PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG TRƯỜNG THCS VŨ HỮU KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN TOÁN - LỚP 7 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hai đa thức: P(x) = x 2 + 2xy – x + 1; Q(x) = 3xy + x 2 – 2,5x + 3 2 a) Tìm đa thức R(x), biết R(x) + 2Q(x) = 3P(x) b) Tìm các nghiệm của đa thức R(x) Câu 2 (2,0 điểm). a) Tìm x, biết: 4 x + 1 – 4 x = 48 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x 1 A x + = (Với x ∈ ¢ và x ≠ 0) Câu 3 (2,0 điểm). a) Tìm x, y, z biết 4x = 3y; 3x = 4z và 2x – y + z = -102 b) Cho M= 3 2012 – 3 2011 + 3 2010 – 3 2009 + 3 2008 . Chứng minh rằng M chia hết cho 10 Câu 4 (3,0 điểm). Cho ∆ABC có AB > AC. Các tia phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại I. Vẽ đường vuông góc IH từ I đến đường thẳng BC. Tia AI cắt BC tại D. Chứng minh rằng: a) IB > IC b) · · BIH CID= c) Biết BC = 6cm và AB – AC = 2cm. Tính các độ dài HB, HC Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c, d, e, f ∈ * ¥ ; a c e b d f > > và af – be = 1. Chứng minh rằng d > b + f HẾT Họ tên thí sinh:……………… …. Số báo danh:……….………… Chữ kí giám thị 1: ……………… Chữ kí giám thị 2:………….… ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG TRƯỜNG THCS VŨ HỮU ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN TOÁN - LỚP 8 Câu Phần Nội dung Điểm Câu 1 a Từ R(x) + 2Q(x) = 3P(x) suy ra R(x) = 3P(x) – 2Q(x) 0.25 Khi đó R(x) = 3(x 2 + 2xy – x+ 1) – 2(3xy + x 2 – 2,5x + 3 2 ) 0.25 = 3x 2 + 6xy – 3x+ 3 - 6xy - 2x 2 + 5x - 3 0.25 = x 2 + 2x 0.25 b Ta cần tìm x sao cho R(x) = 0. Ta có: x 2 + 2x = 0 ⇔ x (x + 2) = 0 0.25 ⇔ x = 0 hoặc x + 2 = 0 0.25 ⇔ x = 0 hoặc x = -2 0.25 Vậy x = 0; x = -2 là các nghiệm của đa thức R(x) 0.25 Câu 2 a 4 x + 1 – 4 x = 48 ⇔ 4. 4 x – 4 x = 48 0.25 ⇔ 3. 4 x = 48 0.25 ⇔ 4 x = 16 ⇔ 4 x = 4 2 0.25 ⇒ x = 2 Vậy x = 2 0.25 b • Với x∈ ¢ , x ≠ 0 và x ≤ 1 ⇒ x + 1 ≤ 0, mà x > 0 ⇒ A ≤ 0 0.25 • Với x∈ ¢ , x ≠ 0 và x > -1 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ A > 0. Khi đó x 1 x 1 1 A 1 x x x + + = = = + 0.25 Biểu thức A đạt giá trị lớn nhất ⇔ 1 x đạt giá trị lớn nhất ⇔ x có giá trị nhỏ nhất ⇒ x = 1. Khi đó ta có A = 2. 0.25 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng 2 khi = 1 0.25 Câu 3 a Từ 4x = 3y ⇒ x y 3 4 = ⇒ x y 12 16 = ; (1) Và từ 3x = 4z ⇒ x z 4 3 = ⇒ x z 12 9 = (2) 0.25 Từ (1) và (2) x y z 2x y z 12 16 9 12 16 9 ⇒ = = ⇒ = = 0.25 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2x y z 2x y z 102 6 24 16 9 24 16 9 17 − + − ⇒ = = = = = − − + 0.25 Suy ra x = -72; y = -96; z = -54 0.25 b Ta có M = 3 2008 (3 4 – 3 3 + 3 2 – 3) 0.25 = 3 2008. (81 – 27 + 9 – 3) 0.25 = 3 2008 . 60 0.25 = 3 2008 . 6. 10 M 10 Vậy M M 10 0.25 Câu 4 Vẽ hình 0.25 GT- KL GT ∆ABC, AB > AC Các phân giác: BI, CI AI cắt BC tại D; IH ⊥ BC BC = 6cm; AB – AC = 2 cm KL a) IB > IC b) · · BIH CID= c) Tính HB, HC 0.25 a ∆ABC có AB > AC ⇒ µ µ µ µ · · 1 1 C B C B ICB IBC 2 2 > ⇒ > ⇒ > 0.25 ∆IBC có · · ICB IBC> ⇒ IB > IC 0.25 b Vì điểm I là giao điểm của các phân giác xuất phát từ đỉnh B, đỉnh C của ∆ABC nên AI là tia phân giác của góc BAC. Ta có: · µ A CAI 2 = ; · µ C ACI 2 = ; · µ B HBI 2 = 0.25 ∆BIH, µ o H 90= ⇒ · · µ µ µ µ µ µ µ o o B A B C B A C BIH 90 HIB 90 2 2 2 2 2 + + = − = − = − = + (1) 0.25 ∆AIC có · CID là góc ngoài tại đỉnh I ⇒ · · · µ µ A C CID CAI ACI 2 2 = + = + (2) 0.25 Từ (1) và (2) ta có · · BIH CID= 0.25 Câu 5 a Gọi Mvà N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC Chứng minh ∆AIM = ∆ AIM (cạnh huyền- goc nhọn) ⇒ AM = AN Tương tự có: BM = BH; CH = CN 0.25 Khi đó AB – AC = (AM + BM) – (AN + CN) = BM – CN = BH - CH 0.25 Do AB – AC = 2 cm ⇒ BH – CH = 2 cm (1) Ta lại có BH + CH = BC ⇒ BH + CH = 6 cm (2) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra BH = 4 cm; CH = 2 cm 0.25 b Do a, b, c, d, e, f ∈ * ¥ ; a c e b d f > > nên suy ra ad > bc và cf > de (1) 0.25 Lại do af – be = 1 nên: d = d.(af – be) = daf – dbe 0.25 = (daf – bcf) + (bcf – dbe) = f( ad – bc) + b(cf- de) (2) 0.25 Từ (1) và (2) ta có d > f + b 0.25 Học sinh làm cách khác, kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa của phần đó. . PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG TRƯỜNG THCS VŨ HỮU KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN TOÁN - LỚP 7 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) thí sinh: ……………… …. Số báo danh:……….………… Chữ kí giám thị 1: ……………… Chữ kí giám thị 2:………….… ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG TRƯỜNG THCS VŨ HỮU ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI. GD&ĐT BÌNH GIANG TRƯỜNG THCS VŨ HỮU ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN TOÁN - LỚP 8 Câu Phần Nội dung Điểm Câu 1 a Từ R(x) + 2Q(x) = 3P(x) suy ra R(x)