ĐỀ THI THỬQUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 127 Ngày 11 tháng 6 năm 2015 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 2 y 2x(1 x )= − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục hoành ( khác gốc tọa độ O). Tìm các điểm I thuộc (C) sao cho tam giác IAB vuông tại I. Câu 2.(1,0 điểm) 1. Giải phương trình 2sin 2x 1 4sin x 6 π − + = ÷ 2. Chứng minh rằng số phức 1 z 1 z − + là số ảo nếu và chỉ nếu z 1 và z 1.= ≠ − Câu 3.(1.0 điểm) 1. Giải phương trình: log 9 (x 2 – 5x + 6) 2 = 3 3 1 x 1 log log (3 x) 2 2 − + − . 2. Trong một lớp học có 3 tổ: tổ I có 3 bạn, tổ II có 4 bạn, tổ III có 5 bạn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp các bạn của cả 3 tổ đứng thành hàng ngang sao cho các bạn tổ I đứng cạnh nhau, các bạn tổ III đứng cạnh nhau nhưng không có hai bạn nào của tổ I và III đứng cạnh nhau. Câu 4.(1.0 điểm) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) x y 3 3 x y x y log x log y 1 + = − − = Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân ( ) 1 2 3 0 x x I dx x 1 + = + ∫ Câu 6.(1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’= AB= a. Tính phần thể tích chung của hai khối chóp A.BB’C’C và A’.BB’C’C. Câu 7.(1.0 điểm) . Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x 2y 1 0− + = và hai điểm A(1;-1), B(4;0). Tìm điểm M thuộc d để 2 2 MA 2MB+ đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 8.(1.0 điểm) Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng x 1 y 2 z d : 1 1 2 − + = = − và hai điểm A(1;4;2) và B(-1;2;4). Viết phương trình đường thẳng d’ qua A, cắt d và khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d’ đạt giá trị lớn nhất Câu 9.(1,0 điểm) Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : ( ) ( ) ( ) 3 3 3 a b c c a b b c a P 3c 3b 3a + − + − + − = + + Hết Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 127 Câu NỘI DUNG Điểm 1.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 y 2x(1 x )= − 1.0 Tập xác định: D = ¡ Sự biến thiên: 2 1 1 y' 2(1 3x ), y' 0 x ; x 3 3 = − = ⇔ = = − 0.25 Hàm số đồng biến trên các khoảng 1 1 ; 3 3 − ÷ ; nghịch biến trên khoảng 1 1 ; ; ; 3 3 −∞ − +∞ ÷ ÷ . Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại CT 1 4 3 x ;y 9 3 = − = − , đạt cực đại tại CD 1 4 3 x ;y 9 3 = = . Giới hạn: lim ; lim →−∞ →+∞ = +∞ = −∞ x x y y 0.25 Bảng biến thiên: x - ∞ 1 3 − 1 3 + ∞ y ' - 0 + 0 - y + ∞ 4 3 9 − 4 3 9 - ∞ 0.25 • Đồ thị: 0.25 1.2 Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục hoành ( khác gốc tọa độ O). Tìm các điểm I thuộc (C) sao cho tam giác IAB vuông tại I. 1.0 Ta có A(-1,0), B(1,0). Tam giác IAB vuông tại I nên I thuộc đường tròn tâm O( gốc tọa độ) với bán kính bằng 1. Tọa độ I là nghiệm của hệ: 2 2 2 y 2x(1 x )(1) x y 1(2) = − + = 0.25 Thay (1) vào (2) ta được: 2 3 2 6 4 2 x (2x 2x ) 1 4x 8x 5x 1 0+ − = ↔ − + − = 0.25 2 2 x 1(loai vì I A,B) 1 1 x y 1 2 2 x 2 = ≠ ↔ → = ± → = ± = 0.25 Do 2 2 x 1 1 x 0≤ → − ≥ nên x,y cùng dấu.Vậy chỉ có hai điểm I thỏa đề là 1 1 1 1 ; ; ; 2 2 2 2 − − ÷ ÷ 0.25 2.1 Giải phương trình 2sin 2x 1 4sin x 6 π − + = ÷ 0.5 (1) 2 sin2x cos sin cos2x 1 4sin x 3sin2x cos 2x 1 4sin x 6 6 π π ⇔ − + = ⇔ − + = ÷ ( ) 2 2 2 3 sin x cos x (1 2sin x) 1 4sin x 0 2 3 sin x cos x 2sin x 4sin x 0 2sin x 3 cos x sin x 2 0 ⇔ − − + − = ⇔ + − = ⇔ + − = 0.25 * 3 1 3 cos x sin x 2 cos x sin x 1 sin x 1 x k2 2 2 3 6 π π + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = + π ÷ Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 2 * sin x 0 x k= ⇔ = π Vậy nghiệm của phương trình là: x k2 6 π = + π ; x k ; k Z= π ∈ 0.25 2.2 Chứng minh rằng số phức 1 z 1 z − + là số ảo nếu và chỉ nếu z 1 và z 1.= ≠ − 0.5 Giả sử z = a + bi, a,b thuộc R .Lúc đó ( ) ( ) 2 2 2 2 1 a b 2bi 1 z 1 z 1 a b − − − − = + + + 0.25 Ta có số phức 1 z 1 z − + là ảo nếu và chỉ nếu ( ) ( ) 2 2 2 2 1 a b z 1 và 0 1 a b − − ≠ − = + + ( ) 2 2 2 2 1 a b 0 a b 1⇔ − − = ⇔ + = 2 z 1 z 1⇔ = ⇔ = 0.25 3.1 Giải phương trình: log 9 (x 2 – 5x + 6) 2 = 3 3 1 x 1 log log (3 x) 2 2 − + − . 0.5 Điều kiện xác định 2 2 ( 5 6) 0 1 3 1 0 2 3 0 x x x x x x − + > < < − > ⇔ ≠ − > Khi đó PT đã cho tương đương 2 3 3 ( 1)(3 ) log 5 6 log 2 x x x x − − − + = 0.25 2 2 2 2 2 2 2 2( 5 6) 4 3 4 3 5 6 (do 4 3 0 :1 3) 2 2( 5 6) 4 3 x x x x x x x x x x x x x x x x − + = − + − − + − ⇔ − + = ⇔ − + − > ∀ < < − + = − + 3 5 3 x x = ⇔ = . Kết hợp với điều kiện xác định ta có 5 3 x = . Vậy nghiệm 5 3 x = 0.25 3.2 Trong một lớp học có 3 tổ: tổ I có 3 bạn, tổ II có 4 bạn, tổ III có 5 bạn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp các bạn của cả 3 tổ đứng thành hàng ngang sao cho các bạn tổ I đứng cạnh nhau, các bạn tổ III đứng cạnh nhau nhưng không có hai bạn nào của tổ I và III đứng cạnh nhau. 0.5 Sắp 4 bạn tổ II đứng thành hàng ngang có 4!= 24 cách sắp. Giữa 4 bạn tổ II có 5 “vách ngăn”. “Buộc” 3 bạn tổ I thành nhóm I, “buộc” 5 bạn tổ III thành nhóm III. 0.25 Sắp nhóm I và nhóm II vào 5 vách ngăn có 2 5 A 20= cách sắp. Vậy số cách sắp thỏa đề là: 2 5 4!.A .3!.5! 345600= cách sắp. 0.25 4. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) x y 3 3 x y x y log x log y 1 + = − − = 1.0 ĐK: x 0; y 0,x y> > > 3 x (2) log 1 x 3y y → = → = 0.25 ( ) ( ) ( ) 3y y 3y 3y y y y 3y 2y y 6y 2y y 5y 2y 1 4y 2y 4 .y 2 .y do y 0 4 .y 2 2 .y 2 2 .y 1→ = ↔ = > → = → = → = 0.25 ( ) y 5 2 5 2 2 5 1 2 .y 1do y 0 nên2 .y 1 y 2 → = > = → = 0.25 2 3 2 y x 8 8 = → = . So sánh điều kiện ta được nghiệm của hệ là: 3 2 2 ; 8 8 ÷ 0.25 5 Tính tích phân ( ) 1 2 3 0 x x I dx x 1 + = + ∫ 1.0 ( ) dx x xx A ∫ + + = 1 0 3 2 1 = ( ) ( ) dx x xxx ∫ + +−++ 1 0 3 2 1 112 = ( ) ( ) ( ) dx x xx ∫ + +−+ 1 0 3 2 1 11 = ( ) dx x x ∫ + + − 1 0 2 1 1 1 1 0.5 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 3 Đặt ( ) 2 1 1 1 1 + =⇒ + −= x dx dt x t 23 1 3 2 2 1 0 2 1 0 = == ∫ ttdttA 0.5 6 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’= AB= a. Tính phần thể tích chung của hai khối chóp A.BB’C’C và A’.BB’C’C. 1.0 Phần chung của 2 khối chóp là đa diện OO’BB’C’C. Gọi V là thể tích đa diện đó. Ta có A'.BB'C'C A'.OB'C'O ' V V V= − 3 ABC.A'B'C' ABC a 3 V S .AA' 4 = = 0.25 3 A.A 'B'C' a 3 V 12 = 3 A'.BB'C'C a 3 V 6 = 0.25 Mà A.A'B'C' A.A'OO' V AO AO' 4 V AB' AC' = = Nên suy ra 3 A.A 'OO' A'.OB'C'O' A.A'B'C' 3 a 3 V V V 4 16 = = = 0.25 Vậy 3 3 3 a 3 a 3 5a 3 V 6 16 48 = − = 0.25 7 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x 2y 1 0− + = và hai điểm A(1;-1), B(4;0). Tìm điểm M thuộc d để 2 2 MA 2MB+ đạt giá trị nhỏ nhất. 1.0 Ta tìm điểm I(a,b) sao cho: 1 IA 2IB 0 I(3; ) 3 + = → uur uur r 0.25 Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 P MA 2MB MI IA 2 MI IB 3MI IA 2IB= + = + + + = + + uuur uur uuur uur 0.25 Mà ( ) 2 2 IA 2IB+ là hằng số nên 2 min min min P 3MI MI⇔ ⇔ ⇔ M là hình chiếu của 1 I(3; ) 3 lên d. 0.25 Đường thẳng d’ qua I vuông góc d có phương trình tham số x 3 t 1 y 2t 3 = + = − Tọa độ M là nghiệm của hệ x 3 t 1 2 31 23 y 2t t M ; 3 5 15 15 x 2y 1 0 = + = − ⇒ = − ⇒ ÷ − + = 0.25 8 Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng x 1 y 2 z d : 1 1 2 − + = = − và hai điểm A(1;4;2) và B(-1;2;4). Viết phương trình đường thẳng d’ qua A, cắt d và khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d’ đạt giá trị lớn nhất 1.0 d' qua A cắt d tại M(1-t, -2+t,2t) thuộc d. Khi đó ( ) 2 2 AM;AB 28t 152t 208 d B,d ' 3t 10t 20 AM − + = = − + uuuur uuur uuuur 0.25 Xét hàm 2 2 28t 152t 208 f (t) có 3t 10t 20 − + = − + ( ) ( ) 2 2 2 t 2 16 11t 8t 60 f '(t) 0 30 t 3t 10t 20 11 = − − − = = ⇔ = − + 0.25 Ta có t 30 4 28 f ( 2) 2 3; f ; lim f (t) 11 35 3 →±∞ − = = = ÷ Nên khoảng cách từ B đến d’ lớn nhất bằng 2 3 khi t = -2 0.25 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 4 Lúc đó x 1 y 4 z 2 d' : 1 4 3 − − − = = − − 0.25 9 Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : ( ) ( ) ( ) 3 3 3 a b c c a b b c a P 3c 3b 3a + − + − + − = + + 1.0 Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương 3 ( ) , 3 3 + −a b c c c và 1 3 ta được: 3 ( ) 1 3 3 3 + − + + ≥ + − a b c c a b c c (1). 0.25 3 ( ) 4 1 3 3 3 + − ⇒ ≥ + − − a b c c a b c (1) 0.25 Tương tự: 3 ( ) 4 1 3 3 3 + − ≥ + − − b c a a b c a (2), 3 ( ) 4 1 3 3 3 + − ≥ + − − c a b b c a b (3). 0.25 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 5 . ĐỀ THI THỬQUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 127 Ngày 11 tháng 6 năm 2015 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 2 y 2x(1 x )= − 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi A, B là các giao. Nguyên Thạch 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 127 Câu NỘI DUNG Điểm 1.1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 y 2x(1 x )= − 1.0 Tập xác định: D = ¡ Sự biến thi n: 2 1 1 y' 2(1 3x. minh rằng số phức 1 z 1 z − + là số ảo nếu và chỉ nếu z 1 và z 1.= ≠ − 0.5 Giả sử z = a + bi, a,b thuộc R .Lúc đó ( ) ( ) 2 2 2 2 1 a b 2bi 1 z 1 z 1 a b − − − − = + + + 0.25 Ta có số phức