Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán số 117

ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 117 Ngày 31 tháng 5 năm 2015 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số : 3 2 y x 3x 1= − + có đồ thị là ( ) C . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 2) Với giá trị nào của m thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 5x m y mΓ − + − − = Câu 2.(1,0 điểm) 1. Giải phương trình : ( ) ( ) 1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = + 2. Tìm số phức z thỏa mãn ( ) 22 1 1 10 3z z i z+ + − − = + . Câu 3.(0.5 điểm) Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 log 1 log 1 log 2 2 x x x− = + + − Câu 4.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( ) 3 4 2 1 27 2 1 x y x x y  − − − = −   − + =   ( , )x y ∈R . Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân : ( ) 1 4 2 1 3 ln 3 2lnI x x x dx   = + −   ∫ Câu 6.(1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác đều 1 1 1 .ABC A B C có chín cạnh đều bằng 5 .Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 AB và 1 BC . Câu 7.( 1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho đường thẳng ( ) : 3 4 0d x y− − = và đường tròn ( ) 2 2 : 4 0.C x y y+ − = Tìm điểm ( ) M d∈ và điểm ( ) N C∈ sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm ( ) 3;1A . Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng 2 4 : 3 2 2 x y z− − ∆ = = − và hai điểm ( ) 1;2; 1 ,A − ( ) 7; 2;3B − .Tìm trên ∆ những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng chứa AB là nhỏ nhất . Câu 9.(0.5 điểm) Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số khác nhau ? ( 51 ≤<∈ nvàNn ). Câu 10.(1,0 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương thoả mãn 7ab bc ca abc+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 4 5 6 2 2 2 8 1 108 1 16 1a b c S a b c + + + = + + . Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 117 Câu NỘI DUNG Điểm 1.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2 y x 3x 1= − + (C) 1.0 Tập xác định: Hàm số có tập xác định = ¡D . Sự biến thiên:Chiều biến thiên : 2 3 6y' x x= − Ta có 2 0 0 x y' x =  = ⇔  =  , y 0 x 0 x 2> ⇔ < ∨ > ⇔ h/số đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) ;0 & 2;−∞ +∞ , y 0 0 x 2< ⇔ < < ⇔ hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 0;2 ( ) ( ) 0 1 2 3 CD CT y y ; y y= = = = − Giới hạn 3 3 x x 3 1 lim y lim x 1 x x →±∞ →±∞   = − + = ±∞  ÷   0,25 0,25 Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 +∞ y' + 0 − 0 + y 1 +∞ −∞ -3 0,25 • Đồ thị: cắt trục Oy tại điểm (0;1) 0,25 1.2 Với giá trị nào của m thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 5x m y mΓ − + − − = 1.0 Đồ thị hàm số có điểm cực đại ( ) 0;1A ,điểm cực tiểu ( ) 2; 3B − suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ,A B là ( ) 2 1 0d x y+ − = 0,25 đường tròn ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 5x m y mΓ − + − − = có tâm ( ) ; 1I m m + bán kính 5R = điều kiện ( ) d tiếp xúc với ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 5 , 5 3 5 3 2 1 m m d I d R m m + + − Γ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + 0,25 0,25 Đáp số : 5 3 m = ± 0,25 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 2 1 O x -3 y 3 2 3 1y x x = − + 2 2.1 Giải phương trình : ( ) ( ) 1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = + 0.5 Đặt 2 2 tan sin 2 1 t t x x t = ⇒ = + .Phương trình (1) trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t t t t t t t t t t t t = −    − + = + ⇔ − + = + + ⇔   ÷ + − + = +     ( ) 1 0 tan 1 tan 0 4 t t x x x k x k k π = − ∨ = ⇔ = − ∨ = ⇔ = − + π∨ = π ∈¢ 0,25 0,25 2.2 Tìm số phức z thỏa mãn ( ) 22 1 1 10 3z z i z + + − − = + . 0.5 Gọi z = a + bi suy ra được z , ( ) 22 1 , 1z z+ − theo a, b Theo đề bài ta có hệ 2 2 1 0 2 3 10 0 a a ab b  − − =  + − =  Giải hệ được nghiệm (1 ; 2) , 1 ;5 2   −  ÷   0.5 Đs : 1 1 2 ; 5 2 i i+ − + 0.25 3 Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 log 1 log 1 log 2 2 x x x− = + + − 0.5 Đ/k: 2 2 1 1 0 1 1 0; 2 0 x x x x x ≠ >  − >  ⇔   < − + ≠ − ≠   . Khi đó phương trình ( ) ( ) 2 2 log 1 log 1 log 2x x x⇔ − = + + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 log 1 log 1 2 1 1 2x x x x x x   ⇔ − = + − ⇔ − = + −   0.25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 1 0 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x  >   >       − = + −  − − = = +      ⇔ − = + − ⇔ ⇔ ⇔    < < ∨ < − < < ∨ < −   = ±          − = + − + =      Phương trình có 3 nghiệm .: 1 2, 3x x= + = ± 0.25 4 Giải hệ phương trình: ( ) 3 4 2 1 27 2 1 x y x x y  − − − = −   − + =   ( , )x y ∈R . ĐK 2 1 x y ≥   ≥  1.0 từ phương trình (2) ta có ( ) ( ) 4 2 2 1 1 2x y y x− = − ⇒ − = − thay vào phương trình ( ) 1 ta được 3 2 2 27 4 4x x x x− = − + − + ⇔ 3 2 2 4 31 0x x x x− + − + − = ( ) * Xét hàm số ( ) 3 2 2 4 31,f x x x x x= − + − + − với mọi 2x ≥ 0,25 0,25 ( ) ' 2 1 3 2 4 0 2 2 2 f x x x x x ⇒ = + − + > ∀ > − hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 2;+∞ mặt khác ( ) 3 0 3f x= ⇒ = là nghiệm duy nhất của (*) thay vào phương trình (2) ta được 2y = vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y)=(3;2) 0,25 0,25 5 Tính tích phân : ( ) 1 4 2 1 3 ln 3 2lnI x x x dx   = + −   ∫ 1.0 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 3 Ta có ( ) 1 4 2 1 3 ln 3 2lnI x x x dx   = + −   ∫ ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 3 3 ln(3 1) ln ln ln 3 1x x x x dx   = + + − = +   ∫ ∫ Đặt ( ) 2 2 6 ln 3 1 3 1 xdx u x du x dv dx v x   = + =   ⇒ +   =    =  ( ) 1 2 2 1 1 2 1 3 3 6 4ln 2 ln3 ln 3 1 | 3 1 3 x dx I x x J x + = + − = − + ∫ Với 1 1 2 2 1 1 3 3 2 4 4 2 2 3 1 3 3 1 3 3 3 dx J dx x x π   = − = − = −  ÷ + +   ∫ ∫ ( đặt 3 tanx t= với ; 2 2 t π π   ∈ −  ÷   ( ) 2 1 1 tan 3 dx t dt= + đổi cận 1 ; 1 3 6 3 x t x t π π = ⇒ = = ⇒ = từ đó tính được 4 3 4ln 2 ln3 4 3 3 9 3 3 9 J I π + π ⇒ = − ⇒ = − + 0,25 0,25 0,25 0,25 6 Cho lăng trụ tam giác đều 1 1 1 .ABC A B C có chín cạnh đều bằng 5 .Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 AB và 1 BC . 1.0 Ta có đáy lăng trụ là tam giác đều cạnh bằng 5 các mặt bên là hình vuông cạnh bằng 5 1 1 5 2AB BC⇒ = = .Dựng hình bình hành 1 1 1 1 1 1 5 2, 5BDB C DB BC BD C B⇒ = = = = , 0 .sin 60 5 3AD CD= = (do ACD∆ vuông tại A vì )BA BC BD= = ( ) ( ) 1 1 1 1 ; ;AB BC AB DB⇒ α = = · ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 5 2 5 2 5 3 1 cos 2 . 4 2.5 2.5 2 AB DB AD AB D AB DB + − + − = = = · 1 AB D⇒ nhọn từ đó 0,25 0,25 · 1 1 cos 4 AB Dα = ⇔ α = . Ta thấy ( ) ( ) 1 1 1 1 / / ,BC mp AB D AB mp AB D⊂ từ đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 , , ,d BC AB d BC mp AB D d B mp AB D= = = 1 1 . 3 B AB D AB D V dt ∆ 1 . 1 1 3 1 . .sin 2 B ABC V AB DB = α 0,25 1 1 1 25 3 5. 4 5 1 1 15 . sin .5 2.5 2. 2 2 4 ABC BB dt AB AD ∆ = = = α .Đáp số ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 cos ; 4 , 5 AB BC d AB BC  α = α =    =  0,25 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho đường thẳng ( ) : 3 4 0d x y− − = và đường tròn ( ) 2 2 : 4 0.C x y y+ − = Tìm điểm ( ) M d∈ và điểm ( ) N C∈ sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm ( ) 3;1A . 1.0 Gọi ( ) ( ) 3 4;M a a d+ ∈ mà N đối xứng với M qua ( ) ( ) 3;1 2 3 ;2A N a a⇒ − − theo gt 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 : 4 0 2 3 2 4 2 0N C x y y a a a∈ + − = ⇔ − + − − − = ( ) 6 2 5 6 0 0 5 a a a a⇔ − = ⇔ = ∨ = Với ( ) ( ) 1 1 0 4;0 , 2;2a M N= ⇒ với 2 2 6 38 6 8 4 ; , ; 5 5 5 5 5 a M N     = ⇒ −  ÷  ÷     0,25 0,5 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 4 8 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng 2 4 : 3 2 2 x y z− − ∆ = = − và hai điểm ( ) 1;2; 1 ,A − ( ) 7; 2;3B − .Tìm trên ∆ những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng chứa AB là nhỏ nhất 1.0 Ta có ( ) 6; 4;4AB = − uuur đường thẳng ∆ có một vtcp ( ) 3; 2;2 / / .u AB= − ⇒ ∆ r Gọi H là hình chiếu của A trên ∆ .Gọi ( ) P là mặt phẳng qua ( ) 1;2; 1A − và ( ) P ⊥ ∆ ( ) :3 2 2 3 0P x y z⇒ − + + = . { } ( ) H P= ∆∩ nên toạ độ điểm H là nghiệm của hệ pt : ( ) 1 3 2 2 3 0 2 1;2;2 2 4 2 3 2 2 x x y z y H x y z z = −  − + + =    ⇔ = ⇔ − − −   = =   = −   .Gọi ' A đối xứng với A qua ∆ ( ) ' 3;2;5A⇒ − ( do H là trung điểm của ' AA ) Ta có ' , , ,A A B ∆ cùng nằm trong một mặt phẳng ( ) P .Pt đường thẳng ' A B là 3 2 5 3 2 5 7 3 2 2 3 5 5 2 1 x y z x y z+ − − + − − = = ⇔ = = + − − − − − Từ đó điểm M cần tìm là giao điêm giữa ' A B và ∆ ⇒ toạ độ M là nghiệm hpt ( ) 3 2 5 2 5 2 1 0 2;0;4 2 4 4 3 2 2 x y z x y M x y z z + − −  =  = =    − − ⇔ = ⇔   − −   = = =   −  . Đáp số ( ) 2;0;4M 0,25 0,25 0,25 0,25 9 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số khác nhau ? ( 51 ≤<∈ nvàNn ). 0.5 Với n=2 .Số các số có 2 chữ số khác nhau phải tìm là : 2 6 A 0.25 Với n=3 .Số các số có 3 chữ số khác nhau phải tìm là : 3 6 A Với n=4 .Số các số có 4 chữ số khác nhau phải tìm là : 4 6 A Với n=5 .Số các số có 5 chữ số khác nhau phải tìm là : 5 6 A Vậy tất cả có số 2 6 A + 3 6 A + 4 6 A + 5 6 A = 1230 số phải tìm 0.25 10 Cho , ,a b c là các số thực dương thoả mãn 7ab bc ca abc+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 4 5 6 2 2 2 8 1 108 1 16 1a b c S a b c + + + = + + . giả thiết tương đương với 1 1 1 7 a b c + + = áp dụng bất đẳng thức Côsi+Bunhiacôpxki ta có: 2 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 8 54 54 2 9 9 9 S a b b a b b b     = + + + + + + +  ÷  ÷     4 2 2 1 1 16 4 4 c c c   + +  ÷   2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 10 3 17 .7 24 2 3 2 2 3 2 7a b c a b c     + + + ≥ + + + + + = + =  ÷  ÷ + +     dấu bằng xẩy ra khi 1 1 , 2 3 a c b= = = .Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 24 đạt khi 1 1 , 2 3 a c b= = = 0,25 0,25 0,25 0,25 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 5 . ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 117 Ngày 31 tháng 5 năm 2015 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số : 3 2 y x 3x 1= − + có đồ thị là ( ) C . 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (C) . DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 117 Câu NỘI DUNG Điểm 1.1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số 3 2 y x 3x 1= − + (C) 1.0 Tập xác định: Hàm số có tập xác định = ¡D . Sự biến thi n:Chiều biến thi n : 2 3. chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số khác nhau ? ( 51 ≤<∈ nvàNn ). 0.5 Với n=2 .Số các số có 2 chữ số khác nhau phải tìm là : 2 6 A 0.25 Với n=3 .Số các số