − + − = ⇒ − + − = = hay 3 14 B ; 5 5 − ÷ . 2,5 5 V. (2,5đ) Ta có : 1 1 1 1 P 1 xy 1 xy 1 xy x y x y x y x y x y x y = + + − − − − + + + + + + + + . Đặt : 1 xy z xy yz zx 1 x y − = ⇒ + + = + Bài toán trở thành : Cho x, y 0 0; z> ≥ thỏa mãn : xy yz zx 1+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 1 1 1 F x y y z z x x y z = + + − + + + + + . Ta có : ( ) x y z x y z x y z F x y z 1 x y y z z x + + + + + + + + = + + − + + + z x y 2 x y y z z x = + + + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 x y z x y z 2 2 2 xy yz zx 2 + + + + ≥ + = + + + x y z 2 2 2 x y z F + + ≥ + ≥ + + ⇒ . Vậy MinF=2 x y 1 z 0 = = ⇔ = hay MinP=2 khi và chỉ khi x = y =1 . 2,5 - - Hết - - Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng. - Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm. 6 . 1 x 4 4 − < < Phương trình đã cho tương đương với : ( ) ( ) 1 2 4 x 4x 1 2 15 2 4 x 4x 1 + − + + + = − + 1 2 15 2 4 x 4x 1 2 4 x 4x 1 ⇔ + − + + + = − + ( ) ( ) 4 x 4x 1 4 x 4x 1 4 x. 4 2 2 x. - - Hết - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Đề thi dự bị SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2 012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ Môn: TOÁN THPT- BẢNG B (Hướng. AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2 012 - 2013 (Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN - THPT BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I: (3,0 điểm) Cho hàm số (