Nguyễn Thế Minh – THPT Ngọc Tảo CHƯƠNG I ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH 1. Toạ độ góc - Xét một vật rắn bất kì quay xung quanh một trục Az cố định. - Dựng mặt phẳng P 0 cố định chứa trục quay và mặt phẳng động P chứa trục quay và gắn với vật. Khi vật quay thì mp(P) quay theo. Góc ϕ giữa P và P 0 dùng để xác định vị trí của vật rắn và gọi là toạ độ góc của vật. - Đơn vị của ϕ là radian (rad). - Chú ý : Nếu chỉ xét vật quay theo một chiều và chọn chiều dương là chiều quay của vật, khi đó ∆ ϕ > 0. 2. Tốc độ góc - Tốc độ góc trung bình trong khoảng thời gian ∆t là: ω tb = ttt 0 0 ∆ ϕ∆ = − ϕ−ϕ (1.1) - Tốc độ góc tức thời ở một thời điểm t: dt d t t ϕϕ ω = ∆ ∆ = →∆ 0 lim , hay ω = ϕ ’(t) (1.2) Vậy: Tốc độ góc tức thời (gọi tắt là tốc độ góc) là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh, chậm của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục ở thời điểm t và được xác định bằng đạo hàm của toạ độ góc theo thời gian. - Đơn vị của tốc độ góc là rad/s 3. Gia tốc góc - Gia tốc góc trung bình trong khoảng thời gian ∆t là: γ tb = ttt ∆ ∆ = − − ω ωω 0 0 (1.3) - Gia tốc góc tức thời ở một thời điểm t: dt d t t ωω γ = ∆ ∆ = →∆ 0 lim , hay γ = ω ’(t) (1.4) Vậy: Gia tốc góc tức thời (gọi tắt là gia tốc góc) của vật rắn quay quanh một trục ở thời điểm t là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của tốc độ góc ở thời điểm đó và được xác định bằng đạo hàm của tốc độ góc theo thời gian. - Đơn vị của gia tốc góc là rad/s 2 . 4. Các phương trình động học của chuyển động quay a) Trường hợp tốc độ góc của vật rắn không đổi theo thời gian (ω = const): chuyển động quay đều. - Từ (1.1) → )( 00 tt −+= ωϕϕ (1.5) Trong đó ϕ 0 là toạ độ góc của vật tại thời điểm t 0 . b) Trường hợp gia tốc góc của vật rắn không đổi theo thời gian (γ = const): chuyển động quay biến đổi đều. - Các phương trình của chuyển động quay biến đổi đều của vật rắn quay quanh một trục có dạng: )( 00 tt −+= γωω (1.6) 2 000 )( 2 1 )( tttt −+−+= γωϕϕ (1.7) )(2 0 22 0 ϕϕγωω −=− (1.8) - Nếu vật quay theo một chiều nhất định và tốc độ góc của vật tăng dần theo thời gian thì chuyển động quay là nhanh dần ( ω.γ >0). Nếu tốc độ góc của vật giảm dần theo thời gian thì chuyển động quay là chậm dần (ω.γ < 0). Trang 1 – Chương I - Giáo án Vật Lí 12 Nâng cao Nguyễn Thế Minh – THPT Ngọc Tảo 5. Vận tốc và gia tốc của các điểm trên vật quay - Quan hệ giữa tốc độ dài và tốc độ góc của một điểm trên vật quay: rv ω = (1.9) - Nếu vật rắn quay đều: vận tốc dài của các điểm trên vật rắn chỉ thay đổi về hướng mà không thay đổi về độ lớn, do đó mỗi điểm có gia tốc hướng tâm có độ lớn: r r v a n 2 2 ω == (1.10) - Nếu vật quay không đều: vận tốc của mỗi điểm thay đổi cả hướng và độ lớn. Do đó vectơ gia tốc của mỗi điểm có 2 thành phần: tn aaa += Trong đó: • n a là gia tốc hướng tâm, đặc trưng cho sự thay đổi hướng của v . • t a là gia tốc tiếp tuyến, đặc trưng cho sự thay về độ lớn của v : )'.(' ω rv dt dv a t === → γ .ra t = (1.11) Độ lớn của gia tốc 22 tn aaa += (1.12) Véctơ a hợp với bán kính OM một góc α, với: 2 tan ω γ α == n t a a (1.13) PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH 1. Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực a) Momen lực đối F đối với một trục quay vuông góc với F : M = F.d (2.1) Trong đó d là tay đòn của lực = khoảng cách giữa trục quay và giá của lực, M có đơn vị là N.m. Quy ước: Chọn một chiều quay là chiều dương, M > 0 nếu lực F có tác dụng làm vật quay theo chiều dương; M < 0 nếu lực F có tác dụng làm vật quay theo chiều ngược lại. b) Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực. • Xét chất điểm M có khối lượng m, chuyển động trên đường tròn tâm O bán kính r và chịu lực F . (hình vẽ) - Phân tích: tn FFF += . - Xét thành phần F t : + F t = ma t = mrγ → F t r = mr 2 γ (2.2) + Vì F t r = Frcosθ = Fd = M. (2.3) - Vậy : M = (mr 2 )γ (2.4) • Xét trường hợp vật rắn gồm nhiều chất điểm khối lượng m i , m j , . . . ở cách trục quay các khoảng r i , r j , . . . khác nhau: Ta có M i = (m i r i 2 )γ (2.5) Lấy tổng cho tất cả các chất điểm của vật rắn ta được γ == ∑∑ i iii rmMM 2 1 (2.6) 2. Momen quán tính Trang 2 – Chương I - Giáo án Vật Lí 12 Nâng cao Nguyễn Thế Minh – THPT Ngọc Tảo Định nghĩa: Momen quán tính I đối với một trục là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật rắn trong chuyển động quay quanh trục ấy: ∑ = i ii rmI 2 (2.7) Độ lớn của I phụ thuộc vào khối lượng của vật rắn và sự phân bố khối lượng xa hay gần trục quay. Đơn vị của momen quán tính là kg.m 2 . Ví dụ: Momen quán tính của một số vật đồng chất đối với trục đối xứng của nó: a) Đĩa tròn hoặc hình trụ đồng chất bán kính R, trục quay trùng với trục hình trụ: 2 1 I mR 2 = b) Vật có dạng hình trụ rỗng hoặc vành tròn, chiều dày rất nhỏ, bán kính R: 2 I mR= . c) Hình cầu đồng chất: 2 2 I mR 5 = . d) Thanh mảnh đồng chất, chiều dài l, trục quay qua trung điểm và vuông góc với thanh: 2 1 I ml 12 = Định lí Stainơ – Huy-ghen: - Gọi ∆ là trục quay qua khối tâm, I là mô men quán tính của vật đối với ∆ . - Gọi '∆ là trục quay song song với ∆ , cách ∆ một khoảng d. Khi đó, mô men quán tính của rắn đối với một trục '∆ là I’ = I + md 2 . VD: Mô men quán tính của thanh mảnh đồng chất đối với một trục quay đi qua đầu thanh, vuông góc với thanh là: I’ = 2 l m 2 ÷ + 2 1 ml 12 = 2 1 ml 3 3. Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định (2.6) → γ IM = (2.8) 4. Bài tập ví dụ Một thùng nước khối lượng m được thả xuống giếng nhờ một dây dài quấn quanh một hình trụ có bán kính R, momen quán tính I. Bỏ qua khối lượng của dây và momen quán tính của tay quay. Hình trụ coi như quay tự do không ma sát quanh trục cố định (hình vẽ). Tính gia tốc của thùng nước Bài giải Áp dụng định luật II Newton cho chuyển động tịnh tiến của thùng nước, ta có: mg – T = ma (1) T là lực căng dây. Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động quay của hình trụ, ta có: M = T.R = I. γ Hay R I T γ . = (2) Giữa gia tốc dài và gia tốc góc có liên hệ: γ = R a (3) Lấy (1) cộng (2) vế với vế, kết hợp với (3) ta suy ra ImR mgR + = 2 γ → 2 R I m mg a + = = g mR I 2 1 1 + Trang 3 – Chương I - Giáo án Vật Lí 12 Nâng cao Nguyn Th Minh THPT Ngc To BI TP 1. Cỏc phng trỡnh ng hc: )( 00 tt += 2 000 )( 2 1 )( tttt ++= )(2 0 22 0 = rv = r r v a n 2 2 == .ra t = 2. Phng trỡnh ng lc hc - Momen lc : M = F.d - Momen quỏn tớnh: = i ii rmI 2 - Phng trỡnh c bn ca chuyn ng quay: IM = Bi tp 1. Mt bỏnh xe bỏn kớnh R = 30 cm quay nhanh dn u t tc gúc 0 , trong 30s u quay c 86,25 vũng . Tc gúc ca bỏnh xe cui 30s trờn l 4,75 vũng/s. Tớnh gia tc gúc , tc gúc 0 v tc di ca mt im mộp bỏnh xe cui 10s tip theo. LG: - Trong t = 30s, bỏnh xe quay c gúc = 86,25 vũng = 172,5 rad, = 4,75 vũng/s = 9,5 rad/s. Ta cú: 2 0 . 2 1 . tt += (1) - Mt khỏc: t += . 0 t = . 0 (2) - Thay (2) vo (1): 2 . 2 1 . tt = 2 22 tt = (3) - Thay s ta c: = 4 rad/s 2 = 0,785 rad/s 2 t = . 0 = 4 rad/s = 2 vũng/s. - cui 10s tip theo, tc sau t = 40s k t thi im ban u: '.' 0 t+= = 12 rad/s. v = R = 11,31 m/s Bi tp 2. Có hai vật A và B khối lợng lần lợt là 200g và 100g đợc buộc vào hai đầu của một sợi dây mảnh, không giãn, không khối lợng. Dây đợc vắt qua một ròng rọc là một đĩa hình trụ đồng chất khối lợng 200g, bán kính 4 cm. Giữ cho A và B đứng yên, sau đó thả nhẹ. Dây không trợt trên ròng rọc. Lấy g = 10 m/s 2 .Tính gia tốc góc của ròng rọc, gia tốc của hai vật A, B và tốc độ góc của ròng rọc sau khi A đi đợc 40cm. LG: Chn chiu dng ngc chiu kim ũng h. Vt A: 1111 amTgm = (1) Vt B: 2212 amTgm = (2) Rũng rc: . 21 IRTRT = (3) Liờn h gia cỏc i lng ng hc trong h: . 21 Raa == (4) Gii h (1) (4) ta c: Trang 4 Chng I - Giỏo ỏn Vt Lớ 12 Nõng cao Nguyễn Thế Minh – THPT Ngọc Tảo 2 21 21 R )( I mm gmm a ++ − = = 2,5 m/s 2 γ = 62,5 rad/s 2 Sau khi đi được s = 40 cm = 0,4 m → Vận tốc của A là sav 2 = = 2 m/s. → Tốc độ góc của ròng rọc: R v = ω = 25 2 rad/s MOMEN ĐỘNG LƯỢNG ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MOMEN ĐỘNG LƯỢNG 1. Momen động lượng a) Dạng khác của phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định Ta có: γ IM = Hay dt d IM ω = Trong trường hợp momen quán tính I không đổi, ta có thể viết: dt Id M )( ω = (3.1) Đặt ω IL = (3.2) → dt dL M = (3.3) (3.3) đúng cho cả trường hợp momen quán tính I của vật hay hệ vật thay đổi. - Nếu M không đổi → tML ∆=∆ . (3.4) b) Momen động lượng Momen động lượng của vật rắn đối với một trục quay bằng tích số của momen quán tính của vật đối với trục quay đó và vận tốc góc của vật quay quanh trục đó: ω IL = Đơn vị của momen động lượng: kg.m 2 .s -1 . 2. Định luật bảo toàn momen động lượng Từ (3.3), nếu dt dL M = = 0 thì: → L = hằng số (3.5) Định luật: Nếu tổng các momen ngoại lực tác dụng lên một vật rắn (hay hệ vật) đối với một trục bằng 0 thì momen động lượng của vật rắn (hay hệ vật) đối với trục đó được bảo toàn. Các trường hợp riêng: - Nếu momen quán tính I không đổi: Vật sẽ đứng yên hoặc quay đều quanh trục đó. - Nếu vật (hoặc hệ vật) có momen quán tính thay đổi, ta có constI = ω → constII == 2211 ωω (3.6) ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH 1. Động năng của vật rắn quay quanh một trục cố định - Xét một vật rắn quay quanh một trục cố định Oz, tại thời điểm t có tốc độ góc là ω. → Chất điểm m i cách trục quay khoảng r có động năng: 22 )( 2 1 2 1 ω iiii rmvm = Động năng của vật rắn là tổng động năng của tất cả các điểm trên vật: Trang 5 – Chương I - Giáo án Vật Lí 12 Nâng cao Nguyễn Thế Minh – THPT Ngọc Tảo W đ = 222 2 1 )( 2 1 ωω = ∑∑ i ii i ii rmrm Hay: W đ = 2 2 1 ω I = 2 L 2I (4.1) Trong đó I là momen quán tính của vật rắn đối với trục quay. Chú ý: Định lí động năng cũng đúng cho vật rắn chuyển động quay: ∆W đ = 2 2 2 1 ω I – 2 1 2 1 ω I = A Độ biến thiên động năng của một vật bằng tổng công của các ngoại lực tác dụng lên vật. Công của ngoại lực A = M. ∆ϕ 2. Bài tập áp dụng Đề bài: Vận động viên trượt băng quay quanh trục thẳng đứng với ω 1 =15 rad/s, hai tay dang ra: I 1 = 1,8 kg.m 2 . Khi vận động viên thu tay lại thì I 2 = 1 3 1 I . Tính động năng của người đó lúc đầu và lúc cuối. Bỏ qua ảnh hưởng của ma sát với mặt băng. LG: Động năng lúc đầu: W đ1 = 2 11 2 1 ω I = 202,5 J Theo định luật bảo toàn momen động lượng: I 1 ω 1 = I 2 ω 2 ⇒ ω 2 = 3ω 1 Động năng lúc cuối là: W đ2 = 2 22 2 1 ω I = 3W đ1 = 607,5 J BÀI TẬP VỀ ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN Phương pháp động lực học: - Xác định rõ đối tượng cần khảo sát là vật hay hệ vật nào, vật chuyển động tịnh tiến hay chuyển động quay quanh trục cố định, - Xác định các lực tác dụng lên mỗi vật và momen lực của các lực đối với trục quay - Áp dụng phương trình định luật II Newton cho vật rắn chuyển động tịnh tiến, phương trình cơ bản của vật rắn cho vật rắn quay quanh một trục cố định, - Tìm quan hệ giữa các đại lượng động học trong hệ, - Giải các phương trình, biện luận các đại lượng vật lí cần tìm Bài tập 1. Một bánh xe đạp chịu một momen lực M 1 không đổi 20 N.m. Trong 10 s đầu, tốc độ góc của bánh xe tăng đều từ 0 đến 15 rad/s. Sau đó momen lực M 1 ngừng tác dụng, bánh xe quay chậm dần đều và dừng lại sau 30 s. Biết momen lực ma sát có giá trị không đổi trong suốt quá trình bánh xe chuyển động và bằng 0,25M 1 . Tính: a) Gia tốc góc của bánh xe khi quay nhanh dần đều và chậm dần đều, b) Momen quán tính của bánh xe đối với trục, c) Động năng quay của bánh xe ở đầu giai đoạn quay chậm dần đều. LG: a) Chuyển động của bánh xe gồm hai giai đoạn: - Giai đoạn đầu (10 s đầu) quay nhanhd ần đều: 2 1 01 1 /5,1 srad t = ∆ − = ωω γ - Giai đoạn cuối (30 s cuối) quay chậm dần đều: 2 2 12 2 /5,0 srad t −= ∆ − = ωω γ Trang 6 – Chương I - Giáo án Vật Lí 12 Nâng cao Nguyễn Thế Minh – THPT Ngọc Tảo b) Áp dụng phương trình cơ bản của chuyển động quay quanh trục cố định: Trong giai đoạn đầu momen ngoại lực là M = M 1 + M ms = 0,75M 1 (vì M ms = - 0,25M 1 ) → 2 1 .10 5,1 20.75,0 mkg M I === γ Hay: Trong giai đoạn cuối M 2 = M ms = - 0,25M 1 → 2 1 2 .10 5,0 20.25,0 mkg M I = − − == γ c) Động năng quay của bánh xe ở đầu giai đoạn quay chậm dần đều: W đ JI 1125 2 1 2 1 == ω Bài tập 2. Một đĩa tròn đồng chất khối lượng m = 1 kg, bán kính R = 20 cm dđng quay đều quanh trục vuông góc với mặt đĩa và đi qua tâm của đĩa với tốc độ góc ω 0 = 10 rad/s. Tác dụng lên đĩa một momen hãm. Đĩa quay chậm dần đều và dừng lại sau khi quay được một góc 10 rad. Tính: a) Momen hãm. b) Thời gian từ lúc chịu tác dụng của momen hãm đến khi dừng lại. LG: a) Chuyển động đĩa là chuyển động quay chậm dần đều: Áp dụng phương trình γ IM = (chú ý I > 0, γ < 0) Với momen quán tính 2 2 1 mRI = = 0,02 kg.m 2 Gia tốc góc ϕ ωω γ ∆ − = .2 2 0 2 = - 5 rad/s 2 ⇒ M = - 0,1 N.m Cách khác: Theo định lí động năng: ∆W đ = A ⇒ 0 – 2 0 2 1 ω I = M.∆ϕ ⇒ M b) Áp dụng công thức ω = ω 0 + γ∆t ⇒ ∆t = 2 s. Hoặc công thức t ∆+=∆ . 0 γωϕ ⇒ ∆t Bài tập 3. Cho hệ như hình vẽ: Hai vật A, B cùng khối lượng m = 1 kg, ròng rọc co momen quán tính I = 0,050 kg.m 2 , bán kính R = 10 cm. Dây không trượt trên ròng rọc, ban đầu các vật được giữ đứng yên. Thả hệ vật, sau 2 s ròng rọc quay quanh trục 2 vòng, gia tốc của A, B không đổi. Bỏ qua ma sát ở trục ròng rọc. Lấy g = 9,8 m/s 2 . Tính: a) Gia tốc góc của ròng rọc và gia tốc của 2 vật A, B. b) Lực căng dây ở hai bên ròng rọc. c) Hệ số ma sát giữa B và mặt bàn (nếu có). LG: a) Vì hai vật A, B chuyển động với gia tốc không đổi chúng chuyển động thẳng nhanh dần đều. - Dây không trượt trên ròng rọc nên a = R.γ Áp dụng công thức: 2 . 2 1 t ∆=∆ γϕ (ban đầu ω 0 = 0) ⇒ γ = 2 2 t∆ ∆ ϕ = 2π = 6,28 rad/s 2 . ⇒ a = R.γ = 0,628 m/s 2 . b) Vật A: P – T A = ma ⇒ T A = m(g – a) = 1.(9,8 - 0,628) = 9,17 N Xét ròng rọc: M = I.γ ⇒ (T A – T B ).R = I.γ ⇒ T B = T A – I.γ/R = 6,03 N Chú ý: Vì ròng rọc có momen quán tính I nên lực căng dây ở hai bên ròng rọc sẽ có giá trị khác nhau Trang 7 – Chương I - Giáo án Vật Lí 12 Nâng cao Nguyễn Thế Minh – THPT Ngọc Tảo c) Vì T B = 6,03 N > m.a = 0,628 N ⇒ giữa B và mặt bàn có lực ma sát. Theo định luật II Newton: T B – F ms = ma ⇒ F ms = T B – ma = 5,4 N ⇒ Hệ số ma sát µ = 55,0≈ mg F ms ÔN TẬP CHƯƠNG I Các đại lượng động học: - Toạ độ góc ϕ (rad) - Tốc độ góc ω(rad/s) = ϕ’ - Gia tốc góc γ (rad/s 2 ) = ω’ = ϕ’’ Các phương trình động học: - Chuyển động quay đều: ω = const, γ = 0, ϕ = ϕ 0 + ω .t - Chuyển động quay biến đổi đều γ = const ω = ω 0 + γ .t ϕ = ϕ 0 + ω 0 .t + ½ γ .t 2 ϕγωω ∆=− .2 2 0 2 Các đại lượng động lực học: - Momen lực M (N.m) = F.d - Momen quán tính I (kg.m 2 ) = ∑ i ii rm 2 - Momen động lượng L (kg.m 2 /s) = I. ω - Động năng quay: W đ (J) = 2 . 2 1 ω I Mối quan hệ giữa các dại lượng động lực học - Phương trình động lực học: γ .IM = hay dt dL M = - Định luật bảo toàn momen động lượng: M = 0 ⇒ I 1 . ω 1 = I 2 . ω 2 Hay ∑L i = const - Định lí động năng: ∆W đ = A = M.∆ ϕ Công thức liên hệ giữa các đại lượng góc và các dại lượng dài: 2 ;;; ωγωϕ rararvrs nt ==== PP giải bài tập về chuyển động song phẳng của vật rắn: - Áp dụng định luật II Niu-tơn cho chuyển động tịnh tiến của khối tâm: 1 2 F F ma+ + = (1) - Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động quay quanh một trục nào đó: M I∑ = γ (2) với M là momen lực I là momen quán tính và γ là gia tốc góc của vật đối với cùng một trục quay. - Tìm liên hệ giữa gia tốc tịnh tiến và gia tốc góc: a r.= γ (3) với r là khoảng cách từ khối tâm đến trục quay. Giải hệ pt (1)→(3) để tìm gia tốc hoặc lực tác dụng. Trang 8 – Chương I - Giáo án Vật Lí 12 Nâng cao . 2 22 2 1 ω I = 3W đ1 = 607,5 J BÀI TẬP VỀ ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN Phương pháp động lực học: - Xác định rõ đối tượng cần khảo sát là vật hay hệ vật nào, vật chuyển động tịnh tiến hay chuyển động quay. của vật tại thời điểm t 0 . b) Trường hợp gia tốc góc của vật rắn không đổi theo thời gian (γ = const): chuyển động quay biến đổi đều. - Các phương trình của chuyển động quay biến đổi đều của vật. lên một vật rắn (hay hệ vật) đối với một trục bằng 0 thì momen động lượng của vật rắn (hay hệ vật) đối với trục đó được bảo toàn. Các trường hợp riêng: - Nếu momen quán tính I không đổi: Vật sẽ