Đề thi thử học sinh giỏi Lớp 12 môn Toán năm 2013 (7)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN :TOÁN THỜI GIAN : 180 PHÚT Bài 1 (4đ) Cho hàm số: y = 2x 3 + mx 2 - 8x (cm) 1) KS vẽ đồ thị hàm số m = 1 (C 1 ) 2) Tìm m ? hàm số (Cm) đồng biến/ (1,2) Bài 2:( 6đ) Cho phương trình: cos2x (2cos x . cos3x - 7) = -m 1) GPT: m = -7 2) CMR: không tồn tại m để pt có nhiều hơn 1n 0 ∈ [- 8 ; 8 3 Π − Π ] Bài 3( 4đ) 1) Tính I = ∫ + + x xex dxx 1( )1( 2) A ? = lm x xx 13971.31 75 −++ x -> 0 Bài 4( 2đ) Cho ∆ ABC biết pt cạnh BC: 4x - y + 3 = 0 và 2 đường phân giác trong của B, C lần lượt là (d B ): x - 2y + 1 = 0 ; (d C ): x + y + 3 = 0. Lập pt cạnh AB; AC Bài 5: ( 2đ) GPT: 2005 log 2005 2006 x + log 2006 (-x+1) =1 Bài 6: (2đ) Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng 5 2 5 5 5 2 5 2 a d d c c b b a +++ ≥ 3333 1111 dcba +++ ./. ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN - LỚP 12 Bài 1(4đ) y = 2x 3 + mx 2 - 8x 1) KS vẽ đt: m = 1 y = 2x 3 + x 2 - 8x a) TXĐ: R b) SBT: * CBT: y / = 6x 2 + 2x - 8 y / = 0 = x = 1; x = -4/3 (Lập bảng xét dấu y / KL: HSĐB / x ∈ (- ∞ ; - 4/3) U (1, + ∞ ) HSĐB / x ∈ (- 4/3, 1). * Giá trị: x CT = 1 -> y CT = -5 x CĐ = -3/4 -> y CĐ = 27 208 * Giới hạn: Lim y = ± ∞ x -> ± ∞ HSK 0 có t/c Y // = 12x + 2 Y // = 0 z x = -1/6 Lập bảng xét dấu y // c) đồ thị 2) m ? hs ĐB / /(1,2) y / = 6x 2 + 2mx - 8 NX: ∆ / = m 2 + 48 > 0 ∀ m -> y / có n 0 x 1 < x 2 a = 6 >0 TH1: x 1 < x 2 ≤ 1 ->      <− ≥ 01 2 0)1( s af ->      <−− ≥− 01 6 012 m m ->    −> ≥ 6 1 m m -> m 1≥ TH2: 2 ≤ x 1 < x 2 ->      >− > 02 2 0)2( s af ->    −< ≥+ 12 04 m m ->    < −≥ 12 4 m m ->vô nghiệm KL: m ≥ 1 là giá trị cần tìm Bài 2: (6đ) cos2x (2cosx . cos3x - 7) = -m 2cos 3 2x + cos 2 2x - 8 cos2x + m = 0 (1) 1) m = -7 2cos 3 2x + cos 2 2x - 8 cos2x + 7 = 0 (cos2x + 1) (2cos 2 2x - cos2x - 7) = 0 cos2x = -1 -> x = Π /2 + k Π 2cos 2 2x - cos2x - 7 = 0 ; cos2x = 4 571± (loại) KL: với m = - 7 -> x = Π /2 + k Π CMR: không tồn tại m để pt có nhiều hơn 1n 0 ∈ [- 8 ; 8 3 Π − Π ] NX : x ∈ [- 8 ; 8 3 Π − Π ] -> 2x ∈ [- 4 ; 4 3 Π − Π ] -> cos2x ∈ [ 2 2 ; 2 2 − ] 1-> -m = 2t 3 +t 2 -8t ====f(t) t= cos2x ∈ [ 2 2 ; 2 2 − ] f’(t) = 6t 2 +2t -8 f’(t) = 0 khi t=1 , t= - 4/3 > f’(t) < 0 với mọi t ∈ [ 2 2 ; 2 2 − ] nên mỗi giá trị -m ∈ [f( ) 2 2 (); 2 2 f− ] chỉ có duy nhất t ∈ [ 2 2 ; 2 2 − ] -> ưngd duy nhất x ∈ [- 8 ; 8 3 Π − Π ] nen không tồn tại m để pt có nhiều hơn 1 nghiệm x ∈ [- 8 ; 8 3 Π − Π ] Bài 3 (4đ) a) tính I = ∫ + + )1( )1( x xex dxx đặt t= 1+ xe x -> dt = e x (1+ x)dx I= C xe xe Ctt t dt t dt tt dt x x + + =+−−=− − = + ∫ ∫ ∫ 1 lnln1ln 1)1( b) A= lim x x x x x 131 lim) 13971 (31 57 5 −+ + −+ + =3/5 + 397/7 x-> 0 x-> 0 Vậy A = 2006/35 Bài 4 (2đ) Toạ độ đỉnh B là nghiệm của hệ    =+− =+− 012 0334 yx yx <-> B (-5/7 ;1/7) Toạ độ đỉnh C là nghiệm của hệ    =++ =+− 03 0334 yx yx <-> C(-6/5 ;-9/5) Gọi M( 0 ,3) thuộc BC. Lờy M 1 , M 2 đxứng với M qua d C , d B ->M 1 thuộc AB , M 2 thuộc AC. { )1;2( 1 == B dMM un và MM 1 qua M (0 ;3) -> MM 1 : 2x +y –3 =0 H 1 = MM 1 x d B -> H 1 (1;1) -> M 1 (2 ;1) Từ đó -> AB : 56x + 133y + 21 =0 (chứa B va M 1 ) AC : 5x – 20y –30 = 0 ( chứa C và M 2 ) Bài 5 (2đ) 2005 log 2005 2006 x + log 2006 (-x+1) = 1 ĐK : x < 1 pt <-> 2006 x + log 2006 (-x+1) = 1 log 2006 (-x+1) = 1- 2006 x (*) Đặt y= log 2006 (-x+1) -> -x+ 1=2006 y -> x= 1 – 2006 y  hàm số y = 1- 2006 x với x < 1 là hàm số ngược của hàm y = log 2006 (-x+1) pt (*) <-> 1- 2006 x = x <-> x = 0 ( do x < 1). Bài 6 Ad BĐT Cô si cho 5 số dương 5 2 b a , 5 2 b a , 5 2 b a , 3 1 a , 3 1 a ta có: 335 2 523 bab a ≥+ (1) dấu = xảy ra khi a = b tuơng tự 335 2 523 cbc b ≥+ (2) dấu = xảy ra khi c = b 335 2 523 dcd c ≥+ (3) dấu = xảy ra khi c = d 335 2 523 ada d ≥+ (4) dấu = xảy ra khi a = d cộng (1) ,(2) ,(3) ,(4) theo từng vế ta có BĐT cần chứng minh dấu = xảy ra khi a = b = c = d [ [ [ ơ . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN :TOÁN THỜI GIAN : 180 PHÚT Bài 1 (4đ) Cho hàm số: y = 2x 3 + mx 2 - 8x (cm) 1). chứng minh rằng 5 2 5 5 5 2 5 2 a d d c c b b a +++ ≥ 3333 1111 dcba +++ ./. ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN - LỚP 12 Bài 1(4đ) y = 2x 3 + mx 2 - 8x 1) KS vẽ đt: m = 1 y = 2x 3 + x 2 - 8x a) TXĐ: R b).      <− ≥ 01 2 0)1( s af ->      <−− ≥− 01 6 012 m m ->    −> ≥ 6 1 m m -> m 1≥ TH2: 2 ≤ x 1 < x 2 ->      >− > 02 2 0)2( s af ->    −< ≥+ 12 04 m m ->    < −≥ 12 4 m m ->vô