SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TRƯỜNG THPH LÊ LỢI Môn TOÁN – Khối A-B-A 1 Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề I. PHẦN CHUNG ( Cho tất cả thí sinh ) Câu I ( 2 điểm ). Cho hàm số : 3 3 1 y x x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho 2 A x và 2 2 MN . Câu II ( 2 điểm ). 1) Giải phương trình : 2 2 tan 1 tan 2 3sin 1 0 x x x . 2) Giải hệ phương trình với ,x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 0 1 2 2 1 x y x y y y x y xy x x xy y y Câu III ( 1 điểm ). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : 2 1 ( ) 1 x y C x , trục hoành và tiếp tuyến của (C) tại giao điểm (C) với trục tung . Câu IV ( 1 điểm ). Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều , tam giác SCD vuông cân đỉnh S. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Câu V ( 1 điểm ). Chứng mimh rằng với 0, 0, 0 a b c thì 1 1 1 1 1 1 3 a b c a 2b b 2c c 2a II. PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B ) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VIa ( 2 điểm ) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh 2;1 , B điểm A thuộc Oy, điểm C thuộc Ox ( 0 C x ) góc 30 o BAC ; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 5 . Xác định toạ độ điểm A và C. 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng : 2 1 0 P x y z và điểm A(1;1;2). Gọi d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Oyz). lập phương trình mặt phẳng .qua d và cách A một khoảng bằng 1. Câu VIIa ( 1 điểm ) Tìm tập hợp những điểm biểu diễn số phức z sao cho 3 2 w z i z i là một số thực. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VIb ( 2 điểm ) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2 : 6 2 6 0 C x y x y và điểm A(1;3) ; Một đường thẳng d đi qua A, gọi B, C là giao điểm của đường thẳng d với (C). Lập phương trình của d sao cho AB AC nhỏ nhất. 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : 2 2 2 2 4 2 0 x y z x y z cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác O . Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu VIIb ( 1 điểm ). Tìm tất các số thưc để bất phương trình : 2 log log 2 2 os 0 x x c có nghiệm 1 x Hết Họ và Tên : Số báo danh CU P N ( G M 4 TRANG) I M Cõu I (2 im) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s : 3 3 1 y x x Tp xỏc nh: D = Ă o hm: 2 3 3 y x  = - Cho , 2 0 3 3 0 1 1 y x x x  = - = = = - Gii hn: ; lim lim x x y y đ - Ơ đ + Ơ = - Ơ = + Ơ Hm s B trờn cỏc khong ( ; 1); (1; ) - Ơ - + Ơ , NB trờn khong ( 1;1) - Hm s t cc i y C = 1ti CD 1 x = - , t cc tiu y CT = 3 ti CT 1 x = BBT im un: ( ) 0; 1 I - vỡ: 6 0 0 1 y x x y  = = = ị = - . Giao im vi trc honh:khụng cú nghim nguyờn Bng giỏ tr x 1 - 0 1 2 y 1 1 - -3 1 th hm s: hỡnh v bờn x 1 1 + Ơ y  + 0 0 + y 1 + Ơ 3 0,25 0,25 0,25 0,25 .2) Vit phng trỡnh ng thng d ct (C) ti 3 im phõn bit A, M, N sao cho 2 A x v 2 2 MN . Nh n xột : n u ng thng d qua A khụng cú h s gúc tc x = 2 c t (C) nhi u nht 1 im khụng tha yờu cu bi toỏn .Do ú d phi cú h s gúc . Vỡ 2 A x nờn 1 A y suy ra phng trỡnh d cú dng 2 1 y k x Phng trỡnh honh giao im d v (C) l: 3 2 2 (3 ) 2 2 0 ( 2)( 2 1) 0 2 2 1 0 (*) x k x k x x x k x x x k d ct (C) ti 3 im phõn bit A, M, N (*) cú 2 nghim phõn bit, 1 2 , 2 ; 2 2 x x MN Theo vi ột 1 2 1 2 , 2; 1 x x x x k Ta cú : 2 2 2 2 2 1 2 1 8 MN x x x x k 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 4 k x x k x x x x Hay 2 8 1 4 4 1 k k 3 2 0 k k 1 k (tho yờu cu bi toỏn ) Vy d cú pt l : 1 y x 0,25 0,25 0,25 0,25 Cõu II ( 2 im) 1) Gii phng trỡnh : 2 2 tan 1 tan 2 3sin 1 0 x x x . iu kin cos 0 x Phng trỡnh vit li 2 2 1 tan 2 3sin 1 tan x x x 0,25 2 2 3sin os2 2sin 3sin 1 0 x c x x x 1 sin 1 ;sin 2 x x so sánh đ/k chọn 1 sin 2 x 5 2 ; 2 6 6 x k x k k 0,25 0,25 0,25 2) Giải hệ phương trình với ,x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 0 1 1 2 2 1 2 x y x y y y x y xy x x xy y y Từ phương trình (2) ta có đ/k : , 0 x y y 2 2 2 2 1 1 y y y x y x y x y Xét hàm số 2 2 1 f t t t t liên tuc 0; có / 2 1 2 .2 1 t f t t t t 2 1 1 2 0 0 2 1 t t t t Suy ra hàm số nghịch biến 0; nên 2 f y f x y x y Thay vào (1) ta có 2 2 1 0 2 y x x y 4 x Vậy hệ có nghiệm (x ;y) = (4 ; 2) 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu III (1 điểm) 3 /Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : 2 1 ( ) 1 x y C x , trục hoành, và tiếp tuyến của (C) tại giao điểm (C) với trục tung. vết được pt tt : 1 y x nêu được miếng lấy diện tích 1 1 2 1 0 2 2 1 1 1 1 x S x dx x dx x 1 1 2 2 2 1 0 2 ln 1 2 2 x x x x x = 1 ln 2 2 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu IV (1 điểm) Cho hình ch óp S .ABCD đáy l à h ình vu ô ng c ạnh 2a , tam gi ác SAB đ ều , tam gi ác SCD vu ô ng c â n đ ỉnh S. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Ta có diện tích đáy hình vuông ABCD : S =4 a 2 Gọi E , F lần lượt trung điểm AB và CD Tam giác SAB đều nên đường cao 2 3 3 2 a SE a Tam giác SCD vuông cân đỉnh S nên đường cao SF = a Do đó ta có tam giác SEF vuông tại S (vì 2 2 2 EF SE SF ) Trong tam giác SEF kẻ SH vuông góc EF tại H Ta có SH vuông góc mp(ABCD) . 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 3 3 SH SE SF a a a 3 2 a SH . Vậy 3 2 1 1 3 2 3 ( ). .4 . 3 3 2 3 a a V S ABCD SH a ( đvt 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu V (1 điểm) CMR v ới a > 0; b> 0; c > 0 th ì 1 1 1 1 1 1 3 a b c a 2b b 2c c 2a + Với a > 0, b > 0, c >0 ta có: a 2 b a 2 2b 1 2 a 2b 3 a 2b (1) + Do 1 2 1 1 1 a 2 b a b b 9 a b a b b nên 1 2 9 a b a 2 b (2) .Từ (1) và (2) ta có: 1 2 3 3 a b a 2b (3) (Với a > 0; b> 0; c > 0) Áp dụng (3) ta có: 1 1 1 1 1 1 3 a b c a 2b b 2c c 2a ( đpcm) dấu " " xẩy ra khi và chỉ khi a b c 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu VIa (2 điểm) 1)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh 2;1 , B điểm A thuộc Oy, điểm C thuộc trục hoành ( 0 C x ) góc 30 o BAC ; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 5 . Xác định toạ độ A và C. Gọi C(c;0) ; A(0;a) ; ta có 2 sin30 5 o BC R 2 2 2 5 2 0 1 5 BC c 0 , 4 ( ) c c loai Suy ra C(0 ;0) trùng với điểm O Gọi H hình chiếu vuông góc điểm B trên Oy ta có tam giác BHA một nửa tam giác đều Nên BA =2 BH do đó HA = 2 3 (0;1 2 3) A hoặc (0;1 2 3) A Vậy có (0;1 2 3) A , B(-2 ;1) , C(0 ;0) hoặc (0;1 2 3) A , B(-2 ;1) , C(0 ;0) 0,25 0,25 0,25 0,25 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng : 2 1 0 P x y z và điểm A(1;1;2). Gọi d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Oyz). Lập phương trình mặt phẳng .qua d và cách A một khoảng bằng 1. Phương trình mp(Oyz): x = 0 ; và ) (0;0;1), (0, 1; 1) B C thuộc d , phương trình mặt phẳng có dạng : 0 ax by cz d ( 2 2 2 0 a b c ). Do đi qua B, C nên : 0 0 2 c d d c b c d b c pt là ax + (- 2c)y +cz - c = 0 2 2 2 2 2 ( , ) 1 1 4 a c c c d A a c c 2 2 2 5 a c a c 2 2 ac c Nếu c = 0, chọn a = 1 0, 0 b d pt x = 0 0,25 0,25 0,25 0,25 Nếu a= - 2c chọn c = 1 thì a= - 2d = -1 , b= - 2 khi đó pt : - 2x - 2y + z - 1 = 0 Câu VII a ( 1 điểm) Tìm tập hợp những điểm biểu diễn số phức z sao cho 3 2 w z i z i là một số thưc . Gọi ( , ) z a bi a b khi đó 2 2 2 ( 3) ( 1) 2 ( 3) w ( 1) ( 1) a b i a b i a b i a b i a b 2 2 ( 2) ( 3)( 1) ( 3) ( 2)( 1) ( 1) a a b b a b a b i a b là số thưc khi và chỉ khi : ( 3) ( 2)( 1) 0 2 1 0 0 0 1 1 a b a b a b a a b b Vậy tập hợp đó là đường thẳng 2 1 0 x y trừ điểm M(0 ; - 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu VIb. (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2 : 6 2 6 0 C x y x y và điểm A(1;3) ; Gọi B, C là giao của đường thẳng d đi qua A với (C).Lập phương trình d sao cho AB AC nhỏ nhất. Tâm đường tròn (3; 1), 2; 2 5 ( , ) 2 I R IA d I A R nên điểm A nằm ngoài (C) Ta có /( )A C P AB.AC = d 2- - R 2 = 16 ; và 2 . 2.4 8 AB AC AB AC dấu “=”xẩy ra AB = AC = 4 . Khi đó d là tiếp tuyến của (C), d có dạng ( 1) ( 3) 0 a x b y 3 0 ax by a b Từ đó ta có 2 2 3 3 ( , ) 2 2 a b a a d I d a b 2 0 3 4 4 3 b b ab a b chọn 0 1 b a 4 3 b a Vậy phương trình d : 1 , 3 4 15 0 x x y 0,25 0,25 0,25 0,25 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : 2 2 2 2 4 2 0 x y z x y z cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác O . Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (S) : 2 2 2 1 2 1 6 x y z có tâm w(1;2;1) bán kính R = 6 (S) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(2;0;0), B(0;4;0), C( 0;0;2) . Gọi I tâm đường tròn (A,B,C) thì I giao điểm của d đi qua w và vuông góc mp(ABC),và mp(ABC); Ptmp(ABC) Giải hệ 2 2 4 0 x y z và 1 2 2 1 2 x t y t z t ta được 2 9 t suy ra 5 16 5 ( ; ; ) 9 9 9 I và r = IA = 2 2 2 5 16 5 5 2 2 9 9 9 3 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu VIIb. (1 điểm) Tìm tất các giá trị để bất phương trình : 2 log log 2 2 os 0 x x c có nghiệm 1 x với . 1 x ; Bpt tương đương với 2 2 1 log 2 os 2 log x c x (1) mặt khác 2 log 0 x nên theo Côsi ta có: 2 2 1 log 2 log x x (2) Từ (1) và (2) ta có . 1 x : bpt VT = VP = 2 cos 1 2 ( ) k k khi đó bất phương trình có nghiệm 2 log x = 1 2 x . Vậy 2 ( ) k k 0,25 0,25 0,25 0,25 . SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TRƯỜNG THPH LÊ LỢI Môn TOÁN – Khối A-B-A 1 Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề I. PHẦN CHUNG ( Cho tất cả. pt x = 0 0,25 0,25 0,25 0,25 Nếu a= - 2c chọn c = 1 thì a= - 2d = -1 , b= - 2 khi đó pt : - 2x - 2y + z - 1 = 0 Câu VII a ( 1 điểm) Tìm tập hợp những điểm biểu. 1); (1; ) - Ơ - + Ơ , NB trờn khong ( 1;1) - Hm s t cc i y C = 1ti CD 1 x = - , t cc tiu y CT = 3 ti CT 1 x = BBT im un: ( ) 0; 1 I - vỡ: 6 0 0 1 y x x y  = = = ị = - . Giao