ĐỀ THI HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2015

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam FB.com/MathvnCom SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I - NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN: TOÁN; LỚP 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (3 điểm) Cho hàm số 3 3 2 y x x = − + (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng 5 2 y x = − + . Câu 2. ( 3 điểm) a) Rút gọn biểu thức: 1 2 2 4 log 16 log 108 log 12. P = − + b) Giải phương trình: 4 3.2 4 0 x x + − = . Câu 3. (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 x y x = + . Câu 4. ( 3 điểm ) Cho hình h ộ p ch ữ nh ậ t . ' ' ' ' ABCD A B C D có đ áy ABCD là hình vuông c ạ nh a. Góc gi ữ a đườ ng th ẳ ng A’C và m ặ t ph ẳ ng (ABCD) b ằ ng 0 60 . a) Tính th ể tích c ủ a kh ố i h ộ p theo a. b) Tính kho ả ng cách t ừ đỉ nh A đế n m ặ t ph ẳ ng (BDA’). c) G ọ i N là trung đ i ể m c ủ a CD, đ i ể m P n ằ m trên đườ ng th ẳ ng A’D, đ i ể m Q n ằ m trên đườ ng th ẳ ng AB’ sao cho PQ song song v ớ i BN. Tính theo a độ dài đ o ạ n PQ. H ế t Thí sinh không đượ c s ử d ụ ng tài li ệ u. Giám th ị không gi ả i thích gì thêm. H ọ và tên thí sinh:…………………………………………… S ố báo danh:………… www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam FB.com/MathvnCom SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: TOÁN, LỚP 12 Câu 1.a) ( 2 điểm) Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số 3 3 2 y x x = − + (1). Nội dung Điể m *) Tập xác định: . D = ℝ 0,25 *) Sự biến thiên - Giới hạn: lim ; lim x x y y →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ 0,25 -Chiều biến thiên: Ta có 2 2 1 ' 3 3. ' 0 1 0 1 x y x y x x =  = − = ⇔ − = ⇔  = −  0,25 Ta có ' 0 ( ; 1) (1; ) y x > ∀ ∈ −∞ − ∪ +∞ và ' 0 ( 1;1) y x < ∀ ∈ − nên hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1);(1; ) −∞ − +∞ và nghịch biến trên khoảng ( 1;1) − . Hàm số đạt cực đại tại 1, 4 CD x y = − = ; hàm số đạt cực tiểu tại 1, 0. CT x y = = 0,25 - Bảng biến thiên: +∞ +∞ x y’ y -∞ -∞ -1 0 0+ + 4 0 1 - +∞ +∞ x y’ y -∞ -∞ -1 0 0+ + 4 0 1 - x y’ y -∞ -∞ -1 0 0+ + 4 0 1 - 0,50 *) Đồ thị 4 2 -2 y x O 1 -2 3 -1 0,50 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam FB.com/MathvnCom Câu 1.b) ( 1 điểm) Tìm giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng 5 2 y x = − + . Nội dung Điểm Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng 5 2 y x = − + là 3 3 2 5 2 x x x − + = − + 0,25 3 2 0 x x ⇔ + = 0,25 2 2 0 ( 2) 0 0 2 0 x x x x x =  ⇔ + = ⇔ ⇒ =  + =  0,25 Với 0 2 x y = ⇒ = . Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng đã cho là (0;2). 0,25 Câu 2.a ( 1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: 1 2 2 4 log 16 log 108 log 12. P = − + Nội dung Điểm Ta có 1 1 2 2 2 3 2 2 4 2 log 4 log (2 .3 ) log (2 .3) P − = − + 0,50 1 1 1 2 2 2 2 3 2 2 2 4 2 2 log 4 log 2 log 3 log 2 log 3 − = − − + + 0,50 2 2 2 2 3log 3 4 2log 3 = − − − + + 0,25 2 log 3. = − 0,25 Câu 2.b ( 1,5 điểm) Giải phương trình: 4 3.2 4 0 x x + − = . Nội dung Điểm Đặt 2 x t = , 0 t > phương trình đã cho trở thành: 2 3 4 0. t t + − = 0,50 Suy ra 1 t = hoặc 4 t = − (loại). 0,50 Với 1 t = suy ra 2 1 0. x x = ⇔ = Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 0. x = 0,50 Câu 3. (1 điểm) Tìm GTLN, NN của hàm số 2 1 x y x = + . Nội dung Điể m *) Tập xác định: . D = ℝ *) Sự biến thiên 0,25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam FB.com/MathvnCom - Giới hạn: 2 2 1 1 lim lim 0, lim lim 0. 1 1 1 1 x x x x x x y y x x →+∞ →+∞ →−∞ →−∞ = = = = + + -Chiều biến thiên: Ta có 2 2 2 2 2 2 2 1 1.( 1) .2 1 ' . ' 0 1 0 1 ( 1) ( 1) x x x x x y y x x x x =  + − − = = = ⇔ − = ⇔  = − + +  0,25 - Bảng biến thiên: +∞ 0 x y’ y -∞ 0 -1 0 0- - -1/2 1/2 1 + +∞ 0 x y’ y -∞ 0 -1 0 0- - -1/2 1/2 1 + 0,25 Từ bảng biến thiên ta suy ra - Hàm số đạt GTLN bằng 1 2 tại 1 x = , GTNN bằng 1 2 − , tại 1. x = − 0,25 Câu 4.a (1 điểm) Tính thể tích hình hộp. Nội dung Điểm Ta có 2 ABCD S a = , tứ giác ABCD là hình vuông nên 2 AC a = . 0,25 Góc giữa A’C và mặt đáy là  0 ' 60 A CA = . Xét tam giác vuông A’CA, ta có  0 ' tan ' tan60 3 ' 6 A A A CA A A a AC = = = ⇒ = . 0,25 Từ đó . ' ' ' ' ' . ABCD A B C D ABCD V A A S = 0,25 2 3 . ' ' ' ' 6 . 6 . ABCD A B C D V a a a ⇔ = = 0,25 P Q O M N C' B' D' A B C D A' H www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam FB.com/MathvnCom Câu 4.b (1 điểm) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BDA’). Nội dung Điểm Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hạ ' ( ' ) (1) AH A O H A O ⊥ ∈ 0,25 ( ' ) (2) ' BD AC BD A AO BD AH BD A A ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  0,25 Từ (1) và (2) suy ra ( ' ) ( ,( ' )) AH A BD d A A BD AH ⊥ ⇒ = . 0,25 Xét tam giác vuông A’AO, ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 13 78 ' 6 6 13 a AH AH AA AO a a a = + = + = ⇒ = . Vậy 78 ( ,( ' )) . 13 a d A A BD = 0,25 Câu 4.c (1 điểm) Gọi N là trung điểm của CD, điểm P nằm trên đường thẳng A’D, điểm Q nằm trên đường thẳng AB’ sao cho PQ song song với BN. Tính theo a độ dài đoan PQ. Nội dung Điểm Ta có A’D và AB’ là hai đường thẳng chéo nhau. Giả sử có , P Q thoả mãn điều kiện bài toán. Do ' ( ' ) ( ' ) ( ' ) ' ( ' ) P A D P A DQ A DQ AB P PQ Q AB Q AB P ∈ ⇒ ∈  ⇒ ∩ =  ∈ ⇒ ∈  . 0,25 Giả sử A’Q cắt AB tại M. Vì BN//PQ suy ra BN//(A’DQ) hay BN//(A’DM). Mặt phẳng (ABCD) chứa BN và cắt mặt phẳng (A’DM) theo giao tuyến DM nên BN//DM. 0,25 Suy ra M là trung điểm AB. Từ đó ta tìm các điểm P, Q như sau: - Gọi M là trung điểm AB, nối A’M cắt AB’ tại Q. - Trong mặt phẳng (A’DM), qua Q kẻ đường thẳng song song với DM cắt A’D tại P. Đoạn thẳng PQ thỏa mãn các điều kiện của bài toán. 0,25 Theo cách dựng, ta có 2 2 2 2 5 . 3 3 3 a PQ DM AM AD= = + = 0,25 H ế t . www .MATHVN. com – Toán học Việt Nam FB .com/ MathvnCom SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I -. thêm. H ọ và tên thí sinh:…………………………………………… S ố báo danh:………… www .MATHVN. com – Toán học Việt Nam FB .com/ MathvnCom SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I,. +∞ +∞ x y’ y -∞ -∞ -1 0 0+ + 4 0 1 - +∞ +∞ x y’ y -∞ -∞ -1 0 0+ + 4 0 1 - x y’ y -∞ -∞ -1 0 0+ + 4 0 1 - 0,50 *) Đồ thị 4 2 -2 y x O 1 -2 3 -1 0,50 www .MATHVN. com – Toán học Việt Nam FB .com/ MathvnCom Câu 1.b) ( 1 điểm) Tìm giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng 5 2 y