ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP QUỐC GIA 2015 SỐ 59 Ngày 24 tháng 3 năm 2015 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 3 2 2 3 1y x x= − + . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình : ( ) 2 2 3 0x x x m− − = . Câu 2.(2,0 điểm) 1. Giải phương trình: 3 2 os os 2sin 2 sinx cos c x c x x x − − = + . 2. Giải bất phương trình: 2 5 2 3x x x+ − − < − . Câu 3.(1,0 điểm) Tính tích phân: I = 2 1 (1 )ln e x x dx x + ∫ . Câu 4.(1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A ’ B ’ C ’ có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt bên ABB ’ A ’ là hình thoi cạnh a, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên ACC ’ A ’ hợp với đáy một góc α . Tính theo a và α thể tích của khối lăng trụ. Câu 5.(1,0 điểm) Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn x + y =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( ) ( ) 2 2 2 2 x y y x x y + + + . Câu 6. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-1; -3), trọng tâm G(4; -2) . Biết đường trung trực của AB là d: 3x + 2y – 4 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B và C. Câu 7. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho hai điểm A(1; 2; 3), B(-1; 2; -3) và đường thẳng ∆ : 1 2 1 1 1 1 x y z− − + = = . Tìm trên ∆ điểm M sao cho: MA MB+ uuuv uuuv đạt giá trị nhỏ nhất. Câu8.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 3 3 3 3 2.3 log (log 1) 4 x x y y x y + + = − = . Hết Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò chum thành Phố Thanh Hóa HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 59 Câu Ý NỘI DUNG Điểm 1 1.a Tập xác định D=R . 0,25 Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ . 2 ' 6 6y x x = − . 0 ' 0 1 x y x = = ⇔ = . 0,25 BBT: Hàm số ĐB trên các khoảng ( ) ( ) ;0 , 1; −∞ +∞ và NB trên khoảng ( ) 0;1 .Hàm số đạt CĐ tại 0, 1 CD x y = = và đạt CT tại 1, 0 CT x y= = . 0,25 Đồ thị: y = (x-1) 2 (2x-1) suy ra đồ thị cắt Ox tại ( 1 2 − ;0). Đồ thị đối xứng qua I 1 1 ; 2 2 ÷ . 0,25 1.b Pt ( ) 3 2 2 2 3 0 2 3 1 1 (*)x x x m x x m − − = ⇔ − + = + 0,25 Số nghiệm của pt (*) bằng số giao điểm của 2 đồ thị 3 2 2 3 1y x x = − + (**) và y = m + 1 0,25 Dựa vào đồ thị câu trên ta suy ra đồ thị (**) 0,25 Kết luân: m > 0 pt có 2 nghiệm m = 0 pt có 3 nghiệm - 1 < m < 0 pt có 4 nghiệm. m = - 1 pt có 2 nghiệm m < -1 pt vô nghiệm 0,25 2 2.1 Đ/k: tanx 1 ≠ − Pt ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 sin cos 1 2 1 sinx sinx osxx x c ⇔ − − = + + 0,5 ( ) ( ) 2 sinx 1 1 sinx 1 cos 0 cos 1 x x = − + + = ⇔ = − thỏa mãn đ/k 2 ( ) 2 2 x k k Z x k π π π π = − + ⇔ ∈ = + 0,5 2.2 Đ/k : 5 2 2 x − ≤ ≤ . 0,25 Cách 1 : Bpt ( ) ( ) 2 5 2 3 5 2 3 2 3x x x x x x ⇔ + < − + − ⇔ − − > − (1) 0,25 • Với : 3 2 2 x − ≤ < thì (1) đúng. (a) • Với : 3 5 2 2 x≤ ≤ thì (1) 2 3 2 6 0 2 2 x x x ⇔ − − < ⇔ − < < Đối chiếu với đ/k ta được 3 2 2 x≤ < (b) 0,25 Từ (a) và (b) ta có nghiệm bpt là : 2 2x − ≤ < 0,25 Cách 2 : 2 5 2 3 0 2 2 1 5 2 1 3 0x x x x x x+ − − − − < ⇔ + − + − − + − − < ( ) 2 2 2 0 2 2 1 5 2 1 3 1 1 1 2 ( ) 0 2 2 2 1 5 2 1 3 x x x x x x x x x x x − − − ⇔ + + < + + + − + − ⇔ − + + < ⇔ < + + + − + − Vậy nghiệm bpt là : 2 2x − ≤ < 3 Ta có: I = ( ) 2 1 1 1 1 ln ln ln e e e x x x dx dx x xdx x x + = + ∫ ∫ ∫ 0,25 2 1 1 ln ln 1 ln (ln ) 1 2 2 e e e x x dx xd x x = = = ∫ ∫ 0,25 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò chum thành Phố Thanh Hóa 2 2 2 1 1 ln 1 ln ln 1 1 2 2 2 4 e e e e x x x x x x xdx xdx = − = − ÷ ∫ ∫ = 2 1 4 e + . Vậy I = 2 3 4 e + 0,5 4 Gọi H là hình chiếu của A ’ xuống AB. Ta có: mp (AA ’ B ’ B) ⊥ mp(ABC) nên A ’ H ⊥ (ABC) . AH ⊥ AC suy ra AA ’ ⊥ AC ⇒ · ' A AH α = 0,5 Ta có h = A ’ H = AA ’ sin a sin , α α = 2 1 1 . 2 2 ABC S AB AC a ∆ = = .Thể tích V = 3 1 sin 2 a α (đvtt) 0,5 5 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( )( ) 2 1 , 1 2 1 2 1 2 x y y x x y x y xy P x y x y xy x y xy x y x y x xy y x y xy t t voi t xy xy xy t + + + + + = = + + − + − + + − + + + − + = = = = − − − 0,5 Mặt khác ta có 1 = x + y 2 xy ≥ . Từ đó suy ra t 1 0; 4 ∈ . Tính đạo hàm và lập bảng biến thiên suy ra : GTNN của P = 1 xẩy ra khi x = 0, y = 1 hoặc x =1 , y = 0. GTLN của P = 9/8 xẩy ra khi x = y = 1/2 0,5 6 Ta có AB d ⊥ suy ra pt AB : 2x – 3y + c = 0. AB đi qua A(-1 ;3) nên Suy ra c =-7. Vậy pt AB : 2x – 3y – 7 = 0 0,25 Gọi H là giao điểm của AB và d suy ra tọa độ H là nghiệm hệ 2 3 7 0 (2; 1 3 2 4 0 x y H x y − − = ⇔ − + − = ) 0,25 H là trung điểm AB suy ra B( 5;1) 0,25 G là trọng tâm tam giác ABC suy ra 3 3 A B C G A B C G x x x x y y y y + + = + + = Suy ra C(8 ;-4) 0,25 7 Gọi I là trung điểm AB suy ra I(0 ;2 ;0). Xét M ∈ ∆ , ta có : 2 2 2MA MB MI MA MB MI MI+ = ⇒ + = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur 0,25 MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên ∆ 0,25 Gọi (P) là mặt phẳng qua I và (P) ⊥ ∆ nên (P) có véc tơ pháp tuyến là (1;1;1)n r , ngoài ra (P) đi qua I (0 ;2 ;0) nên có pt : x + y + z - 2 = 0 0,25 M là hình chiếu của I trên ∆ suy ra tọa độ của M thỏa mãn hệ : 1 1 2 2 1 1 2 0 x t x y t y z t z x y z = + = = + ⇒ = = − + = − + + − = . Vậy M(1 ;2 ;-1) 0,25 8 Chia 2 vế của pt (1) cho 2 3 y ta có pt : 2 (3 ) 3 2 0 x y x y− − + − = . Đặt 3 0 x y t − = > ta có pt 2 2 0 1;( 2 )t t t t loai+ − = ⇔ = = − . t =1 suy ra x = y thay vào pt (2), ta có pt : 2 3 3 log 2log 8 0x x − − = . 0,5 Từ đó suy ra hệ có 2 nghiệm : 1 9 1 9 x y = = và 81 81 x y = = . 0,5 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò chum thành Phố Thanh Hóa . ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP QUỐC GIA 2015 SỐ 59 Ngày 24 tháng 3 năm 2015 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 3 2 2 3 1y x x= − + . 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Biện. GIẢI ĐỀ 59 Câu Ý NỘI DUNG Điểm 1 1.a Tập xác định D=R . 0,25 Giới hạn: lim ; lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ . 2 ' 6 6y x x = − . 0 ' 0 1 x y x = = ⇔ = . 0,25 BBT: Hàm số ĐB. . 0,25 1.b Pt ( ) 3 2 2 2 3 0 2 3 1 1 (*)x x x m x x m − − = ⇔ − + = + 0,25 Số nghiệm của pt (*) bằng số giao điểm của 2 đồ thị 3 2 2 3 1y x x = − + (**) và y = m + 1 0,25 Dựa vào đồ