www.VNMATH.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang Môn: Toán (Dành cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 17/6/2014 Bài 1: (2,0 điểm): Cho biểu thức: 2 2 16 4 4 a C a a a 1. Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C. 2. Tính giá trị của biểu thức C khi a = 9 - 4√5 . Bài 2: (2,0 điểm): Cho hệ phương trình: ( 1) 2 1 m x y mx y m (m là tham số) 1.Giải hệ phương trình khi m = 2. 2. Chứng minh rằng với mọi m, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn : x + 2y ≤ 3 Bài 3 : (2,0 điểm): 1. Trong hệ tọa độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d): y= mx – m +2 cắt Parabol (P): y = 2x 2 tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung. 2. Giải hệ phương trình: 3 3 2 4 2 6 2 2 x y x y x y Bài 4 : (3,0 điểm): Cho đường tròn O đường kính BC và một điểm A nằm bất kì trên đường tròn (A khác B và C). Gọi AH là đường cao của DABC, đường tròn tâm I đường kính AH cắt các dây cung AB, AC tương ứng tại D, E. 1. Chứng minh rằng : góc DHE bằng 90 0 và AB. AD = AC . AE 2. Các tiếp tuyến của đường tròn (I) tại D và E cắt BC tương ứng tại G và F. Tính số đo góc GIF 3. Xác định vị trí điểm A trên đường tròn (O) để tứ giác DEFG có diện tích lớn nhất Bài 5 : (1,0 điểm):Cho ba số thực x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất biểu thức 2 2 2 2 2 2 ( )( ) xyz x y z x y z S x y z xy yz zx 1 Lêi gi¶i vµ thang ®iÓm to¸n chung Lam S¬n Ngày thi : 17/062014 Câu Nội dung Điểm 1/ Tìm điều kiện của a để biểu thức C có ngĩa, rút gọn C. + Biểu thức C có nghĩa khi a 0 a 0 a 16 0 a 16 a 0,a 16 a 4 0 a 16 moi a 0 a 4 0 0.25 + Rút gọn biểu thức C a 2 2 a 2 2 C a 16 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 2 a 4 2 a 4 a 2 a 8 2 a 8 a 4 a C a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a a 4 a 4 a a C a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 1.25 1 2/ Tính giá trị của C, khi a 9 4 5 Ta có: 2 a 9 4 5 4 4 5 5 2 5 => 2 a 2 5 2 5 Vậy: a 2 5 2 5 C 2 5 4 6 5 a 4 0.5 Cho hệ phương trình: m 1 x y 2 mx y m 1 (m là tham số) 1/ Giải hệ phương trình khi m = 2 Khi m = 2 thay vào ta có hệ phường trình 2 1 x y 2 x y 2 x 1 x 1 2x y 3 x y 2 y 1 2x y 2 1 0.75 Kết luận: Với m = 2 hệ phường trình có một nghiệm duy nhất x 1 y 1 0.25 2 2 2/ Chứng minh rằng với mọi m hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thỏa mãn 2x y 3 y 2 m 1 x m 1 x y 2 y 2 m 1 x mx 2 m 1 x m 1 mx y m 1 mx 2 mx x m 1 <=> 2 y 2 m 1 x y 2 m 1 m 1 y m 2m 1 x m 1 x m 1 x m 1 Vậy với mọi m hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất: 2 y m 2m 1 x m 1 0.5 Ta có: 2 2 2x y 3 2 m 1 m 2m 1 3 2m 2 m 2m 1 3 2 2 2x y 3 m 4m 4 m 2 0 2x y 3 0 2x y 3 0.5 1/ Trong hệ tọa độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d) : y = mx – m + 2 cắt Parabol (P) y = 2x 2 tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trình: 2x 2 = mx – m + 2 <=> 2x 2 – mx + m – 2 = 0 (1) Có: 2 2 2 m 4.2. m 2 m 8m 16 m 4 Để đường thẳng (d) : y = mx – m + 2 cắt Parabol (P) y = 2x 2 tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung thì 1 2 1 2 0 x x 0 x .x 0 => 2 m 4 0 m 0 2 m 2 0 2 => m 4 m 0 m 2,m 4 m 2 Kết luận: để đường thẳng (d) : y = mx – m + 2 cắt Parabol (P) y = 2x 2 tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung thì: m 2,m 4 1.0 3 3 2/ Giải hệ phương trình : 3 3 x 2y 4 x 2y (1) 2x 6 2y 2 (2) Điều kiện: x 2y 0 x 2y 0 2y 0 y 0 (*) Đặt x 2y t 0, thay vào phương trình (1) ta có 3t = 4 – t 2 => t 2 + 3t – 4 = 0 1 + 3 – 4 = 0, nên phương trình có hai nghiệm t = 1 và t = -4 (loại) Với t = 1 => x 2y 1=>x + 2y = 1 => x = 1 - 2y , thay vào phương trình (2) ta có 3 2 1 2y 6 2y 2 <=> 3 4y 8 2y 2 <=> 3 4y 8 2 2y <=> 4y 8 8 12 2y 12y 2y 2y <=> 16y 12 2y 2y 2y 0 <=> 8y 6 2y y 2y 0 <=> y 2y 8 y 6 2 0 <=> y y 2 2 y 6 0 TH 1 : y 0 y 0 x 1 (thỏa mãn *) TH2 : y 2 y 2 x 3 (thỏa mãn *) TH3 : 6 y y 18 x 35 2 (thỏa mãn *) Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (x, y) = (1 ; 0), (-3, 2), (-35,18) 1.0 4 F G I E H D C B A 4 1. Chứng minh 0 DHE 90 Tứ giác ADHE có: A D E => ADHE là hình chữ nhật => 0 DHE 90 Chứng minh AB.AD = AC.AE Xét hai tam giác vuông HAB và HAC ta có: AB.AD = AH 2 = AC.AE 1.0 2/ Tính góc GIF 0 DHE 90 => DE là đường kính => I thuộc DE => 0 1 1 1 GIF DIH HIE DIE 90 2 2 2 1.0 3/ Tứ giác DEFG là hình thang vuông có đường cao DE = AH Hai đáy DG = GH = GB = 1 BH 2 và EF = FC = FH = 1 HC 2 =>diện tích hình tứ giác DEFG là 1 HB HC .AH BC.AH 2 2 4 lớn nhất khi AH lớn nhất vì BC = 2R không đổi Ta có: AH lớn nhất => AH là đường kính => A là trung điểm cung AB 1.0 5 Cho ba số thực dương x,y, z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 xyz x y z x y z S x y z xy yz zx Theo Bu nhi a : 2 2 2 2 x y z 3 x y z => 2 2 2 x y z 3 x y z => 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xyz 3. x y z x y z S x y z xy yz zx = 2 2 2 xyz 3 1 x y z xy yz zx 2 2 2 2 2 2 6 3 xyz 3 1 3 1 S 3 3 3 x y z 3 x y z => 3 1 Smax 3 3 khi x = y = z 1.0 Chú ý 1/ Bài hình không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm 2/ Làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa . www.VNMATH.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2014 – 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang Môn: Toán (Dành cho tất cả các thí sinh) Thời. ) xyz x y z x y z S x y z xy yz zx 1 Lêi gi¶i vµ thang ®iÓm to¸n chung Lam S¬n Ngày thi : 17/062014 Câu Nội dung Điểm 1/ Tìm điều kiện của a để biểu thức C có ngĩa, rút. Toán (Dành cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 17/6/2014 Bài 1: (2,0 điểm): Cho biểu thức: 2 2 16 4 4 a C a a a 1.