đề thi học sinh giỏi toán 8

ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 8 Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1. ( 2 điểm ): a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x 3 (x 2 - 7 ) 2 - 36x b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh: A= n 3 (n 2 - 7 ) 2 - 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n. Bài 2. ( 2 điểm ): Cho biểu thức A = 32 23 1 1 : 1 1 xxx x x x x +−− −         − − − với x khác -1 và 1. a, Rút gọn biểu thức A. b, Tính giá trị của biểu thức A tại x 3 2 1−= . c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 3. ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = 2004. Tính : M = 2004 2004 2004 2004 1 a b c ab a bc b ac c + + + + + + + + . Bài 4. (4 điểm ) : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB , BC. Gọi P giao điểm của AN với DM. a) Chứng minh : tam giác APM là tam giác vuông. b) Tính diện tích của tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân. Bài 5. ( 1 điểm ): Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho : x 2 = y 2 + 2y + 13. HẾT HDC ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 8 Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài Đáp án Điểm 1 a) x 3 (x 2 - 7 ) 2 - 36x = x[( x 3 - 7x) 2 - 36] = x(x 3 - 7x - 6)( x 3 - 7x + 6 ) = x(x 3 - x - 6x - 6)( x 3 - x - 6x + 6 ) = x[x(x - 1 )( x + 1) - 6( x+ 1)][ x(x - 1 )( x + 1) - 6( x- 1)] = x(x + 1 )(x 2 - x - 6)(x - 1 )( x 2 + x - 6 ) = x(x + 1 )(x 2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x 2 +3x - 2x - 6 ) = x(x + 1 )(x 2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x 2 + 3x - 2x - 6 ) = x(x + 1 )( x - 1 )[(x(x - 3 ) + 2( x - 3 )][(x(x + 3 ) - 2( x + 3 )] = x(x + 1 )( x - 1 ) (x - 3 )(x + 2 ) ( x - 2 )( x + 3 ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) Theo phần a ta có : A = n 3 (n 2 - 7 ) 2 - 36n = n(n + 1 )( n - 1 ) (n - 3 )(n + 2 ) ( n - 2 )( n + 3 ) Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp . Trong 7 số nguyên liên tiếp có : - Một bội của 2 nên A chia hết cho 2. - Một bội của 3nên A chia hết cho 3. - Một bội của 5 nên A chia hết cho 5. - Một bội của 7 nên A chia hết cho 7. Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A M ( 2.3.5.7 ) Hay A M 210. 0,25 0,25 2 a) Với x khác -1 và 1 thì : A= )1()1)(1( )1)(1( : 1 1 2 23 xxxxx xx x xxx +−+−+ +− − +−− = )21)(1( )1)(1( : 1 )1)(1( 2 2 xxx xx x xxxx +−+ +− − −++− = )1( 1 :)1( 2 x x − + = )1)(1( 2 xx −+ 0,25 0,25 b) Tại x = 3 2 1− = 3 5 − thì Acó giá trị là       −−−       −+ ) 3 5 (1) 3 5 (1 2 = ) 3 5 1)( 9 25 1( ++ 27 2 10 27 272 3 8 . 9 34 === 0,25 0,25 c) Với x khác -1 và 1 thì A< 0 khi và chỉ khi 0)1)(1( 2 <−+ xx (1) Vì 01 2 >+ x với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 01 <− x 1>⇔ x KL 0,25 0,25 3 Thay 2004 = abc vào M ta có : 2 2 2 1 (1 ) ( 1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 a bc b c M ab a bc abc bc b abc ac c a bc b c ab ac c b c ac ac c ac c ac c c ac ac c ac c ac c = + + + + + + + + = + + + + + + + + = + + + + + + + + + + = = + + 0,25 0,25 0,25 0,25 4 Vẽ hình đúng cho phần a 0,25 a) Chứng minh ∆ADM =∆BAN ( c.g.c ) => µ ¶ 1 1 A D= Mà ¶ ¶ 0 1 1 90D M+ = ( ∆ADM vuông tại A ) Do đó: µ ¶ 0 1 1 90A M+ = => · 0 90APM = .Hay ∆APM vuông tại P. 0,75 0,25 0,25 b) Tính được : AP = 4 5 ( ) 5 cm AM = 2 5 ( ) 5 cm S APM = 2 4 ( ) 5 cm 0,5 0, 5 0,25 c) Gọi I là trung điểm của AD. Nối C với I; CI cắt DM tại H. Chứng minh tứ giác AICN là hình bình hành => AN // CI mà AN ⊥ DM nên CI ⊥ DM Hay CH là đường cao trong ∆CPD (1) Vận dụng định lý về đường trung bình trong ∆ADP chứng minh được H là trung điểm của DP => CH là trung tuyến trong ∆CPD (2) Từ (1) và (2) suy ra ∆CPD cân tại C. 0,5 0,25 0,25 0,25 5 Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng ( x + y + 1)( x - y - 1) = 12 Lập luận để có x + y + 1> x - y - 1 và x + y + 1; x - y - 1 là các ước dương của 12 từ đó có các trường hợp : x + y + 1 12 6 4 x - y - 1 1 2 3 x 13 2 4 7 2 y 9 2 1 1 2 − Mà x; y nguyên dương nên ( x; y) = ( 4; 1) KL.:vậy (x;y) = (4;1) 0,25 0,25 0,25 0,25 *Chú ý: Ở mỗi phần, học sinh làm đúng theo cách khác vẫn cho điểm tối đa. 1 11 D A B C P H I M N . ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 8 Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1. ( 2 điểm ): a) Phân. Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho : x 2 = y 2 + 2y + 13. HẾT HDC ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 8 Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài Đáp án Điểm 1 a) x 3 (x 2 . là       −−−       −+ ) 3 5 (1) 3 5 (1 2 = ) 3 5 1)( 9 25 1( ++ 27 2 10 27 272 3 8 . 9 34 === 0,25 0,25 c) Với x khác -1 và 1 thì A< 0 khi và chỉ khi 0)1)(1( 2 <−+ xx