Sở gd & đt Thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs Trờng thpt trần phú Môn : Toán Nga Sơn Thời gian : 150 phút không kể thời gian giao Bài 1: (6 điểm) 1- Giải phơng trình : x 2 + y 2 = 5 x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 13 2- Cho biểu thức: A = Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 2 : (3 điểm) Cho Phơng trình : x 2 2 .(m - 1) x + m 3 = 0 1)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m. 2)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu nhau. Bài 3: (3 điểm) Cho a + b + c + d = 2 . Trong đó a, b, c, d R. Hãy chứng minh : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 1 Bài 4: (4 điểm) Cho đờng tròn nội tiếp ABC , tiếp xúc với cạnh BC tại D. Chứng minh rằng: ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi: AB. AC = 2DB . DC. Bài 5: ( 4 điểm) Cho hình chóp SABC có SA SB, SA SC, 2x- 1 x 2 + 2 SB SC. Biết SA = a; SB + SC = k. Đặt SB = x. a)Tính thể tích hình chóp SABC theo : a, k, x. b)Tính SB, SC để thể tích hình chóp S. ABC lớn nhất Bảng hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi Lớp 9 thcs Thời gian : 150 phút Môn : toán Bài 1: ( 6đ) 1)Hệ phơng trình tơng đơng với : x 2 + y 2 = 5 (x 2 + y 2 ) 2 - 3x 2 y 2 = 13 (0,5 điểm) x 2 + y 2 = 5 <=> x 2 . y 2 = 4 x 2 ; y 2 , là 2 nghiệm không âm của phơng trình. (0,5 điểm) t 2 tx + 4 = 0 <=> t 1 = 1 t 2 = 4 (1 điểm) x 2 = 1 x= 1 => y 2 = 4 <=> y = 2 x 2 =4 x = 2 y 2 = 1 y = 1 Vậy hệ phơng trình có 8 nghiệm : ( x;y ) = (1 ; 2 ) , ( x;y ) = ( 1 ; - 2 ) , ( x;y ) = ( - 1 ; 2 ) , ( x;y ) = ( -1 ; -2 ) , ( x;y ) = ( 2 ; 1 ) , (2 điểm) ( x;y ) = ( 2 ; -1 ) , ( x;y ) = ( -2 ; 1 ) , ( x;y ) = ( -2 ; -1 ) Có A = - - 1 (1 điểm) Dấu = xảy ra <=> x + 1= 0 => x= - 1 => A nhỏ nhất = -1 khi x = -1. (1 điểm) Bài 2: ( 3 đ ) 1)Ta có : / = (m- 1) 2 (m - 3) = m 2 - 3m + 4 (0,5 điểm) <=> / = (m - ) 2 + > 0 m (1 điểm) Vậy phơng trình luôn có nghiệm m. 2)Phơng trình có 2 n 0 trái dấu khi P = m -3 < 0 X 2 + 2x + 1 x 2 2 ( x + 1) 2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 2 1 4 F A B D C <=> m < 3. (1 điểm) Vậy m < 3 thì phơng trình có 2nghiệm trái dấu. (0,5 điểm) Bài 3: ( 3 đ ) Với a, b, c, d luôn luôn có: a 2 + b 2 2abc; a 2 + c 2 2ac; a 2 + d 2 2ad; b 2 + c 2 2bc; b 2 + d 2 bd; c 2 + d 2 2cd Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta đợc: 3. (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) (0,5 điểm) <=> 4. (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) (a + b+ c + d ) 2 (0,5 điểm) <=> 4(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 2 2 = 4 <=> a 2 + b 2 + c 2 + d 2 1 (1 điểm) Dấu = xảy ra <=> a = b = c = d = . (0,5 điểm) Bài 4( 4 đ ) Gọi E, F là tiếp điểm trên cạnh AB, AC. Đặt BC = a; AB = c; AC = b. => chu vi 2p = a + b + c Ta có: CD = CF; CD + CF = 2p 2c => CD = p - c (0,5 điểm) Tơng tự có: BD = p - b (0,5 điểm) 1 2 (0,5 điểm) C Ta cã: AB. AC = bc. (0,5 ®iÓm) CD. BD = (p - c) . (p - b) C AB. AC = 2CD . BD (0,5 ®iÓm) <=>2 bc = 2.(p- c) . (p- b). (0,5®iÓm) <=> 2bc = (2p – 2 c). (2p – 2b) <=> 2bc = (a + b - c) .(a + c - b) <=> 2bc = a 2 – (c – b 2 ) a 2 = b 2 + c 2 hay ∆ABC vu«ng t¹i A. (1,5 ®iÓm) Bµi 5: Chän ∆SBA lµm ®¸y th× ®êng cao h×nh chãp CS Ta cã thÓ tÝch h×nh chãp lµ: V= . CS . SB . SA = a.x. (k - x) A B Víi : 0 < x < k (1,5 ®iÓm) ThÓ tÝch h×nh chãp lín nhÊt khi : x . (k - x) lín nhÊt. (0,5 ®iÓm) Ta lu«n cã: 2 ) 2 )( ( xkx −+ ≥ x. (k - x) (1®iÓm) <=> 4 2 k ≥ x (k - x) 1 3 1 2 1 6 S 2 ) 2 )( ( xkx −+ ak 2 24 DÊu “=” x¶y ra khi: x = k – x => x = (0,5 ®iÓm) VËy khi SB = SC = th× thÓ tÝch h×nh chãp lín nhÊt V = (0,5 ®iÓm) k 2 k 2 . hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi Lớp 9 thcs Thời gian : 150 phút Môn : toán Bài 1: ( 6đ) 1)Hệ phơng trình tơng đơng với : x 2 + y 2 = 5 (x 2 + y 2 ) 2 - 3x 2 y 2 = 13 (0 ,5 điểm) x 2 . Thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs Trờng thpt trần phú Môn : Toán Nga Sơn Thời gian : 150 phút không kể thời gian giao Bài 1: (6 điểm) 1- Giải phơng trình : x 2 + y 2 = 5 x 4 . ) = ( 1 ; - 2 ) , ( x;y ) = ( - 1 ; 2 ) , ( x;y ) = ( -1 ; -2 ) , ( x;y ) = ( 2 ; 1 ) , (2 điểm) ( x;y ) = ( 2 ; -1 ) , ( x;y ) = ( -2 ; 1 ) , ( x;y ) = ( -2 ; -1 ) Có A = - - 1 (1 điểm)