Đề toán lớp 7 - Đề kiểm tra, thi định kỳ, chọn học sinh năng khiếu toán lớp 7 tham khảo (7)

Sau ít nhất bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng.. Trên tia đối tia CD lấy điểm I saocho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E...

đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7

Đề số 1:

(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dơng:

a) 1

.16 2 8

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x  2006  2007  x Khi x thay đổi

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì

kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM

Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I saocho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E Chứngminh: AE = BC

-Bài 3: (4 điểm)

Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1: :

5 4 6 Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309 Tìm số A.

Nen hai tam giac BME=AMC

Vi tam giac BME=AMC=>gocMAC=gocBEM

(ma vi tri cua hai goc nay bang nhau nen canh AC//BE)

n n

 ; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4

Bµi 2 Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x  2006  2007  x Khi x thay đổi

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006  x  2007

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm

đối diện nhau trên một đờng thẳng (4 điểm mỗi)

Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đờng thẳng, ta có:

y x 1

y 12

x 1

12 y

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối

tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA,

3

=>FB // ID => IDAC

Vµ FAI = CIA (so le trong) (1)

IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)

Tõ (1) vµ (2) => CAI = FIA (AI chung)

=> IC = AC = AF (3)

vµ EFA = 1v (4)

MÆt kh¸c EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phô ABC) => EAF = ACB (5)

D B

A

I

F E

M

Vậy 3n 2 2n 2 3n 2n

-    10 với mọi n là số nguyên dương

x x

Theo đề bài ta có: a : b : c = 2 3 1: :

Vì AMC = EMB  MAC = MEB

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường

A

C I

BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM

Nên BME = HEM + MHE = 15 o + 90 o = 105 o

( định lý góc ngoài của tam giác )

Bài 5: (4 điểm)

a) Chứng minh  ADB =  ADC (c.c.c)

suy ra DAB DAC  

nên ABM 10 0

Xét tam giác ABM và BAD có:

BAM ABD ABM DAB

Vậy:  ABM =  BAD (g.c.g)

D

2 2

1

1 1

P

K T I

E N

M

D

C B

A

Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm)

c/ Kéo dài MA cắt BC tại H Từ E hạ EP  MH

1 3 3

1

2003 2

3

12

5 5 2

1 4

3 3

a

 với b,d khác 0 b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ … để đ để đ ợc một số có ba chữ số giống nhau

1.b Thực hiện theo từng bớc đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm

3 ) 1 (

a a

1 2

1 2

1

y x x

1 2

1 2 1

y x x

y

Vậy có 2 cặp số x, y nh trên thoả mãn điều kiện đầu bài

0,25

0,25 0,25 0,25 3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)

Hay ad=bc Suy ra

d

c b

a

 ( ĐPCM)

0,5 0,5 3.b Giả sử số có 3 chữ số là aaa=111.a ( a là chữ số khác 0)

Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :

a a

n

n

37 3 111 2

) 1 (







Hay n(n+1) =2.3.37.a Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn )

Do đó n=37 hoặc n+1 = 37

Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó 703

2

) 1 (





n n

không thoả mãn

Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó 666

2

) 1 (





n n

thoả mãn Vậy số số hạng của tổng là 36

0,25 0,25

Mà BAH = 15 0 nên tam giác AHB cân tại H

0,5

0,5 1,0 1,0

11

-Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 45 0 +30 0 =75 0

5 Từ : x 2 -2y 2 =1suy ra x 2 -1=2y 2

Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2 nguyên tố thoả mãn

Nếu x không chia hết cho 3 thì x 2 -1 chia hết cho 3 do đó 2y 2 chia hết cho 3 Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x 2 =19 không thoả mãn

Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm đợc thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3)

0,25 0,25

0,25 0,25

2

x y là số nguyờn õm lớn nhất

Bài 2 (1 đ ): Tỡm x biết: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117

Bài 3 (1 đ ):

Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng

-cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy Thời gian con thỏ chạy trên đồng -cỏ bằng nửathời gian chạy qua đầm lầy

Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của conthỏ trên hai đoạn đường ?

Bài 5 (3 đ ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm Từ

H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm

1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó

2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song songvới AH cắt AC tại E Chứng minh: AE = AB

§Ò sè 6:

Bài 1 (4 đ ):

Cho các đa thức:

A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 4 3

16

1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)

2, Tính giá trị của M(x) khi x =  0, 25

3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ?



 có giá trị nguyên nhỏ nhất

Bài 4 (5 đ ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b Qua M là trung điểm của

BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng

AB, AC lần lượt tại D, E

1, Chứng minh BD = CE

2, Tính AD và BD theo b, c

13

4 3

3 5

2 3

1 ) 4 ( , 0

) 2007 (

c b

b a

người và năng suất của mỗi cụng nhõn là bằng nhau Hỏi mỗi đội cú bao nhiờu cụngnhõn ?

-Cõu 4 (6 đ ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ về phớa ngoài ∆ABC cỏc ∆ đều ABD và ACE.

1, Chứng minh: BE = DC

2, Gọi H là giao điểm của BE và CD Tớnh số đo gúc BHC

Bài 5 (2 đ ): Cho m, n  N và p là số nguyờn tố thoả món: 1



m

p

= m  p n.Chứng minh rằng : p2 = n + 2

Đề số 9:

Bài 1: (2 điểm)a, Cho 1 , 25 ) 31 , 64

5

4 7 25 , 1 ).(

8 0 7 8 , 0

02 , 0 ).

19 , 8 81 , 11



B

Trong hai số A và B số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ?

b) Số A101998  4 có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?

Câu 2: (2 điểm)Trên quãng đờng AB dài 31,5 km An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A.

Vận tốc An so với Bình là 2: 3 Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4

Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?

Câu 3: a) Cho f(x) ax2bxc với a, b, c là các số hữu tỉ

2

có giá trị lớn nhất

Câu 4: (3 điểm)Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B và E nằm ởhai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AC Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900 F và Cnằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AB

a) Chứng minh rằng: ABF = ACE

5 11

5 5 , 0 625 , 0

12

3 11

3 3 , 0 375 , 0 25 , 1 3

5 5 , 2

75 , 0 1 5 , 1

1

3

1 3

1 3

1 3

a

 thì

d c

d c b a

b a

3 5

3 5 3 5

3 5

b) Tìm x biết:

2001

4 2002

3 2003

2 2004

Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.

-b) Độ dài 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4 Ba đờng cao tơng ứng với ba cạnh

đó tỉ lệ với ba số nào ?

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia

CB lấy điểm E sao cho BD = CE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt

AB, AC lần lợt ở M, N Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN

c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay

đổi trên cạnh BC

Câu 5: (1 điểm) Tìm số tự nhiên n để phân số

3 2

8 7

11 : 13

3 7

3 6 , 0 75 , 0

5 : 3

25 , 0 22 7

21 , 1 10

b) Tìm các giá trị của x để: x 3  x 1  3x

Câu 2: (2 điểm)a) Cho a, b, c > 0 Chứng tỏ rằng:

a c

c c b

b b a

a M

Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao lâu ?

Câu 4: (3 điểm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1 Trên các cạnh AB, AD lấy

các điểm P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2

1

25

1 15

1 5

az cx a

Cho ABC có góc A bằng 1200 Các đờng phân giác AD, BE, CF

a) Chứng minh rằng DE là phân giác ngoài của ADB

b) Tính số đo góc EDF và góc BED

Bài 5: (1 điểm)

Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:

2 2

5 1997

1 12 : 3

10 10

3 1

4

3 46 25

1 230 6

5 10 27

5 2 4

1 13

Bài 2: (3 điểm)a) Chứng minh rằng: A 36  38 41 33 chia hết cho 77

b) Tìm các số nguyên x để B x 1  x 2 đạt giá trị nhỏ nhất

c) Chứng minh rằng: P(x)ax3bx2cxd có giá trị nguyên với mọi x nguyênkhi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên

Bài 3: (2 điểm)a) Cho tỉ lệ thức

d

c b

a

 Chứng minh rằng:

2 2

2 2

d c

b a cd

b a d c

b a

Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1 Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm

P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2 Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450

3

2002 2

2003 1

1

4

1 3

1 2 1

Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH  BC (H  BC) Vẽ AE  AB và AE = AB (E

và C khác phía đối với AC) Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đờng thẳng AH (M, N

1 8

1 39

1 6 1

2

512 2

512 2

z z

x

y y

Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ là

AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM = AC Trên nửamặt phẳng không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc

Ay sao cho AN = AB Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK = KP Chứng minh:

1 2 17

14 2

4

1 5 19

16 3 4

1 5 9

3 8

1 180

1 108

1 54

a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.b) 3m 1  3

y x

 ;

5 4

z y

 và 2 2 16





 y x

b) Cho f(x) ax2bxc Biết f(0), f(1), f(2) đều là các số nguyên

Chứng minh f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút)

Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh:

100 99

4 3 2 1

) 6 , 3 21 2 , 1 63 ( 9

1 7

1 3

1 2

1 ) 100 99

3 2 1 (

2 25

2 3 10 1

) 15

4 ( 35

2 3 7

2 14

3 8

Chứng tỏ rằng:

-200

1 199

1

102

1 101

1 200

1 99

1

4

1 3

1 2

1 1

5

1 25 , 0 3 1

11

7 9

7 4 , 1

11

2 9

2 4 , 0

1 28

1 3

1 15

1 10

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho đa thức f(x) ax2bxc (a, b, c nguyên)

CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3

b) CMR: nếu

d

c b

a

 thì

bd b

bd b

ac a

ac a

5 7

5 7 5

7

5 7

2

2 2

14 1 3

1 5 12 6

1 6

5 4

19

2 3

1 6 15 7

3 4 31

11 1

1

3

1 3

1 2

C (x  Z)

a) Tìm x  Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.

a

 Chứng minh rằng: 2

2

) (

) (

d c

b a cd

11 2 , 2 75 , 2

13

3 7

3 6 , 0 75 , 0



B

b) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000

Câu 2: a) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 nếu a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z)

b) Biết

c

bx ay b

az cx a

Cho ABC vuông cân tại A Gọi D là điểm trên cạnh AC, BI là phân giác của

ABD, đờng cao IM của BID cắt đờng vuông góc với AC kẻ từ C tại N

25 , 1 3

5 5 , 2 12

5 11

5 5 , 0 625 , 0

12

3 11

3 3 , 0 375 , 0 : 2005

P

b) Chứng minh rằng:

10 9

19

4 3

7 3 2

5 2

1

3

2 2 2

2 2 2 2

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên nửa mặt phẳng không chứa C

có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB Trênnửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC Trên tia đó lấy

điểm E sao cho AE = AC Chứng minh rằng:

4

3 125 505

, 4 3

4 4 : 624 , 81

2

2 2

1 2

1

2

1 2

1

2

1 2

1 2

1

2004 2002 4

2 4 6

101 10

Điều đó đúng hay sai ? vì sao ?

b) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

-d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD và CE cắt nhau tại I

a) Tính các góc của DIE nếu góc A = 600

b) Gọi giao điểm của BD và CE với đờng cao AH của ABC lần lợt là M và N.Chứng minh BM > MN + NC

z y

y z

y x x

23

x t y x

t z x t

z y t z

y x

z c

b a

y c

b a

Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11km để đi đến C (ba

địa điểm A, B, C ở cùng trên một đờng thẳng) Vận tốc của ngời đi từ A là 20 km/h Vậntốc của ngời đi từ B là 24 km/h

Tính quãng đờng mỗi ngời đã đi Biết họ đến C cùng một lúc

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đờng cao AH Vẽ các

điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE Gọi I, K lần lợt làgiao điểm của DE với AB và AC

Tính số đo các góc AIC và AKB ?

Bài 5: (1 điểm)

Cho x = 2005 Tính giá trị của biểu thức:

-1 2006 2006

2006 2006

b b

c b a

b b a

c c b

Câu 5 (3đ) Cho  ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM E  BC,

BH,CK  AE, (H,K  AE) Chứng minh  MHK vuông cân

a, K là trung điểm của AC

a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2

b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3

c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4

Em hãy xác định thứ tự đúng của giải cho các bạn

Đề số 27:

25

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật

chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây

Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 20   0, vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC) Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M Chứng minh:

c) Tia AD là phân giác của góc BAC

Câu 3: Trong 3 số x, y, z có 1 số dơng , một số âm và một số 0 Hỏi mỗi số đó thuộc loạinào biết:

x y  y zCâu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:

a Chứng minh tam giác AED cân

b Tính số đo góc ACD?

27