Đề thi thử học sinh giỏi Lớp 12 môn Toán năm 2013 (6)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 180 phút) Bài 1.Cho hàm số: y=x 3 -(m+1)x 2 -(2m 2 -3m+2)x+2m(2m-1). (m-tham số) a.Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m. b.Xác định m để hàm số đồng biến trên (2;+ ∞ ) . Bài 2. a.Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau : x 2 - 2mx + 2 mx − +5 < 0. Có ít nhất một nghiệm. b.Tìm a để phương trình sau có nghiệm và tìm nghiệm: ax x a LogLogLogLogLog xaaax .4 2 . 22 2 =+ (1) Bài 3.Cho tứ diện ABCD.Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.Hai điểm R,S lần lượt lấy trên các cạnh AC và BD sao cho k BS BD AR AC == (k > 0). Chứng minh rằng bốn điểm P,Q,R,S nằm trên cùng một mặt phẳng. Bài 4. Cho tứ diện ABCD có BAD =90 0 và chân đường vuông góc hạ từ D xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng : (AB +BC +CA) 2 ≤ 6(AD 2 +BD 2 +CD 2 ). Bài 5.Cho hai số thực x, y bất kỳ thoả mãn điều kiện : 2y ≥ x 2 ; y ≤ -2x 2 + 3x . Chứng minh rằng : x 2 + y 2 ≤ 2. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) HƯỚNG DẪN CHẤM. Bài 1.(4điểm). a.(2điểm) Điểm A(x 0 ;y 0 ) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m. 0.5đ    = = ⇔      =−−− =+− =− ⇔ ∀=−−−++−−−⇔ ∀−++−−+−⇔ 0 2 02 023 02 .,0)2()23()2(2 .),12(2)232()1( 0 0 00 2 0 3 0 0 2 0 0 00 2 0 3 00 2 0 2 0 0 22 0 3 0 y x yxxx xx x myxxxmxxmx mmmxmmxmx 0.5đ 0.5đ Vậy điểm A(2;0) là điểm mà đồ thị đi qua m∀ 0.5đ b.(2điểm) Ta có: )232()1(23)( 22, +−−+−== mmxmxxgy 0.5đ ∆ ’ =7m 2 –7m +7 = 7(m 2 -m+1) > 0 , m∀ 0.5đ y , ≥ 0, );2( +∞∈∀x      <− ≥ ⇔ 02 2 0)2( S g 0.5đ 23 05 062 2 ≤≤−⇔    <− ≤−+ ⇔ m m mm 0.5đ Bài 2.(6điểm) a.(3điểm) Bất phương trình đã cho tương đương với : (*)052)( 22 <−+−+− mmxmx 0.5đ đặt: t = mx − điều kiện : t , ≥ 0 0.5đ (*)trở thành    ≥ <−++ 0 )1(052 22 t mtt 0.5đ Hệ có nghiệm    ≥ >∆ ⇔ 0 0 2 ' t (t 2 là nghiệm lớn) 0.5đ 0.5d 5 0.5d 041 04 2 2 ≥⇔      ≥−+− >− ⇔ m m m b.(3điểm) Đ/k : x>0 , x 1≠ , a>0 , a 1≠ 0.5đ (1) ⇔ x x x x a aaa a log logloglog log 1 .2 22 1 . 1 2 =+ x xx x a a aaa a log log logloglog log 22 2. 2 =+−⇔ 0.5đ Đặt : t = x a log , b= 2 log a .Ta được phương trình: )2(022 22 2 =−+−⇔=+− btbt t b tbt t 0.5đ -Nếu bt ≥ thì )3(042)2( 2 =−+⇔ btt (3) có nghiệm 4 1 0' −≥⇔≥∆⇔ b Lúc đó (3) có hai nghiệm btbt 411;411 21 ++−=+−−= Rõ ràng t 1 <-1 < b nên bị loại. 200)2(141 2 ≤≤⇔≤−⇔+≥+⇔≥ bbbbbbt Vậy 20 ≤≤ b 2220 2 log ≥⇔≤≤⇔ a a Vì a>0 nên a ≥ 2 0.5đ -Nếu t< b thì (2) 02 2 =−⇔ tt Vì t )1(0 ≠≠ x nên t=2 Theo điều kiện t< b, ta phải có: b>2 212122 2 log <<⇒<<⇒>⇒ aa a 0.5đ Kết hợp hai trường hợp phương trình (1) có nghiệm khi a > 1 Khi 1<a< 2 thì nghiệm là x = a 2 Khi a 2≥ thì nghiệm là x = a 1241 log −+ a 0.5đ Bài 3.(4điểm) [ ] [ ] ,, 22 0.5d )0BPAP (vi )( 2 0.5d )( 2 0.5d )( 2 1 0.5d )0BPAP (vi )( 2 1 0.5d )()( 2 1 0.5d )()( 2 1 0.5d )( 2 1 PSPRPQtovecbaPS k PR k PQ PSPR k PSBPPRAP k BSARk BDAC BPAPBDAC BPBDAPAC PDPCPQ −⇒+= =++= +++= += =++= +−+= −+−= += Đồng phẳng hay bốn điểm P,Q,R,S cùng thuộc một mặt phẳng. 0.5đ Bài 4.(4điểm) Trước hết ta chứng minh CDA =90 0 Thật vậy: Gọi H là hình chiếu của D lên mp(ABC), giả sử CH cắt AB tại E Do :AB DH⊥ và AB CE⊥ nên AB )(D EC⊥ Suy ra : AB DC⊥ (1) 1đ Mặt khác :theo giả thiết BDC =90 0 BDDC ⊥⇒ (2) Từ (1)và (2) ⇒⊥⇒⊥ DADCABDDC )( CDA =90 0 0.5đ Hoàn toàn tương tự : ADB =90 0 0.5đ Từ đó ta có : AB 2 + BC 2 + CA 2 =2(AD 2 +BD 2 +CD 2 ) (1) 0.5đ Sử dụng bất đẳng thức Co-si , ta có: (AB+BC+CA) 2 = AB 2 +BC 2 +CA 2 +2AB.BC+2BC.CA+2CA.AB ≤ (AB 2 +BC 2 +CA 2 ) (2) Kết hợp (1),(2) ta được : (AB+BC+CA) 2 ≤ 6(AD 2 +BD 2 +CD 2 ) 1đ Dấu bằng xảy ra khi : AB=BC=CA. 0.5đ Bài 5.(2điểm) Từ giả thiết suy ra : xxy x 32 2 2 2 +−≤≤ (1) 0.5đ (Các điểm thoả mãn (1)là phần hình phẳng được tô đậm ở hình bên). Hoành độ giao điểm của hai Parabol: 0 4 3 5 6 y 1 = 2 2 x và y 2 =-2x 2 +3x là nghiệm phương trình: 5 6 ,032 2 2 2 ==⇔+−= xxxx x Với điều kiện (1) ,ta có : x 2 +y 2 222 )32( xxx +−+≤ = 232 10124 xxx +− với 5 6 0 ≤≤ x 0.5đ Ta xét hàm số : f(x)=4x 4 –12x 3 +10x 2 trên       5 6 ;0 f’(x)=16x 3 -36x 2 +20x =4x(4x 2 -9x+5) f’(x)=0 ⇔ x=0 , x=1, x= 4 5 0.5đ Bảng biến thiên x 0 1 6\5 f’(x) + 0 - 2 f(x) 0 625 1224 Từ bảng biến thiên : )( 5 6 ;0 xMaxf       = 2. Vì vậy : .2 22 ≤+ yx Dấu bằng xẩy ra khi :x = y =1. 0.5 . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN TOÁN (Thời gian làm bài 180 phút) Bài 1.Cho hàm số: y=x 3 -(m+1)x 2 -(2m 2 -3m+2)x+2m(2m-1) b>2 2121 22 2 log <<⇒<<⇒>⇒ aa a 0.5đ Kết hợp hai trường hợp phương trình (1) có nghiệm khi a > 1 Khi 1<a< 2 thì nghiệm là x = a 2 Khi a 2≥ thì nghiệm là x = a 124 1 log −+ a . 232 1 0124 xxx +− với 5 6 0 ≤≤ x 0.5đ Ta xét hàm số : f(x)=4x 4 –12x 3 +10x 2 trên       5 6 ;0 f’(x)=16x 3 -36x 2 +20x =4x(4x 2 -9x+5) f’(x)=0 ⇔ x=0 , x=1, x= 4 5 0.5đ Bảng biến thi n