TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERRDAM TỔ TOÁN - TIN ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: Toán lớp 12 Thời gian làm bài: 150 phút. Bài 1: (2,5 điểm) Cho hàm số: ( ) 3 2 3 4 . y x x C = + - a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số. b) Tìm tọa độ các cặp điểm nằm trên đồ thị ( ) C của hàm số biết rằng chúng đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Bài 2: (2,5 điểm) a) Tính tích phân: 1 2 2 0 1 . I x x dx = - ò b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng ( ) 1 : 0; d x y + = ( ) 2 : 8 d y = và đường cong ( ) 3 : . C y x = Bài 3: (3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng ( ) 1 2 : 1 2 1 x y z d - = = - và ( ) 2 1 2 1 : . 2 1 4 x y z d - - - = = - a) Chứng minh rằng ( ) 1 d , ( ) 2 d chéo nhau và vuông góc với nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa ( ) 1 d và song song với ( ) 2 . d c) Viết phương trình mặt cầu ( ) S có đường kính là đoạn vuông góc chung của ( ) 1 d và ( ) 2 . d Bài 4 : (2 điểm) a) Giải bất phương trình: ( ) 5 1 1 5 5 1 log .2 1 log 4 144 1 2log 4. 4 x x æ ö + + + + > ç ÷ è ø b) Tìm số phức z biết rằng z thỏa mãn điều kiện 2 10 z i- - = và . 25. z z = Hết Nguồn tài liệu: http://hn-ams.edu.vn www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Ngun ti liu: http://hn-ams.edu.vn 1 TRNG H NI - AMSTERDAM T TON TIN P N THI HC K II NM HC 2011 2012 Mụn Toỏn; Lp 12 Bi 1: (2,5 im) a) 3 2 3 4 y x x = + - * Tp xỏc nh: R. * S bin thiờn - Gii hn: lim . x y đƠ = Ơ - Chiu bin thiờn: 2 0 4 ' 3 6 0 2 0 x y y x x x y = ị = - ộ = + = ờ = - ị = ở - Bng bin thiờn: x -Ơ 2 - 0 +Ơ ' y + 0 - 0 + y 0 +Ơ 4 - -Ơ - Hm s ng bin trờn cỏc khong ( ) ( ) ; 2 , 0; ; -Ơ - +Ơ hm s nghch bin trong khong ( 2;0). - Hm s cú im i l ( ) 2;0 , - cc tiu l ( ) 0; 4 . - * th: - Nhn xột: th nhn im un ( ) 1; 2 I - - lm tõm i xng. b) Gi ( ) ( ) ( ) 3 2 0 0 0 0 0 ; 3 4 1 . A x y C y x xẻ ị = + - Gi B i xng vi A qua O thỡ ( ) 0 0 ; B x y - - vi 0 0. x ạ Ta cú ( ) ( ) 3 2 0 0 0 3 4 2 . B C y x xẻ - = - + - www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam www.MATHVN.com Ngun ti liu: http://hn-ams.edu.vn 2 T (1) v (2) suy ra: 2 0 0 2 3 6 8 0 . 3 x x- = = Vi 0 0 2 3 8 3 . 3 9 x y= ị = Vy hai cp im 2 3 8 3 ; 3 9 ổ ử ỗ ữ ố ứ v 2 3 8 3 ; 3 9 ổ ử - - ỗ ữ ố ứ i xng nhau qua gc ta . Bi 2: (2,5 im) a) t sin . x t = Vỡ [ ] 0;1 x ẻ nờn 0; . 2 t p ộ ự ẻ ờ ỳ ở ỷ Ta cú cos . dx tdt = i cn : Vi 0 0, x t = ị = vi 1 . 2 x t p = ị = Ta cú : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 sin 1 sin cos sin cos sin 2 1 cos4 4 8 I t t tdt t tdt tdt t dt p p p p = - = = = - ũ ũ ũ ũ 2 0 1 sin4 . 8 4 16 t t p p ổ ử = - = ỗ ữ ố ứ b) Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi hai ng thng ( ) 1 : 0; d x y + = ( ) 2 : 8 d y = v ng cong ( ) 3 : . C y x = Ta cú + ( ) 1 d ct ( ) 2 d ti ( ) 8;8 . A - + ( ) 1 d ct ( ) C ti ( ) 0;0 . O + ( ) 2 d ct ( ) C ti ( ) 2;8 . B Vy din tớch hỡnh phng l : ( ) ( ) 2 4 2 3 0 0 1 .8.8 8 32 8 2 4 32 12 44 x S x dx x dvdt ổ ử = + - = + - ỗ ữ ố ứ = + = ũ Bi 3: (3 im) a) * Ta cú ( ) 1 d i qua ( ) 0;2;0 M v cú VTCP l ( ) 1 1; 2;1 . u = - ur ( ) 2 d i qua ( ) 1;2;1 N v cú VTCP l ( ) 2 2;1;4 . u = - uur Ta cú ( ) 1;0;1 MN = uuuur v ( ) 1 2 1 2 ; 9; 6; 3 . ; 12 0. u u MN u u ộ ự ộ ự = - - - ị = - ạ ở ỷ ở ỷ ur uur uuuur ur uur Do ú ( ) 1 d , ( ) 2 d chộo nhau. * Ta cú ( ) ( ) 1 2 1 2 . 0 , u u d d = ị ur uur vuụng gúc nhau. b) Ta cú mt phng ( ) P i qua M v nhn ( ) ( ) 1 2 ; 9; 6; 3 3 3;2;1 u u ộ ự = - - - = - ở ỷ ur uur lm VTPT. Do ú, phng trỡnh mt phng ( ) P l : www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam www.MATHVN.com Ngun ti liu: http://hn-ams.edu.vn 3 ( ) ( ) ( ) 3 0 2 2 0 0 x y z - + - + - = hay 3 2 4 0. x y z + + - = c) Gi ( ) ( ) 1 ; 2 2; A a a a d - + ẻ v ( ) ( ) 2 2 1; 2;4 1 B b b b d - + + + ẻ t ú suy ra ( ) 2 1;2 ; 4 1 . AB a b a b a b = - - + + - + + uuur AB nh nht khi nú l on vuụng gúc chung ca ( ) ( ) 1 2 , . d d Khi ú: ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 4 1 0 . 0 2( 2 1) 2 4( 4 1) 0 . 0 a b a b a b AB u a b a b a b AB u ỡ - - + - + - + + =ỡ = ù ù ớ ớ - - - + + + + - + + = = ù ù ợ ợ uuur ur uuur uur 1 1 4 1 ; ; 6 2 0 3 3 3 3 21 2 0 2 25 40 13 ; ; 21 21 21 21 a A a b b B ỡ ổ ử = ị ỗ ữ ù - + = ỡ ù ố ứ ớ ớ + = ổ ử ợ ù = - ị ỗ ữ ù ố ứ ợ Gi I l trung im ca AB 2 2 2 16 34 10 9 6 3 126 ; ; , . 21 21 21 21 21 I R + + ổ ử ị = = ỗ ữ ố ứ Vy phng trỡnh mt cu ( ) 2 2 2 16 34 10 126 : . 21 21 21 441 S x y z ổ ử ổ ử ổ ử - + - + - = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ Bi 4 : (2 im) a) Ta cú ( ) ( ) 5 1 1 5 5 5 5 5 5 1 log .2 1 log 4 144 1 2log 4. 4 1 log .2 1 log 16 log 5 log 4 144 4 1 80 2 1 4 144 4 20.2 64 0 4 2 16 2 4. 4 x x x x x x x x x x ổ ử + + + + > ỗ ữ ố ứ ổ ử + + + > + ỗ ữ ố ứ ổ ử + > + - + < < < < < ỗ ữ ố ứ b) Gi . z x yi = + Ta cú : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 10 2 1 10 1 . z i x y- - = - + - = Ta cú ( ) 2 2 . 25 25 2 . z z x y= + = T (1) v (2) suy ra ( ) ( ) ; 3;4 x y = hoc ( ) 5;0 . Vy 3 4 z i = + hoc 5 0 . z i = + Ht www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam www.MATHVN.com